资源简介

(共38张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：5.1.2 等式的性质
学科：数学
年级：七年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解等式的两条基本性质，能通过类比、举例验证性质的合理性。
掌握利用等式的性质对等式进行变形的方法，能初步运用性质解简单的一元一次方程。
体会 “平衡” 思想在等式中的应用，培养严谨的数学推理能力。
幻灯片 3：情境引入（生活中的平衡与等式）
场景 1：天平平衡实验
左盘放 2 个 50g 砝码，右盘放 1 个 100g 砝码，天平平衡（可表示为：50 + 50 = 100）。
若在左盘再放 1 个 20g 砝码，右盘也放 1 个 20g 砝码，天平仍平衡（50 + 50 + 20 = 100 + 20）；若将左右盘的砝码同时拿走 1 个 50g，天平仍平衡（50 = 100 - 50）。
场景 2：一壶水的重量等于 2 瓶水的重量（设一壶水重 x，一瓶水重 y，即 x = 2y）。
若将两壶水和 4 瓶水分别放在天平两端，天平平衡（2x = 4y，即 x×2 = 2y×2）；若将一壶水和 2 瓶水分别倒出一半，剩余重量仍相等（x÷2 = 2y÷2）。
提问：天平的平衡规律与等式的变形有什么联系？等式在哪些操作下，左右两边仍保持相等？
幻灯片 4：等式的性质 1
性质内容：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
字母表示：如果 a = b，那么 a ± c = b ± c（c 为任意数或整式）。
理解与验证：
示例 1：若 3 + 2 = 5（a = 3 + 2 = 5，b = 5），两边同时加 4：(3 + 2) + 4 = 5 + 4 → 9 = 9，等式成立；两边同时减 2：(3 + 2) - 2 = 5 - 2 → 3 = 3，等式成立。
示例 2：若 x = y（a = x，b = y），两边同时加 (x + 1)：x + (x + 1) = y + (x + 1) → 2x + 1 = x + y + 1，等式成立；两边同时减 3y：x - 3y = y - 3y → x - 3y = -2y，等式成立。
关键提醒：“同一个数（或式子）” 是前提，若两边加（减）不同的量，等式不再成立（如 3 = 3，左边加 2、右边加 3，得 5 ≠ 6）。
幻灯片 5：等式的性质 2
性质内容：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。
字母表示：如果 a = b，那么 ac = bc；如果 a = b（c ≠ 0），那么 a/c = b/c（c 为任意非 0 数）。
理解与验证：
示例 1：若 4 = 4（a = b = 4），两边同时乘 5：4×5 = 4×5 → 20 = 20，等式成立；两边同时除以 2（2 ≠ 0）：4÷2 = 4÷2 → 2 = 2，等式成立。
示例 2：若 2m = 6n（a = 2m，b = 6n），两边同时乘 3：2m×3 = 6n×3 → 6m = 18n，等式成立；两边同时除以 2（2 ≠ 0）：2m÷2 = 6n÷2 → m = 3n，等式成立。
关键提醒：除以的数必须 “不为 0”，因为 0 不能作除数（如 5 = 5，若两边除以 0，无意义，等式不成立）。
幻灯片 6：例题讲解 1（利用等式性质变形）
例 1：根据等式的性质，对下列等式进行变形，使等式仍成立：
（1）若 x + 5 = 8，如何变形得到 x = 3？
（2）若 3y = 12，如何变形得到 y = 4？
（3）若 2z - 7 = 1，如何变形得到 2z = 8？再变形得到 z = 4？
解答与分析：
（1）根据等式的性质 1，等式两边同时减 5：
x + 5 - 5 = 8 - 5 → x = 3。
（2）根据等式的性质 2，等式两边同时除以 3（3 ≠ 0）：
3y ÷ 3 = 12 ÷ 3 → y = 4。
（3）第一步：根据等式的性质 1，两边同时加 7：
2z - 7 + 7 = 1 + 7 → 2z = 8；
第二步：根据等式的性质 2，两边同时除以 2（2 ≠ 0）：
2z ÷ 2 = 8 ÷ 2 → z = 4。
幻灯片 7：例题讲解 2（利用等式性质解简单一元一次方程）
例 2：利用等式的性质解下列一元一次方程：
（1）x - 4 = 9； （2）2x = 5x - 21； （3）(1/3) m + 2 = 5。
解答与分析：
（1）解方程 x - 4 = 9：
第一步：根据性质 1，两边加 4：x - 4 + 4 = 9 + 4 → x = 13；
检验：将 x = 13 代入原方程，左边 = 13 - 4 = 9，右边 = 9，左边 = 右边，解正确。
（2）解方程 2x = 5x - 21：
第一步：根据性质 1，两边减 5x：2x - 5x = 5x - 21 - 5x → -3x = -21；
第二步：根据性质 2，两边除以 - 3（-3 ≠ 0）：-3x ÷ (-3) = -21 ÷ (-3) → x = 7；
检验：左边 = 2×7 = 14，右边 = 5×7 - 21 = 35 - 21 = 14，解正确。
（3）解方程 (1/3) m + 2 = 5：
第一步：根据性质 1，两边减 2：(1/3) m + 2 - 2 = 5 - 2 → (1/3) m = 3；
第二步：根据性质 2，两边乘 3：(1/3) m × 3 = 3 × 3 → m = 9；
检验：左边 = (1/3)×9 + 2 = 3 + 2 = 5，右边 = 5，解正确。
幻灯片 8：例题讲解 3（等式性质的实际应用）
例 3：已知 2a = b + 5，利用等式性质求下列式子的值：
（1）2a - 3； （2）4a； （3）(b + 5)/2 - a。
解答与分析：
（1）根据等式性质 1，2a = b + 5 两边同时减 3：
2a - 3 = (b + 5) - 3 = b + 2，因此 2a - 3 = b + 2。
（2）根据等式性质 2，2a = b + 5 两边同时乘 2：
2a × 2 = (b + 5) × 2 → 4a = 2b + 10，因此 4a = 2b + 10。
（3）根据等式性质 2，2a = b + 5 两边同时除以 2（2 ≠ 0）：
2a ÷ 2 = (b + 5) ÷ 2 → a = (b + 5)/2；
代入式子：(b + 5)/2 - a = a - a = 0，因此结果为 0。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
根据等式性质填空：
（1）若 x = y，则 x + 3 = y + ；x - ______ = y - 2z。
（2）若 m = n，则______×m = -5×n；m÷ = n÷(-3)（括号内填非 0 数）。
利用等式性质解方程：
（1）x + 7 = 15； （2）-4y = 36； （3）3x - 1 = 8。
提升题
已知 3x = 2y + 4，求 6x - 4y + 1 的值（提示：先将 3x = 2y + 4 变形）。
若 (1/2) a + 3 = b，利用等式性质比较 a 和 2b - 6 的大小。
拓展题
能否找到一个数 k，使等式 2 (x + 3) = 5 (x - k) 变形后，x 的系数为 1？若能，求出 k 的值；若不能，说明理由。
幻灯片 10：易错点深度剖析
应用性质 2 时忽略 “除数不为 0”：
错误案例：由 5x = 3x，两边除以 x 得 5 = 3（x 可能为 0，此时除以 x 无意义，正确变形应为 5x - 3x = 0 → 2x = 0 → x = 0）。
规避方法：应用性质 2 除以一个数时，先判断该数是否为 0（若该数含未知数，需额外说明 “未知数≠0” 的前提），避免直接除以含未知数的式子。
变形时未遵循 “同加同减同乘同除”：
错误案例：解方程 2x + 5 = 11 时，左边减 5，右边加 5（2x + 5 - 5 = 11 + 5 → 2x = 16，导致结果错误）；解方程 3x = 9 时，左边除以 3，右边乘 3（x = 27，错误）。
规避方法：变形前明确 “两边操作必须完全相同”，加（减、乘、除）的数（或式子）必须一致，可在草稿纸上标注两边的操作步骤，避免不对称变形。
混淆 “式子” 与 “数” 的范围：
错误案例：认为等式性质 1 中 “加同一个式子” 仅指整式，不包括分式（如 x = y，两边加 1/x，只要 x ≠ 0，等式仍成立，性质 1 中 “式子” 可包括分式，但需保证式子有意义）。
规避方法：等式性质 1 中的 “式子” 无限制（整式、分式均可），但需确保式子在变形后有意义（如加 1/x 需 x ≠ 0）；性质 2 中的 “数” 必须为非 0 数，与 “式子” 无关。
幻灯片 11：课堂总结
核心知识梳理：
等式性质 1：两边加（减）同一个数（或式子），等式仍成立（a = b → a ± c = b ± c）。
等式性质 2：两边乘同一个数，或除以同一个非 0 数，等式仍成立（a = b → ac = bc；a = b，c ≠ 0 → a/c = b/c）。
应用关键：变形需 “同步操作”（同加同减同乘同除），除以的数需 “非 0”。
方法提炼：
解方程 “两步法”：① 用性质 1 消去常数项（或含未知数的项），使方程一边只剩含未知数的项；② 用性质 2 将未知数系数化为 1，得到解。
验证解的方法：将解代入原方程，检验左右两边是否相等，确保变形正确。
幻灯片 12：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（等式性质应用、解方程相关题目）。
拓展练习：
（1）利用等式性质解下列方程：① (1/4) x - 5 = 3；② 2 (3y - 1) = 8；
（2）已知 2 (x - 1) = 3y + 4，求 4 (x - 1) - 6y + 2 的值。
实践思考：结合生活中的平衡现象（如跷跷板、天平），举例说明等式性质 1 和性质 2 的实际意义，并记录下来。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.1.2 等式的性质
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过观察、操作、猜想、验证、交流、归纳等数学活动，经历探索等式的基本性质的过程，理解等式的基本性质，培养学生的观察、归纳、推理的能力．
2．经历自主探究，学生可以运用等式的基本性质解简单的一元一次方程，培养学生的应用意识．教学重难点教学重点,等式的性质．
视频导入
请同学们观看视频
同学们，老师这里有几个方程，请同学们看一看能不能估算出这些方程的解.
（1）4x=24
（2）x+1=3
（3）46x=230
（4）2500+560x=15000
问题导入
同学们能估算出方程（1）（2）的解，但是方程（3）（4）较为复杂）那么我们如何解像（3）（4）这样的方程呢？
同学们，你们听过“曹冲称象”的故事吗？
小时候的曹冲是多么聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的测量物体质量的方法，你们都知道哪些呢？
我们一起来认识一下天平：
1.底座2.托盘器3.托盘4.标尺
5.平衡螺母6.指针7.分度盘8.游码
如果要让天平平衡应该满足什么条件呢？
如果天平在平衡的条件下，左盘放着质量为（2x+3）g的物体，
右盘放着质量为3x g的物体，应该如何列式呢？
情境导入
1.请同学们阅读课本115－116页例3前，并回答下列问题：
(1)什么是等式的性质1？如何用字母表示？
(2)什么是等式的性质2？如何用字母表示？
(3)为什么等式的性质2中要强调除以同一个不为0的数？
等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．如果a＝b，那么a±c＝b±c
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，c≠0，那么
0不能作除数，没有意义
2．请同学们阅读课本116页例4，思考：每题是怎样将方程转化为x＝a(a为常数)的形式的？分别运用了等式的哪个性质？
(1)要使方程x＋7＝26转化为x＝a(a为常数)的形式，需要去掉方程左边的7，利用等式的性质1，方程两边同时减7，即x＋7－7＝26－7，得x＝19.
(2)要使方程－5x＝20转化为x＝a(a为常数)的形式，需要将方程左边x的系数变为1，利用等式的性质2，方程两边同时除以－5，得x＝－4.
(3)要使方程－ x－5＝4转化为x＝a(a为常数)的形式，需先将方程左边的－5去掉，利用等式的性质1，方程两边同时加5，即－ x－5＋5＝4＋5，得－ x＝9；再将x的系数变为1，利用等式的性质2，方程两边同时乘－3，得x＝－27
3．根据等式的性质填空：
(1)如果a＝2，那么a＋3＝2____，依据等式的性质____，在等式的两边都_______，结果仍相等；
(2)如果a＝2，那么a－5＝2______，依据等式的性质____，在等式的两边都________，结果仍相等；
(3)如果a＝2，那么－3a＝2__________，依据等式的性质____，在等式的两边都__________，结果仍相等；
(4)如果a＝2，那么 ＝____，依据等式的性质____，在等式的两边都_______________，结果仍相等．
＋3
1
加上3
－5
1
减去5
×(－3)
2
乘－3
2
乘 或除以5
1.理解并记忆等式的性质，小组之间互相举例．
2．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．
①若a＝b，则am－7＝bm－7；　( )
②若x＝5，则x2＝5x；　( )
③若a＝b，则 　 ( )
④若mx＝my，则x＝y；　( )
⑤若a＝b，则a－3＝b－3；　( )
⑥若 ，则a＝b；　( )
⑦若ac2＝bc2，则a＝b.　( )
√
×
√
√
√
√
×
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
知识点1：等式的性质(重点)
等式的性质 文字语言 符号语言
性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等
性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
如果a＝b，
那么a±c＝b±c
如果a＝b，那么ac＝bc；
如果a＝b，c≠0，那么
【总结】运用等式的性质时应注意的两点：
(1)运用等式的性质时，要确定变形的依据是等式的性质1还是等式的性质2.
(2)运用等式的性质进行变形时，等式的两边所进行的运算应完全相同，这样才能保证结果仍是等式．
注：等式的性质抓“两同”：(1)同一种运算：等式的两边必须都进行同一种运算；(2)同一个数(或式子)：等式两边加或减的必须是同一个数(或式子)，乘的必须是同一个数，除以的必须是同一个不为0的数．
1．解以x为未知数的一元一次方程，就是把方程逐步转化为x＝a(a为常数)的形式，等式的性质是转化的重要依据．
2．利用等式的性质解简单的一元一次方程的一般步骤：
第一步：利用等式的性质1，使一元一次方程变形成一边只有含未知数的项，另一边只有常数项(即kx＝b)的形式．
第二步：利用等式的性质2，将方程左、右两边同时除以未知数的系数或乘未知数的系数的倒数，将方程转化成x＝a(a为常数)的形式．
知识点2：利用等式的性质解简单的一元一次方程(难点)
注：一般地，从方程中解出来未知数的值后，把所求得的未知数的值代入原方程，看这个值能否使方程左、右两边的值相等，即可确定所求的解是否正确．
【题型一】等式的性质
例1：下列运用等式的性质变形正确的是(　　)
A．若x＝y，则x－5＝y＋5 　　
B．若a＝b，则ac＝bc
B
－2y
等式的性质2
－y
等式的性质2
6
例2：在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明依据的是等式的哪一条性质．
(1)如果－ ，那么x＝_________，依据_____________；
(2)如果－2x＝2y，那么x＝________，依据________________；
(3)如果 x＝4，那么x＝____，依据________________；
(4)如果x＝3x＋2，那么x－____＝2，依据_______________．
等式的性质2
3x
等式的性质1
【题型二】利用等式的性质解方程
等式的性质1
同时减3
－3
1
等式的性质2
同时乘－3
－3
例3：完成求解方程3－ x＝4的过程．
解：根据_____________，两边__________，
得3－ x－3＝4____，于是－ x＝____．根据______________，
两边___________，得x＝________．
变式：若x＝1是关于x的方程3x＋2a＝7的解，求a的值．
解：将x＝1代入方程3x＋2a＝7，得3＋2a＝7.
两边同时减3，得3＋2a－3＝7－3，
化简，得2a＝4，两边同时除以2，得a＝2.
【选自教材P117 练习 第1题】
1. 根据等式的性质填空：
（1）如果 x = y，那么 x + 1 = y + _____；
（2）如果 x + 2 = y + 2，那么 ____ = y；
（3）如果 x = y，那么 ____·x = 5y；
（4）如果 3x = 6y，那么 x = ____·y .
1
x
5
2
2. 利用等式的性质解下列方程，并检验：
（1）x - 5 = 6； （2）0.3x = 45；
解:（1）方程两边加 5，得 x - 5 + 5 = 6 + 5.
于是 x = 11.
【选自教材P117 练习 第2题】
检验：将 x = 11，代入 x - 5 = 6的左边，则
左边 = x - 5 = 6，右边 = 6，左边 = 右边
所以 x = 11 是原方程的解.
（2）方程两边除以 0.3，得 .
于是 x = 150.
2. 利用等式的性质解下列方程，并检验：
（1）x - 5 = 6； （2）0.3x = 45；
检验：将 x = 150，代入 0.3x = 45的左边，则
左边 = 0.3×150 = 45，右边 = 45，左边 = 右边
所以 x = 150 是原方程的解.
（3）5x + 4 = 0； （4）2 - x = 3.
（3）方程两边减 4，得 5x + 4 - 4 = 0 - 4.
化简，得 5x = -4.
方程两边除以 5，得 x = - .
检验：将 x = - ，代入 5x + 4 = 0的左边，则
左边 = - ×5 + 4 = 0，右边 = 0，左边 = 右边
所以 x = - 是原方程的解.
（4）方程两边减 2，得 2 - x - 2 = 3 - 2.
化简，得 - x = 1.
方程两边乘 -4，得 x = -4 .
（3）5x + 4 = 0； （4）2 - x = 3.
检验：将 x = -4，代入 2- x = 3的左边，则
左边 = 2- ×(-4) = 3，右边 = 3，左边 = 右边
所以 x = -4 是原方程的解.
习题5.1
1. 列等式表示：
（1）比 a 大 5 的数等于 8；
（2）b 的三分之一等于 9；
（3）x 的 2 倍与 10 的和等于 18；
（4）x 的三分之一与 y 的差等于 6；
（5）比 a 的 3 倍大 5 的数等于 a 的 4 倍；
（6）比 b 的一半小 7 的数等于 a 与 b 的和.
a + 5 = 8
2x + 10 = 18
3a + 5 = 4a
2. 根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程：
（1）
（2）
（3）
x + 2
x + 3
x
周长是14
x°
x°
(3x)°
x-1
x
面积是6
x + x + 2 + x + 3 = 14
3x + x + x = 180
3. x = 3，x = 0，x = -2 分别是下列哪个方程的解？
（1）5x + 7 = 7-2x； （2）6x- 8 = 8x - 4；
（3）3x - 2 = 4 + x； （4）2x - 3 = 5x - 6.
x = 3
x = -2
x = 0
4. 利用等式的性质解下列方程：
（1）x - 4 = 29； （2） x + 2 = 6；
解：（1）方程两边加 4，得 x -4 + 4 = 29 + 4.于是 x = 33.
（2）方程两边减 2，得 x + 2 - 2 = 6 - 2 .
化简，得 x = 4.
方程两边乘 2，得 x = 8.
（3）3x + 1 = 4； （4） 4x - 2 = 2.
（3）方程两边减 1，得 3x +1-1 = 4 - 1. 化简，得 3x = 3.
方程两边除以 3，得 x = 1.
（4）方程两边加 2，得 4x -2+2 = 2 + 2. 化简，得 4x = 4.
方程两边除以 4，得 x = 1.
综合运用
列方程（第 5 ~ 10 题）:
5. 某校七年级（1）班共有学生 48 人，其中女生人数比
男生人数的 多 3，这个班有男生多少人？
解：设这个班有男生 x 人.
根据题意，得 .
6. 把 10000 元奖学金按照两种奖项奖给 20 名学生，
其中一等奖每人 800 元，二等奖每人 400 元. 获得
一等奖的学生有多少人？
解：设获得一等奖的学生有 x 人.
根据题意，得 800x + 400(20-x)＝ 10000.
7. 去年某镇居民人均可支配收入为 30438 元，比前年
增长了 6.8%，前年这个镇居民人均可支配收入为
多少元？
解：设前年这个镇居民人均可支配收入为 x 元.
根据题意，得 (1 + 6.8%)x = 30438.
8. 一辆汽车已行驶了 12 000 km，计划每月再行驶 800 km，
几个月后这辆汽车行驶的总路程为 20 800 km？
解：设 x 个月后这辆汽车行驶的总路程为 20800 km.
根据题意，得 12000 + 800x = 20800.
9. 一个圆柱形包装盒（厚度忽略不计）的高 12 cm，
表面积是 108.5π cm2. 这个包装盒的底面半径是
多少厘米？
解：设这个包装盒的底面半径是 r cm.
根据题意，得 2πr2 + 2πr·12 = 108.5π.
10. 某校号召学生用零花钱为地震灾区捐款.七年级（1）班
全体学生一共捐款 428 元，七年级（2）班平均每名学
生捐款 10 元，七年级（1）班的捐款数比七年级（2）
班少 22 元. 七年级（2）班有多少名学生？
解：设七年级（2）班有 x 名学生.
根据题意，得 10x - 428 = 22.
①等式的性质用字母怎样表示？
②解方程的依据是什么？最终必须化为什么形式？
如果a＝b，那么a±c＝b±c.如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，c≠0，那么
依据是等式的性质；最终必须化为x＝a(a为常数)的形式
同学们，等式的性质帮我们打开了新世界的大门，帮助我们完成等式的恒等变形，将等式转化成我们需要的形式．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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