资源简介

(共24张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.3.1.2 有理数的混合运算
副标题：明确运算顺序，掌握符号技巧，精准计算
背景图：左侧展示有理数混合运算示例 “\((-2)^2×3 - (-6)÷2\)”，右侧用流程图标注运算步骤 “先乘方→再乘除→最后加减”，下方标注 “有括号先算括号内”，直观呈现混合运算的核心逻辑。
幻灯片 2：学习目标
牢记有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，括号内也遵循 “先乘方，再乘除，最后加减”），能准确判断每一步的运算优先级。
熟练处理混合运算中的符号问题（含负号、乘方符号），掌握 “奇负偶正” 等符号规则，避免符号错误。
能结合运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）简化复杂混合运算，提升计算效率与准确性。
能解决含多重括号、较大数值的有理数混合运算问题，培养严谨的运算习惯与逻辑思维能力。
幻灯片 3：导入 —— 从单一运算到混合运算的过渡
复习回顾：
已学有理数运算类型：加法（同号相加、异号相加）、减法（转化为加法：\(a - b = a + (-b)\)）、乘法（同号得正，异号得负，绝对值相乘）、除法（转化为乘法：\(a ÷ b = a × \frac{1}{b}\)，\(b≠0\)）、乘方（\(a^n\)，正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正）。
单一运算示例：\((-3) + 5 = 2\)，\((-4)×(-2) = 8\)，\((-2)^3 = -8\)。
提出问题：
若一个算式中同时包含多种运算（如\(3×(-2)^2 - 5÷(-1) + 7\)），该按什么顺序计算？如何处理符号与运算优先级的冲突？引出本节课核心 —— 有理数的混合运算。
幻灯片 4：有理数混合运算的核心顺序
运算顺序规则（优先级从高到低）：
第一级：乘方运算（\(a^n\)，如\((-3)^2\)、\(-2^3\)）；
第二级：乘除运算（从左到右依次进行，乘法与除法优先级相同）；
第三级：加减运算（从左到右依次进行，加法与减法优先级相同）；
特殊规则：括号优先（若有括号，先算小括号 “()” 内的运算，再算中括号 “[]” 内的运算，最后算大括号 “{}” 内的运算，括号内仍遵循上述 1-3 级顺序）。
顺序记忆口诀：“先乘方，再乘除，最后加减；有括号，先括号；同级运算，从左到右”。
示例解读：分析算式\(2×(-3)^2 - 12÷(-4) + (-5)\)的运算顺序：
先算乘方：\((-3)^2 = 9\)，算式变为\(2×9 - 12÷(-4) + (-5)\)；
再算乘除（从左到右）：\(2×9 = 18\)，\(12÷(-4) = -3\)，算式变为\(18 - (-3) + (-5)\)；
最后算加减（从左到右）：\(18 - (-3) = 21\)，\(21 + (-5) = 16\)，结果为 16。
幻灯片 5：混合运算中的符号处理技巧
1. 乘方符号处理（核心：看底数正负与指数奇偶）：
规则：
底数为正：任何次幂均为正（如\(3^2 = 9\)，\(2^3 = 8\)）；
底数为负：指数为奇数时结果为负，指数为偶数时结果为正（如\((-2)^3 = -8\)，\((-3)^2 = 9\)）；
注意：\(-a^n\)与\((-a)^n\)的区别（\(-a^n\)是\(a^n\)的相反数，如\(-2^3 = -8\)；\((-a)^n\)是\(a\)的\(n\)次幂，如\((-2)^3 = -8\)，\((-2)^2 = 4\)）。
示例：计算\(-(-2)^4\)：先算\((-2)^4 = 16\)，再算相反数，结果为\(-16\)。
2. 乘除符号处理（核心：“奇负偶正”）：
规则：多个数相乘除，积 / 商的符号由负因数的个数决定 —— 负因数个数为偶数，结果为正；负因数个数为奇数，结果为负，再将绝对值相乘除。
示例：计算\((-3)×(-2)÷(-6)\)：负因数个数为 2（\((-3)\)、\((-2)\)），先确定符号为正？不，总负因数个数为 3（\((-3)\)、\((-2)\)、\((-6)\)的倒数含 1 个负号），实际计算：\((-3)×(-2) = 6\)，\(6÷(-6) = -1\)，结果为负，符合 “负因数个数 3（奇数），结果负”。
3. 加减符号处理（核心：统一为加法，再计算）：
规则：将减法转化为加法（\(a - b = a + (-b)\)），再按有理数加法规则计算（同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，绝对值相减）。
示例：计算\(5 - (-3) + (-2) - 7\)：转化为\(5 + 3 + (-2) + (-7)\)，再计算：\(5 + 3 = 8\)，\(8 + (-2) = 6\)，\(6 + (-7) = -1\)。
幻灯片 6：基础型混合运算示例（含乘方、乘除、加减）
例题 1：计算\((-2)^3 + 3×(-4) - (-18)÷6\)。
解答过程（严格按顺序）：
算乘方：\((-2)^3 = -8\)，算式变为\(-8 + 3×(-4) - (-18)÷6\)；
算乘除（从左到右）：
\(3×(-4) = -12\)，\(-18÷6 = -3\)，算式变为\(-8 + (-12) - (-3)\)；
算加减（统一为加法）：
转化为\(-8 + (-12) + 3\)；
计算：\(-8 + (-12) = -20\)，\(-20 + 3 = -17\)；
结果：\(-17\)。
例题 2：计算\(-2^2×(1 - \frac{1}{2}) + 8÷(-2)^2\)。
解答过程（含小括号）：
先算括号内：\(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)，算式变为\(-2^2×\frac{1}{2} + 8÷(-2)^2\)；
算乘方：\(-2^2 = -4\)（注意：不是\((-2)^2\)），\((-2)^2 = 4\)，算式变为\(-4×\frac{1}{2} + 8÷4\)；
算乘除：\(-4×\frac{1}{2} = -2\)，\(8÷4 = 2\)，算式变为\(-2 + 2\)；
算加减：\(-2 + 2 = 0\)；
结果：\(0\)。
幻灯片 7：含多重括号的混合运算示例
运算原则：先小括号，再中括号，最后大括号，每级括号内均遵循 “先乘方，再乘除，最后加减”。
例题 3：计算\(2×[3 - (-2)^2] - \{4÷(-\frac{1}{2}) + (-1)^3\}\)。
解答过程：
先算小括号内的乘方：\((-2)^2 = 4\)，\((-1)^3 = -1\)，算式变为\(2×[3 - 4] - \{4÷(-\frac{1}{2}) + (-1)\}\)；
算小括号内的加减 / 乘除：
中括号内：\(3 - 4 = -1\)；
大括号内：\(4÷(-\frac{1}{2}) = 4×(-2) = -8\)，算式变为\(2×(-1) - \{-8 + (-1)\}\)；
算中括号 / 大括号内的剩余运算：
大括号内：\(-8 + (-1) = -9\)，算式变为\(2×(-1) - (-9)\)；
算括号外的运算（先乘除，再加减）：
\(2×(-1) = -2\)，算式变为\(-2 - (-9) = -2 + 9 = 7\)；
结果：\(7\)。
幻灯片 8：利用运算律简化混合运算
常用运算律：
加法交换律：\(a + b = b + a\)；加法结合律：\((a + b) + c = a + (b + c)\)（适用于多个数相加，可将同号、易凑整的数结合）；
乘法交换律：\(a×b = b×a\)；乘法结合律：\((a×b)×c = a×(b×c)\)（适用于多个数相乘，可将易凑整的数结合）；
乘法分配律：\(a×(b + c) = a×b + a×c\)（适用于 “一个数乘括号内的和”，可拆分计算，简化运算）。
例题 4：用乘法分配律简化计算\((-12)×(\frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3})\)。
解答过程：
应用分配律：\((-12)×\frac{1}{4} - (-12)×\frac{1}{6} + (-12)×\frac{1}{3}\)；
分别计算：
\((-12)×\frac{1}{4} = -3\)；
\(-(-12)×\frac{1}{6} = 2\)；
\((-12)×\frac{1}{3} = -4\)；
合并结果：\(-3 + 2 + (-4) = -5\)；
结果：\(-5\)（若直接算括号内再乘，\(\frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{3 - 2 + 4}{12} = \frac{5}{12}\)，\((-12)×\frac{5}{12} = -5\)，结果一致，但分配律更简便）。
幻灯片 9：易错点辨析与避坑指南
易错点 1：混淆乘方符号（\(-a^n\)与\((-a)^n\)）：
示例：计算\(-3^2\)时，误得\(9\)（正确应为\(-9\)，\(-3^2\)是\(3^2\)的相反数；\((-3)^2\)才是\(9\)）；
避坑：看到 “负号 + 乘方”，先判断负号是否在底数内 —— 若底数加括号（如\((-3)^2\)），则负号参与乘方；若未加括号（如\(-3^2\)），则负号不参与乘方，是乘方结果的相反数。
易错点 2：同级运算（乘除 / 加减）未从左到右：
示例：计算\(8÷(-2)×(-3)\)时，误先算\((-2)×(-3) = 6\)，再算\(8÷6 = \frac{4}{3}\)（正确应为从左到右：\(8÷(-2) = -4\)，\(-4×(-3) = 12\)）；
避坑：乘除、加减为同级运算，必须严格按 “从左到右” 顺序，不可跳步计算（如先算右边的乘除或加减）。
易错点 3：括号内运算未完成就跳步：
示例：计算\(2×(3 - 5)^2\)时，误先算\(2×3 = 6\)，再算\(6 - 5 = 1\)，最后算\(1^2 = 1\)（正确应为先算括号内\(3 - 5 = -2\)，再算乘方\((-2)^2 = 4\)，最后算\(2×4 = 8\)）；
避坑：有括号时，先完整计算括号内的所有运算（按顺序），再进行括号外的运算，可在括号内运算完成后标注结果，避免跳步。
易错点 4：符号处理遗漏（尤其是减法转化）：
示例：计算\(5 - (3 - 7)\)时，误去括号为\(5 - 3 - 7 = -5\)（正确应为\(5 - 3 + 7 = 9\)，括号前是 “-”，去括号后括号内各项变号）；
避坑：去括号时，若括号前是 “+”，括号内各项不变号；若括号前是 “-”，括号内每一项都要变号（正数变负数，负数变正数）。
幻灯片 10：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：基础混合运算：
\((-3)^2 - 6÷(-2)×(-\frac{1}{3})\)（答案：\(9 - 1 = 8\)）；
\(-2^3 + 4×(-1)^5 - (-28)÷7\)（答案：\(-8 - 4 + 4 = -8\)）。
提升练习 2：含括号的混合运算：
\(3×[4 - (-2)^2] - (-1)^4÷\frac{1}{2}\)（答案：\(3×0 - 1×2 = -2\)）；
\(\{2 - [(-3)×(-4) - 5]\}×(-1)\)（答案：\(\{2 - [12 - 5]\}×(-1) = \{2 - 7\}×(-1) = 5\)）。
拓展练习 3：用运算律简化计算：
\((-24)×(\frac{3}{8} - \frac{5}{12} + \frac{1}{6})\)（答案：\(-9 + 10 - 4 = -3\)）；
\(19×(-\frac{3}{4}) + (-19)×\frac{1}{4} + 19×(-1)\)（答案：\(19×(-\frac{3}{4} - \frac{1}{4} - 1) = 19×(-2) = -38\)）。
幻灯片 11：课堂小结
核心知识回顾：
运算顺序：先乘方→再乘除（左到右）→最后加减（左到右）；有括号先算括号内（小→中→大）；
符号规则：乘方看底数正负与指数奇偶，乘除看负因数个数（奇负偶正），加减转化为加法再计算；
简化技巧：合理运用加法交换律、结合律，乘法分配律（尤其适用于括号类运算）。
思想方法总结：
分步拆解思想：将复杂混合运算按顺序拆分为单一运算，逐步解决；
符号优先思想：每一步运算前先确定结果的符号，再计算绝对值；
简便运算思想：观察算式特征，灵活运用运算律简化计算，避免冗余步骤。
学习建议：
计算时按 “一步
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.1.2有理数的混合运算
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 能较熟练地进行包含乘方的有理数的混合运算，培养学生的运算能力，在运算中学生能自觉地应用运算律．
2．经历本节课的学习过程，使学生认识到小学学习的运算律仍然适用于有理数，体会到知识的系统性．
3．通过师生互动，互相交流，培养学生应用数学的意识，提高学习数学的积极性．
重点
难点
游戏导入
同学们，你们玩过24点吗？
游戏规则：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或-24，其中红色代表负数，黑色代表正数，J，Q，K分别表示11,12,13.
问题1：怎样将扑克牌上的数字通过我们学过的有理数
运算得到24或-24呢？
问题2：在游戏中需要运用有理数的加、减、乘、除、
乘方等运算，若在一个算式里，将这些运算的两种或两种以上混合在一起，你想在游戏中尽快地胜出，又该怎样准确的计算呢？

问题导入
请同学们复习前面学过的加、减、乘、除及乘方的
概念和计算.
复习导入
1.阅读课本53页例4上方，思考并回答下面的问题：
(1)在2＋32×(－6)这个式子中，存在着______种运算，这个式子应该先算_______，再算_______，最后算_______．
(2)在有理数的混合运算中，运算顺序是：
①先______，再_______，最后_______；
②同级运算，从____到____依次进行；
③如有括号，先做_________的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
3
乘方
乘法
加法
乘方
乘除
加减
左
右
括号内
2．研读课本例4并回答下面的问题：
(1)数的乘方从符号与绝对值两方面考虑，第①行数是数____的乘方，第n项的数可以表示为_______．
(2)对比第①②两行中位置对应的数，可以发现：_________，即第②行的数可以分别表示为_______，____，__________，__________，…，第n项的数可以表示为__________．
(3)对比第①③两行中位置对应的数，可以发现：__________，③中第n项的数可以表示为____________．
(4)第①②③行中第10个数分别是：________，_________ __，_________，计算它们的和是：________．
－2
(－2)n
②－①＝2
－2＋2
4＋2
－8＋2
16＋2
(－2)n＋2
③×2＝①
(－2)10
(－2)10＋2
2 562
请同学们完成课本54页练习．
1．运算顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右依次进行；
(3)如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
2．运算方法：运用有理数的加、减、乘、除、乘方法则进行计算．
知识点：有理数的混合运算(重难点)
注：解决有理数混合运算的基本思路：观察有几种运算，若有除法运算和减法运算，可将除法运算转化为乘法运算，减法运算转化为加法运算，最后按运算顺序计算，这体现了数学中的转化思想．
【题型一】有理数的混合运算
例1：(1)计算－32＋5－8×(－2)时，应该先算______，再算_______，最后算________，正确的结果为____；
(2)计算2－[(1－8)×(－2)＋(－10)]时，应该先算________里的，再算__________里的，正确的结果为_______．
乘方
乘法
加减
12
小括号
中括号
－2
解：(1)原式＝－24.
(3)原式＝26.
例2：观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，38＝6 561，…，通过观察，用你所发现的规律判断32 024的个位数字是(　 　)
A．3 　　B．9　　 C．7 　　D．1
变式：观察下列各式：13＋23＝1＋8＝9，(1＋2)2＝9，13＋23＋33＝1＋8＋27＝36，(1＋2＋3)2＝36，….运用所发现的规律计算：13＋23＋33＋43＋53＝_______．
D
【题型二】与乘方有关的规律探究
225
1. 计算：
（1）(-1)10 ×2+(-2)3÷4；
【教材P54】
（2）(-5)3 -3×(- )4；
解：原式 = 1×2+(-8)÷4
= 2 - 2
= 0
原式 = (-125)- 3×
（3） ；
（4）(-10)4+[(-4)2-(3+32)×2].
原式 =
原式 = 10000+[16-12×2]
= 10000 - 8
= 9992
1. 下列各式化简后结果最大的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. 下列各式计算正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
3. 在算式中的“ ”里填
入下列运算符号，使得它的计算结果最小，则“ ”里应填入
的是( )
C
A. B. - C. × D.
返回
4.［2025成都青羊区期中］“24点”游戏规则：从一副扑克牌
抽去大小王剩下这52张牌代表1，,, 分别代表
11,12,13，任意抽取4张牌称为牌组，黑色代表正数，红色代
表负数，用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数算成24，每
张牌必须用且只能用一次.如果抽到黑桃、红桃 、梅花3、
方块A，请列出一个含有乘方运算的算式，将该牌面上的数
字凑成24：_________________________________.
（答案不唯一）
返回
6. 根据如图的流程图计算，若输入的值为0，则输出 的值
为( )
C
A. 5 B. 7 C. 70 D. 187
同学们，我们今天学习了有理数的混合运算，知道了有理数混合运算的运算顺序，并且一起探究了和有理数乘方相关的找规律问题，大家在计算时一定要耐心细致．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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