资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：3.1.3 反比例关系
学科：数学
年级：七年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解反比例关系的概念，能区分反比例关系与正比例关系。
掌握反比例关系的表达式形式（xy = k，k 为常数且 k ≠ 0），能根据实际问题列出反比例关系式。
了解反比例关系的图像特征（双曲线），能结合图像初步分析反比例关系的变化规律。
能运用反比例关系解决简单的实际问题，提升数学应用能力。
幻灯片 3：情境引入（生活中的反比例现象）
场景 1：学校要印刷一批宣传资料，总字数是固定的（假设为 10000 字）。如果排版时每页排 x 个字，那么需要印刷的页数 y 是多少？
计算不同 x 对应的 y 值：
每页字数 x（字 / 页）
100
200
250
400
500
所需页数 y（页）
100
50
40
25
20
观察规律：x 增大时，y 随之减小，且 x 与 y 的乘积始终为 10000（100×100 = 10000，200×50 = 10000……）。
场景 2：一辆汽车从 A 地到 B 地，路程是固定的（假设为 200 千米）。如果行驶速度为 v 千米 / 小时，那么行驶时间 t 是多少小时？
计算不同 v 对应的 t 值：
行驶速度 v（千米 / 小时）
40
50
80
100
200
行驶时间 t（小时）
5
4
2.5
2
1
观察规律：v 增大时，t 随之减小，且 v 与 t 的乘积始终为 200（40×5 = 200，50×4 = 200……）。
提问：这两个场景中，两个变量（x 与 y、v 与 t）的变化规律有什么共同特点？这种关系与我们之前学的正比例关系（如 “路程 = 速度 × 时间，速度固定时，路程与时间成正比例”）有什么不同？
幻灯片 4：反比例关系的定义
定义：一般地，对于两个变量 x 和 y，如果这两个变量的乘积是一个固定的常数 k（k 为常数，且 k ≠ 0），那么就说 x 和 y 成反比例关系，简称反比例。
数学表达式：
核心形式：xy = k（k 为常数，k ≠ 0）
变形形式：y = k/x（x ≠ 0）或 x = k/y（y ≠ 0），其中 k 叫做反比例系数。
关键特征：
有两个变量 x 和 y，且两个变量均不能为 0（因分母不能为 0，乘积 k ≠ 0）。
两个变量的乘积是固定常数 k，不随变量取值变化而变化。
一个变量增大时，另一个变量随之减小（变化方向相反）；一个变量减小时，另一个变量随之增大（需注意：仅 “变化方向相反” 不能判定为反比例，必须满足 “乘积为定值”）。
幻灯片 5：反比例关系与正比例关系的对比
对比维度
反比例关系
正比例关系
变量关系
两个变量乘积为定值
两个变量比值为定值
数学表达式
xy = k（k≠0）或 y = k/x
y/x = k（k≠0）或 y = kx
变化规律
一个变量增大，另一个减小
一个变量增大，另一个增大
图像特征
双曲线（在第一、三象限或第二、四象限）
过原点的直线
实例
路程固定时，速度与时间
速度固定时，路程与时间
幻灯片 6：例题讲解 1（判断是否为反比例关系）
例 1：判断下列各组变量 x 和 y 是否成反比例关系，说明理由：
（1）长方形的面积 S 固定时，长 x 与宽 y；
（2）购买同种笔记本，总费用 y 与购买数量 x（笔记本单价固定）；
（3）一个人的身高 h 与体重 w；
（4）xy = -5（x ≠ 0）。
解答与分析：
（1）成反比例关系。理由：长方形面积公式 S = xy，S 固定（为常数），且 x > 0、y > 0，满足 xy = k（k = S ≠ 0），因此长 x 与宽 y 成反比例。
（2）不成反比例关系，成正比例关系。理由：总费用 y = 单价 ×x，单价固定（为常数 k），即 y = kx，满足 y/x = k（k ≠ 0），因此总费用 y 与购买数量 x 成正比例，而非反比例。
（3）不成反比例关系。理由：身高 h 与体重 w 的乘积不是固定常数（如身高 160cm 时体重可能为 50kg，乘积 8000；身高 170cm 时体重可能为 60kg，乘积 10200，乘积不固定），因此两者不成反比例。
（4）成反比例关系。理由：xy = -5（x ≠ 0），满足 “两个变量乘积为常数 k = -5 ≠ 0”，且 y = -5/x（x ≠ 0），因此 x 和 y 成反比例。
幻灯片 7：例题讲解 2（列反比例关系式并计算）
例 2：某工厂要生产一批零件，总数量为 3000 个（固定不变）。
（1）设每天生产的零件数量为 x 个，生产完这批零件所需的天数为 y，列出 y 与 x 的关系式，并判断 x 和 y 是否成反比例；
（2）若每天生产 150 个零件，需要多少天完成生产？
（3）若要求 10 天内完成生产，每天至少需要生产多少个零件？
解答与分析：
（1）总零件数 = 每天生产量 × 天数，即 3000 = xy，因此 y 与 x 的关系式为y = 3000/x（x > 0）。
因 xy = 3000（常数，且 3000 ≠ 0），满足反比例关系定义，故 x 和 y 成反比例。
（2）当 x = 150 时，代入 y = 3000/x，得 y = 3000/150 = 20（天）。
答：需要 20 天完成生产。
（3）当 y = 10 时，代入 y = 3000/x，得 10 = 3000/x，解得 x = 3000/10 = 300（个）。
答：每天至少需要生产 300 个零件。
幻灯片 8：反比例关系的图像（初步认知）
图像绘制步骤（以 y = 6/x 为例，x > 0）：
取 x 的正数值，计算对应的 y 值：
x
1
2
3
4
5
6
y
6
3
2
1.5
1.2
1
在平面直角坐标系中，根据（x，y）描出对应点（1，6）、（2，3）、（3，2）……
用平滑曲线连接这些点，得到的曲线即为 y = 6/x（x > 0）的图像。
图像特征：
反比例关系的图像是双曲线，当 k > 0 时（如 y = 6/x），双曲线在第一、三象限；当 k < 0 时（如 y = -6/x），双曲线在第二、四象限。
双曲线无限接近 x 轴和 y 轴，但永远不会与 x 轴、y 轴相交（因 x ≠ 0，y ≠ 0）。
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小（k > 0 时）或 y 随 x 的增大而增大（k < 0 时）。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
判断下列关系是否为反比例关系：
（1）xy = 8（x ≠ 0）；
（2）圆柱的体积 V 固定时，底面积 S 与高 h；
（3）y = 3x + 2（x 为变量）。
提升题
某农场有一批饲料，总质量为 1200 千克，可供 n 头奶牛吃 t 天，且每头奶牛每天吃的饲料质量相同。
（1）列出 t 与 n 的反比例关系式；
（2）若有 20 头奶牛，这些饲料可以吃多少天？
（3）若希望这些饲料能吃 30 天，最多可以养多少头奶牛？
拓展题
已知变量 x 和 y 成反比例，且当 x = 4 时，y = -3，求：
（1）反比例系数 k 的值；
（2）当 x = -6 时，y 的值；
（3）该反比例关系的表达式，并判断其图像所在的象限。
幻灯片 10：易错点深度剖析
混淆 “变化方向相反” 与 “反比例关系”：
错误案例：认为 “一个变量增大，另一个变量减小” 就是反比例关系（如 “人的年龄增大，视力可能下降”）。
规避方法：判断反比例关系的核心是 “两个变量的乘积为定值”，仅变化方向相反不能判定，需通过计算验证乘积是否固定。
忽略变量的取值范围：
错误案例：在 “xy = 5” 中，认为 x 和 y 可以取任意值（包括 0）。
规避方法：反比例关系中，x 和 y 均不能为 0（因 x = 0 或 y = 0 时，乘积为 0，无法等于 k ≠ 0），且实际问题中变量需符合实际意义（如人数、天数、长度等为正数）。
误用反比例图像特征：
错误案例：认为反比例函数 y = 6/x 的图像会与 x 轴相交。
规避方法：牢记反比例图像（双曲线）的性质 —— 无限接近坐标轴但不相交，因 x ≠ 0、y ≠ 0，图像永远不会触及 x 轴（y = 0）和 y 轴（x = 0）。
幻灯片 11：课堂总结
核心知识梳理：
反比例关系定义：两个变量 x、y 满足 xy = k（k 为常数，k ≠ 0），即 y = k/x（x ≠ 0）。
关键判断方法：验证两个变量的乘积是否为固定常数，且变量不为 0。
图像特征：双曲线（k > 0 时在第一、三象限，k < 0 时在第二、四象限），不与坐标轴相交。
方法提炼：
解决反比例实际问题的步骤：① 根据题意确定固定常数 k（如总数量、总路程）；② 列出反比例关系式（xy = k 或 y = k/x）；③ 代入已知量计算未知量。
与正比例关系的区分：紧扣 “乘积为定值”（反比例） vs “比值为定值”（正比例）。
幻灯片 12：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（反比例关系判断、列关系式、计算相关题目）。
实践作业：观察生活中的反比例现象（如 “家庭用电量固定时，每天用电量与可用天数”），记录 3 组变量数据，验证其是否为反比例关系，并列出反比例关系式。
拓展作业：已知变量 x 和 y 成反比例，且当 x = -2 时，y = 5，画出该反比例关系在第二象限的部分图像（至少描出 5 个点），并分析 y 随 x 的变化规律。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.1.3反比例关系
第三章 代数式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 经历对反比例的意义的探索过程，体验分析归纳得出反比例的意义，进一步发展学生的探究、交流能力．
2．通过教师讲评，学生能理解并掌握反比例关系的概念，并能应用所学知识解决相关问题，培养学生解决问题的能力．
问题导入
某工厂生产10台机器需要7天时间，那么生产20台机器需要多少天？
请同学们思考这个问题.
这个问题中包含哪几个量？
它们之间有什么样的数量关系？
如果工作效率不变，工作总量和工作时间有什么关系？
工作时间、工作效率、工作总量
工作总量=工作时间×工作效率
随着工作时间的增加，工作总量也随之增加
一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比的量.
工作效率×工作时间 = 工作量
（保持不变）
什么关系？
同学们，你们一定能感受到，在我们身边有很多的变化现象，这些变化让我们的生活充满了乐趣.
比如变色龙身体的颜色会随着温度的变化而变化；
随着时间的变化，树木的年轮会产生变化等等.
你还能举出生活中你发现了哪些变化吗？
情境导入
同学们，老师这里有一个水杯，我们往这个杯子里面倒入2 cm高的水和倒入6 cm高的水，会有什么不同呢？
这是哪两种相关联的量？
水的体积是怎样随着高度变化的？
活动导入
水的体积不同
体积和高度
体积随着高度的增加而增加
《02》
新知探究
1.请同学们阅读课本73页，回答下列问题．
阅读本章引言中的问题(1)：
(1)题中涉及哪些变量？
(2)题中已知哪些量？求什么？
(3)完成这个题目．
涉及工作总量、工作效率、工作时间
已知工作效率和工作时间，求工作总量
略
2．请同学们阅读课本74页例5.
(1)题目中不变的量是什么？
(2)思考如何根据题目中的已知条件表示水的体积．
3．思考怎么辨别两个相关联的量是不是成反比例关系？
水的体积
圆柱形容器的底面积×水面高度＝水的体积
如果这两个相关联的量的乘积一定，那么这两个量成反比例关系
完成课本76页习题4，5.
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
1．定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．
2．比例系数：如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用xy＝k或y＝ 来表示，其中k叫作比例系数．
知识点：成反比例的量(重难点)
【题型】成反比例的量
例1：张师傅加工600个零件，每小时加工个数和加工时间如下表：
(1)将上表填写完整．表中有_______________和_________这两种相关联的量．每小时加工个数增加，加工时间________；
(2)每组相关联的量相对应的两个数的积都是_________，这个积表示的是_______________________；
(3)由此可知，_________________一定时，________________和_________成_______比例关系．
每小时加工个数
加工时间
减少
600
加工零件的总个数
加工零件的总个数
每小时加工个数
加工时间
每小时加工个数 10 30 40 …
加工时间/时 60 30 …
反
20
20
15
例2：下列各题中的两种量成反比例关系的是(　 　)
①圆锥的体积一定，它的底面积和高；
②长方形周长一定，它的长与宽；
③比的前项一定，比的后项和比值；
④圆的面积和它的半径．
A．①②　　　B．②③　　　C．①③　　D．③④　
C
练 习
【教材P75】
1. 如果汽车行驶的路程一定，那么汽车行驶的平均速度与时间是否成反比例关系？为什么？
成反比例关系
速度×时间 = 路程
2. 判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由：
（1）一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量；
（2）长方体的体积一定，长方体的底面积与高；
（3）购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用.
成反比例关系
成反比例关系
不成反比例关系
3. 某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数
与运输的天数之间的关系如下表所示.
每天运输的吨数 500 250 10 50 …
运输的天数 1 2 5 10 …
（1）这批货物共有多少吨？
500 吨
（2）运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？
每天运输的吨数 500 250 10 50 …
运输的天数 1 2 5 10 …
运输的天数对着每天运输的吨数减少而增多
（3）用 t 表示运输的天数，用 a 表示每天运输的吨数，用式子表示 t 与 a 的关系. t 与 a 成什么比例关系？
t 与 a 成反比例关系
每天运输的吨数 500 250 10 50 …
运输的天数 1 2 5 10 …
1. 用代数式表示：
【习题3.1教材P75~77】
（1）m 的 2 倍； （2）n 的 ；
2m
（3）比 x 的 2 倍少 1 的数； （4）a 的立方除以 b 的商.
2x -1
2. 说出下列代数式的意义：
（1）3x + 6；
（2）5(m - 2)；
（3）a2 + b2；
（4） .
x 的 3 倍与 6 的和
m 与 2 的差的 5 倍
a 的平方与 b 的平方的和
n 与 1 的和除以 n 与 1 的差的商
3. 用代数式表示：
（1）棱长为 a 的正方体的表面积.
（2）位于江苏省常州市金坛区的华罗庚纪念馆目前累计接待中外参观者 a 万人，预计今后每年平均接待参观者 b 万人，c 年后累计接待的总人数为多少万人？
6a2
a + bc
（3）设某银行一年定期存款的利率是 1.5%，存入 a 元钱，一年后得到的利息是多少元？本息和（存入的钱与利息的和）是多少元？
1.5%a
（1+ 1.5%）a
（4）甲、乙两地相距 s km. 李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时 t h；后因天气原因，改乘公交车前往，结果提前 1 h 到达乙地. 公交车的速度是多少？
4. 判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由：
（1）200 名同学参加队列操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与排数；
（2）三角形的面积是 6 cm2，它的一条边的长与这条边上的高；
成反比例关系
成反比例关系
（3）张华每小时可以制作 120 朵小红花，她制作的小红花朵数与制作时间.
不成反比例关系
本节课我们学习了哪些知识？
成反比例的量
同学们，这节课与我们的生活息息相关，在生活中存在很多成正比例关系、成反比例关系的量，希望同学们多多感受、多多发现．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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