资源简介

(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.2.1.1 有理数的乘法
副标题：掌握符号规则，理解乘法本质
背景图：左侧展示正数乘法示例 “3×2=6”，右侧展示负数与正数乘法示例 “(-3)×2=-6”“3×(-2)=-6”，下方展示负数乘法示例 “(-3)×(-2)=6”，用箭头标注 “符号规律：同号得正，异号得负”，直观呈现有理数乘法的核心符号特征。
幻灯片 2：学习目标
理解有理数乘法法则的推导过程，明确 “同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0”，能准确用文字和符号表述法则。
熟练掌握有理数乘法的符号规则，能快速判断两个有理数相乘的结果符号，再计算绝对值的乘积，确保运算准确。
掌握特殊数（1、-1、0）与任意有理数相乘的特性（如一个数乘 1 得本身，乘 - 1 得相反数，乘 0 得 0），简化运算过程。
能解决含有理数乘法的实际问题（如面积计算、速度与时间的路程计算等），体会乘法在实际场景中的意义，培养 “从具体到抽象” 的数学思维。
幻灯片 3：导入 —— 从实际情境推导乘法法则
情境 1：正数 × 正数（已学知识）
小明每天向东走 3 米，2 天后他向东走了多少米？（向东为正）
分析：每天走 + 3 米，2 天走 2 个 + 3 米，列式为\(3×2\)；
计算：\(3×2 = 6\)（米），结果为正，符合 “正数 × 正数 = 正数”。
情境 2：负数 × 正数（新场景）
小明每天向西走 3 米（记为 - 3 米），2 天后他向西走了多少米？
分析：每天走 - 3 米，2 天走 2 个 - 3 米，列式为\((-3)×2\)；
计算：\((-3) + (-3) = -6\)（米），结果为负，绝对值为\(3×2=6\)，即 “负数 × 正数 = 负数，绝对值相乘”。
情境 3：正数 × 负数（新场景）
小明每天向东走 3 米，2 天前他在当前位置的西边多少米？（“2 天前” 记为 - 2）
分析：每天走 + 3 米，2 天前的位置是当前位置减去 2 个 3 米，列式为\(3×(-2)\)；
计算：\(3×(-2) = -6\)（米），结果为负，绝对值为\(3×2=6\)，即 “正数 × 负数 = 负数，绝对值相乘”。
情境 4：负数 × 负数（新场景）
小明每天向西走 3 米（记为 - 3 米），2 天前他在当前位置的东边多少米？
分析：每天走 - 3 米，2 天前的位置是当前位置减去 2 个 - 3 米（即加上 2 个 3 米），列式为\((-3)×(-2)\)；
计算：\((-3)×(-2) = 6\)（米），结果为正，绝对值为\(3×2=6\)，即 “负数 × 负数 = 正数，绝对值相乘”。
提出问题：结合上述情境，能否总结出任意两个有理数相乘的通用法则？引出本节课核心 —— 有理数的乘法法则。
幻灯片 4：有理数乘法法则
法则表述：
符号规则：两数相乘，同号得正，异号得负；
绝对值规则：把两个数的绝对值相乘；
特殊情况：任何数与 0 相乘，都得 0。
符号语言总结：
若\(a>0\)，\(b>0\)或\(a<0\)，\(b<0\)（同号），则\(a×b = |a|×|b|\)（结果为正）；
若\(a>0\)，\(b<0\)或\(a<0\)，\(b>0\)（异号），则\(a×b = -(|a|×|b|)\)（结果为负）；
若\(a=0\)或\(b=0\)，则\(a×b = 0\)。
关键解读：
乘法运算分两步：先定符号（同号正、异号负），再算绝对值的乘积，避免符号与绝对值同时计算导致混乱；
“同号” 包括 “正正” 和 “负负”，“异号” 包括 “正负” 和 “负正”，覆盖所有两数相乘的符号组合；
0 是乘法中的 “中性数”，任何数与 0 相乘都得 0，无需判断符号。
幻灯片 5：有理数乘法的分类应用（分类型讲解）
1. 同号两数相乘（正 × 正、负 × 负）
示例 1：正 × 正（如\(4×5\)）
步骤：① 定符号：同号得正；② 算绝对值：\(4×5=20\)；③ 结果：\(20\)。
示例 2：负 × 负（如\((-3)×(-6)\)）
步骤：① 定符号：同号得正；② 算绝对值：\(3×6=18\)；③ 结果：\(18\)。
示例 3：负分数 × 负分数（如\((-\frac{1}{2})×(-\frac{2}{3})\)）
步骤：① 定符号：同号得正；② 算绝对值：\(\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\)；③ 结果：\(\frac{1}{3}\)。
2. 异号两数相乘（正 × 负、负 × 正）
示例 1：正 × 负（如\(5×(-2)\)）
步骤：① 定符号：异号得负；② 算绝对值：\(5×2=10\)；③ 结果：\(-10\)。
示例 2：负 × 正（如\((-4)×3\)）
步骤：① 定符号：异号得负；② 算绝对值：\(4×3=12\)；③ 结果：\(-12\)。
示例 3：正小数 × 负分数（如\(0.5×(-\frac{3}{4})\)）
步骤：① 定符号：异号得负；② 算绝对值：\(0.5×\frac{3}{4}=\frac{1}{2}×\frac{3}{4}=\frac{3}{8}=0.375\)；③ 结果：\(-0.375\)（或\(-\frac{3}{8}\)）。
3. 含 0 的乘法（任何数 ×0）
示例 1：\(0×(-7)\)：任何数与 0 相乘得 0，结果为\(0\)；
示例 2：\((-\frac{1}{3})×0\)：结果为\(0\)；
规律总结：无论另一个数是正数、负数、整数、分数还是小数，与 0 相乘的结果始终为 0，无需计算绝对值。
幻灯片 6：特殊数（1、-1）的乘法特性
1 的乘法特性：任何数与 1 相乘，都等于它本身，即\(a×1 = 1×a = a\)。
示例：\(5×1=5\)，\((-3)×1=-3\)，\(\frac{2}{5}×1=\frac{2}{5}\)，\(0×1=0\)。
-1 的乘法特性：任何数与 - 1 相乘，都等于它的相反数，即\(a×(-1) = (-1)×a = -a\)。
示例：\(5×(-1)=-5\)（5 的相反数），\((-3)×(-1)=3\)（-3 的相反数），\(\frac{2}{5}×(-1)=-\frac{2}{5}\)（\(\frac{2}{5}\)的相反数），\(0×(-1)=0\)（0 的相反数是 0）。
应用价值：利用 1 和 - 1 的乘法特性，可快速简化运算，如计算\((-8)×(-1)\)时，直接得出结果为 8（-8 的相反数），无需分步定符号和算绝对值。
幻灯片 7：有理数乘法的实际应用
例题 1：面积计算（含负长度的抽象场景）
在数轴相关的几何模型中，某矩形的一边长为 3（正方向长度），另一边长为 - 2（负方向长度，代表方向与正方向相反），求该矩形的 “代数面积”（用于表示位置或方向相关的面积概念）。
解答过程：
列式：\(3×(-2)\)；
计算：① 定符号：异号得负；② 算绝对值：\(3×2=6\)；③ 结果：\(-6\)；
结果解读：代数面积为 - 6，负号表示矩形的 “方向” 与正方向相反，绝对值 6 表示实际面积大小。
例题 2：行程问题（速度与时间的乘积）
一辆汽车以每小时 - 40 千米的速度行驶（负号表示向西行驶），行驶了 2.5 小时，求汽车行驶的路程（路程 = 速度 × 时间，向西为负方向）。
解答过程：
列式：\((-40)×2.5\)；
计算：① 定符号：异号得负；② 算绝对值：\(40×2.5=100\)；③ 结果：\(-100\)（千米）；
结果解读：汽车向西行驶了 100 千米，路程的负号表示行驶方向为西，绝对值 100 表示行驶的实际距离。
幻灯片 8：易错点辨析与注意事项
易错点 1：符号判断错误（尤其是负负相乘）
示例：计算\((-2)×(-3)\)时，误得\(-6\)（正确应为\(6\)，负负相乘同号得正）；或计算\((-5)×4\)时，误得\(20\)（正确应为\(-20\)，异号相乘得负）；
提醒：牢记符号规则 “同号得正，异号得负”，可先在草稿纸上标注两个数的符号（正√、负 ×），再判断结果符号，避免凭直觉判断。
易错点 2：含分数 / 小数乘法时，绝对值计算错误
示例：计算\((-\frac{2}{3})×(-\frac{3}{4})\)时，误算绝对值为\(\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{3}\)（此例正确，错误示例：\(\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{5}{7}\)，分数乘法分子乘分子、分母乘分母，而非分子分母分别相加）；或计算\((-0.2)×(-0.3)\)时，误得\(0.6\)（正确应为\(0.06\)，小数乘法需按整数乘法计算后点小数点）；
纠正：分数乘法需 “分子乘分子，分母乘分母”，能约分的先约分再计算；小数乘法先按整数乘法算，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
易错点 3：忽略含 0 的乘法（误认为 0 乘负数得负数）
示例：计算\(0×(-5)\)时，误得\(-5\)（正确应为\(0\)，任何数与 0 相乘都得 0）；或计算\((-\frac{1}{2})×0×3\)时，误得\(-\frac{3}{2}\)（正确应为\(0\)，多个数相乘，只要有一个因数为 0，结果就为 0）；
预防：看到乘法算式中含 0，直接得出结果为 0，无需计算其他因数，节省运算时间。
易错点 4：混淆 “-a×b” 与 “(-a)×b” 的符号
示例：计算\(-2×3\)时，误得\(6\)（正确应为\(-6\)，\(-2×3\)表示 “2×3 的相反数”，即\(-6\)；\((-2)×3\)也表示\(-6\)，此处结果巧合一致，但需明确含义）；或计算\(-(-3)×(-4)\)时，误得\(12\)（正确应为\(-12\)，先算\(-(-3)=3\)，再算\(3×(-4)=-12\)）；
强调：遇到含负号的乘法，先明确负号的归属（是因数的符号还是整体的相反数），可先将算式转化为 “标准形式”（如\(-a×b = -(a×b)\)，\((-a)×b = -a×b\)），再按法则计算。
幻灯片 9：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：判断符号并计算
\((-3)×(-4)\)：符号______，结果______（答案：正，12）；
\(5×(-6)\)：符号______，结果______（答案：负，-30）；
\(0×(-7.2)\)：结果______（答案：0）；
\((-\frac{1}{3})×(-\frac{3}{5})\)：符号______，结果______（答案：正，\(\frac{1}{5}\)）。
提升练习 2：特殊数乘法与混合类型
\((-8)×(-1) =\)______（答案：8，-1 乘一个数得它的相反数）；
\(0.4×(-\frac{5}{2}) =\)______（答案：-1，先定符号为负，再算\(0.4×2.5=1\)，结果为 - 1）；
\((-\frac{2}{3})×(-\frac{3}{2})×(-5) =\)______（答案：-5，先算前两个数相乘得 1，再算\(1×(-5)=-5\)）。
拓展练习 3：实际应用
某冷冻库的温度每小时下降 3℃（记为 - 3℃/ 小时），4 小时后温度下降了多少℃？若初始温度为 10℃，4 小时后温度是多少℃？（答案：下降了 12℃，4 小时后温度为 - 2℃）。
幻灯片 10：课堂小结
核心知识回顾：
有理数乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0；
运算步骤：先定符号（同号正、异号负），再算绝对值的乘积；
特殊数特性：1 乘任何数得本身，-1 乘任何数得相反数，0 乘任何数得 0；
实际应用：用于计算路程（速度 × 时间）、代数面积（边长 × 边长）等含方向或正负的场景。
思想方法总结：
从具体到抽象思想：通过实际情境（向东 / 西走、时间前后）推导抽象的乘法法则，理解法则的现实意义；
分类思想：按因数的符号（同号、异号、含 0）分类讨论，覆盖所有乘法场景，确保法则的全面性。
学习建议：
计算时严格遵循 “先定符号，再算绝对值” 的步骤，避免符号错误；
熟练掌握特殊数的乘法特性，利用其简化运算（如遇 1、-1、0 可快速得出结果）；
多结合实际问题练习，理解乘法结果中符号的意义（如方向、正负趋势），避免机械计算。
幻灯片 11：课后作业布置
基础巩固：完成教材对应练习题，计算整数、分数、小数的有理数乘法；
实践任务：记录家庭一周的用电量变化（以某一基准电量为 0，增加为正，减少为负），计算每天用电量与 - 1 的乘积（得到相反变化量），分析一周的用电趋势；
拓展思考：探究 “多个有理数相乘的符号规则”（如 3 个负数相乘得负，4 个负数相乘得正），下节课分享你的结论。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.1.1有理数的乘法
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 经历探索、归纳有理数乘法法则的过程，发展学生观察、归纳、猜测、验证等能力．
2．通过学生自主探究，理解有理数的乘法法则，能运用乘法法则准确、熟练地进行有理数的乘法运算，提高学生理解和应用的能力．
重点
难点
情境导入
如图，有甲乙两座水库，甲水库的水位每天升高 3 cm ，乙水库的水位每天下降 3 cm . 如果用“+”号表示水位的上升、用“ ”号表示水位的下降, 请用算式表示，4 天后甲、乙水库水位的总变化量分别是多少？
请同学们计算：（-10）+（-10）+（-10）+（-10）+（-10），
这个式子还能怎么表示？
猜想（-10）×5的结果是多少？
（-10）×8的结果呢？
问题导入
请同学们观看视频：
视频导入
1.请同学们观察课本38页思考(1)中的算式，你能发现什么规律？
2．如果这个规律在引入负数后依然成立，那么应有：
3×(－1)＝_______；　　　3×(－2)＝_______；
3×(－3)＝_______；　　　3×(－4)＝_______．
第一个乘数不变，随着第二个乘数逐次减1，积逐次减3.正数乘正数，积为正数．正数乘0，结果仍是0
－3
－6
－9
－12
3．思考：从符号和绝对值两个角度观察2中4个算式，你能发现什么规律？
4．请同学们完成课本39页思考．完成填空：
(－3)×(－1)＝____；　(－3)×(－2)＝____；
(－3)×(－3)＝____；　 (－3)×(－4)＝____．
正数乘负数，积为负数，积的绝对值等于乘数的绝对值的积
3
6
9
12
5．从符号和绝对值两个角度观察4中4个算式，你能发现什么规律？
6．总结上面所有的情况，你能试着自己总结出有理数的乘法法则吗？
7．请同学们阅读课本39页“用字母表示有理数乘法法则”．
负数乘负数，积为正数，积的绝对值等于乘数的绝对值的积
两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积．任何数与0相乘，都得0
8. 完成例1后，回忆：小学学习过乘积为1的两个正数是什么关系？
互为倒数
1.讨论：倒数等于它本身的数有哪些？
1和－1
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
1．有理数的乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积．任何数与0相乘，都得0.
2．有理数乘法的运算步骤：第一步：确定积的符号；第二步：将绝对值相乘．
知识点1：有理数的乘法(重难点)
注：在乘法算式中，若第一个数是负数，则该数可以不加括号；若负数不在首位，则该负数必须加括号．
1．乘积是1的两个数互为倒数．
2．求一个有理数的倒数的方法：
知识点2：有理数的倒数(重点)
数的特点 方法 举例
非零整数a(a≠0)
真分数或假分数 分子、分母颠倒位置
带分数 先化为假分数，再将分子、分母颠倒位置
小数 先化为分数，再将分子、分母颠倒位置
注：倒数是指两个数之间的关系，可以说一个数是另一个数的倒数，或两个数互为倒数，但不能说某一个数是倒数．
【题型一】有理数的乘法法则
例1：(1)(＋8)×(＋3)＝＋(8×____)＝______；
(4)(－2 024)×0＝____．
3
24
0
＋
2
－
－2
－63
45
－0.8
6
－1
6
例2：(1)一个数的相反数是 ，那么这个数的倒数是____；
(2)倒数等于它本身的数是__________；
(3)|－5|的相反数的倒数是____．
【题型二】倒数
－2
1或－1
C
例3：已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，求式子(a＋b)＋2m－cd的值．
解：由题意，得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝2，
所以m＝±2.
当m＝2时，原式＝0＋4－1＝3；
当m＝－2时，原式＝0－4－1＝－5.
综上，式子(a＋b)＋2m－cd的值为3或－5.
例4：用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．某登山队攀登一座山峰，每登高1千米气温的变化量为－6 ℃.攀登3千米后，气温______(填“上升”或“下降”)了____℃.
【题型三】有理数乘法的应用
下降
18
变式：某超市现有20筐白菜，以每筐18千克为标准，超过和不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
与标准质量的差值(单位：千克) －3.5 －2 －1.5 0 1 2.5
筐数 2 4 2 1 3 8
(1)这20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重____千克；
6
与标准质量的差值(单位：千克) －3.5 －2 －1.5 0 1 2.5
筐数 2 4 2 1 3 8
(2)与标准质量比较，这20筐白菜总计超过或不足多少千克？
(3)若该超市参与了“送温暖惠民工程”，白菜每千克的售价为1.8元，则出售这20筐白菜可卖多少元？
(3)18×20＋5＝365(千克)，365×1.8＝657(元)．
答：出售这20筐白菜可卖657元．
解：(2)(－3.5)×2＋(－2)×4＋(－1.5)×2＋0×1＋1×3＋2.5×8＝5(千克)．
答：这20筐白菜总计超过5千克．
【教材P40】
1. 计算：
（1）6×(-9)； （2）(-4)×6； （3）(-6)×(-1)；
（4）(-6)×0； （5）(-4)× ；（6） .
-54
-24
6
0
-1
2. 商店降价销售某种商品，每件降 5 元，售出 60 件. 与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？
解：-5×60 = -300
答：销售额下降 300 元.
3. 写出下列各数的倒数：
解：其倒数依次为
1. ［2025济宁月考］时光见证信仰，岁月磨砺初心.2025年，
我们迎来了祖国母亲76周年华诞，数字76的相反数的倒数是
( )
D
A. 76 B. C. D.
返回
2. 若的运算结果为正数，则 内的数字可以为
( )
D
A. 2 B. 1 C. 0 D.
返回
3. 与 互为倒数的是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】因为，所以与 互
为倒数的是.A.；B.；C. ；
D. .故选D.
返回
4. 下列说法：
①小于 的数的倒数大于其本身；
②大于1的数的倒数小于其本身；
的倒数是0；
④互为相反数的两数相乘，积一定为负；
⑤两个有理数的积的绝对值等于这两个有理数的绝对值的积.
其中正确的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
通过本节课的学习，你都学会了什么？
有理数的乘法法则；有理数倒数的意义
同学们，这节课我们通过发现、猜想、归纳、验证得出了有理数的乘法法则，相信大家都收获了很多．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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