资源简介

(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：3.2.2 几何中的代数式求值
学科：数学
年级：七年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
能根据几何图形的性质，用字母表示图形中的边长、周长、面积、体积等相关量，建立代数式。
掌握几何背景下求代数式的值的方法，能准确代入数值计算。
能运用几何中的代数式求值解决实际生活中的几何问题，提升数学应用能力。
幻灯片 3：情境引入
生活场景 1：小明家要给长方形阳台铺地砖，阳台的长为 a 米，宽为 b 米。如果每平方米地砖的价格是 80 元，购买地砖总共需要花费多少钱？（引导学生得出代数式：80ab 元）
生活场景 2：学校要制作一个正方体形状的展示箱，棱长为 x 分米。现在要给展示箱的表面刷上油漆，每平方分米油漆的成本是 2 元，刷这个展示箱需要的油漆成本是多少？（引导学生得出代数式：2×6x = 12x 元）
提问：当知道具体的边长、棱长等数值时，如何计算实际的花费或成本呢？这就需要用到几何中的代数式求值。
幻灯片 4：常见几何图形的代数式表示
几何图形
相关量（字母表示）
周长 / 棱长总和代数式
面积 / 表面积代数式
体积代数式（若有）
长方形
长 a，宽 b
C = 2(a + b)
S = ab
-
正方形
边长 a
C = 4a
S = a
-
三角形
三边 a、b、c，高 h（对应底边 a）
C = a + b + c
S = (1/2)ah
-
正方体
棱长 a
棱长总和 = 12a
表面积 S = 6a
V = a
长方体
长 a，宽 b，高 h
棱长总和 = 4 (a + b + h)
表面积 S = 2 (ab + ah + bh)
V = abh
幻灯片 5：例题讲解 1（平面图形）
例 1：一个长方形操场，长为 (2x + 3) 米，宽为 (x - 1) 米。
（1）用含 x 的代数式表示这个操场的周长和面积；
（2）当 x = 10 时，求操场的周长和面积。
解答：
（1）① 周长：根据长方形周长公式 C = 2 (长 + 宽)，可得
C = 2 [(2x + 3) + (x - 1)] = 2 (3x + 2) = 6x + 4（米）
② 面积：根据长方形面积公式 S = 长 × 宽，可得
S = (2x + 3)(x - 1) = 2x - 2x + 3x - 3 = 2x + x - 3（平方米）
（2）当 x = 10 时，
① 周长：6x + 4 = 6×10 + 4 = 64（米）
② 面积：2x + x - 3 = 2×10 + 10 - 3 = 200 + 10 - 3 = 207（平方米）
幻灯片 6：例题讲解 2（立体图形）
例 2：一个长方体无盖收纳盒，长为 a 厘米，宽为 b 厘米，高为 h 厘米，制作这个收纳盒需要多少平方厘米的硬纸板？当 a = 20，b = 15，h = 10 时，求所需硬纸板的面积。
分析：无盖长方体只有 5 个面，表面积 = 底面面积 + 4 个侧面面积，即 S = ab + 2ah + 2bh（平方厘米）。
解答：
当 a = 20，b = 15，h = 10 时，
S = 20×15 + 2×20×10 + 2×15×10
= 300 + 400 + 300
= 1000（平方厘米）
答：当 a = 20，b = 15，h = 10 时，所需硬纸板的面积为 1000 平方厘米。
幻灯片 7：学生活动（小组合作）
任务：现有一个等腰三角形零件，其中两条相等的腰长为 (3m + 2) 厘米，底边长为 (2m - 1) 厘米。
用含 m 的代数式表示这个等腰三角形的周长；
当 m = 3 时，计算这个等腰三角形的周长；
思考：当 m = 1 时，这个等腰三角形存在吗？为什么？（引导学生结合三角形三边关系判断：两边之和大于第三边）
小组展示要求：每组派一名代表讲解解题过程，其他小组补充评价。
幻灯片 8：课堂练习
一个正方形的边长为 (5y - 2) 分米，当 y = 2 时，求这个正方形的面积。
一个圆柱体的底面半径为 r 厘米，高为 h 厘米，圆柱体的侧面积公式为 S 侧 = 2πrh（π 取 3.14）。当 r = 5，h = 8 时，求圆柱体的侧面积。
一个梯形花园，上底为 (4n + 1) 米，下底为 (2n - 3) 米，高为 3n 米。当 n = 2 时，求这个梯形花园的面积。
幻灯片 9：易错点提醒
公式记错：如混淆长方体表面积（有盖 / 无盖）、三角形面积（忘记乘 1/2），解题前需先明确图形特征，回忆正确公式。
代入数值错误：尤其是字母取值为负数或分数时，需注意符号和运算顺序，例如边长为 (-x + 5) 时，代入 x = 3，边长应为 2，而非 - 3 + 5 = 2（需正确计算符号）。
忽略实际意义：几何图形中的边长、半径等长度不能为负数，计算后需检验结果是否符合实际，例如三角形边长计算结果为负数时，需说明该取值无效。
幻灯片 10：课堂总结
知识梳理：
几何中常用代数式表示的量：周长、面积、表面积、体积等，需牢记常见图形的计算公式。
几何中的代数式求值步骤：① 根据图形公式列出代数式；② 确定字母的取值（需符合实际意义）；③ 代入数值计算；④ 检验结果合理性。
能力提升：通过解决几何实际问题，体会代数式在几何中的应用价值，培养数学建模能力。
幻灯片 11：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（几何相关代数式求值题目）。
实践作业：测量家中一个长方体物品（如书本、文具盒）的长、宽、高，用代数式表示其表面积和体积，再代入测量数据计算实际的表面积和体积。
拓展练习：一个等腰梯形的上底为 x 厘米，下底为 (x + 4) 厘米，腰长为 (2x - 1) 厘米，高为 3 厘米。当 x = 3 时，求这个等腰梯形的周长和面积。
2024人教版数学七年级上册
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3.2.2几何中的代数式求值
第三章 代数式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过阅读课本学生可以回忆起相关计算公式，并利用公式列出代数式进行求值，提高学生的计算能力和综合应用能力．
2. 通过教师讲评学生可以认识到代数式在解决实际问题中的简便性，发现数学在生活中的重要作用，持续提高对数学的学习热情．
复习导入
请同学们回忆学过的三角形面积公式，
由底和高为数过渡到底和高为字母，引入新课.
某工厂生产了一种T型零件，该零件由两个长方形组成，其尺寸如图所示.
（1）用含x，y的式子表示T型零件的周长；
（2）用含x，y的式子表示T型零件的面积；
情境导入
请同学们观看一段视频
视频导入
1.请同学们阅读课本80－81页，并思考以下问题．
2．研读课本80页例3.
①如果不用代数式，请计算一下两段直道均是100米，半圆形弯道半径为50米的跑道周长；
②请计算一下两段直道是120米，半圆形弯道半径为60米的跑道周长．
通过上述计算大家思考是直接用数计算简便还是利用代数式计算简便？
3．完成课本81页练习1题．
100×2＋2π×50≈514(米)
120×2＋2π×60≈616.8(米)
用代数式表示只需要表示一次数量关系，其余代入数值即可，直接计算需要每一次都梳理数量关系，因此用代数式更简便
如图，正方形ABCD和正方形ECGF的边长分别为a和6，点C，D，E在一条直线上，点B，C，G在一条直线上，将阴影部分的面积记为S阴影．
(1)试用含a的代数式表示S阴影；
(2)当a＝12时，比较S阴影与△BGF的面积的大小．
(1)在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
(2)要注意书写的规范性，用字母表示数以后，在含有字母与数的乘法中，通常将“×”简写作“·”或者省略不写．
(3)在数和表示数的字母的乘积中，一般把数写在字母的前面．
(4)含有字母的除法，一般不用“÷”，而是写成分数的形式．
知识点：利用公式列代数式并求值(重难点)
【题型】利用公式列代数式并求值
例1：如图所示，以正方形的顶点为圆心，边长为半径作圆弧，过这个顶点作正方形的对角线，已知正方形的边长为a.
(1)用含a的代数式表示图中阴影部分的面积S；(结果保留π)
(2)当a＝10时，求S的值．(结果保留π)
例2：如图，某长方形广场的四角都有一块边长为
x米的正方形草地．若长方形的长为a米，宽为b米．
(1)请用代数式表示阴影部分的面积；
(2)若长方形广场的长为300米，宽为200米，正方形草地的边长为10米，求阴影部分的面积．
解：(1)阴影部分的面积为(ab－4x2)平方米．
(2)当a＝300，b＝200，x＝10时，
ab－4x2＝300×200－4×102＝60 000－400＝59 600(平方米)．
答：阴影部分的面积为59 600平方米．
练 习
【教材P81】
1. 填空题.
（1）若 a，b 分别表示平行四边形的底和高，则面积
S =_____；当 a = 2 cm，b = 3 cm 时，S =____cm2.
ab
6
（2）若 a，b 分别表示梯形的上底和下底，h 表示梯形的高，则面积 S =_________；当 a = 2 cm，b = 4 cm，h = 5 cm 时，S =________cm2.
(a + b)h
2
15
2. 一个长方体纸箱的长是 a，宽与高都是 b，用代数式表示这个纸箱的体积 V . 当 a = 60 cm，b = 40 cm 时，求这个纸箱的体积。
解：这个纸箱的体积 V = ab2 .
当 a = 60 cm，b = 40 cm 时，
V=ab2 = 60×402 = 96000 (cm3).
因此，这个纸箱的体积是 96000 cm3 .
3. 如图，用代数式表示圆环的面积. 当 R = 15 cm，r = 10 cm 时，求圆环的面积（π 取 3.14).
解：圆环的面积为 πR2 - πr2 .
当 R = 15 cm，r = 10 cm 时，
πR2 – πr2 = 3.14×152 - 3.14×102 = 392.5 (cm2).
因此，圆环的面积为392.5 cm2 .
习题3.2
1. 填空题.
【教材P82】
（1）当 a = -1 时，代数式 2-a 的值是______；
（2）当 b = - 时，代数式 1-b2 的值是______；
3
2. 已知 a = 12，b = -18，求下表中代数式的值：
代数式 a+b a-b ab
代数式的值
-6
30
-216
3. 根据下列 a，b 的值，分别求代数式 a2 + b2 与
(a + b)2 的值：
（1）a = 3，b = -2；（2）a = -3，b = 2.
解：（1）当 a = 3，b = -2 时，
a2 + b2 = 32 + (-2)2 = 13，
(a + b)2 = [3 + (-2)]2 = 1.
3. 根据下列 a，b 的值，分别求代数式 a2 + b2 与
(a + b)2 的值：
（1）a = 3，b = -2；（2）a = -3，b = 2.
（2）当 a = -3，b = 2 时，
a2 + b2 = (-3)2 + 22 = 13，
(a + b)2 = (-3 + 2)2 = 1.
4. 求下列代数式的值：
（1） ，其中 n = 4；
（2）(a-c)2 + b，其中 a = 7，b = 3，c = 5.
（2）当 a = 7，b = 3，c = 5 时，
(a-c)2 + b = (7-5)2 + ×3 = .
解：（1）当 n = 4，
5. 已知圆锥的体积 V = πr2h，其中 r 为底面半径，
h 为圆锥的高. 当 r = 15 cm，h = 16 cm 时，求圆锥
的体积（π 取 3.14）
解：当 r = 15 cm，h = 16 cm 时，
V = πr2h = ×3.14×152×16 =3768（cm3）.
因此，圆锥的体积为 3768 cm3.
综合运用
6. 一段钢管的形状和尺寸如图所示，如果大圆的半径是 R，小圆的半径是 r，钢管的长度是 a，用代数式表示这段钢管的体积 V. 当 R = 30 mm，r = 15 mm，a = 120 mm 时，求这段钢管的体积（π 取 3.14）.
解：V = πa(R2-r2).
当 R = 30 mm，r = 25 mm，a = 200 mm 时，
V = πa(R2-r2) = 3.14×200×(302 -252) = 172700(mm3).
因此，这段钢管的体积为 172700 mm3.
7. A，B 两地相距 s km，甲、乙两人驾车分别以 a km/h，b km/h 的速度从 A 地到 B 地，且甲用的时间较少.
（1）用代数式表示甲比乙少用的时间；
解：甲比乙少用的时间为 h.
（2）当 s = 180，a = 72，b = 60 时，求（1）中代数式的值，并说明这个值表示的实际意义.
当 s = 180，a = 72，b = 60 时， .
这个值表示甲比乙少用 0.5 h.
8. 摄氏温标与华氏温标是两种计量温度的标准，它们分别用摄氏度和华氏度（℉）来计量温度，二者可以互相转换，请你查阅有关资料，解决下列问题：
（1）将 25 ℃ 转换成华氏度；（2）将-4℉ 转换成摄氏度.
拓广探索
解：查阅资料可得华氏温度 = 摄氏温度×1.8 + 32.
（1）25 ℃ = 77 ℉；（2）-4 ℉ = -20 ℃.
同学们，今天我们学习了用公式列代数式并进行计算，在课上大家通过动手计算体会到了利用代数式解决问题的简便，大家在未来的学习中要继续不断探索，体会数学在我们生活中的重要作用．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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