资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.3.1.1 有理数的乘方
副标题：理解乘方本质，掌握符号规则
背景图：左侧展示乘方的直观示例 “\(2×2×2=2^3\)”“\((-3)×(-3)=(-3)^2\)”，右侧用文字标注 “求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方”，下方呈现乘方各部分名称（底数、指数、幂），直观呈现乘方的核心概念。
幻灯片 2：学习目标
理解有理数乘方的定义，明确乘方是 “求 n 个相同因数的积的运算”，能准确识别乘方表达式中的底数、指数和幂，掌握乘方的表示方法（\(a^n\)）。
熟练掌握有理数乘方的符号规则（正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正，0 的正整数次幂为 0），能快速判断乘方结果的符号。
能正确计算有理数的乘方（含正数、负数、0 的乘方），区分\(-a^n\)与\((-a)^n\)的不同含义，避免运算错误。
体会乘方与乘法的关联（乘方是特殊的乘法），培养从特殊到一般的数学思维，为后续有理数混合运算奠定基础。
幻灯片 3：导入 —— 从特殊乘法到乘方的过渡
复习回顾：
乘法运算：求几个相同加数的和用乘法（如\(3+3+3+3=3×4\)）；
特殊乘法示例：
\(2×2×2\)（3 个 2 相乘）；
\((-3)×(-3)×(-3)×(-3)\)（4 个 - 3 相乘）；
\(\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}\)（5 个\(\frac{1}{2}\)相乘）。
提出问题：
当多个相同因数相乘时（如 10 个 5 相乘），用乘法表示会非常繁琐，有没有更简洁的数学符号来表示这种运算？引出本节课核心 —— 有理数的乘方。
幻灯片 4：有理数乘方的定义与表示方法
定义表述：
求 n 个相同因数 a 的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作 “\(a^n\)”，读作 “a 的 n 次幂” 或 “a 的 n 次方”。
各部分名称解读：
底数（a）：相同的因数，可表示任意有理数（正数、负数、0）；
指数（n）：相同因数的个数，为正整数（目前阶段学习正整数指数幂）；
幂（\(a^n\)）：乘方运算的结果，既表示 “运算”，也表示 “结果”（如\(2^3\)既表示 “3 个 2 相乘”，也表示结果 “8”）。
表示方法示例：
\(3×3×3×3\)（4 个 3 相乘）记作\(3^4\)，其中底数是 3，指数是 4，幂是\(3^4\)；
\((-2)×(-2)×(-2)\)（3 个 - 2 相乘）记作\((-2)^3\)，底数是 - 2，指数是 3，幂是\((-2)^3\)；
\(\frac{1}{5}×\frac{1}{5}\)（2 个\(\frac{1}{5}\)相乘）记作\((\frac{1}{5})^2\)，底数是\(\frac{1}{5}\)，指数是 2，幂是\((\frac{1}{5})^2\)。
注意事项：
当底数是负数或分数时，必须用括号将底数括起来，避免歧义。例如：“3 个 - 2 相乘” 记作\((-2)^3\)，不能写成\(-2^3\)（\(-2^3\)表示 “2^3 的相反数”）；“2 个\(\frac{1}{2}\)相乘” 记作\((\frac{1}{2})^2\)，不能写成\(\frac{1}{2^2}\)（\(\frac{1}{2^2}\)表示 “2^2 的倒数”）。
幻灯片 5：有理数乘方的计算方法（分类型讲解）
1. 正数的乘方
规则：正数的任何次幂都是正数，计算时直接将底数的绝对值相乘 n 次。
示例：
\(2^3 = 2×2×2 = 8\)；
\((\frac{3}{4})^2 = \frac{3}{4}×\frac{3}{4} = \frac{9}{16}\)；
\(1.5^2 = 1.5×1.5 = 2.25\)。
2. 负数的乘方
规则：负数的乘方结果符号由指数的奇偶性决定 —— 指数为奇数时，结果为负；指数为偶数时，结果为正（“奇负偶正”），计算时先确定符号，再将底数的绝对值相乘 n 次。
示例：
\((-2)^3\)：指数 3 是奇数，结果为负，绝对值计算\(2×2×2=8\)，故\((-2)^3 = -8\)；
\((-3)^4\)：指数 4 是偶数，结果为正，绝对值计算\(3×3×3×3=81\)，故\((-3)^4 = 81\)；
\((-\frac{1}{2})^5\)：指数 5 是奇数，结果为负，绝对值计算\(\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{32}\)，故\((-\frac{1}{2})^5 = -\frac{1}{32}\)。
3. 0 的乘方
规则：0 的任何正整数次幂都是 0（因为 0 乘任何数都得 0）；0 的 0 次幂无意义（后续学习中会明确，目前阶段不涉及）。
示例：
\(0^2 = 0×0 = 0\)；
\(0^5 = 0×0×0×0×0 = 0\)。
幻灯片 6：关键辨析 ——\(-a^n\)与\((-a)^n\)的区别
1. 含义不同：
\(-a^n\)：表示 “a 的 n 次幂的相反数”，运算顺序是 “先算 a 的 n 次幂，再取相反数”，底数是 a，指数是 n，负号在乘方运算之外；
\((-a)^n\)：表示 “n 个 - a 相乘”，运算顺序是 “先将 - a 作为底数，再算 n 次幂”，底数是 - a，指数是 n，负号在底数内。
2. 计算示例对比：
表达式
底数
指数
计算过程
结果
\(-2^3\)
2
3
\(-(2×2×2) = -8\)
-8
\((-2)^3\)
-2
3
\((-2)×(-2)×(-2) = -8\)
-8
\(-3^4\)
3
4
\(-(3×3×3×3) = -81\)
-81
\((-3)^4\)
-3
4
\((-3)×(-3)×(-3)×(-3) = 81\)
81
3. 规律总结：
当 n 为奇数时，\(-a^n\)与\((-a)^n\)结果相等（如\(-2^3 = (-2)^3 = -8\)）；
当 n 为偶数时，\(-a^n\)与\((-a)^n\)结果互为相反数（如\(-3^4 = -81\)，\((-3)^4 = 81\)）。
幻灯片 7：有理数乘方的应用示例
例题 1：计算下列各数的乘方：
\((-4)^2\)；2. \(-4^2\)；3. \((\frac{2}{3})^3\)；4. \(-(\frac{2}{3})^3\)；5. \(0^{10}\)。
解答过程：
\((-4)^2\)：底数 - 4，指数 2（偶数），结果为正，\((-4)×(-4)=16\)；
\(-4^2\)：先算\(4^2=16\)，再取相反数，结果为 - 16；
\((\frac{2}{3})^3\)：底数\(\frac{2}{3}\)（正数），结果为正，\(\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{8}{27}\)；
\(-(\frac{2}{3})^3\)：先算\((\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}\)，再取相反数，结果为\(-\frac{8}{27}\)；
\(0^{10}\)：0 的正整数次幂，结果为 0。
例题 2：根据乘方结果判断指数的奇偶性：
已知\((-a)^n = -a^n\)（\(a≠0\)），判断 n 是奇数还是偶数？
解答过程：
若 n 为奇数：\((-a)^n = -a^n\)（如\((-2)^3 = -2^3 = -8\)），符合条件；
若 n 为偶数：\((-a)^n = a^n\)，而\(-a^n\)是\(a^n\)的相反数，两者不相等（如\((-2)^4 = 16\)，\(-2^4 = -16\)）；
故 n 是奇数。
幻灯片 8：易错点辨析与注意事项
易错点 1：底数为负数或分数时，漏加括号：
示例：将 “3 个 -\(\frac{1}{2}\)相乘” 误写成\(-\frac{1}{2}^3\)（正确应为\((-\frac{1}{2})^3\)），导致计算结果错误（\(-\frac{1}{2}^3 = -\frac{1}{8}\)，\((-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}\)，此处结果巧合相等，但含义不同；若指数为偶数，如\(-\frac{1}{2}^4 = -\frac{1}{16}\)，\((-\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}\)，结果完全相反）；
提醒：底数是负数或分数时，必须用括号将底数整体括起，明确底数范围，避免符号或运算顺序错误。
易错点 2：混淆\(-a^n\)与\((-a)^n\)的运算顺序：
示例：计算\(-(-2)^2\)时，误得 4（正确应为\(-[(-2)×(-2)] = -4\)）；或计算\((-(-3))^3\)时，误得 - 27（正确应为\(3^3 = 27\)）；
纠正：遇到含多重符号的乘方，先确定底数（括号内的整体），再计算乘方，最后处理括号外的符号，遵循 “先内层括号，再乘方，最后外层符号” 的顺序。
易错点 3：错误认为 “任何数的乘方都是正数”：
示例：认为\((-3)^3 = 27\)（错误，指数 3 是奇数，结果应为 - 27）；或认为\(0^5 = 5\)（错误，0 的任何正整数次幂都是 0）；
预防：牢记乘方符号规则 —— 负数的奇次幂为负，0 的正整数次幂为 0，只有正数的任何次幂和负数的偶次幂是正数。
易错点 4：计算时忽略指数的意义（将指数与底数相乘）：
示例：计算\(2^3\)时，误得\(2×3 = 6\)（正确应为\(2×2×2 = 8\)）；或计算\(3^4\)时，误得\(3×4 = 12\)（正确应为\(3×3×3×3 = 81\)）；
强调：指数表示 “相同因数的个数”，不是 “与底数相乘”，乘方是 “相同因数的积”，不是 “底数与指数的积”，需明确乘方与乘法的本质区别。
幻灯片 9：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：识别乘方的底数、指数并计算：
\(5^3\)：底数______，指数______，结果______（答案：5，3，125）；
\((-2)^4\)：底数______，指数______，结果______（答案：-2，4，16）；
\(-(\frac{1}{3})^2\)：底数______，指数______，结果______（答案：\(\frac{1}{3}\)，2，\(-\frac{1}{9}\)）。
提升练习 2：计算下列乘方：
\((-1)^5 =\)______（答案：-1，指数 5 是奇数）；
\(0^7 =\)______（答案：0）；
\(-3^3 =\)______（答案：-27，先算\(3^3=27\)，再取相反数）；
\((-\frac{2}{5})^2 =\)______（答案：\(\frac{4}{25}\)，指数 2 是偶数）。
拓展练习 3：根据乘方结果求底数：
若\(x^2 = 16\)，则 x=______（答案：±4，因\(4^2=16\)，\((-4)^2=16\)）；
若\(y^3 = -27\)，则 y=______（答案：-3，因\((-3)^3=-27\)）。
幻灯片 10：课堂小结
核心知识回顾：
乘方定义：n 个相同因数 a 的积的运算，记作\(a^n\)，读作 “a 的 n 次幂”，各部分为底数 a、指数 n、幂\(a^n\)；
符号规则：正数的任何次幂为正，负数奇次幂为负、偶次幂为正，0 的正整数次幂为 0；
关键区别：\(-a^n\)是 “a^n 的相反数”，\((-a)^n\)是 “n 个 - a 相乘”，需通过括号明确底数；
计算方法：先确定符号，再计算底数绝对值的乘方（n 个相同因数相乘）。
思想方法总结：
特殊到一般思想：从 “2×2×2” 等特殊乘法，归纳出乘方的一般定义；
分类讨论思想：按底数的正负性（正数、负数、0）分类讨论乘方结果，清晰掌握符号规则；
对比辨析思想：通过\(-a^n\)与\((-a)^n\)的对比，明确运算顺序与含义差异，避免混淆。
学习建议：
计算乘方时，先 “定符号” 再 “算绝对值”，减少符号错误；
遇到底数为负数或分数的乘方，先加括号再计算，明确底数范围；
多做对比练习（如\(-2^4\)与\((-2)^4\)），强化对易错点的理解，为后续混合运算做好准备。
幻灯片 11：课后作业布置
基础巩固：完成教材对应练习题，计算正数、负数、0 的乘方，区分\(-a^n\)与\((-a)^n\)；
实践思考：观察生活中的乘方现象（如正方体体积\(a^3\)、细胞分裂次数与数量关系），用乘方表示相关数量；
拓展探究：计算\((-1)^1\)、\((-1)^2\)、\((-1)^3\)、$(-
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.1.1有理数的乘方
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过现实背景理解有理数乘方的意义，正确理解乘方、幂、指数、底数等概念，培养学生思考问题、解决问题的能力．
2．通过完成例题、练习，掌握有理数的乘方运算法则，提高学生的运算能力．
3．经历从乘法到乘方的推导过程，从中感受转化的数学思想，培养学生的数感、符号意识和推理、运算能力．
重点
难点
情境导入
同学们，珠穆朗玛峰是世界最高的山峰，它的海拔高度约是8849米，听说把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰，这是真的吗？
对折一次，纸的厚度是多少？
对折两次，纸的厚度是多少？
对折五次呢？
传说，古印度国王第一次玩国际象棋就被深深的迷住了.他决定奖赏发明者，并让他自己提要求，发明者指着棋盘对国王说：“那就在棋盘的第一格中放入一粒麦粒，第二格中放入二粒麦粒，第三格中放入四粒麦粒，第四格中放入八粒麦粒……按这样的规律放满64格.”
国王反对说：“不、不、这么一点麦子算不上什么奖赏.”但发明者坚持如此.同学们，请想一想，如果国王答应发明者的要求，国王应给发明者多少粒麦子？
故事导入
同学们，你们吃过拉面吗？
你们知道拉面是怎么做出来的吗？
做一做：用准备好的拉面玩具做拉面捏合的练习，做好记录.
如果捏合100次、1000次、n次，面条根数是多少？
活动导入
次数 1 2 3 4 5 ... 10 ...
面条根数 ... ...
1. 请同学们阅读课本51页例1前，思考：an中的a和n是任意有理数吗？
2．把下列各式写成乘方运算的形式，并指出其底数、指数分别是什么．
(1)5×5×5×5×5×5；
(2)(－1.3)×(－1.3)×(－1.3)×(－1.3)；
(3)m m m … m ；
2a个m
(1)原式＝56，底数是5，指数是6.
底数a可以代表任意一个有理数，n是正整数
(2)原式＝(－1.3)4，底数是－1.3，指数是4.
(3)原式＝m2a，底数是m，指数是2a.
3．从刚才的书写中，你发现了什么？
4．计算：
(1)32＝____，(－3)2＝____；
(2)43＝_______，(－4)3＝________；
当底数有符号或底数是分数时，底数要加上括号
9
9
64
－64
负数的奇次幂是____数，负数的偶次幂是____数．
简记：奇负偶正．
负
正
1
－1
1
－1
小组合作思考下面的问题：
探究1：(－2)4与－24一样吗？为什么？
不一样．(－2)4表示4个－2相乘，即(－2)×(－2)×(－2)×(－2)，
－24表示4个2相乘的积的相反数，即－2×2×2×2，
(－2)4与－24互为相反数
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
与乘方有关的概念．
知识点1：乘方(重点)
知识点 内容 示例
定义 求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方 n个
a·a·…·a ＝an(n是正整数，a可以是正数、负数或0)
有关的概念 ①乘方的结果叫作幂；②在an中，a叫作底数，n叫作指数 例如：54中，底数是5，指数是4，读作“5的4次方”(看作运算)或“5的4次幂”(看作结果)
注：(1)乘方与幂不同，乘方是一种运算，幂是乘方的结果，乘方与幂的关系如同乘法与积的关系．
(2)一个数可以看作这个数本身的一次方，通常指数1省略不写．
1．乘方运算：乘方运算是一种新的运算，可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算，即an＝a a … a a.
2．符号法则：
知识点2：乘方运算(难点)
n个
注：(1)互为相反数的两个非零数的奇次幂仍然互为相反数，互为相反数的两个非零数的偶次幂相等．
(2)(－a)n表示n个－a相乘，而－an表示n个a相乘的积的相反数，两者意义不同．
【题型一】乘方的概念
例1：把下列各式写成乘方运算的形式．
(1)(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝________；
(－3)4
变式：填表．
乘方 65 －24
底数
指数
6
5
2
2
4
例2：下列各组数中，相等的是(　 　)
A．23和32　　　 B．(－3)3和－33　　　
C．(－3)2和－32　　　 D．－(－2)和－|－2|
变式1：已知(x＋2)2＋|y＋1|＝0，则3xy2的值为____．
B
【题型二】乘方的运算
－6
变式2：计算：(1)0100； (2) 3；
(3)－25； (4)(－0.5)3.
解：(1)原式＝0.
(3)原式＝－32.
(4)原式＝－0.125.
例3：用计算器计算：
(1)164；　　　(2)(－1.4)6.
　解：(1)原式＝65 536.
【题型三】利用计算器计算有理数的乘方
(2)原式＝7.529 536.
练 习
1.
（1）(-7)8 中，底数、指数各是什么？
（2）(-10)8 中，-10 叫作什么数？8 叫作什么数？
(-10)8 是正数还是负数？
解：（1）底数是 -7，指数是 8.
（2） -10 叫作底数， 8 叫作指数，(-10)8 是正数.
【教材P52】
2. 计算：
（1）(-1)10；（2）(-1)7；（3）83；（4）(-5)3；
（5）0.13；（6）(- )4；（7）(-10)4；（8）(-10)5.
1
-1
512
-125
0.001
10000
-100000
1. 母题教材P52练习 下列说法正确的是( )
C
A. 的底数是 B. 表示5个2相加
C. 的底数是 D. 与 的意义相同
【解析】的底数是2；表示5个2相乘； 的底数是
；与 的意义不相同.
返回
2. 与下面科学计算器的按键顺序：
对应的计算任务是
( )
B
A. B.
C. D.
返回
3. 当是正整数时, 的值是( )
B
A. 2 B. C. 0 D. 2或
返回
4. 下列各组数中，运算结果相等的是( )
A
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【解析】因为， ,所以
；因为，，所以 ；因为
，，所以 ；因为
，，所以 .故选A.
返回
5. 如图，某种细胞每过 便由1个分
裂成2个.经过 ，这种细胞能由1个分裂成( )
D
A. 12个 B. 个
C. 个 D. 个
1.求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方．
2．乘方的符号法则：
(1)正数的任何次幂都是正数；
(2)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
(3)0的正整数次幂都是0.
同学们，我们今天学习了有理教的乘方运算，知道了乘方运算的定义和法则，在进行乘方运算时，一定要仔细认真．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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