资源简介

(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.2.1.2 有理数的乘法运算律
副标题：巧用运算律，简化乘法运算
背景图：左侧展示乘法交换律示例 “\((-2)×3=3×(-2)\)”，中间展示结合律示例 “\([(-2)×3]×4=(-2)×[3×4]\)”，右侧展示分配律示例 “\((-2)×(3+4)=(-2)×3+(-2)×4\)”，用箭头标注 “运算律：改变顺序 / 组合，结果不变”，直观呈现三大乘法运算律的核心特征。
幻灯片 2：学习目标
理解有理数乘法的交换律、结合律和分配律的定义，能准确用文字和字母表述（如交换律\(a×b = b×a\)），明确运算律对所有有理数乘法均成立。
熟练运用乘法运算律简化运算，掌握 “凑整结合”“同号结合”“分配律拆分” 等技巧，提高运算速度与准确性，尤其能处理含分数、小数的复杂乘法运算。
能区分乘法运算律与加法运算律的异同，避免混淆，同时能综合运用乘法与加法运算律解决混合运算问题，培养 “优化运算” 的数学思维。
体会运算律在实际问题中的应用（如批量计算、分配问题），感受数学的简洁性与实用性，提升逻辑推理能力。
幻灯片 3：导入 —— 从乘法运算的 “不变性” 切入
复习回顾：
有理数乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0；
基础乘法计算：\((-3)×4=-12\)，\(4×(-3)=-12\)；\([(-2)×5]×3=-30\)，\((-2)×[5×3]=-30\)。
提出问题：
观察上述计算，\((-3)×4\)与\(4×(-3)\)结果相同，\([(-2)×5]×3\)与\((-2)×[5×3]\)结果也相同，这是否是普遍规律？此外，像\((-2)×(3+4)\)这样的 “一个数乘和” 的运算，能否拆分成 “分别相乘再相加”？引出本节课核心 —— 有理数的乘法运算律。
幻灯片 4：乘法交换律
定义推导：
实例观察：
\(2×(-5) = -10\)，\((-5)×2 = -10\)，故\(2×(-5) = (-5)×2\)；
\((-3)×(-4) = 12\)，\((-4)×(-3) = 12\)，故\((-3)×(-4) = (-4)×(-3)\)；
\(0×(-6) = 0\)，\((-6)×0 = 0\)，故\(0×(-6) = (-6)×0\)。
归纳定义：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变，这就是乘法交换律。
符号语言：\(\boxed{a×b = b×a}\)（可简记为\(ab = ba\)，\(a、b\)为任意有理数）。
应用价值：
交换律可调整因数的顺序，将便于计算的因数（如能凑整、互为倒数）放在一起，简化运算。例如计算\((-\frac{1}{2})×(-4)×3\)时，利用交换律先算\((-\frac{1}{2})×(-4)=2\)，再算\(2×3=6\)，比按原顺序计算更简便。
幻灯片 5：乘法结合律
定义推导：
实例观察：
\([(-2)×3]×(-4) = (-6)×(-4) = 24\)，\((-2)×[3×(-4)] = (-2)×(-12) = 24\)，故\([(-2)×3]×(-4) = (-2)×[3×(-4)]\)；
\((0.5×(-3))×2 = (-1.5)×2 = -3\)，\(0.5×[(-3)×2] = 0.5×(-6) = -3\)，故\((0.5×(-3))×2 = 0.5×[(-3)×2]\)。
归纳定义：三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，这就是乘法结合律。
符号语言：\(\boxed{(a×b)×c = a×(b×c)}\)（可简记为\((ab)c = a(bc)\)，\(a、b、c\)为任意有理数）。
应用价值：
结合律可改变乘法的运算顺序，将能凑整的数（如\(25×4=100\)，\(0.125×8=1\)）或同分母分数结合，减少计算步骤。例如计算\((-8)×(-\frac{1}{4})×(-3)\)时，先结合\((-8)×(-\frac{1}{4})=2\)，再算\(2×(-3)=-6\)，避免直接计算\((-\frac{1}{4})×(-3)=\frac{3}{4}\)后再乘\(-8\)的复杂分数运算。
幻灯片 6：乘法分配律（核心与难点）
定义推导：
实例观察（正数分配律迁移）：
\(2×(3 + 4) = 2×7 = 14\)，\(2×3 + 2×4 = 6 + 8 = 14\)，故\(2×(3 + 4) = 2×3 + 2×4\)；
负数扩展验证：
\((-2)×(3 + 4) = (-2)×7 = -14\)，\((-2)×3 + (-2)×4 = -6 + (-8) = -14\)，故\((-2)×(3 + 4) = (-2)×3 + (-2)×4\)；
\(3×[(-2) + (-5)] = 3×(-7) = -21\)，\(3×(-2) + 3×(-5) = -6 + (-15) = -21\)，故\(3×[(-2) + (-5)] = 3×(-2) + 3×(-5)\)。
归纳定义：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，这就是乘法分配律。
符号语言：\(\boxed{a×(b + c) = a×b + a×c}\)（可简记为\(a(b + c) = ab + ac\)，\(a、b、c\)为任意有理数），反向应用为\(\boxed{ab + ac = a(b + c)}\)。
关键拓展：
分配律可扩展到多个数的和，如\(a(b + c + d) = ab + ac + ad\)；也可反向用于 “提取公因数”，如\(ab - ac = a(b - c)\)（将减法转化为加法，\(ab + a(-c) = a(b - c)\)）。
幻灯片 7：乘法运算律的综合应用（分类型示例）
示例 1：利用交换律与结合律简化（凑整结合）
计算：\((-25)×(-4)×(-8)×0.125\)
解答过程：
观察因数特征：\(-25\)与\(-4\)凑整（积为 100），\(-8\)与\(0.125\)凑整（积为 - 1）；
应用交换律与结合律：\([(-25)×(-4)]×[(-8)×0.125]\)；
分步计算：\(100×(-1) = -100\)；
结果：\(-100\)。
示例 2：利用结合律简化（分数 / 小数结合）
计算：\((-\frac{1}{3})×(-6)×(-\frac{2}{5})×(-5)\)
解答过程：
分数结合：\((-\frac{1}{3})×(-6) = 2\)，\((-\frac{2}{5})×(-5) = 2\)；
应用结合律：\([(-\frac{1}{3})×(-6)]×[(-\frac{2}{5})×(-5)]\)；
计算结果：\(2×2 = 4\)；
结果：\(4\)。
示例 3：利用分配律简化（正向拆分）
计算：\((-12)×(\frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3})\)
解答过程：
应用分配律：\((-12)×\frac{1}{4} - (-12)×\frac{1}{6} + (-12)×\frac{1}{3}\)；
分别计算：
\((-12)×\frac{1}{4} = -3\)；
\(-(-12)×\frac{1}{6} = 2\)；
\((-12)×\frac{1}{3} = -4\)；
合并结果：\(-3 + 2 - 4 = -5\)；
结果：\(-5\)。
示例 4：利用分配律简化（反向提取公因数）
计算：\((-3)×5 + (-3)×(-7) - (-3)×2\)
解答过程：
观察公因数：各项均含因数\(-3\)，反向应用分配律；
提取公因数：\((-3)×[5 + (-7) - 2]\)；
计算括号内：\(5 - 7 - 2 = -4\)；
最终计算：\((-3)×(-4) = 12\)；
结果：\(12\)。
幻灯片 8：乘法运算律的实际应用
例题 1：批量采购费用计算
某学校采购三种文具，每种文具的单价和数量如下：笔记本每本\(-2.5\)元（负号表示支出，单价 2.5 元），采购 120 本；钢笔每支\(-8\)元，采购 30 支；橡皮每块\(-1.2\)元，采购 50 块。求采购三种文具的总支出。
解答过程：
列式：\((-2.5)×120 + (-8)×30 + (-1.2)×50\)；
分别计算各项支出：
笔记本：\((-2.5)×120 = -300\)（元）；
钢笔：\((-8)×30 = -240\)（元）；
橡皮：\((-1.2)×50 = -60\)（元）；
总支出：\(-300 + (-240) + (-60) = -600\)（元）；
结果解读：总支出为 600 元，负号表示支出方向。
例题 2：分配问题（含负数的工作量分配）
某工程队三天的工作量分别为\(+15\)（完成 15 单位）、\(-5\)（未完成 5 单位，需补做）、\(+10\)（完成 10 单位），每天的人工成本为\(-800\)元 / 单位工作量（负号表示成本支出），求三天的总人工成本。
解答过程：
总工作量：\(15 + (-5) + 10 = 20\)（单位）；
总人工成本：\((-800)×20 = -16000\)（元）；
或用分配律：\((-800)×15 + (-800)×(-5) + (-800)×10 = -12000 + 4000 - 8000 = -16000\)（元）；
结果解读：总人工成本为 16000 元，负号表示成本支出。
幻灯片 9：易错点辨析与注意事项
易错点 1：分配律应用时漏乘或符号错误
示例：计算\((-2)×(3 - 4)\)时，误得\((-2)×3 - 4 = -6 - 4 = -10\)（正确应为\((-2)×3 - (-2)×4 = -6 + 8 = 2\)，漏乘第二个数\(-4\)，且符号错误）；
提醒：应用分配律时，“一个数” 需与括号内的每一项相乘，包括符号，可在括号内各项前补 “+” 号（如\(3 - 4 = +3 + (-4)\)），再逐项分配，避免漏乘。
易错点 2：交换律 / 结合律应用时，符号未跟随因数移动
示例：计算\((-3)×4×(-2)\)时，误交换为\(-3×2×(-4) = -6×(-4) = 24\)（结果正确，但过程错误，应将 “\(-2\)” 作为整体移动，而非单独移动 “2”）；或计算\([(-2)×(-3)]×(-4)\)时，误结合为\((-2)×[(3)×(-4)] = -2×(-12) = 24\)（错误，\(-3\)的负号未跟随，应保持因数完整）；
纠正：交换或结合因数时，需将因数的符号与数字作为整体移动（如 “\(-2\)”“\(+4\)” 是完整因数），确保因数不变，避免符号遗漏。
易错点 3：混淆乘法与加法运算律（如用错符号规则）
示例：计算\((-2)×(3 + 4)\)时，误按加法结合律计算为\((-2 + 3)×(-2 + 4) = 1×2 = 2\)（错误，加法结合律不适用于乘法，应按乘法分配律计算）；
强调：明确乘法运算律（交换、结合、分配）与加法运算律（交换、结合）的适用场景，乘法运算律仅用于乘法或乘加混合，且符号规则遵循乘法法则（同号正、异号负）。
易错点 4：反向分配律提取公因数时，符号错误
示例：计算\((-5)×3 + 5×(-2)\)时，误提取公因数为\(5×(3 + (-2)) = 5×1 = 5\)（正确应为\(-5×(3 + 2) = -5×5 = -25\)，公因数应为 “\(-5\)”，而非 “\(5\)”）；
预防：提取公因数前，观察各项符号，统一公因数的符号（如将\(5×(-2)\)转化为\(-5×2\)），确保各项均含相同公因数后再提取，避免符号错误。
幻灯片 10：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：运算律的直接应用
\((-5)×6 = 6×(-5)\)，应用了乘法______律（答案：交换）；
\([(-2)×3]×(-4) = (-2)×[3×(-4)]\)，应用了乘法______律（答案：结合）；
\((-4)×(2 + 3) = (-4)×2 + (-4)×3\)，应用了乘法______律（答案：分配）。
提升练习 2：利用运算律简化计算
\((-0.25)×(-4)×(-7) =\)______（答案：\([(-0.25)×(-4)]×(-7) = 1×(-7) = -7\)）；
\((-18)×(\frac{2}{9} - \frac{1}{3}) =\)______（答案：\((-18)×\frac{2}{9} - (-18)×\frac{1}{3} = -4 + 6 = 2\)）；
$(-3)×5 + (-3)×(-
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.1.2有理数的乘法运算律
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过学生自主探究，理解并掌握有理数的乘法运算律，并能应用乘法运算律解决问题，提高学生的运算能力．
2．通过观察、归纳、猜想、验证等过程，探索多个非零有理数相乘时，积的符号的确定方法，提高学生的观察、归纳能力．
重点
难点
旧知回顾
有理数的乘法法则是什么？
两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积．任何数与0相乘，都得0
类比导入
请同学们计算：4×0.8×125×25，（-4）×0.8×（-125）×25.
说说你是如何计算的.
小学学习的乘法的运算律在计算有理数的乘法时还仍然适用吗？
同学们，老师这里有5张写着不同有理数的卡片，从中抽出几张卡片，并将这几张卡片上的数字相乘.
（1）若抽出两张，则哪两张卡片所得的积最大？最大是多少？
（2）若抽出三张，则哪三张卡片所得的积最小？最小是多少？
活动导入
请同学们回忆小学阶段学习的乘法运算律.
复习导入
《02》
新知探究
1.请同学们阅读课本41页，思考并回答下面的问题：
①计算：3×(－7)＝______，(－7)×3＝______；
(－4)×(－5)＝______，(－5)×(－4)＝_______；
3×(－7)______(－7)×3，(－4)×(－5)______(－5)×(－4)．
由上可以发现：两个数相乘，______乘数的位置，_____不变，即ab＝____．这就是乘法交换律．
－21
－21
20
20
＝
＝
交换
积
ba
②计算：[2×(－3)]×(－4)＝____；
2×[(－3)×(－4)]＝____；
[2×(－3)]×(－4)____2×[(－3)×(－4)]．
由上可以发现：三个数相乘，先把_________相乘，或者先把__________相乘，____不变，即(ab)c＝_______．这就是乘法结合律．
24
24
＝
前两个数
后两个数
积
a(bc)
③计算：5×[3＋(－6)]＝_______；
5×3＋5×(－6)＝_______；
5×[3＋(－6)]_______5×3＋5×(－6)．
由上可以发现：一个数与两个数的_______相乘，等于把这个数分别与这两个数_______，再把______相加，即a(b＋c)＝____________．这就是分配律．
－15
－15
＝
和
相乘
积
ab＋ac
2．请同学们观察课本42页探究中的式子，它们的积是正的还是负的？思考：几个不为0的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系？如果有乘数为0，那么积有什么特点？
第一、三个式子积为正，第二个式子积为负．几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是奇数时，积为负数；负的乘数的个数是偶数时，积为正数．如果其中有乘数为0，那么积为0
小组合作完成课本43页练习1，2题．
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
知识点1：有理数的乘法运算律(重难点)
运算律 语言叙述 字母表示
乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变
乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变
乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加
(ab)c＝a(bc)
ab＝ba
a(b＋c)＝ab＋ac
注：(1)利用乘法分配律时，必须把括号外的数和括号内的每一个数都相乘，切不可漏乘；
(2)利用交换律时，要将数连同它本身的符号一起交换．
知识点2：多个有理数相乘(难点)　
1．几个有理数相乘
偶正奇负
2．多个有理数相乘的计算步骤：
(1)观察算式的乘数中是否有0，若有0，则积为0；
(2)若乘数中没有0，则根据负乘数的个数确定积的符号；
(3)将每个乘数的绝对值相乘得到积的绝对值．
注：多个非零有理数相乘时，积的符号只与负乘数的个数有关．
【题型一】积的符号的确定
例1：下列结论正确的是(　 　)
A．两数之积为正，这两数同为正
B．两数之积为负，这两数异号
C．几个数相乘，积的符号由负乘数的个数决定
D．三数相乘，积为负，这三个数都是负数
B
例2：有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则abc________0，abcd________0.(填“>”“<”或“＝”)
＜
＜
例3：对于算式2 024×(－8)＋(－2 024)×(－18)，利用分配律写成积的形式是(　 　)
A．2 024×(－8－18)　　　　　　　　　　　
B．－2 024×(－8－18)
C．2 024×(－8＋18)　　　　　
D．－2 024×(－8＋18)
C
【题型二】有理数的乘法运算律
例4：用简便方法计算：
(1)(－5)×(－9.7)×(－2)；
(2)(－2.5)×0.37×1.25×(－4)×(－8)；
解：(1)原式＝(－5)×(－2)×(－9.7)＝－10×9.7＝－97.
(2)原式＝(－2.5)×(－4)×1.25×(－8)×0.37＝－10×10×0.37＝－37.
【教材P43】
1. 计算：
（1）(-85)×(-25)×(-4)；
解： (-85)×(-25)×(-4)
= -85×25×4
= -85×(25×4)
= -85×100
= -8500
（2） ；
（4） .
（3） ；
1. 下列运算过程中，错误的是( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
2. 小康在计算一道老师布置的作业题：计
算 时，老师告诉他：“被 盖住的数是, ,
53,95其中一个，并且这道题直接计算非常简便，”则算式中
被 盖住的数是( )
B
A. B.
C. 53 D. 95
【点拨】依题意，被 盖住的数是, ,53,95其中一个，
且被 盖住的数是17的倍数，所以算式中被 盖住的数是 .
返回
3. 在整数， ，0，6，2中，若选取两个整数分别
填入“”的和 中，并使等式成立，则选取后
填入“ ”的数字有( )
D
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
【点拨】从5个数中选出使等式成立的组合有 ，
，乘法满足交换律，故有4种选择.此题易忽略乘
法交换律而漏解.
返回
4. 2 025个有理数相乘，如果积为0，那么在2 025个有理数
中( )
C
A. 全部为0 B. 只有一个数为0
C. 至少有一个数为0 D. 有两个数互为相反数
返回
本节课我们学习了哪些知识？
有理数的乘法运算律；多个非零有理数相乘时积的符号与负乘数个数的关系
通过本节课的学习，我们发现，运算的应用十分灵活，各种运算律常常是混合应用的，这就要求我们要有较好的掌握运算律进行计算的能力，能发现最佳解题途径，不断总结经验，使自己的能力得到提高！
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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