资源简介

(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.2.2.1 有理数的除法
副标题：关联乘法倒数，掌握除法法则
背景图：左侧展示除法与乘法的转化示例 “\(6÷(-2)=6×(-\frac{1}{2})\)”，右侧用文字标注 “除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数”，下方呈现 “同号得正，异号得负，绝对值相除” 的符号与绝对值规则，直观呈现有理数除法的核心逻辑。
幻灯片 2：学习目标
理解有理数除法法则的推导过程，明确 “除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数”，能准确用符号语言表示为 “\(a÷b = a×\frac{1}{b}\)（\(b≠0\)）”。
熟练掌握有理数除法的运算规则（同号得正，异号得负，绝对值相除；0 除以任何不为 0 的数都得 0），能正确计算整数、分数、小数的除法运算，处理符号问题。
掌握有理数除法与乘法的互逆关系，能利用除法验算乘法结果，理解 “0 不能作除数” 的原因，培养严谨的运算习惯。
能运用有理数除法解决实际问题（如平均分配、速度计算等），体会除法在实际场景中的意义，强化 “转化思想” 的应用。
幻灯片 3：导入 —— 从乘法逆运算切入
复习回顾：
有理数乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0；
乘法逆运算：若\(a×b = c\)（\(b≠0\)），则\(c÷b = a\)（除法是乘法的逆运算）。
示例：已知\((-3)×2 = -6\)，则\(-6÷2 = -3\)，\(-6÷(-3) = 2\)。
提出问题：
对于 “\(8÷(-4)\)”“\(-9÷3\)” 这类有理数除法，如何直接计算？能否将其转化为已学的乘法运算？引出本节课核心 —— 有理数的除法。
幻灯片 4：有理数除法法则的推导
步骤 1：从倒数定义关联除法与乘法
倒数定义：若两个数的乘积为 1，则这两个数互为倒数（如 2 与\(\frac{1}{2}\)，\(-3\)与\(-\frac{1}{3}\)，0 没有倒数，因 0 乘任何数都得 0≠1）。
实例推导：
计算\(6÷2\)：因\(2×3 = 6\)，故\(6÷2 = 3\)；同时，\(6×\frac{1}{2} = 3\)，故\(6÷2 = 6×\frac{1}{2}\)；
计算\((-8)÷(-4)\)：因\((-4)×2 = -8\)，故\((-8)÷(-4) = 2\)；同时，\((-8)×(-\frac{1}{4}) = 2\)，故\((-8)÷(-4) = (-8)×(-\frac{1}{4})\)；
计算\(10÷(-5)\)：因\((-5)×(-2) = 10\)，故\(10÷(-5) = -2\)；同时，\(10×(-\frac{1}{5}) = -2\)，故\(10÷(-5) = 10×(-\frac{1}{5})\)。
步骤 2：归纳除法法则
从上述实例可总结出有理数除法的核心法则：
转化法则：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数，即\(\boxed{a÷b = a×\frac{1}{b}（b≠0）}\)；
直接运算法则（由转化法则推导）：
符号规则：两数相除，同号得正，异号得负；
绝对值规则：把两个数的绝对值相除；
特殊情况：0 除以任何不为 0 的数，都得 0（0 不能作除数）。
关键解读：
“0 不能作除数” 的原因：若\(b=0\)，当\(a≠0\)时，\(a÷0\)无意义（找不到数\(x\)使\(0×x = a\)）；当\(a=0\)时，\(0÷0\)无确定值（任何数\(x\)都满足\(0×x = 0\)），故 0 作除数无意义。
幻灯片 5：有理数除法的分类应用
1. 整数除以整数
示例 1：同号相除（如\((-12)÷(-3)\)）
方法 1（转化为乘法）：\((-12)×(-\frac{1}{3}) = 4\)；
方法 2（直接法则）：① 定符号：同号得正；② 算绝对值：\(12÷3 = 4\)；③ 结果：\(4\)。
示例 2：异号相除（如\(15÷(-5)\)）
方法 1：\(15×(-\frac{1}{5}) = -3\)；
方法 2：① 定符号：异号得负；② 算绝对值：\(15÷5 = 3\)；③ 结果：\(-3\)。
2. 分数除以分数
规则：分数除以分数，等于乘除数的倒数，再按分数乘法计算（分子乘分子，分母乘分母，能约分先约分）。
示例 3：\(\frac{2}{3}÷(-\frac{4}{5})\)
转化：\(\frac{2}{3}×(-\frac{5}{4})\)；
约分计算：\(\frac{2×(-5)}{3×4} = \frac{-10}{12} = -\frac{5}{6}\)；
结果：\(-\frac{5}{6}\)。
示例 4：\((-\frac{5}{6})÷(-\frac{10}{3})\)
转化：\((-\frac{5}{6})×(-\frac{3}{10})\)；
约分计算：\(\frac{5×3}{6×10} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}\)；
结果：\(\frac{1}{4}\)。
3. 小数除以小数 / 整数
规则：可将小数化为分数，按分数除法计算；或根据商不变性质，将除数化为整数后计算（被除数和除数同时乘 10、100 等，使除数为整数）。
示例 5：\(1.2÷(-0.3)\)
方法 1（化分数）：\(\frac{6}{5}÷(-\frac{3}{10}) = \frac{6}{5}×(-\frac{10}{3}) = -4\)；
方法 2（商不变）：\(1.2×10 = 12\)，\(-0.3×10 = -3\)，\(12÷(-3) = -4\)；
结果：\(-4\)。
示例 6：\(-0.8÷2\)
计算：① 定符号：异号得负；② 算绝对值：\(0.8÷2 = 0.4\)；③ 结果：\(-0.4\)。
4. 含 0 的除法
示例 7：\(0÷(-5)\)：0 除以任何不为 0 的数得 0，结果为\(0\)；
示例 8：\((-7)÷0\)：无意义（0 不能作除数）。
幻灯片 6：有理数除法与乘法的互逆验算
验算原则：除法的结果（商）× 除数 = 被除数（若有余数，商 × 除数 + 余数 = 被除数，有理数除法一般无余数）。
示例验算：
计算\((-24)÷(-4) = 6\)，验算：\(6×(-4) = -24\)（等于被除数，计算正确）；
计算\(\frac{3}{4}÷(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}\)，验算：\(-\frac{3}{2}×(-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}\)（等于被除数，计算正确）；
计算\(5÷(-2) = -2.5\)，验算：\(-2.5×(-2) = 5\)（等于被除数，计算正确）。
应用价值：通过乘法验算，可快速检查除法运算的符号和绝对值是否正确，减少错误。
幻灯片 7：有理数除法的实际应用
例题 1：平均分配问题
某班 5 名同学合买一份价值 - 120 元的礼物（负号表示共同支出），平均每人需支出多少元？
解答过程：
列式：总支出 ÷ 人数 = \((-120)÷5\)；
计算：① 定符号：异号得负；② 算绝对值：\(120÷5 = 24\)；③ 结果：\(-24\)（元）；
结果解读：平均每人需支出 24 元，负号表示支出方向。
例题 2：速度计算问题
一辆汽车沿东西方向行驶，2 小时内行驶的路程为 - 120 千米（负号表示向西行驶），求汽车的平均速度（速度 = 路程 ÷ 时间）。
解答过程：
列式：速度 = \((-120)÷2\)；
计算：① 定符号：异号得负；② 算绝对值：\(120÷2 = 60\)；③ 结果：\(-60\)（千米 / 小时）；
结果解读：汽车的平均速度为 60 千米 / 小时，负号表示行驶方向为西。
幻灯片 8：易错点辨析与注意事项
易错点 1：转化为乘法时，忘记将除数变为倒数
示例：计算\(\frac{1}{2}÷(-\frac{2}{3})\)时，误转化为\(\frac{1}{2}×(-\frac{2}{3}) = -\frac{1}{3}\)（正确应为\(\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{4}\)，除数\(\frac{2}{3}\)的倒数是\(\frac{3}{2}\)，不是\(\frac{2}{3}\)）；
提醒：转化时，需明确 “除数的倒数”—— 将除数的分子分母颠倒（符号不变），如\(-0.5\)（即\(-\frac{1}{2}\)）的倒数是\(-2\)，不是\(2\)。
易错点 2：符号判断错误（尤其是同号相除）
示例：计算\((-18)÷(-6)\)时，误得\(-3\)（正确应为\(3\)，同号相除得正）；或计算\(25÷(-5)\)时，误得\(5\)（正确应为\(-5\)，异号相除得负）；
纠正：牢记符号规则 “同号得正，异号得负”，计算前先标注除数和被除数的符号，再判断结果符号，避免凭直觉判断。
易错点 3：小数除法中，商不变性质应用错误
示例：计算\(0.36÷(-0.04)\)时，误将被除数和除数同时乘 10 得\(3.6÷(-0.4) = -9\)（正确应为同时乘 100 得\(36÷(-4) = -9\)，需使除数化为整数，0.04 乘 100 才得整数 4）；
预防：应用商不变性质时，观察除数的小数位数，被除数和除数同时乘 10 的 n 次方（n 为除数的小数位数），确保除数化为整数。
易错点 4：忽略 “0 不能作除数” 的规则
示例：计算\(0÷0\)时，误得 0 或 1（正确应为无意义）；或在解方程时，出现 “x÷0 = 5” 这类式子（无意义）；
强调：任何情况下，0 都不能作为除数，遇到除数为 0 的情况，直接判定无意义，无需进一步计算。
幻灯片 9：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：整数与分数除法
\((-16)÷(-4) =\)______（答案：4）；
\(\frac{3}{5}÷(-\frac{3}{10}) =\)______（答案：\(\frac{3}{5}×(-\frac{10}{3}) = -2\)）；
\(0÷(-\frac{2}{3}) =\)______（答案：0）。
提升练习 2：小数与混合除法
\(-2.4÷0.6 =\)______（答案：-4）；
\((-\frac{4}{7})÷(-0.8) =\)______（答案：\((-\frac{4}{7})÷(-\frac{4}{5}) = \frac{4}{7}×\frac{5}{4} = \frac{5}{7}\)）；
\((-3)÷(-\frac{1}{3})÷(-3) =\)______（答案：\((-3)×(-3)÷(-3) = 9÷(-3) = -3\)）。
拓展练习 3：实际应用
某水库一周内的水位变化情况如下（上升为正，下降为负）：+3 米、-1 米、-2 米、0 米、-1 米、+2 米、+1 米。求这一周内水位的平均变化量（平均变化量 = 总变化量 ÷ 天数）。（答案：总变化量 = 3-1-2+0-1+2+1=2 米，平均变化量 = 2÷7≈0.29 米）。
幻灯片 10：课堂小结
核心知识回顾：
除法法则：除以一个不为 0 的数，等于乘它的倒数；同号得正，异号得负，绝对值相除；0 除以非 0 数得 0；
运算步骤：① 定符号（同号正、异号负）；② 算绝对值（转化为乘法或直接相除）；③ 得结果；
关键禁忌：0 不能作除数，除数需化为倒数再转化为乘法；
验算方法：商 × 除数 = 被除数，验证计算正确性。
思想方法总结：
转化思想：将除法转化为乘法，利用已知知识解决未知问题；
分类思想：按除数和被除数的类型（整数、分数、小数）分类计算，覆盖所有运算场景。
学习建议：
计算时优先选择 “先定符号，再算绝对值” 的步骤，避免符号与绝对值同时计算导致混乱；
遇到分数或小数除法，可灵活选择转化方法（化分数或用商不变性质），选择更简便的路径；
养成验算习惯，通过乘法验证除法结果，减少错误。
幻灯片 11：课后作业布置
基础巩固：完成教材对应练习题，计算整数、分数、小数的有理数除法；
实践任务：记录家庭一周的用电量（单位：度，以某一基准为 0，超过为正，不足为负），计算平均每天的用电量变化（总变化量 ÷7）；
拓展思考：探究 “多个有理数相除的符号规则”（如 3 个负数相除得负，4 个负数相除得正），下节课分享你的结论。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.2.1有理数的除法
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过学生自主探究，初步掌握有理数的除法法则，能利用有理数的除法法则进行简单的运算，提高学生的运算能力．
2．让学生经历探索有理数除法法则的过程，体会转化的思想，进一步发展学生观察、归纳、验证等能力．
重点
难点
旧知回顾
计算：(1)(－5)×3＝________；
(2)(－7)×(－4)＝_______；
(3) ＝____；
(4)(－6)×0＝_______．
－15
28
0
情境导入
根据实验测定，高度每增加1 km，气温大概下降6℃.某登山运动员攀登某高峰的途中发回信息，报告他所在高度的温度是-15℃，当时地面温度为3℃，你能确定登山运动员所在的位置吗？
请同学们观看一段视频：你能试着解决这个问题吗？
视频导入
出示题目:8÷4=2.
理解1:把8平均分成4份,每份是2;
理解2:除法是乘法的逆运算，
×4=8,可得 =2.提出问题:8÷(-4)=
问题导入
1.请同学们阅读课本43页，思考并完成下面的计算：
－2
－5
＝
＝
＝
2．通过上述三个式子的大小比较，你有什么发现吗？
有理数除法法则：
除以一个不等于0的数，等于____这个数的______．
a÷b＝________．(b≠0)
乘
倒数
3.请同学们阅读课本44页，思考并回答下面的问题：计算，观察并思考：
(1)(－36)÷9＝____；
(2)(－12)÷(－ )＝____；
(3)(＋15)÷(－3)＝____；
(4)(－8)÷(－ )＝____；
(5)0÷(－68)＝____．
两数相除，同号得____，异号得____，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的____.0除以任何一个不等于0的数，都得____．
－4
72
－5
32
0
正
负
商
0
小组合作完成课本48页习题第6题．
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
1．有理数的除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．这个法则也可以表示成a÷b＝a (b≠0)．
2．有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
知识点1：有理数的除法法则(重难点)
注：(1)若两个数能整除，可选择法则2；若两个数不能整除，可选择法则1.
(2)两个数相除，若结果为1，则这两个数相等；若结果为－1，则这两个数互为相反数．
化简分数的方法归纳：分数线具有除号的作用，因此化简分数时可以将分数看成分子除以分母，利用除法法则进行化简．
知识点2：分数的化简(难点)
【题型一】利用有理数的除法法则进行计算
例1：若两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商(　　 )
A．一定是负数　　　　　　　　　　　　　　　
B．一定是正数
C．等于0
D．以上都不对
A
B
变式2：计算：
(1)(－125)÷(－5)＝_______；　　 　(2)(－7.5)÷0.5＝_______；
25
－15
【题型二】分数的化简
－1
－5
20
0
【教材P45】
1. 计算：
（1）(-18)÷6； （2）(-63)÷(-7)；
（3）1÷(-9)； （4）0÷(-8)；
（5）(-6.5)÷0.13； （6） .
= -3
= 9
= 0
= -50
= 3
2. 化简：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
解：（1） =(-72)÷9 = -(72÷9)= -8；
（2） =(-30)÷(-45) = 30÷45 = ；
（3） = 0÷(-75) = 0；
（4） = 27÷(-6) = -(27÷6) = .
1. 下列计算不正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 母题教材P45练习 下列化简：; ;
;; .其中正确的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
3. 在算式中，“ ”内填入下列运算
符号，使得算式的值最大的是( )
D
A. B. - C. × D.
【点拨】，， ，
，因为，所以在“ ”中填
入运算符号“ ”使运算结果最大.故选D.
返回
4. 两个不为0的有理数相除，如果交换它们的位置，商不变，
那么( )
D
A. 两数相等 B. 两数互为相反数
C. 两数互为倒数 D. 两数相等或互为相反数
本节课我们学习了哪些知识？
有理数的除法；分数的化简
同学们，有理数的四个基础运算——加法、减法、乘法、除法，到这节课我们就全部学完了，课后同学们要及时复习学过的知识，为我们之后的学习打好基础．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑