资源简介

(共38张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.2.2.2 有理数的加减乘除混合运算
副标题：理清顺序，巧用规则，攻克混合运算
背景图：展示一个复杂的有理数混合运算式子，如 “\(3×(-2)+(-4)÷2 - 5\)”，式子中的数字和运算符号用不同颜色标注，突出关键元素，旁边配上一些简单的运算步骤提示，如 “先乘除”“再加减”，直观呈现本节课的核心内容。
幻灯片 2：学习目标
牢记有理数加减乘除混合运算的顺序规则，即先乘除后加减，有括号先算括号内的，能准确运用顺序对各类式子进行运算。
熟练掌握在混合运算中灵活运用乘法运算律（交换律、结合律、分配律）和加法运算律（交换律、结合律）简化计算，尤其针对含分数、小数、负数的复杂式子，提升运算速度与准确性。
学会分析混合运算式子的结构特点，选择最优运算策略，避免盲目计算，培养逻辑思维和运算规划能力。
能够将有理数混合运算知识应用到实际问题解决中，如行程问题、工程问题、财务计算等，体会数学知识的实用性，增强数学应用意识。
幻灯片 3：导入 —— 从简单运算到混合运算
复习回顾：
有理数加法法则：同号相加，取相同符号并把绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值；互为相反数相加得 0。例如，\(3 + 5 = 8\)，\((-3)+(-5)= -8\)，\(3 + (-5)= -2\)。
有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。例如，\(5 - 3 = 5 + (-3)= 2\)，\(3 - 5 = 3 + (-5)= -2\)。
有理数乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0。例如，\((-2)×3 = -6\)，\((-2)×(-3)= 6\)。
有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。例如，\(6÷(-2)= 6×(-\frac{1}{2}) = -3\)。
基础运算练习：计算\(3 + 5 - 2\)，\((-2)×3÷(-1)\)。答案分别为 6 和 6。
提出问题：
给出式子\(3×(-2)+(-4)÷2 - 5\)，与之前的基础运算相比，它包含了加、减、乘、除多种运算，该如何计算呢？引出本节课主题 —— 有理数的加减乘除混合运算。
幻灯片 4：运算顺序规则
规则讲解：
先乘除，后加减：在一个没有括号的有理数混合运算式子中，要先进行乘法和除法运算，再进行加法和减法运算。例如，对于式子\(4 + 2×3÷2 - 1\)，先计算\(2×3 = 6\)，\(6÷2 = 3\)，然后式子变为\(4 + 3 - 1\)，再依次计算得\(7 - 1 = 6\)。
有括号先算括号内：如果式子中有括号，要先计算括号内的式子。括号的优先级从里到外依次降低，即先算小括号 “()” 内的，再算中括号 “[ ]” 内的，最后算大括号 “{ }” 内的。例如，对于式子\([2 + (3 - 1)×2]÷2\)，先算小括号内\(3 - 1 = 2\)，式子变为\([2 + 2×2]÷2\)，再算中括号内\(2×2 = 4\)，\(2 + 4 = 6\)，最后算括号外\(6÷2 = 3\)。
符号语言总结：对于有理数混合运算式子\(a + b×c÷d - e\)（无括号），运算顺序为\(a + (b×c÷d) - e\)；对于式子\(f + [(g - h)×i÷j] - k\)（有括号），先算\((g - h)\)，再算\([(g - h)×i÷j]\)，最后算\(f + [(g - h)×i÷j] - k\)。
幻灯片 5：乘法运算律在混合运算中的应用
交换律与结合律应用示例：
计算：\((-2)×3×(-\frac{1}{2})×4\)
解答过程：
观察式子，发现\((-2)\)与\((-\frac{1}{2})\)相乘为 1，可利用乘法交换律与结合律简化计算。
应用交换律与结合律：\([(-2)×(-\frac{1}{2})]×(3×4)\)
分步计算：\(1×12 = 12\)
结果：12
分配律应用示例：
计算：\((-3)×(4 - \frac{1}{3} + \frac{2}{9})\)
解答过程：
应用乘法分配律：\((-3)×4 - (-3)×\frac{1}{3} + (-3)×\frac{2}{9}\)
分别计算：
\((-3)×4 = -12\)
\(-(-3)×\frac{1}{3} = 1\)
\((-3)×\frac{2}{9} = -\frac{2}{3}\)
合并结果：\(-12 + 1 - \frac{2}{3} = -11 - \frac{2}{3} = -\frac{35}{3}\)
结果：\(-\frac{35}{3}\)
幻灯片 6：加法运算律在混合运算中的应用
交换律与结合律应用示例：
计算：\(3 - 5 + 7 - 9 + 11\)
解答过程：
观察式子，可将正数与正数结合，负数与负数结合，利用加法交换律与结合律。
应用运算律：\((3 + 7 + 11)+(-5 - 9)\)
分别计算括号内：\(21 + (-14)\)
最终计算：\(21 - 14 = 7\)
结果：7
注意事项：在混合运算中应用加法运算律时，要注意连同数字前面的符号一起交换和结合，避免符号错误。例如，在\(3 - 5 + 7 - 9 + 11\)中，将\(-5\)和\(7\)交换位置时，要写成\(3 + 7 - 5 - 9 + 11\)，确保符号跟随数字移动。
幻灯片 7：混合运算综合示例（含分数、小数、负数）
示例 1：
计算：\((-2.5)×\frac{4}{5}÷(-\frac{1}{2}) + 3.6÷(-0.9)\)
解答过程：
先算乘除：
\((-2.5)×\frac{4}{5} = -2\)，\((-2)÷(-\frac{1}{2}) = 4\)
\(3.6÷(-0.9) = -4\)
再算加减：\(4 + (-4) = 0\)
结果：0
示例 2：
计算：\((-\frac{1}{3})×[(-5) + (\frac{7}{2} - \frac{2}{3})÷\frac{1}{4}]\)
解答过程：
先算小括号内：
\(\frac{7}{2} - \frac{2}{3} = \frac{21}{6} - \frac{4}{6} = \frac{17}{6}\)
\(\frac{17}{6}÷\frac{1}{4} = \frac{17}{6}×4 = \frac{34}{3}\)
\((-5) + \frac{34}{3} = -\frac{15}{3} + \frac{34}{3} = \frac{19}{3}\)
再算中括号内：\((-\frac{1}{3})×\frac{19}{3} = -\frac{19}{9}\)
结果：\(-\frac{19}{9}\)
幻灯片 8：实际应用问题 —— 行程问题
例题：
一辆汽车从 A 地出发，先以每小时 60 千米的速度向北行驶 2 小时，接着以每小时 40 千米的速度向南行驶 3 小时。已知向北为正方向，求汽车最终相对于 A 地的位置。
解答过程：
计算向北行驶的路程：\(60×2 = 120\)（千米），方向为正。
计算向南行驶的路程：\(40×3 = 120\)（千米），方向为负。
利用有理数混合运算求最终位置：\(120 + (-120) = 0\)（千米）
结果解读：汽车最终回到了 A 地。
幻灯片 9：实际应用问题 —— 工程问题
例题：
一项工程，甲队单独做每天完成工程的\(\frac{1}{10}\)，乙队单独做每天完成工程的\(\frac{1}{15}\)。两队先合作 2 天，然后甲队单独做 1 天，接着乙队单独做 3 天。问此时完成了工程的几分之几？
解答过程：
计算两队合作 2 天完成的工作量：\(2×(\frac{1}{10} + \frac{1}{15})\)
应用乘法分配律：\(2×\frac{1}{10} + 2×\frac{1}{15} = \frac{1}{5} + \frac{2}{15} = \frac{3}{15} + \frac{2}{15} = \frac{1}{3}\)
计算甲队单独做 1 天的工作量：\(\frac{1}{10}×1 = \frac{1}{10}\)
计算乙队单独做 3 天的工作量：\(\frac{1}{15}×3 = \frac{1}{5}\)
利用有理数混合运算求总工作量：\(\frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{5}\)
通分计算：\(\frac{10}{30} + \frac{3}{30} + \frac{6}{30} = \frac{19}{30}\)
结果解读：此时完成了工程的\(\frac{19}{30}\)。
幻灯片 10：易错点辨析与注意事项
易错点 1：运算顺序错误
示例：计算\(4 + 6÷2×3\)时，误算为\(4 + 6÷(2×3)= 4 + 1 = 5\)（正确应为\(4 + 3×3 = 4 + 9 = 13\)，错误原因是先算了后面的乘法，违背了先乘除后加减，从左到右依次计算的顺序）。
提醒：严格按照先乘除后加减，有括号先算括号内的顺序进行运算，可在式子上用铅笔轻轻标注运算顺序，避免混乱。
易错点 2：符号错误
示例：计算\((-2)×(3 - 5)÷(-2)\)时，误算为\((-2)×(-2)÷(-2)= 4÷(-2)= -2\)（正确应为\((-2)×(-2)÷(-2)= 4÷(-2)= -2\)，但在第一步乘法时，部分同学可能会忘记负负得正，算成\((-2)×(-2)= -4\)）。
纠正：在进行每一步运算时，都要仔细确定符号，尤其是负数参与运算时，可多检查一遍符号是否正确。
易错点 3：分数、小数运算转化不当
示例：计算\(0.5 + \frac{1}{3}×2\)时，将\(0.5\)化为\(\frac{1}{2}\)后，计算\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}×2 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3}\)，通分错误得到\(\frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}\)（正确应为\(\frac{3 + 4}{6} = \frac{7}{6}\)）。
预防：在进行分数与小数混合运算时，转化要准确，通分、约分等计算要仔细，可将结果进行回代检验。
幻灯片 11：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：运算顺序判断
式子\(3×(4 - 2)÷5 + 1\)的运算顺序是先算______，再算______，最后算______。（答案：括号内减法，乘法和除法，加法）
式子\(5 - 2×3÷(-1)\)的运算结果是______。（答案：\(5 - (-6)= 5 + 6 = 11\)）
提升练习 2：混合运算计算
计算\((-\frac{1}{2})×4÷(-2) + 3\)。（答案：\((-2)÷(-2)+3 = 1 + 3 = 4\)）
计算\(2.5×(-4) + (-3)÷\frac{1}{3} - 1\)。（答案：\(-10 + (-9) - 1 = -20\)）
拓展练习 3：实际应用
某商店以每件 80 元的价格购进一批商品，加价 20% 后出售。在销售过程中，有 5 件商品因质量问题退货，商店以售价的八折退款。已知商店共购进 100 件商品，求商店最终的盈利情况。（答案：每件售价为\(80×(1 + 20\%) = 96\)元，总销售额为\((100 - 5)×96 - 5×96×0.8 = 95×96 - 5×76.8 = 9120 - 384 = 8736\)元，成本为\(80×100 = 8000\)元，盈利为\(8736 - 8000 = 736\)元）
幻灯片 12：课堂总结
知识要点回顾：
有理数加减乘除混合运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号内。
乘法运算律（交换律、结合律、分配律）和加法运算律（交换律、结合律）在混合运算中的应用。
解决实际问题时，如何将问题转化为有理数混合运算并求解。
学习方法强调：
认真审题，分析式子结构，选择合适运算策略。
计算过程中要仔细，注意符号、运算顺序、分数小数转化等易错点。
做完题目后要进行检验，确保结果准确。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.2.2有理数的加减乘除混合运算
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过类比小学学过的运算顺序，能得出有理数的运算顺序，按照有理数的运算顺序，正确熟练地进行有理数的加、减、乘、除混合运算，提高学生的运算能力．
2．通过研读教材例8能利用有理数的混合运算解决实际问题，提高学生的应用意识和综合分析能力．
重点
难点
旧知回顾
我们小学阶段学过的加、减、乘、除混合运算的运算顺序是怎样的？
先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的
视频导入
请同学们观看一段视频：
请同学们先完成填空，再列出综合算式.
请同学们思考：有理数乘除混合运算的顺序是什么？
问题导入
2
1



游戏导入
1.阅读课本45－46页，思考并回答下面的问题．
①下列式子含有哪几种运算？先算什么，后算什么？
②观察式子－3×(2＋1)÷(5－12)，应该按照什么顺序来计算？
【归纳】有理数混合运算的顺序．
先算______，再算______，同级运算_________依次计算，如有_______，先算________内的．
含有加减乘除四种运算，先算乘除，后算加减
先算(2＋1)和(5－12)，－3再与3相乘，最后除以－7
乘除
加减
从左到右
括号
括号
2．计算：
(1)(－48)÷8－(－25)×(－6)；(2)－9＋5×(－6)－12÷(－6)；
(1)原式＝－156.
(2)原式＝－37.
(3)原式＝1.
(4)原式＝－
小组合作完成课本48页习题第10题．
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
运算顺序：
先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
知识点1：有理数的乘除混合运算(重点)
注：(1)将除法转化为乘法后，可以使用乘法运算律简化运算．(2)计算结果要化为最简．
运算顺序：先算乘除，后算加减，如果有括号，先算括号内的部分．同一级运算按照从左到右的顺序依次进行．
知识点2：有理数的四则混合运算(重难点)
注：在算式中，若有多重括号，可按照小括号、中括号、大括号的顺序逐层去括号．
【题型一】有理数的四则混合运算
解：(1)原式＝59.
(2)原式＝78.
(3)原式＝
(4)原式＝6.
(5)原式＝
例2：在计算器上依次按键
后，显示的结果为_______．
变式：使用计算器计算时，下列按键顺序正确的是(　　)
【题型二】用计算器进行有理数的混合运算
－11
A
例3：“好生活”超市去年第一季度平均每月亏损1.2万元，第二季度平均每月盈利2.5万元，第三季度平均每月盈利2.1万元，第四季度平均每月亏损0.9万元．试说明这个超市去年总的盈亏情况．
解：－1.2×3＋2.5×3＋2.1×3＋(－0.9)×3＝7.5(万元)．
答：这个超市去年盈利7.5万元．
【题型三】有理数混合运算的应用
例4：某县自2023年以来受持续干旱的影响，河道来水偏少，已严重影响生活和生产用水，因此自来水厂从2024年1月1日起推行阶梯水价，引导人们节约用水，调整后的用水价格如下：
如果小明家8月份的用水量为30吨，那么小明家8月份的水费为(　　)
A．45元　　B．50元　　C．55元　　D．60元
B
每月的用水量 单价/(元/吨)
不超过20吨的部分 1.5
超过20吨的部分 2
练 习
【教材P47】
1. 计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
2. 计算：
（1）6-(-12)÷(-3)； （2）3×(-4)+(-28)÷7 ；
（3）(-48)÷8-(-25)×(-6)；
（4） .
2
-16
-156
1. 计算：
（1）(-8)×(-7)； （2）12×(-5)；
（3）2.9×(-0.4)； （4）(-30.5)×0.2；
（5）100×(-0.001)； （6）(-4.8)×(-1.25).
56
-60
-1.16
-6.1
-0.1
6
【教材P47，习题2.2】
（1） ； （2） ；
2. 计算：
（3） ； （4） .
3. 写出下列各数的倒数：
（1）-15 ； （2） ； （3）-0.25；
（4）0.17 ； （5） ； （6） .
（1） ； （2）(-10)×(-8.24)×(-0.1)；
4. 计算：
（3） ； （4） .
【教材P48】
-4.97
（1）(-2)×3×(-4)； （2）(-6)×(-5)×(-7)；
5. 计算：
（3）(-6)×(-0.25)× ； （4）(-17)×(-49)×0×13.
24
-210
0
（1）16÷(-3)； （2）(-91)÷ 13；
6. 计算：
（3）(-56)÷(-14)； （4） ÷(-1)；
（5）(-16)÷(-48)； （6）(-0.25)÷ .
-7
4
1×(-5)=_______； 1÷(-5)=______；
7. 填空题.
1+(-5)=_______； 1-(-5)=______；
(-1)×(-5)=_______； (-1)÷(-5)=______；
(-1)+(-5)=_______； (-1)-(-5)=______.
-5
-4
6
5
-6
4
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
8. 化简：
（1）0.1÷(-0.001)÷(-1)；
9. 计算：
（2） ；
（3）(-7)×(-56)×0÷(-13)；
（4）(-9)×(-11)÷3÷(-3).
100
0
-11
综合运用
（1）23×(-5)-(-3)÷ ；
10. 计算：
（2）(-7)×(-3)×(-0.5)+ (-12)×(-2.6)；
（3） ；
（4） .
13
20.7
11. 用计算器计算（结果保留小数点后两位）：
（1）(-36)×128÷(-74)；
（2）(-6.23)÷(-0.25)×94；
（3）(-4.325)×(-0.012)-2.31÷(-5.315)；
（4）180.65-(-32)×47.8÷(-15.5).
≈ 62.27
= 2342.48
≈ 0.49
≈ 81.97
【教材P49】
12. 记盈利额为正数，用正数或负数填空：
（1）小商店平均每天盈利 250 元，一个月（按 30 天计算）的利润是________元；
（2）小商店一星期的利润是 1400 元，平均每天的利润是_______元；
（3）小商店一星期共亏损 840 元，平均每天的利润是_______元.
7500
200
-120
13. 一架直升机从高度为 450 m 的位置开始，先以 4 m/s 的速度竖直上升 60 s，后以 5 m/s 的速度竖直下降 120 s，这时直升机所在高度是多少？
解：450 + 4×60 - 5×120
= 450 + 240 - 600
= 90
答：这时直升机所在的高度是 90 m.
14. 计算 2×1，2× ，2×(-1)，2×( ).
联系这类具体的数的乘法，你认为一个非零有理数一定小于它的 2 倍吗？为什么？
一个非零有理数不一定小于它的 2 倍. 理由：当这个非零有理数是负数时，它就大于它的 2 倍.
如：2×(-1) = -2，-1>-2；2×( )= -1， >-1.
2×1= 2，2× = 1，
2×(-1) = -2，2×( )= -1.
15. 利用分配律可以得到
-2×6 + 3×6 = (-2 + 3)×6，
-2×(-5)+ 3×(-5)= (-2+3)×(-5)，
如果用 a 表示任意一个数，那么利用分配律可以
得到 -2a + 3a 等于什么？
解：-2a + 3a =(-2 + 3)·a = a.
16. 计算(-4)÷2，4÷(-2)，(-4)÷(-2).
联系这类具体的数的除法，你认为下列式子是否成立（a，b是有理数，且b≠0）？从中可以总结出什么规律？
（1） ；（2） .
解：(-4)÷2 = -2，4÷(-2) = -2 ，(-4)÷(-2) = 2.
（1） （a，b是有理数，且b≠0）成立；
（2） （a，b是有理数，且b≠0）成立 .
规律：分数的分子与分母中只有一个含有负号时，分数的结果中有负号；分子与分母中都有负号时，可以将负号约去.
同学们，今天我们学习了有理数的混合运算，我们要吸取错题的教训，在计算前先厘清计算的顺序，再利用法则完成计算，最后一定不要忘记检查！
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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