资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：4.1.2 多项式和整式
学科：数学
年级：七年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解多项式的概念，能准确识别多项式的项、常数项及次数。
掌握整式的定义，明确整式与单项式、多项式之间的关系。
能根据多项式的次数和项数对多项式进行分类，提升对代数式的分类认知能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境引入
知识回顾：
单项式定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式（如 3x、-5、a 等）。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数（如 3x y 的次数是 3）；单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数（如 - 2ab 的系数是 - 2）。
情境引入：
场景 1：一个长方形的长为 x，宽为 y，另一个长方形的长为 2x，宽为 3，那么这两个长方形的面积之和是多少？（引导学生列出代数式：xy + 6x）
场景 2：小明买了 3 支单价为 a 元的钢笔和 2 本单价为 b 元的笔记本，还找回 5 元，小明原来带了多少钱？（引导学生列出代数式：3a + 2b + 5）
提问：观察列出的 xy + 6x、3a + 2b + 5，它们与单项式有什么区别？这类代数式又该如何定义呢？
幻灯片 4：多项式的概念
定义：几个单项式的和叫做多项式。
例如：xy + 6x 是单项式 xy 与 6x 的和，3a + 2b + 5 是单项式 3a、2b 与 5 的和，它们都是多项式。
多项式的相关概念：
项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
例如：多项式 2x - 3x + 7 中，2x 、-3x、7 都是它的项（注意：项包括前面的符号，如 “-3x” 是一项，不是 “3x”）。
常数项：在多项式中，不含字母的项叫做常数项。
例如：多项式 5m + 2m - 1 中，-1 是常数项；多项式 ab - 6 中，-6 是常数项。
多项式的次数：在多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如：多项式 3x y + 2xy - y 中，各项的次数分别是 3（3x y）、2（2xy）、2（-y ），次数最高的项的次数是 3，因此这个多项式的次数是 3。
多项式的命名：通常根据多项式的次数和项数来命名，格式为 “几次几项式”。
例如：3x - 2x + 1 是二次三项式（次数是 2，有 3 项）；xy + 5 是二次二项式（次数是 2，有 2 项）；7a - 3 是一次二项式（次数是 1，有 2 项）。
幻灯片 5：例题讲解 1（识别多项式的项、常数项与次数）
例 1：指出下列多项式的项、常数项及次数，并判断其为几次几项式：
（1）2x - 5x + x - 7 （2）-ab + 3a b - 4 （3）m n - mn + 1
解答与分析：
（1）① 项：2x 、-5x 、x、-7（注意各项符号）；
② 常数项：-7；
③ 各项次数：3（2x ）、2（-5x ）、1（x）、0（-7，常数项次数视为 0）；
④ 多项式次数：3（次数最高项为 2x ）；
⑤ 命名：三次四项式。
（2）① 项：-ab、3a b、-4；
② 常数项：-4；
③ 各项次数：2（-ab）、3（3a b）、0（-4）；
④ 多项式次数：3（次数最高项为 3a b）；
⑤ 命名：三次三项式。
（3）① 项：m n、-mn、1；
② 常数项：1；
③ 各项次数：3（m n，m 的指数 2 + n 的指数 1 = 3）、2（-mn）、0（1）；
④ 多项式次数：3（次数最高项为 m n）；
⑤ 命名：三次三项式。
幻灯片 6：整式的概念
定义：单项式和多项式统称为整式。
整式的分类：
注意事项：
整式中分母不能含有字母（因为分母含字母的代数式属于分式，不属于整式）。
例如：1/x（分母含 x）、(a + b)/c（分母含 c）都不是整式；而 (2x + 3)/5 = (2/5) x + 3/5，分母是常数 5，属于整式。
判断练习：下列代数式中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？
① 3x ② 1/(2y) ③ -5 ④ x + 2x - 1 ⑤ (a - b)/3 ⑥ ab + c
（答案：整式①③④⑤⑥；单项式①③；多项式④⑤⑥）
幻灯片 7：例题讲解 2（整式的判断与多项式分类）
例 2：下列代数式中，哪些是整式？若是整式，判断其为单项式还是多项式，并对多项式说明是几次几项式：
（1）-4x y （2）(x + 1)/x （3）2m - 3m + 6 （4）0 （5）(3a b - ab)/2
解答与分析：
（1）① 是整式；② 是单项式（数与字母的积）；③ 系数为 - 4，次数为 3（x 的指数 2 + y 的指数 1 = 3）。
（2）① 分母含字母 x，不是整式（属于分式）。
（3）① 是整式；② 是多项式；③ 项为 2m 、-3m、6，常数项为 6；④ 各项次数分别为 2、1、0，多项式次数为 2；⑤ 命名：二次三项式。
（4）① 是整式；② 是单项式（单独的一个数）；③ 系数为 0，次数为 0（常数项的次数视为 0）。
（5）① 化简为 (3/2) a b - (1/2) ab，分母是常数 2，是整式；② 是多项式；③ 项为 (3/2) a b、-(1/2) ab，常数项无；④ 各项次数分别为 3、2，多项式次数为 3；⑤ 命名：三次二项式。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
指出下列多项式的项、常数项和次数，并判断是几次几项式：
（1）3x - 5x + 2 （2）-a b + 2ab - 7 （3）4m - 8
判断下列代数式是否为整式，若是，区分是单项式还是多项式：
（1）5xy （2）7/(x - 2) （3）x - 2x + x （4）-9
提升题
已知多项式 - 2x^(m+1) y + x y - 3x + 2 是六次四项式，求 m 的值。
写出一个关于 x 的二次三项式，使它的二次项系数为 - 3，一次项系数为 2，常数项为 5。
拓展题
若代数式 (ax + bx + 1) 是关于 x 的一次二项式，求 a、b 的取值范围。
幻灯片 9：易错点深度剖析
混淆多项式的项与符号：
错误案例：认为多项式 2x - 3x + 1 的项是 2x 、3x、1（忽略 “-3x” 中的负号，正确项应为 2x 、-3x、1）。
规避方法：确定多项式的项时，务必带上该项前面的符号，正号可省略（如 “+2x” 可写为 “2x”），负号不可省略（如 “-5y” 不能写为 “5y”）。
误算多项式的次数：
错误案例：计算多项式 x y + 2xy 的次数时，错算为 3（仅算 x 的次数，正确应为 4，x 的指数 3 + y 的指数 1 = 4）；将常数项的次数算为 1（正确常数项次数视为 0）。
规避方法：计算多项式次数时，先分别算出每一项的次数（单项式的次数），再取最高次项的次数作为多项式的次数；明确常数项的次数为 0。
将分式误认为整式：
错误案例：认为 (2x + 1)/x 是整式（分母含字母 x，属于分式，不是整式）；认为 5/(x + y) 是整式（分母含字母 x、y，不是整式）。
规避方法：判断整式的关键是 “分母是否含字母”，若分母含字母（无论字母在分子还是分母整体中），均为分式，不属于整式；若分母是常数，则属于整式（可化简为多项式或单项式）。
幻灯片 10：课堂总结
核心知识梳理：
多项式：几个单项式的和，包含项（带符号）、常数项（不含字母的项）、次数（最高次项的次数），命名为 “几次几项式”。
整式：单项式和多项式的统称，分母不能含字母，分式不属于整式。
关系：单项式是特殊的多项式（只有一项的多项式），多项式和单项式共同构成整式。
方法提炼：
多项式相关判断 “三步法”：① 找项（带符号）；② 定常数项（不含字母的项）；③ 算次数（最高次项的次数）。
整式判断 “关键法”：看分母是否含字母，不含字母则为整式，再进一步区分单项式（一项）和多项式（多项）。
幻灯片 11：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（多项式的项、次数判断，整式分类相关题目）。
拓展练习：
（1）已知多项式 3x^(2n) y^(m+1) + x y - 3x 是五次三项式，求 m、n 的值（n 为正整数）。
（2）写出 3 个不同的关于 x、y 的三次二项式，并指出它们的项和次数。
实践思考：结合之前学的 “列代数式” 知识，自编一道实际问题，列出一个二次三项式的代数式，并说明该多项式的项、次数及命名。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.1.2多项式和整式
第四章 整式的加减
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过学生自主探究，理解多项式的相关概念、整式的相关概念，培养学生自主学习的能力．
2．通过与单项式的对比学习，掌握多项式的项及其次数、常数项等概念及应用，培养学生比较、分析、归纳的能力．
3．通过用整式表示数量关系的过程，体会用整式表示数量关系的简洁性和一般性，培养学生的抽象能力．
旧知回顾
同学们，你知道下列哪些式子是单项式吗？并指出单项式的系数和次数．
3，π，a2b， ，a2＋b2，2＋b.
单项式有3，π，a2b， .它们的系数分别是3，π，1， ，次数分别是0，0，3，1
情境导入
同学们，你们注意过我们学校的操场形状吗？
由一个长方形和两个半圆组成
如图，我们假设长方形的长为a，宽为b.
请同学们思考：
（1）两个半圆的面积和是_______；
（2） 整个操场的面积是_________.
观察这两个式子之间有哪些区别和联系呢？


1.列代数式:
(1)长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是________；
(2)深班有男生x人，女生 21人，则这个班共有学生________人；
(3)鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头______个，脚________只.
2.观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别
问题导入
2(a+b)
(x+21)
(a+b)
(2a+4b)
同学们，观察下列式子，它们是单项式吗？
它们和单项式有什么关系呢？
直接导入
《02》
新知探究
1.请同学们阅读课本91－92页例2前．并总结多项式的次数、最高次项和命名方法以及整式的概念．
以多项式2x－3为例，2x的次数是1，－3的次数是0，1＞0，那么多项式2x－3的次数为1，也就是说，多项式里，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，次数最高的项叫作这个多项式的最高次项．
如果一个多项式含有m项，次数为n，那么这个多项式叫作n次m项式，如多项式x2＋2x－1是二次三项式．单项式与多项式统称整式
2．请同学们填表：
多项式 3a－1 －x＋5x2＋7 －2x2y＋6xy4－3
各项
次数
最高次项
几次 几项式
3a，－1
－x，5x2，7
－2x2y，6xy4，－3
1
2
5
3a
5x2
6xy4
一次
二项式
二次
三项式
五次
三项式
3.下列式子中哪些是整式？并指出其中的单项式和多项式．
1.a是单项式吗？ 是单项式吗？a＋ 是多项式吗？为什么？
a是单项式， 不是单项式，a＋ 不是多项式．
因为 的分母中含有字母
2．单项式、多项式、整式的联系和区别是什么？
3．请同学们完成课本92页例2.
联系：几个单项式的和是多项式，单项式与多项式统称整式．
区别：单项式的次数是所有字母的指数和，多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
1．多项式的概念：几个单项式的和叫作多项式．
2．多项式的项：多项式中的每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项．
3．多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
知识点1：多项式
注：多项式是由几个单项式相加得到的．如多项式x2＋2x－1是由单项式x2，2x，－1相加得到的．
注：(1)多项式的项，包括符号，如多项式x2＋2x－1中，常数项是－1.
(2)在确定多项式的次数时，要先计算出多项式的每一项的次数，再确定多项式的次数，即取次数最高的项的次数作为该多项式的次数．如多项式x2＋2x－1中，x2的次数是2，2x的次数是1，－1的次数是0，所以多项式x2＋2x－1的次数是2.
单项式与多项式统称整式．
知识点2：整式
注：(1)已知一个式子，无论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个式子是整式，那么它可能是单项式，也可能是多项式．
(2)分母中含有字母的式子不是整式．
【题型一】多项式及有关概念
例1：多项式3ab2c＋2a2b－ab－2的各项分别是________________________，它是____次____项式，其中次数最高的项是_______，二次项是______，常数项是_______．
3ab2c，2a2b，－ab，－2
四
四
3ab2c
－ab
－2
例2：如果整式xn－2－5x＋2是关于x的三次三项式，那么n等于(　 　)
　A．3 B．4 C．5 D．6
C
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
C
【题型二】整式的概念
例4：某水果店销售某种凤梨每千克m元，每周二会员日打七九折出售，王老师周二购买了10千克这种凤梨，共花费_____元．
例5：某市出租车收费标准是：起步价8元(路程不超过2 km)，当路程超过2 km时，每1 km收费1.8元，如果某出租车行驶x(x>2 )km，则司机应收费(　 　)
A．(8－1.8x)元 B．(8＋1.8x)元
C．[8＋1.8(x－2)]元 D．[8＋1.8(x＋2)]元
【题型三】根据实际问题列整式
7.9m
C
复习巩固
1.单项式-4a2b3c的系数是_____，次数是_____.
-4
6
2.写出一个系数是2，次数是3的单项式.
2xy2
（答案不唯一）
3.多项式a4-2a2b+b2的项为___________，次数是___.
a4, -2a2b, b2
4
4. 一所住宅的建筑平面图如图所示(图中长度单位：m)，分为 I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，则这所住宅的建筑面积可以用一个多项式表示为_____________，这个多项式的次数是______.
x2+2x+18
2
I
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
2
x
4
3
2
3
x
x
综合运用
5. 今年“十一”假期期间，某公园接待的游客数比去年同期增长了5.7%.若去年同期这个公园接待了游客 x 万人，求今年“十一”假期期间这个公园比去年同期多接待的游客人数.
解：今年“十一”假期期间这个公园比去年同期多接待的游客人数为5.7%x 万.
6. 我国古代数学著作《周髀算经》中提到，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气中，在同一地点测量每个节气正午时同一根杆的日影长，发现每个节气与它后一个节气的日影长的差近似为定值.若这个定值为 d尺 (这里的尺是我国古代长度单位)，立春当日的日影长为10.5尺，求立夏当日日影长的近似值.
解：立夏当日的日影长的近似值为( 10.5-6d ) 尺.
7.世界杯排球赛的积分规则为：比赛中以3-0(胜3局负0局）或者3-1取胜的球队积3分，负队积0分；比赛中以3-2取胜的球队积2分，负队积1分.若某球队以3-1胜了a场，以3-2胜了b场，以2-3负了c场，则这支球队的积分用多项式可以表示为____________.
3a+2b+c
拓广探索
8. 设n表示任意一个整数，用含n的代数式表示：
(1)能被3整除的整数；
(2)除以3余数为1的整数.
解：(1) 3n.
(2) 3n+1.
9.鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准. 新鞋号标准对应于20世纪60年代后期制定的旧鞋号标准，部分鞋号对照如下
新鞋号 220 225 230 235 … 270
旧鞋号 34 35 36 37 … a
(1)求a的值；
(2)若新鞋号为m，旧鞋号为n，写出一个把旧鞋号转换为新鞋号的公式.
解：(1) a=44.
(2) m=5n+50.
本节课我们学习了哪些知识？
多项式的概念、多项式的项和次数的概念、整式的概念、根据实际问题列整式
同学们，这节课我们学习了整式及有关概念，要注意多加理解和练习，为我们之后学习整式的运算奠定基础，希望同学们把“地基”打好．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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