资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：5.1.1.2 方程的解及一元一次方程
学科：数学
年级：七年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解方程的解的定义，能熟练检验一个数是否为方程的解。
掌握一元一次方程的概念及判断标准，能准确识别一元一次方程。
能根据方程的解的定义和一元一次方程的特征，解决简单的相关问题，提升对方程的分类认知能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
方程的定义：含有未知数的等式（关键要素：含未知数、是等式）。
示例：3x = 15、2 (8 + y) = 28 是方程，12 + x（代数式）、5 + 3 = 8（不含未知数的等式）不是方程。
情境导入：
问题 1：方程 2x = 6 中，x 取什么值时，等号两边相等？（学生易得出 x = 3，初步感知 “方程的解”）
问题 2：方程 x + 5 = 9 和方程 2x - 3 = x + 1，未知数的个数和次数有什么共同特点？与方程 x = 4、x + y = 7 相比，又有什么不同？
提问：什么是方程的解？如何判断一个方程是否为 “一元一次方程”？
幻灯片 4：方程的解的定义与检验
定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（只含一个未知数的方程的解，也叫做方程的根）。
例如：方程 3x = 15 中，当 x = 5 时，左边 = 3×5 = 15，右边 = 15，左边 = 右边，因此 x = 5 是方程 3x = 15 的解（或根）。
检验步骤（核心：代入验证）：
代入：将待检验的数代入方程中的未知数。
计算：分别计算方程左右两边的结果。
判断：若左右两边结果相等，则该数是方程的解；若不相等，则不是。
示例：检验 x = 4 是否为方程 2x - 3 = 5 的解：
代入：将 x = 4 代入方程，左边 = 2×4 - 3 = 5，右边 = 5。
判断：左边 = 右边，因此 x = 4 是方程的解。
幻灯片 5：例题讲解 1（检验方程的解）
例 1：检验下列各数是否为对应方程的解：
（1）x = 2，方程：3x - 1 = 5；
（2）y = -3，方程：2 (y + 1) = y - 1；
（3）z = 0.5，方程：4z - 3 = z。
解答与分析：
（1）① 代入：左边 = 3×2 - 1 = 5，右边 = 5；
② 判断：左边 = 右边，因此x = 2 是方程的解。
（2）① 代入：左边 = 2 (-3 + 1) = 2×(-2) = -4，右边 = -3 - 1 = -4；
② 判断：左边 = 右边，因此y = -3 是方程的解。
（3）① 代入：左边 = 4×0.5 - 3 = 2 - 3 = -1，右边 = 0.5；
② 判断：左边 ≠ 右边，因此z = 0.5 不是方程的解。
幻灯片 6：一元一次方程的概念
定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1（即未知数的最高次数为 1），等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。
关键判断标准（缺一不可）：
只含一个未知数：方程中只有一个未知字母（如 x、y 等），不含其他未知数。
未知数的次数是 1：未知数的最高指数为 1（不含 x 、x 或 xy 等次数大于 1 的项）。
等号两边都是整式：分母中不含未知数（排除分式方程，如 1/x + 2 = 3）。
示例与反例：
方程
是否为一元一次方程
理由分析
2x + 3 = 7
是
含 1 个未知数 x，次数 1，两边是整式
3(y - 1) = 2y + 5
是
含 1 个未知数 y，次数 1，两边是整式
x - 4 = 0
否
未知数次数为 2，不符合 “次数是 1”
x + y = 9
否
含 2 个未知数 x、y，不符合 “只含一个未知数”
1/x + 2 = 5
否
左边是分式（分母含 x），不符合 “两边是整式”
0.5x - 1 = 0
是
含 1 个未知数 x，次数 1，两边是整式
幻灯片 7：例题讲解 2（判断一元一次方程）
例 2：判断下列方程是否为一元一次方程，说明理由：
（1）5x - 8 = 2x + 1； （2）3x + 2x = 1； （3）(x + 3)/2 = x - 5；
（4）x + 2y = 7； （5）1 - 2x = 0； （6）(x - 1)/x = 2。
解答与分析：
（1）是一元一次方程。理由：只含 1 个未知数 x，次数 1，两边是整式。
（2）不是一元一次方程。理由：未知数 x 的次数是 2，不符合 “次数是 1”。
（3）是一元一次方程。理由：化简后为 x + 3 = 2x - 1，只含 1 个未知数 x，次数 1，两边是整式。
（4）不是一元一次方程。理由：含 2 个未知数 x、y，不符合 “只含一个未知数”。
（5）是一元一次方程。理由：只含 1 个未知数 x，次数 1，两边是整式。
（6）不是一元一次方程。理由：左边是分式（分母含 x），不符合 “两边是整式”。
幻灯片 8：例题讲解 3（结合一元一次方程特征求参数）
例 3：已知方程 (2m - 1) x + 3x - 5 = 0 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值。
解答与分析：
第一步：明确一元一次方程的条件 —— 只含 1 个未知数 x，未知数次数为 1，两边是整式。
第二步：方程中含 x 项，要使方程为一元一次方程，需x 项的系数为 0（消除二次项），且 x 项的系数不为 0（保证有一次项）。
因此：2m - 1 = 0（消除 x 项），且 3 ≠ 0（x 项系数非 0，恒成立）。
第三步：解方程 2m - 1 = 0 → m = 1/2。
答：m 的值为 1/2。
例 4：已知 x = 3 是方程 2 (x + a) = 5x - 3 的解，求 a 的值。
解答与分析：
第一步：根据方程的解的定义，将 x = 3 代入方程，左右两边相等。
第二步：代入得：2 (3 + a) = 5×3 - 3。
第三步：化简求解 a：
2(3 + a) = 15 - 3 → 2(3 + a) = 12 → 3 + a = 6 → a = 3。
答：a 的值为 3。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
检验下列数是否为对应方程的解：
（1）x = 5，方程：4x - 10 = 10；
（2）y = -2，方程：3 (y - 1) = 2y - 5。
判断下列方程是否为一元一次方程：
（1）7x + 2 = 9； （2）x - 3x = 2； （3）x + (x - 1) = 5。
提升题
已知方程 (3k - 2) x + 5 = 0 是关于 x 的一元一次方程，求 k 的取值范围。
已知 x = -1 是方程 2x - 3 = a + x 的解，求 a 的值。
拓展题
若关于 x 的方程 (m - 1) x^(|m|) + 2 = 0 是一元一次方程，求 m 的值，并检验 x = 1 是否为该方程的解。
幻灯片 10：易错点深度剖析
忽略 “未知数次数是 1” 的隐含条件：
错误案例：认为方程 x (x + 1) = x + 2 是一元一次方程（化简后为 x = 2，是一元一次方程，但直接判断时易误将左边看作二次项，忽略化简步骤）；认为方程 2x + x = 5 是一元一次方程（含 x 项，次数为 3，不是 1）。
规避方法：判断前若方程含多项，先化简（去括号、合并同类项），再看未知数的最高次数是否为 1；明确 “次数” 指未知数的最高指数，与项数无关。
求参数时遗漏 “系数非 0” 条件：
错误案例：例 3 中，只考虑 2m - 1 = 0 得 m = 1/2，未验证 x 项系数是否非 0（本题 3≠0 恒成立，但若 x 项系数含参数，需额外保证非 0，如方程 (2k - 4) x + 3 = 0 是一元一次方程，需 2k - 4 ≠ 0 → k ≠ 2）。
规避方法：若方程消去高次项后，一次项系数含参数，需补充 “一次项系数≠0” 的条件，避免方程变为 “0x + 常数 = 0”（无解或恒成立，非一元一次方程）。
检验解时代入步骤不完整：
错误案例：检验 x = 2 是否为方程 3x - 1 = 5 时，只算左边 = 3×2 - 1 = 5，未算右边 = 5，直接判断为解（步骤不完整，易因右边计算错误导致误判）。
规避方法：严格按 “代入→算左边→算右边→比较” 的步骤检验，即使右边是常数，也需明确写出计算结果，确保逻辑完整。
幻灯片 11：课堂总结
核心知识梳理：
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，检验方法是 “代入验证”。
一元一次方程：只含 1 个未知数、未知数次数为 1、两边是整式的方程（三要素缺一不可）。
关键应用：根据一元一次方程的特征求参数（需保证高次项系数为 0、一次项系数非 0）；根据方程的解求参数（代入解构建新方程求解）。
方法提炼：
一元一次方程判断 “三步法”：① 看未知数个数（是否为 1 个）；② 看未知数最高次数（是否为 1）；③ 看两边是否为整式（分母是否含未知数）。
参数求解 “两步法”：① 根据定义列条件（如高次项系数为 0）；② 解方程并验证（确保满足所有条件，如一次项系数非 0）。
幻灯片 12：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（方程的解检验、一元一次方程判断相关题目）。
拓展练习：
（1）已知 x = 4 是方程 3x - 2a = 8 的解，求 a 的值；
（2）若关于 y 的方程 (2m + 1) y^(m - 1) + 5 = 0 是一元一次方程，求 m 的值，并求出该方程的解。
实践作业：结合生活实际，自编一个一元一次方程，并写出检验 x = 2 是否为该方程解的过程。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.1.1.2方程的解及一元一次方程
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过观察、归纳一元一次方程的概念，理解一元一次方程的定义，会判断一个方程是不是一元一次方程，培养学生的观察、分析能力．
2．通过方程的解的定义，理解什么是方程的解，会估算简单的一元一次方程的解，并会检验一个数值是不是方程的解，培养学生的分析能力．
复习导入
同学们，我们上节课学习了方程，大家还记得什么叫作方程吗？
请同学们判断下列式子是不是方程.
1+2=3 x+2>1 1+2x=4
x2-1 x+3-5 x=8
请同学们观察：1+2x=4、x=8，有什么共同特征？
含有未知数的等式
√
×
×
√
×
×
请同学们观看视频：
视频导入
同学们，我们一起来看一个问题：
用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
你能用方程解决这个问题吗？
你知道方程4x=24的解是多少吗？
情境导入
1. 请同学们阅读课本114页，你知道怎么判断一个值是不是方程的解吗？请举例说一说．
2．请同学们完成课本114页例2.
3．请同学们解决课本114页思考：观察方程1.2x＋1＝0.8x＋3，3x＝4(x－5)，0.52x－(1－0.52)x＝80，它们有什么共同特征？
将这个值分别代入方程左、右两边，若左、右两边相等，则这个值是方程的解，反之不是．如将x＝1代入方程x＋1＝2的左、右两边，左边＝2＝右边，所以x＝1是方程x＋1＝2的解
都只含有一个未知数；未知数的次数都是1，等号两边都是整式
4．请同学们判断下列方程是不是一元一次方程，若不足，说明理由．
(1) x＋1＝5x； (2)3x－4y＝12；
(3)－5x2＋x＝3； (4) ＝2.
(1)是，(2)含有两个未知数，不是，(3)未知数的最高次数为2，不是，(4)方程左边不是整式，不是
1. 请同学们完成课本115页练习1，2题．
2．请同学们以小组为单位，每人写出一个关于x的方程，并写出任意一个值，一起讨论问题：①写出的方程是不是一元一次方程；②写出的值是不是这个方程的解．
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
1．方程的解和解方程的概念和区别：
知识点1：方程的解和解方程(重点)
方程的解 解方程 方程的解与解方程的区别
使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解 求方程的解的过程，叫作解方程 方程的解是求得的结果，它是一个(或几个)数值；解方程是求方程的解的过程
2. 检验一个值是不是一元一次方程的解：将已知数值分别代入方程的左、右两边，若左、右两边的值相等，则这个值是方程的解，否则不是．
知识点2：一元一次方程(重难点)
如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程．
【题型一】方程的解的判断和计算
例1：下列方程中，解为x＝4的是(　 　)
A．x－1＝4 B．4x＝1
C．4x－1＝3x＋3 D．2x－1＝1
例2：若关于x的方程 x＝10＋m的解是x＝－6，则m＝______．
C
－12
例3：下列方程中，是一元一次方程的是(　 　)
例4：若方程xk－2＋5＝0是关于x的一元一次方程，则k的值是________．
C
【题型二】一元一次方程的判断和计算
3
【选自教材P115 练习 第1题】
1. 判断 x = 2 和 x = 4 是不是方程 2x-3 = 5.
解:当 x = 2 时，方程 2x -3 = 5 的左边 = 2×2-3 = 1，
右边 = 5，方程左、右两边的值不相等，
所以 x = 2 不是方程 2x -3 = 5 的解；
当 x = 4 时，方程 2x -3 = 5 的左边 = 2×4-3 = 5，
右边 = 5，方程左、右两边的值相等，
所以 x = 4 是方程 2x -3 = 5 的解.
2. 下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？
（1）2+3 = 3+2； （2）8y-9=9-y；（3）x2+2x+1=4.
解：（2）（3）是方程，
（2）是一元一次方程.
【选自教材P115 练习 第2题】
1. 下列各式， ，
，，， ，
中，为一元一次方程的有( )
C
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
返回
2. 母题教材P118习题 下列方程中，解是 的方程是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
3.已知是方程的解，则 的值是____.
返回
本节课我们学习了哪些知识？
一元一次方程、方程的解和解方程
同学们，这节课我们学习了最简单的一类方程——一元一次方程，这为之后的学习奠定了基础，一定要理解方程的相关定义，能够做到举一反三．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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