资源简介

(共36张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：5.2.4 利用去分母解一元一次方程
学科：数学
年级：七年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解去分母的依据（等式性质 2），明确去分母的目的是将含分数系数的方程转化为整数系数方程。
掌握利用去分母解一元一次方程的完整步骤，能准确处理分母为多位数或含括号的情况。
能熟练运用该方法求解复杂一元一次方程，提升方程变形的规范性和准确性。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
等式性质 2：等式两边乘同一个非 0 数，等式仍成立（如 (1/2) x = 3，两边乘 2 得 x = 6）。
移项解方程：适用于整数系数或简单分数系数方程（如 (1/2) x + 1 = (1/3) x），但对于 “(x + 1)/2 - (2x - 1)/3 = 1” 这类分母含多项式的方程，需先去分母简化。
情境导入：
问题：小明计划在假期完成一篇作文，第一天写了总字数的 1/3，第二天写了总字数的 1/4，两天共写了 700 字。这篇作文总字数是多少？（设总字数为 x，列方程：(1/3) x + (1/4) x = 700，如何快速求解？）
分析：方程含分母 1/3 和 1/4，直接合并需通分，若先去分母（两边乘 12），可转化为 4x + 3x = 840，更易求解。
提问：如何确定去分母时应乘的数？去分母过程中需要注意哪些细节，避免出错？
幻灯片 4：去分母的核心方法与依据
去分母的依据：等式性质 2（等式两边乘所有分母的最小公倍数，消去分母，且保持等式成立）。
关键概念：
最小公倍数（LCM）：几个数的最小公倍数是能被这几个数同时整除的最小正整数（如分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，分母 4、6 的最小公倍数是 12）。
去分母的步骤（核心）：
找最小公倍数：找出方程中所有分母的最小公倍数（记为 k，k ≠ 0）。
两边乘最小公倍数：方程左右两边的每一项（包括常数项）都乘 k，消去分母。
处理括号（若有）：去分母后，若分子是多项式，需加括号（避免漏乘或符号错误），再按去括号法则消除括号。
示例：方程 (x + 1) / 2 - ( 2x - 1 ) / 3 = 1
分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，两边乘 6：
6×(x + 1)/2 - 6×(2x - 1)/3 = 6×1 → 3 (x + 1) - 2 (2x - 1) = 6（消去分母，转化为整数系数方程）。
幻灯片 5：利用去分母解一元一次方程的完整步骤
去分母：两边乘所有分母的最小公倍数，消去分母（每一项都要乘，分子是多项式需加括号）。
去括号：按去括号法则（“+” 不变，“-” 全变）消除括号，若有系数需乘括号内每一项。
移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项时改变符号。
合并同类项：合并左右两侧同类项，将方程化为 “ax = b（a≠0）” 的形式。
系数化为 1：两边除以 a，得到方程的解 x = b/a。
检验（可选）：将解代入原方程，验证左右两边是否相等，确保变形正确。
幻灯片 6：例题讲解 1（基础含分母方程求解）
例 1：解方程：(x + 1)/2 - (2x - 1)/3 = 1。
解答与分析：
第一步：去分母（分母 2、3 的最小公倍数是 6，每一项乘 6）：
6×(x + 1)/2 - 6×(2x - 1)/3 = 6×1 → 3(x + 1) - 2(2x - 1) = 6；
第二步：去括号（注意系数乘每一项，符号变化）：
3x + 3 - 4x + 2 = 6；
第三步：移项（含 x 的项移左，常数项移右，变号）：
3x - 4x = 6 - 3 - 2；
第四步：合并同类项：
-x = 1；
第五步：系数化为 1（两边除以 - 1）：
x = -1；
检验：左边 = (-1 + 1)/2 - (2×(-1) - 1)/3 = 0/2 - (-3)/3 = 0 + 1 = 1，右边 = 1，解正确。
幻灯片 7：例题讲解 2（分母含倍数关系的方程求解）
例 2：解方程：(x - 1)/4 - (2x + 3)/6 = 1/2。
解答与分析：
第一步：去分母（分母 4、6、2 的最小公倍数是 12，每一项乘 12）：
12×(x - 1)/4 - 12×(2x + 3)/6 = 12×1/2 → 3(x - 1) - 2(2x + 3) = 6；
第二步：去括号：
3x - 3 - 4x - 6 = 6；
第三步：移项：
3x - 4x = 6 + 3 + 6；
第四步：合并同类项：
-x = 15；
第五步：系数化为 1：
x = -15；
检验：左边 = (-15 - 1)/4 - (2×(-15) + 3)/6 = (-16)/4 - (-27)/6 = -4 + 4.5 = 0.5 = 1/2，右边 = 1/2，解正确。
幻灯片 8：例题讲解 3（分子分母均含多项式的方程求解）
例 3：解方程：(2x - 1)/3 - (x + 2)/4 = (x - 1)/2 + 1。
解答与分析：
第一步：去分母（分母 3、4、2 的最小公倍数是 12，每一项乘 12）：
12×(2x - 1)/3 - 12×(x + 2)/4 = 12×(x - 1)/2 + 12×1 → 4(2x - 1) - 3(x + 2) = 6(x - 1) + 12；
第二步：去括号：
8x - 4 - 3x - 6 = 6x - 6 + 12；
第三步：合并同侧同类项（简化方程）：
5x - 10 = 6x + 6；
第四步：移项：
5x - 6x = 6 + 10；
第五步：合并同类项：
-x = 16；
第六步：系数化为 1：
x = -16；
检验：左边 = (2×(-16) - 1)/3 - (-16 + 2)/4 = (-33)/3 - (-14)/4 = -11 + 3.5 = -7.5；
右边 = (-16 - 1)/2 + 1 = (-17)/2 + 1 = -8.5 + 1 = -7.5，解正确。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
解下列方程：
（1）(x - 3)/2 = (x + 1)/3； （2）(2x + 1)/4 - 1 = (x - 1)/3。
解方程：(3x - 1)/5 = (x + 2)/2 - 1。
提升题
解方程：(x + 3)/6 - (2x - 1)/4 = 1 - (3x + 2)/3。
已知 x = 2 是方程 (ax - 1)/3 = (x + a)/2 的解，求 a 的值（提示：先代入解，再去分母求解 a）。
拓展题
解方程：(1 - x)/3 - (x - 2)/6 = (2x - 1)/2 - 1（提示：注意分子是多项式，去分母时加括号）。
幻灯片 10：易错点深度剖析
去分母时漏乘常数项或某一项：
错误案例：解方程 (x + 1)/2 - 1 = (x - 2)/3 时，错乘 6 得 3 (x + 1) - 1 = 2 (x - 2)（漏乘常数项 “-1”，正确应为 3 (x + 1) - 6 = 2 (x - 2)）。
规避方法：去分母前标记方程的每一项（包括常数项、含分母项），确保每一项都乘最小公倍数，可在草稿纸上逐次写出每一项乘后的结果。
分子是多项式时未加括号：
错误案例：解方程 (2x - 1)/3 - (x + 2)/4 = 1 时，错乘 12 得 4×2x - 1 - 3×x + 2 = 12（分子未加括号，导致漏乘符号，正确应为 4 (2x - 1) - 3 (x + 2) = 12）。
规避方法：去分母前观察分子，若分子是多项式（含 “+”“-”），先给分子加括号，再乘最小公倍数，避免系数只乘分子第一项。
最小公倍数计算错误：
错误案例：解方程 (x - 1)/4 + (x + 3)/6 = 1 时，错将最小公倍数算为 18（正确应为 12），导致去分母后方程复杂。
规避方法：计算最小公倍数时，先对分母分解质因数（如 4 = 2 ，6 = 2×3，最小公倍数 = 2 ×3=12），确保公倍数是 “最小” 的，减少后续计算量。
幻灯片 11：课堂总结
核心知识梳理：
去分母依据：等式性质 2（乘所有分母的最小公倍数）。
解题步骤：去分母（每一项都乘，分子多项式加括号）→ 去括号→ 移项→ 合并同类项→ 系数化为 1→ 检验。
关键细节：漏乘是大忌，括号要牢记，最小公倍数算仔细。
方法提炼：
复杂分母方程 “分步简化”：先通过去分母转化为整数系数方程，再按常规步骤求解，降低分数运算难度。
检验技巧 “代入原方程”：因去分母步骤易出错，建议解完后代入原方程检验，而非简化后的方程，确保原方程成立。
幻灯片 12：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（利用去分母解一元一次方程相关题目）。
拓展练习：
（1）解方程：① (2x - 5)/3 - (x + 1)/4 = (x - 3)/2；② (1 - 3x)/6 + (x + 1)/3 = (x - 1)/2 + 1；
（2）已知方程 (3x - a)/4 - (2x + 1)/3 = x - 2 的解为 x = 1，求 a 的值；
（3）某数的 1/2 比它的 1/3 多 5，求这个数（设未知数，列方程并去分母求解）。
实践思考：结合生活中的 “比例分配”“工程问题”，自编一道需用 “去分母解一元一次方程” 的题目，并完整求解。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.2.4利用去分母解一元一次方程
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 经历探究解含有分数系数的一元一次方程的过程，掌握含有分数系数的一元一次方程的解法，体会建模和转化的数学思想，提高学生解决问题的能力．
2．通过归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程的程序化思想，培养学生自主探究的意识．
3．经历审题、列方程的过程，根据实际问题建立含有分数系数的一元一次方程并求解，进一步领悟方程思想，提高学生的思维能力．
故事导入


视频导入
请同学们
观看一段
视频：
你能列出方程吗？请同学们观察列出的方程，有什么特点？
18世纪著名瑞士数学家欧拉（1707—1783）的《代数基础》一书中有这样一个问题：一位老人打算按如下次序和方式分他的遗产：老大分100元和剩下遗产的十分之一，老二分200元和剩下遗产的十分之一，老三分300元和剩下遗产的十分之一，老四分400元和剩下遗产的十分之一......结果每个儿子得到的遗产一样多.请问这位老人共有几个儿子？
问题导入
1.请同学们阅读课本126－128页例7前，并思考：
(1)如何把分数系数方程转化为整数系数方程？
(2)去分母的关键是什么？
(3)这样做的依据是什么？
将分母去掉
找出各分母的最小公倍数
依据是等式的性质2，方程两边同时乘一个数，结果仍相等
2．下列方程去分母后，所得的结果对不对？如果不对，错在哪里？
(1)方程 ＝1，去分母，得2(2x－1)－3(5x＋1)＝1；
(2)方程 ＝1，去分母，得2(2x＋1)－10x＋1＝6.
3．请同学们研读课本128页例7，完成129页练习1题．
(1)不对，方程右边常数项漏乘最小公倍数．
(2)不对．分数线还代表括号，去分母时，分子是多项式的应该将分子用括号括上)
(3)去括号，得x－24＝7.移项，得x＝7＋24.合并同类项，得x＝31
(1)去分母，得3(x－1)＝－2(x＋3)．去括号，得3x－3＝－2x－6.移项，得3x＋2x＝－6＋3.合并同类项，得5x＝－3.方程两边同时除以5，得x＝－ .
(2)去分母，得2(x－1)－12x＝18－3(2－x)．去括号，得2x－2－12x＝18－6＋3x.移项，得2x－12x－3x＝18－6＋2.合并同类项，得－13x＝14.方程两边同时除以－13，得x＝－ .
2．解含分数系数的一元一次方程的步骤包括哪些？这些步骤是一成不变的吗？
3．去分母时应该注意什么问题？
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.步骤不是一成不变的，根据方程的特点，采取灵活、合理的步骤
(1)方程两边的各项都要乘各分母的最小公倍数(不含分母的项也要乘)，即“不漏乘”；(2)分子是多项式时，去掉分母的同时分子要加括号
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
1．方程中去分母的含义：当方程中未知数的系数为分数时，根据等式的性质2，将方程两边都乘同一个数(各分母的最小公倍数)，把未知数的系数化成整数，像这样约去分母的过程叫作方程中的去分母．
2．方程中去分母的步骤：(1)找出各分母的最小公倍数；(2)方程两边同时乘这个最小公倍数，约去分母．
知识点1：去分母解一元一次方程(重难点)
注：1.如果分子是一个多项式，那么在去分母时，不要忘记将分子看作一个整体加上括号；2.去分母时不要漏乘不含分母的项；3.去分母≠分数的基本性质，去分母时与方程的每一项都有关，分数的基本性质只对方程中的某一个分数进行变形，与其他项无关．
知识点2：解一元一次方程的一般步骤(重点)
注：解一元一次方程的步骤不是一成不变的，有时可以省略某个步骤，有时可以先去括号或者先合并同类项再去分母，要根据方程的特点灵活运用．
【题型一】去分母解一元一次方程
D
解：①去分母，得2(x－1)－(x＋2)＝3(4－x)．
去括号，得2x－2－x－2＝12－3x.
移项，得2x－x＋3x＝12＋2＋2.
合并同类项，得4x＝16.
系数化为1，得x＝4.
解：②去分母，得5(x－3)－2(4x＋1)＝10.
去括号，得5x－15－8x－2＝10.
移项，得5x－8x＝10＋15＋2.
合并同类项，得－3x＝27.
系数化为1，得x＝－9.
例3：课外活动中，一些学生分组参加活动．原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样比原来减少了2组，问这些学生共有多少人？
【题型二】去分母解一元一次方程的应用
解：设这些学生共有x人．根据题意，得 ＝2，解得x＝48.
答：这些学生共有48人．
例4：某同学在将方程 －1去分母时，方程右边的－1忘了乘3，因而求得该方程的解为x＝2.请你求出a的值，并求该方程的正确解．
解：由题意知 x＝2是方程2x－1＝x＋a－1的解，
把x＝2代入2x－1＝x＋a－1，得4－1＝2＋a－1，解得a＝2.
把a＝2代入 －1，
去分母，得2x－1＝x＋2－3.移项，得2x－x＝2－3＋1.合并同类项，得x＝0.
【选自教材教材P129 练习 第1题】
1. 解下列方程：
（1） ；
解：去分母（方程两边乘 100），得
19x = 21(x – 2).
去括号，得 19x = 21x – 42.
移项，得 19x – 21x = – 42.
合并同类项，得 – 2x = – 42.
系数化为 1，得 x = 21.
去分母（方程两边乘 4），得
2（x + 1）– 8 = x .
去括号，得 2x + 2 – 8 = x .
移项，得 2x – x = 8 – 2 .
合并同类项，得 x = 6 .
（2） ；
去分母（方程两边乘 12），得
3（5x – 1） = 6（3x + 1）– 4（2 – x）
去括号，得 15x – 3 = 18x + 6 – 8 + 4x
移项，得 15x – 18x – 4x = 6 – 8 + 3
合并同类项，得 – 7x = 1
系数化为1，得
（3） ；
（4） .
去分母（方程两边乘20），得
10（3x + 2）– 20 = 5（2x – 1）– 4（2x + 1）
去括号，得 30x +20 – 20 = 10x – 5 – 8x – 4
移项，得 30x – 10x + 8x = – 5 – 4 – 20+20
合并同类项，得 28x = – 9
系数化为1，得
2. 伦敦的不列颠博物馆保存着一件极其珍贵的文物——莱茵德纸草书. 这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作. 书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是 33. 这个数是多少？请你用方程解决这个问题.
【选自教材教材P129 练习 第2题】
解：设这个数是 x .
根据题意，得 .
解得
答：这个数是 .
3. 一辆客车和一辆卡车同时从 A 地出发沿同一公路同方向匀速行驶，客车的行驶速度是 70 km/h，卡车的行驶速度是 60 km/h，客车比卡车早 1 h 经过 B 地. 求 A，B 两地相距的路程.
解：设 A，B 两地相距的路程是 x km.
根据题意，得 .
解得 x = 420.
答: A，B 两地相距的路程是 420 km.
【选自教材教材P129 练习 第3题】
习题5.2
1. 解下列方程：
（1）x + 3x = -16；
（2）16y - 2.5y - 7.5y = 5；
x = -4
（3）3x + 5 = 4x + 1；
（4）9-3y = 5y + 5.
x = 4
y = 0.5
2. 解下列方程：
（1）5c + (2 - 4c) = 0；
（2）25b - (b - 5) = 29；
（3）7x + 2(3x - 3) = 20；
（4）8y - 3(3y + 2) = 6.
c = -2
b = 1
x = 2
y = -12
3. 解下列方程：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
4. 用方程解答下列问题：
（1）x 的 5 倍与 2 的和等于 x 的 3倍与 4 的差，求 x；
（2）y 与 -5 的积等于 y 与 5 的和，求 y；
解：根据题意，得 5x + 2 = 3x - 4.
解得 x = -3.
根据题意，得 -5y = y + 5.
解得 y = - .
（3）x 与 4 的和的 1.2 倍等于 x 与 14 的差的 3.6 倍，求 x；
（4）y 的 3 倍与 1.5 的和的 等于 y 与 1 的差的 ，求 y；
根据题意，得 1.2(x + 4) = 3.6(x–14).
解得 x = 23.
根据题意，得 .
解得 x = - .
5. 用一根 60 m 长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽
的 1.5 倍.长方形的长和宽各应是多少米？
解：设宽是 x m，则长是1.5x m.
根据题意，得 2x + 2×1.5x = 60.
解得 x = 12. 所以 1.5x = 18.
答：长是 18 m，宽是 12 m.
6. 几个人共同种一批树苗，如果每人种 10 棵，则剩下 6 棵
树苗未种；如果每人种 12 棵，则缺 6 棵树苗. 求参加种
树的人数.
解：设参加种树的有 x 人.
根据题意，得 10x + 6 = 12x - 6.
解得 x = 6.
答：参加种树的有 6 人.
7. 买两种布料共 64 m，花了 550 元，其中蓝布料每米 8元，
黑布料每米 9 元. 两种布料各买了多少米？
解：设蓝布料买了 x m，则黑布料买了(64-x) m.
根据题意，得 8x + 9(64-x) = 550.
解得 x = 26. 所以 64-x = 38.
答：蓝布料买了 26 m，黑布料买了 38 m.
去分母的依据是什么？
2．去分母时要注意什么问题？
等式的性质2
①不漏乘；②分子加括号
自信是船，勤奋是帆，毅力是风，老师是引航员，你们是舵手，只有我们同心协力，不畏艰险，才能到达成功的彼岸．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑