资源简介

(共37张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.1.2.2 有理数的加减混合运算
副标题：统一加法形式，巧用运算律简化计算
背景图：左侧展示加减混合运算示例 “\(3 - (-2) + (-5) - 4\)”，右侧用箭头标注转化流程 “减法→加法（去括号）→ 结合运算律计算”，下方呈现最终转化结果 “\(3 + 2 + (-5) + (-4)\)”，直观呈现混合运算的核心转化逻辑。
幻灯片 2：学习目标
掌握有理数加减混合运算的核心方法 ——“统一成加法”，能将任意加减混合算式转化为 “几个正数或负数的和” 的形式（即代数和形式）。
熟练运用去括号法则处理代数和中的符号，准确化简算式（括号前是 “+” 号去括号不变号，括号前是 “-” 号去括号全变号）。
能结合加法交换律、结合律对代数和进行简便运算（如凑整、同号结合、互为相反数结合），提高运算速度与准确性。
能解决含加减混合运算的实际问题（如行程、收支、温度变化等），体会混合运算在实际场景中的应用，强化 “转化思想” 与 “优化思想”。
幻灯片 3：导入 —— 从减法到混合运算的过渡
复习回顾：
有理数减法法则：\(a - b = a + (-b)\)（减去一个数等于加上它的相反数）；
单一减法示例：\(5 - 3 = 5 + (-3)\)，\(-2 - (-4) = -2 + 4\)。
提出问题：
若遇到 “\(4 - (-3) + (-1) - 2\)” 这类既有加法又有减法的混合算式，该如何计算？能否利用减法法则将其转化为已学的加法运算，再统一计算？引出本节课核心 —— 有理数的加减混合运算。
幻灯片 4：核心方法 —— 将加减混合运算统一成加法（代数和）
转化依据：
根据有理数减法法则，将算式中的所有减法运算转化为加法运算，最终得到 “几个正数或负数的和”，这种形式称为代数和。
转化步骤：
变减法为加法：将所有 “\(-\)” 号（减号）转化为 “\(+\)” 号（加号），同时将减号后面的数变为其相反数；
省略加号与括号：代数和中，“\(+\)” 号和括号可省略不写，直接用 “空格” 或 “逗号” 分隔各数（但符号需保留）。
示例转化：
算式：\(3 - (-2) + (-5) - 4\)
第一步（变减法为加法）：\(3 + (+2) + (-5) + (-4)\)；
第二步（省略加号与括号）：\(3 + 2 - 5 - 4\)（读作 “3 加 2 减 5 减 4”，实际表示\(3 + 2 + (-5) + (-4)\)）。
算式：\(-6 + (-1) - (-7) - 2\)
第一步：\(-6 + (-1) + (+7) + (-2)\)；
第二步：\(-6 - 1 + 7 - 2\)（表示\(-6 + (-1) + 7 + (-2)\)）。
关键解读：
代数和的省略形式中，“\(-\)” 号不再是减号，而是某个数的负号（如 “\(3 + 2 - 5 - 4\)” 中的 “\(-5\)” 表示 “\(+(-5)\)”，“\(-4\)” 表示 “\(+(-4)\)”），计算时需明确每个数的符号。
幻灯片 5：去括号法则在混合运算中的应用
去括号场景：
当加减混合算式中含有多重括号（如 “\(2 - [3 - (-4 + 1)]\)”）时，需先去括号，再转化为代数和，去括号遵循 “从内到外” 的顺序，符号规则如下：
括号前是 “\(+\)” 号：去掉括号后，括号内各项的符号不变；
括号前是 “\(-\)” 号：去掉括号后，括号内各项的符号全变（正变负，负变正）。
示例去括号：
化简：\(5 + (3 - 7)\)
括号前是 “\(+\)”，去括号不变号：\(5 + 3 - 7\)；
化简：\(5 - (3 - 7)\)
括号前是 “\(-\)”，去括号变号：\(5 - 3 + 7\)；
化简：\(-2 - [ - (4 - 6) + 1 ]\)
先去小括号：\(-2 - [ - (-2) + 1 ]\)（\(4 - 6 = -2\)，括号前是 “\(-\)”，变号为\(+2\)）；
再去中括号：\(-2 - [ 2 + 1 ] = -2 - 3\)（中括号前是 “\(-\)”，括号内\(2 + 1\)变号为\(-2 - 1\)，此处简化为直接计算括号内再变号）；
最终代数和：\(-2 - 3 = -2 + (-3)\)。
技巧总结：去括号时，可先在括号内计算简化，再根据括号前符号变号，避免多层括号直接变号导致混乱。
幻灯片 6：代数和的计算方法（分步骤教学）
计算原则：
代数和的计算可分 “直接按顺序计算” 和 “结合运算律简便计算” 两种方式，优先选择简便计算（凑整、同号结合等）。
方法 1：直接按顺序计算（基础方法）：
从左到右依次计算，逐步得出结果，适用于算式简单或无明显简便特征的情况。
示例：计算\(3 + 2 - 5 - 4\)
步骤 1：\(3 + 2 = 5\)；
步骤 2：\(5 - 5 = 0\)；
步骤 3：\(0 - 4 = -4\)；
结果：\(-4\)。
方法 2：结合运算律简便计算（优化方法）：
利用加法交换律（\(a + b = b + a\)）和结合律（\((a + b) + c = a + (b + c)\)），将便于计算的数结合（如：① 同号结合；② 互为相反数结合；③ 凑整结合；④ 同分母分数结合），减少计算步骤。
常用结合策略：
同号结合：将所有正数相加，所有负数相加，再将结果相加；
凑整结合：将和为整数（如 10、0）的数结合（如\(7 + (-3) + 3 = 7 + 0 = 7\)）；
分数 / 小数结合：同分母分数或可凑整的小数结合（如\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)）。
幻灯片 7：混合运算示例解析（分类型）
示例 1：整数类混合运算（结合同号与凑整）
计算：\(-8 + 10 - 6 - 4 + 3\)
解答过程：
统一成代数和（已省略加号）：\(-8 + 10 - 6 - 4 + 3\)；
同号结合：\((-8 - 6 - 4) + (10 + 3)\)；
分别计算：\(-18 + 13\)；
最终结果：\(-5\)。
示例 2：分数与小数混合运算（结合同分母与凑整）
计算：\(\frac{1}{2} - 0.5 + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - 1\)
解答过程：
统一形式（小数化分数）：\(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - 1\)；
同分母 / 凑整结合：\((\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) - 1\)；
分步计算：\(0 + \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{3} - 1\)；
转化为加法：\(\frac{1}{3} + (-1) = -\frac{2}{3}\)；
最终结果：\(-\frac{2}{3}\)。
示例 3：含多重括号的混合运算（先去括号再计算）
计算：\(2 - [ (-3) + 1 - (4 - 6) ]\)
解答过程：
去小括号：\(2 - [ -3 + 1 - (-2) ]\)（\(4 - 6 = -2\)，括号前是 “\(-\)”，变号为\(+2\)）；
化简中括号内：\(-3 + 1 + 2 = 0\)；
去中括号：\(2 - 0 = 2\)；
最终结果：\(2\)。
幻灯片 8：实际应用示例（行程与收支问题）
示例 1：行程问题（位置变化的混合运算）
问题：小明从学校出发，向东走记为正，向西走记为负，他的行走记录如下（单位：米）：\(+50\)（向东 50 米）、\(-30\)（向西 30 米）、\(+40\)（向东 40 米）、\(-60\)（向西 60 米）。求小明最终与学校的位置关系（距离与方向）。
解答过程：
列出混合算式：\(50 - 30 + 40 - 60\)；
统一成代数和：\(50 + (-30) + 40 + (-60)\)；
同号结合：\((50 + 40) + (-30 - 60) = 90 - 90 = 0\)；
结果解读：小明最终回到学校（距离学校 0 米）。
示例 2：收支问题（余额计算的混合运算）
问题：某商店一周的财务记录如下（收入为正，支出为负，单位：元）：\(+2000\)（周一收入）、\(-800\)（周二支出）、\(-500\)（周三支出）、\(+1200\)（周四收入）、\(-300\)（周五支出）。若周末结算时，商店原有余额 5000 元，求最终余额。
解答过程：
计算一周收支净额：\(2000 - 800 - 500 + 1200 - 300\)；
同号结合：\((2000 + 1200) + (-800 - 500 - 300) = 3200 - 1600 = 1600\)（元，净额为收入 1600 元）；
计算最终余额：\(5000 + 1600 = 6600\)（元）；
结果：商店最终余额为 6600 元。
幻灯片 9：易错点辨析与注意事项
易错点 1：统一成代数和时，符号遗漏或错误
示例：将 “\(3 - (-2) - 5\)” 误转化为 “\(3 - 2 - 5\)”（正确应为 “\(3 + 2 - 5\)”，\(-(-2)\)应变为\(+2\)）；
提醒：转化时，每个 “\(-\)” 号后面的数都要变号，可逐个处理减法，避免批量转化导致符号遗漏（如先处理\(3 - (-2) = 3 + 2\)，再处理\(+ 2 - 5 = 2 + (-5)\)）。
易错点 2：去括号时，括号前是 “\(-\)” 号但部分变号
示例：化简 “\(5 - (3 - 2 + 1)\)” 时，误得 “\(5 - 3 - 2 + 1\)”（正确应为 “\(5 - 3 + 2 - 1\)”，括号内所有项都要变号，\(-2\)变\(+2\)，\(+1\)变\(-1\)）；
纠正：去括号前是 “\(-\)” 号时，用 “箭头标注” 括号内每一项的符号变化（如\(3→-3\)，\(-2→+2\)，\(+1→-1\)），确保全变号，不遗漏任何一项。
易错点 3：简便计算时，交换数的位置但符号未跟随
示例：计算 “\(-8 + 5 - 2\)” 时，误交换为 “\(-8 - 2 + 5\)”（此例正确），但计算 “\(-8 + 5 - 2\)” 时，若误写为 “\(-8 + 2 - 5\)”（错误，\(5\)的符号是 “\(+\)”，交换后应为 “\(-8 - 2 + 5\)”，\(-2\)的符号是 “\(-\)”，需跟随数一起移动）；
强调：交换代数和中数的位置时，数的符号必须跟随数一起移动（如 “\(-2\)” 是一个整体，不能单独移动 “2” 而留下 “\(-\)” 号）。
易错点 4：小数与分数混合时，形式不统一导致计算错误
示例：计算 “\(0.5 - \frac{1}{3} + 0.3\)” 时，直接计算 “\(0.5 - 0.333 + 0.3 ≈ 0.467\)”（结果正确，但精度低），或误将 “\(0.5\)” 当作 “\(\frac{1}{3}\)” 计算（错误）；
预防：混合运算中，小数与分数需统一形式（优先选择分数保证精度，或选择小数简化计算），统一后再结合运算律计算，避免形式混乱。
幻灯片 10：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：统一成代数和并计算
\(4 - (-3) + (-1) - 2 =\)______（答案：\(4 + 3 - 1 - 2 = 4\)）；
\(-6 + (-2) - (-5) + 1 =\)______（答案：\(-6 - 2 + 5 + 1 = -2\)）。
提升练习 2：结合运算律简便计算
\(-3 + 5 - 7 + 3 - 5 =\)______（答案：\((-3 + 3) + (5 - 5) - 7 = -7\)）；
\(\frac{1}{2} - \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} =\)______（答案：\((\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) + (-\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = -\frac{1}{2}\)）。
拓展练习 3：含括号与实际应用
计算：\(1 - [ 2 - (-3) - (4 - 1) ] =\)______（答案：\(1 - [2 + 3 - 3] = 1 - 2 = -1\)）；
某水库水位初始为 10 米，第一天上升 0.5 米，第二天下降 0.3 米，第三天上升 0.2 米，第四天下降 0.4 米，求最终水位（答案：\(10 + 0.5 - 0.3 + 0.2 - 0.4 = 10\)米）。
幻灯片 11：课堂小结
核心知识回顾：
混合运算核心：将减法统一成加法（代数和形式），即 “$a - b + c - d = a + (-
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.1.2.2有理数的加减混合运算
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过具体实际情境，初步会用有理数的加、减运算法则进行混合运算，并会用运算律进行简便计算，提高学生的运算能力．
2．通过有理数的混合运算解决实际问题，培养浓厚的学习兴趣，体会有理数混合运算的意义和作用，感受数学在生活中的价值．
重点
难点
情境导入
一口井深3.5米，一只青蛙从井底沿井壁往上爬，第一次爬了 0.7米又下滑了 0.1 米，第二次往上爬了0.42米又下滑了0.15米，第三次往上爬了1.25 米又下滑了 0.2 米，第四次往上爬了0.75米又下滑了0.1米，第五次往上爬了0.65米.
这只青蛙爬出井了吗？
一架飞机进行特技表演，雷达记录起飞后的高度变化如下表：
此时飞机比起点高多少千米？
你能列出算式吗？
类比导入
对比两个式子，你发现了什么？
新疆的日温差很大，正所谓，早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜你能帮忙计算一下这两日温差和是多少吗
问题导入
列出算式:[-6-(-12)]+[(+21)-(+7)]
能进行简便计算吗
1. 请同学们阅读课本32页例5，并说说你打算如何计算．
2．请同学们完成例5的计算，并思考每一步的依据．
3．思考：算式(－20)＋(＋3)＋(＋5)＋(－7)可以看作哪几个数的和？这个式子还能更简化吗？
先把式子中的减法变为加法，再进行有理数的加法运算
①减法法则；②加法分配律和结合律；③加法法则
－20，＋3，＋5，－7的和．可以简化为－20＋3＋5－7
4．请你利用刚才简化的式子，再计算一次结果．
5．完成课本33页探究．
6．一个点从数轴上表示－2的点开始，先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度，那么终点表示的数是什么？
－19
3
小组合作完成课本36页13题．
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
1．依据：有理数减法法则．
2．步骤：第一步：将有理数加减混合运算转化为加法运算；第二步：省略括号和加号．
3．读法：算式－20＋3＋5－7的读法：
(1)读法一：把每个数前面的符号看作数的正负号，读作：负20、正3、正5、负7的和．
(2)读法二：把每个数前面的符号看作运算符号，读作：负20加3加5减7.
知识点1：省略算式中的括号和加号(重点)
注：第一个加数的符号只能读作正或负．
1．有理数加减混合运算的方法：根据有理数的减法法则，首先把其中的减法运算转化为加法运算，然后利用加法运算法则或加法运算律进行计算．
2．步骤：
知识点2：有理数的加减混合运算(重难点)
【题型一】省略加号和括号的形式及读法
例1：把(－8)－(＋4)＋(－5)－(－2)写成省略加号和括号的形式是(　 　)
A．－8＋4－5＋2　　　B．－8－4－5＋2 　　　
C．－8－4＋5＋2 　　　D．8－4－5＋2
变式：式子－6－8＋10－5读作_________________，或__________________________．
B
负6减8加10减5
负6、负8、正10、负5的和
例2：计算：
(1)6＋(－14)－(－39)； (2)－7－(－11)＋(－9)－(＋2)；
解：(1)原式＝31.
【题型二】有理数的加减混合运算
(2)原式＝－7.
(3)原式＝－ .
(4)原式＝6.
变式：对于有理数a，b，c，d，定义运算(a，b)&(c，d)＝a＋b－c－d, 则 ＝_______．
例3：有人用600元买了一匹马，又以700元的价格卖了出去；然后，他再用800元把它买了回来，最后又以900元的价格卖了出去．在这匹马的交易中，他(　 　)
A．收支平衡　　　　 B．赚了100元　　　　
C．赚了300元　　　　 D．赚了200元
D
【题型三】有理数加减混合运算的应用
例4：某条河流的水位第一天上升了8 cm，第二天下降了7 cm，第三天又下降了9 cm，第四天上升了3 cm，经测量得知此时的水位为62.6 cm，则该河流的初始水位为_______cm.
67.6
例5：点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动7个单位，再向左移动4个单位，恰好到达原点，则点A表示的数是(　 　)
A．3 　　　　　　　　B．－1 　　　　　　　　
C．1 　　　　　　　　D．－3
D
【题型四】有理数加减混合运算在数轴上的应用
【教材P34】
1. 计算：
（1）1-4+3-0.5； （2）-2.4 + 3.5-4.6 + 3.5；
解：1-4+3-0.5
= -4-0.5 + 1 + 3
= -4.5 + 4
= -0.5；
-2.4 + 3.5-4.6+3.5
= -2.4-4.6 + 3.5 + 3.5
= -7 + 7
= 0；
【教材P34】
1. 计算：
（3）(-7)-(+5)+(-4)-(-10)；（4） .
(-7)-(+5)+(-4)-(-10)
= -7-5 - 4 + 10
= -16 + 10
= -6；
2. 将下列式子先改写成省略括号和加号的形式，再计算：
（1）(-52)-(+37)+(-19)-(-24)；
（2） .
（1）原式 = -52-37-19+24 = -108 +24 = -84；
（2）原式 = = = .
1. 计算：
【教材P34，习题2.2】
（1）(-10)+(+6)； （2）(+12)+(-4)；
（5）(-0.9)+(-2.7)； （6）(-2.1)+(+3.9)；
（3）(-5)+(-7)； （4）(+6.2)+(-9.3)；
-4
8
-12
-3.1
-3.6
1.8
（7） ； （8） ； （9） .
2. 计算：
（1）(-8)+ 10 + 2 +(-1)；
（2）5 +(-6)+ 3 + 9 +(-4)+(-7)；
（3）(-0.8)+ 1.2 +(-0.7)+(-2.1)+ 0.8 + 3.5；
（4） .
3
0
1.9
3. 计算：
（1）(-8)-8； （2）(-8)-(-8)； （3）8-(-8)；
（4）8-8； （5）0-6； （6）0-(-6)；
（7）16-47； （8）(-3.8)-(+7)； （9）(-5.9)-(-6.1).
-16
0
16
0
-6
6
-31
-10.8
0.2
4. 计算：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ；
（7） ； （8） .
1
-8
【教材P35】
5. 计算：
（1）-4.2+5.7-8.4+10； （2） ；
（3）12-(-18)+(-7)-15； （4）4.7-(-8.9)-7.5+(-6)；
（5） ；
（6） .
3.1
8
0.1
0
综合运用
6. 如图，陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差多少米？
解：8848.86－(－432)
= 8848.86 + 432
= 9280.86
答：两处高度相差 9280.86 m.
-432m
7. 某地一天早晨的气温是-7℃，中午上升了 11 ℃，半夜又下降了 9 ℃，半夜的气温是多少摄氏度？
解：－7 + 11－9 = －5
答：半夜的气温是 －5℃.
8. 某食品店一星期中各天的盈亏情况如下（记盈余为正）：
432 元，-12.5 元，-10.5 元，327 元，-87 元，536.5 元，698 元.
食品店这一星期总的盈亏情况如何？
解：432 +(－12.5) + (－10.5) + 327 + (－87) + 536.5 + 698 = 1883.5
答：食品店这一星期总盈利 1883.5 元.
9. 有 8 筐白菜，以每筐 25 kg 为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：kg）如下：
1.5，-3，2，-0.5，1，-2，-2，-2.5.
这 8 筐白菜一共多少千克？
解：1.5 +(－3) + 2 + (－0.5) + 1 + (－2) + (－2)+ (－2.5) = －5.5.
25×8 + (－5.5) = 194.5.
答：这 8 筐白菜一共 194.5 kg.
【教材P36】
10. 某地一星期内每天的最高气温与最低气温如下表所示，哪天的温差最大？哪天的温差最小？
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温℃ 10 12 11 9 7 5 7
最低气温℃ 2 1 0 -1 -4 -5 -5
解：从星期一至星期日各天的温差分别为
10－2 = 8（℃），12－1 = 11（℃），11－0 = 11（℃），
9－(－1) = 10（℃），7－(－4) = 11（℃），5－(－5) = 10（℃），
7－(－5) = 12（℃）.
8 < 10 < 11 < 12
答：星期日的温差最大，星期一的温差最小.
拓广探索
11. 填空题.
（1）_____+11 = 27； （2）7+______= 4；
（3）(-9)+____= 9； （4）12+_______= 0；
（5）(-8)+______= -15； （6）_____+(-13)= -6.
16
(－3)
18
(－12)
(－7)
7
12. 计算下列各式的值：
(-2)+(-2)，
(-2)+(-2)+(-2)，
(-2)+(-2)+(-2) +(-2) ，
(-2)+(-2)+(-2) +(-2) +(-2).
猜想下列各式的值：
(-2)×2， (-2)×3， (-2)×4， (-2)×5.
你能进一步猜出负数乘正数的法则吗？
－4
－6
－8
－10
－4
－6
－8
－10
法则：负数乘正数，积为负数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
13. 某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护. 某天早晨他们从 A 地出发，晚上最终到达 B 地，约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：km）如下：
+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8.
假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶.
（1）B 地在 A 地的哪个方向？它们相距多少千米？
（2）如果汽车行驶 1 km 平均耗油 a L，那么这天汽车共耗油多少升？
解：（1）(+18) + (－9) + (+7) + (－14) + (－6) + (+13) + (－6) + (－8) = －5.
答：B 地在 A 地的正南方向，它们相距 5 km.
（2）|+18| + |－9| + |+7| + |－14| + |－6| + |+13| + |－6| +
|－8| = 81，81×a = 81a.
答：这天汽车共耗油 81a L.
例6：根据如图所示的数轴，回答下列问题．
(1)写出点A表示的数的相反数和点B表示的数的绝对值；
(2)将点A先向右移动1个单位长度，再向左移动5个单位长度，得到点C，写出点C表示的数．
解：(1)点A表示的数的相反数是－3，点B表示的数的绝对值是2.
(2)点C表示的数是－1.
同学们，我们今天学习了有理数的加减混合运算，有理数的运算是我们学习初中知识的基础，大家一定要耐心细致．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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