资源简介

(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：5.1.1.1 方程
学科：数学
年级：七年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解方程的概念，能准确判断一个式子是否为方程。
明确方程的关键要素（含未知数、等式），区分方程与代数式、等式的关系。
能根据实际问题中的等量关系列出简单的方程，提升数学建模意识。
幻灯片 3：情境引入（生活中的等量关系）
场景 1：小明去超市买笔记本，每本笔记本 3 元，他买了 x 本，一共花了 15 元。买笔记本的总花费可以用什么式子表示这种等量关系？（引导学生思考：3x = 15）
场景 2：一个长方形的长是 8 厘米，宽是 y 厘米，周长是 28 厘米。根据长方形周长公式，如何表示长、宽与周长的关系？（引导学生列出：2 (8 + y) = 28）
场景 3：小红今年 12 岁，爸爸今年 40 岁，几年后小红的年龄会是爸爸年龄的 1/3？设 x 年后满足条件，可列出什么式子？（引导学生思考：12 + x = (40 + x)/3）
提问：观察 3x = 15、2 (8 + y) = 28、12 + x = (40 + x)/3，这些式子有什么共同特点？它们与之前学的代数式（如 3x、2 (8 + y)）有什么区别？
幻灯片 4：方程的概念
定义：含有未知数的等式叫做方程。
关键要素（缺一不可）：
含有未知数：式子中必须包含至少一个未知的字母（如 x、y、z 等），未知数是我们需要求解的量。
是等式：式子中必须含有等号 “=”，且等号两边的表达式在未知数取特定值时相等。
示例与反例：
式子
是否为方程
理由分析
3x = 15
是
含未知数 x，且是等式
2(8 + y) = 28
是
含未知数 y，且是等式
12 + x
否
含未知数 x，但不是等式（是代数式）
5 + 3 = 8
否
是等式，但不含未知数
(40 + x)/3 - 2 = 5
是
含未知数 x，且是等式
2x - 3 > 7
否
含未知数 x，但不是等式（是不等式）
幻灯片 5：方程与相关概念的关系
1. 方程与代数式的区别：
代数式：由数和字母通过运算符号连接而成，不含等号（如 3x、a + 2b），仅表示一个数量关系。
方程：是等式，必须含等号和未知数（如 3x = 15），表示两个数量之间的相等关系。
联系：方程的等号两边通常是代数式（如方程 2x + 5 = 11 中，左边 “2x + 5” 和右边 “11” 都是代数式）。
2. 方程与等式的区别：
等式：用等号连接两个表达式的式子（如 5 + 3 = 8、2x = 6），包含 “不含未知数的等式” 和 “含未知数的等式（方程）”。
方程：是特殊的等式，特指 “含未知数的等式”。
关系图示：
幻灯片 6：例题讲解 1（判断是否为方程）
例 1：判断下列各式是否为方程，说明理由：
（1）4x - 7 （2）3x + 2 = 8 （3）5 - 2 = 3 （4）2y + 1 = y - 3 （5）x - 4 = 0
解答与分析：
（1）不是方程。理由：是代数式，不含等号，不符合 “等式” 要素。
（2）是方程。理由：含未知数 x，且是等式，满足方程的两个关键要素。
（3）不是方程。理由：是等式，但不含未知数，不符合 “含未知数” 要素。
（4）是方程。理由：含未知数 y，且是等式，满足方程定义。
（5）是方程。理由：含未知数 x，且是等式，满足方程定义（未知数的次数不影响方程判断）。
幻灯片 7：例题讲解 2（根据实际问题列方程）
例 2：根据下列实际问题中的等量关系，列出方程：
（1）一个数的 3 倍与 5 的和是 17，求这个数（设这个数为 x）。
（2）爸爸今年 38 岁，儿子今年 10 岁，多少年后爸爸的年龄是儿子年龄的 3 倍（设 x 年后满足条件）。
（3）一个长方形的面积是 24 平方厘米，长是 6 厘米，宽是多少厘米（设宽为 y 厘米）。
解答与分析：
（1）“一个数的 3 倍” 即 3x，“与 5 的和” 即 3x + 5，“是 17” 即等于 17，方程为：3x + 5 = 17。
（2）x 年后爸爸的年龄为 (38 + x) 岁，儿子的年龄为 (10 + x) 岁，“爸爸年龄是儿子年龄的 3 倍” 即 38 + x = 3 (10 + x)，方程为：38 + x = 3(10 + x)。
（3）长方形面积公式为 “长 × 宽 = 面积”，已知长 6 厘米，宽 y 厘米，面积 24 平方厘米，方程为：6y = 24。
幻灯片 8：例题讲解 3（方程的简单应用：检验解的合理性）
例 3：已知方程 2x - 3 = 5，判断下列 x 的值是否为方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解）：
（1）x = 4 （2）x = 5
解答与分析：
（1）当 x = 4 时，左边 = 2×4 - 3 = 8 - 3 = 5，右边 = 5，左边 = 右边，因此x = 4 是方程的解。
（2）当 x = 5 时，左边 = 2×5 - 3 = 10 - 3 = 7，右边 = 5，左边 ≠ 右边，因此x = 5 不是方程的解。
例 4：根据例 2（2）中的方程 38 + x = 3 (10 + x)，检验 x = 4 是否为该方程的解（即 4 年后爸爸年龄是否为儿子的 3 倍）。
解答与分析：
当 x = 4 时，左边 = 38 + 4 = 42，右边 = 3 (10 + 4) = 3×14 = 42，左边 = 右边，因此x = 4 是方程的解，即 4 年后爸爸 42 岁，儿子 14 岁，42 是 14 的 3 倍，符合实际。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
判断下列各式是否为方程：
（1）5x + 2 （2）7 - 3 = 4 （3）3y - 1 = 2y + 5 （4）x + 3 > 9
根据下列条件列方程（设未知数为 x）：
（1）x 的 2 倍减去 6 等于 10；
（2）一个数与 3 的和的 4 倍是 28。
提升题
检验 x = 3 是否为方程 4x - 5 = 7 的解；检验 x = 2 是否为方程 2 (x + 1) = x + 5 的解。
某班有学生 45 人，男生人数比女生人数多 5 人，设女生人数为 x 人，根据等量关系列方程。
拓展题
小明买了 3 支钢笔和 2 本笔记本，共花了 35 元，已知每支钢笔 8 元，设每本笔记本 y 元，列方程并检验 y = 5.5 是否为该方程的解。
幻灯片 10：易错点深度剖析
混淆 “代数式” 与 “方程”：
错误案例：认为 “2x + 5” 是方程（实际是代数式，不含等号）；认为 “方程必须有解”（方程只需含未知数和等式，解的存在与否不影响其为方程，如 x + 1 = x + 2 是方程，但无解）。
规避方法：判断方程时严格对照 “含未知数” 和 “是等式” 两个要素，缺一不可；明确方程与解的关系 —— 方程是 “式子”，解是 “使式子成立的未知数的值”，二者概念不同。
列方程时忽略等量关系：
错误案例：“一个数的 3 倍比它的 2 倍多 4”，错列方程为 3x + 4 = 2x（正确应为 3x - 2x = 4 或 3x = 2x + 4）。
规避方法：列方程前先找到题目中的 “关键词”（如 “是”“等于”“比…… 多”“比…… 少”），明确等量关系的两边分别是什么，再用未知数表示相关量，最后连接成等式。
检验解时计算错误：
错误案例：检验 x = 5 是否为方程 3x - 7 = 8 时，错算左边 = 3×5 - 7 = 8，右边 = 8，误判为解（实际 3×5 - 7 = 15 - 7 = 8，是正确的，但需注意步骤规范；若错算为 3×5 + 7 = 22，则会误判）。
规避方法：检验时严格按 “代入左边计算→代入右边计算→比较左右是否相等” 的步骤进行，避免跳步或符号错误。
幻灯片 11：课堂总结
核心知识梳理：
方程定义：含未知数的等式（两个关键要素：含未知数、是等式）。
与相关概念的关系：方程是特殊的等式，等式包含方程；方程的两边通常是代数式。
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，可通过代入检验判断。
方法提炼：
方程判断 “两步法”：① 看是否含等号（是否为等式）；② 看是否含未知数，两者都满足则为方程。
列方程 “三步法”：① 设未知数（明确未知量）；② 找等量关系（抓关键词）；③ 列等式（用未知数表示两边量）。
检验解 “三步法”：① 代入未知数的值算左边；② 算右边；③ 比较左右是否相等，相等则为解。
幻灯片 12：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（方程判断、列方程相关题目）。
拓展练习：
（1）判断下列式子是否为方程：① x/2 + 3 = 5 ② 2a + b ③ 7x - 1 = 3 (x + 2)
（2）根据实际问题列方程：① 一个数的 5 倍与 8 的差是 22，设这个数为 x；② 甲、乙两地相距 120 千米，汽车从甲地到乙地每小时行 v 千米，3 小时到达，列方程。
实践作业：观察生活中的等量关系（如购物付款、路程时间速度），自编 2 个可列方程的实际问题，并列出对应的方程。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.1.1.1方程
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 经历分析实际问题的过程，会用字母表示未知数，并表示相关的量，借助线段图、表格等方法分析问题中的等量关系，体会几何直观的意义，提高学生的数学抽象能力．
2．通过列方程和列算式解决实际问题，感受从算术到方程的进步，初步体会方程思想，提高学生的迁移运用能力．
情境导入
同学们，你们知道老师的年龄吗？
我是4月出生的，我年龄的2倍减去2，正好是我出生的那个月总天数的2倍.
请你们猜猜我的年龄是多少？
年龄是31岁
请同学们观看视频：你能尝试解决这个问题吗？
视频导入
同学们，你们知道丢番图是谁吗？
丢番图是古希腊数学家，人们对他的生平事迹知道的很少，
但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图，
多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅程.
上帝赐予他的童年占六分之一，又过了十二分之一他两颊长出来胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛，五年之后喜得贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅其父之半便入黄泉，悲伤只有用数字研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.——出自《希腊诗文选》
你能求出丢番图去世时的年龄吗？
问题导入
1.请同学们阅读课本110页，并试着用列算式的方法解决．
思考：(1)问题中涉及哪些量？
(2)甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系？
(3)设x h后，甲队追上乙队，请用含x的式子表示上述关系．
2．请同学们阅读课本111页问题1前，你觉得列出
这个含有未知数x的等式需要什么？
时间、速度、路程
相等．甲队走的路程＋1 km＝乙队走的路程＋3 km
1.2x＋1＝0.8x＋3
需要分析题目中的相等关系，如本题中甲队追上乙队时，他们距大本营的路程相等是相等关系
3．请同学们完成课本111页问题1、112页问题2.
4．请同学们观察这几个等式：1.2x＋1＝0.8x＋3，
3x＝4(x－5)， x2＝4 000，有什么共同特点？
5．请同学们判断下列式子是不是方程，并说明理由．
(1)2x＋1；(2)3＋6＝9；(3)3x－5＝5x＋4；
(4)3a＋9>15.
都含有未知数x，都是等式
(3)是方程，其余的都不是．(1)不是等式，
(2)没有未知数，(4)不是等式
1. 小组合作完成课本113页例1.
2．列算式和列方程解决问题各有什么特点？
3．如何列出方程？
列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只含有已知数；而方程是根据问题中的相等关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数
根据实际问题，设出未知数，用含有未知数的等式表示相等关系，即为方程
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
知识点1：等式与方程(重点)
等式 方程 等式与方程的联系与区别
用等号表示相等关系的式子叫作等式．如1＋2＝3，2x－6＝6等 含有未知数的等式叫作方程，如12x＋13＝5，2x－3y＝10等 方程一定是等式，但等式不一定是方程，如2＋4＝6是等式，但不是方程
注：判断一个式子是不是方程：
1．基本思路：实际问题→设未知数→找等量关系→列出方程．
2．一般步骤：
(1)设未知数：一般求谁设谁；
(2)找等量关系；
(3)列方程：把等号左右两边表示相等关系的量用含未知数的式子表示出来．
知识点2：列方程(难点)
【题型一】方程的概念
例1：已知式子：①3－4＝－1；②2x－5y；③1＋2x＝0；④6x＋4y＝2；⑤3x2－2x＋1＝0，其中是等式的有__________，是方程的有_________(填序号)．
变式：下面的式子中是方程的是(　　)
A．5x＋4 B．3x－5<7
C. x－2＝6 D．3×2－1＝5
①③④⑤
③④⑤
C
例2：根据下列条件列出方程：
(1)一个数x比它的 ：____________；
(2)一个数x的一半比它的3倍大4：____________；
(3)一个数x比它的平方小24：_____________；
(4)一个数x的40%与25的差等于30：______________．
【题型二】根据实际问题列方程
x2－x＝24
40%x－25＝30
例3：如图，轩轩将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条(图中阴影部分)．若分两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为多少？为解决这个问题，轩轩设正方形的边长为x cm，根据题意，可列方程为(　　)
A．4x＝5(x－4) B．4(x－4)＝5x
C．4x＝5(x＋4) D．4(x＋4)＝5x
A
【选自教材P113 练习 第1题】
根据下列问题，设未知数并列出方程：
1. 甲种铅笔每支 1.4 元，乙种铅笔每支 1.8 元，用 23 元钱买这两种铅笔，一共买了 15 支，两种铅笔各买了多少支？
解：设甲种铅笔买了 x 支，则乙种铅笔买了(15-x)支.
列得方程 1.4x + 1.8(15-x) = 23.
2. 有两条电线，第一条长 90 m，第二条长 40 m. 要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等. 求截下的那段电线的长度(两条电线接头部分的长度忽略不计).
解：设截下的那段电线的长度为 x m.
列得方程 90-x = 40 + x .
【选自教材P113 练习 第2题】
3. 某圆环形状的工件如图所示，它的面积是 200 cm2，外沿大圆的半径是 10 cm，内沿小圆的半径是多少厘米？
解：设内沿小圆的半径是 r cm.
列得方程 π×102 - πr2 = 200.
【选自教材P113 练习 第3题】
1. 下列各式中，不是方程的是( )
D
A. B.
C. D.
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2. ［2025东莞月考］《九章算术》是中国传统数学最重要的
著作之一.书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人
出六，不足十六.问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱
买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，
那么少了十六钱.问：共有几个人？”设共有 个人共同出钱买
鸡，根据题意，可列一元一次方程为( )
C
A. B.
C. D.
返回
3.只列方程，不解方程:
（1）某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有
多少人？
【解】设这个班女生有 人，
根据题意，列方程为 .
（2）小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克
5元，梨每千克4元，问小明苹果买了多少千克？
设小明苹果买了千克，则梨买了 千克，
根据题意，列方程为 .
返回
4. 下列式子中，方程的个数是( )
； ；
； ；
； .
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
返回
本节课我们学习了哪些知识？
什么是方程、如何列方程
同学们，数学来源于生活，我们学习方程，可以解决许多生活中的实际问题．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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