资源简介

(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：5.3.1 配套问题和工程问题
学科：数学
年级：七年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解配套问题的核心是 “部件数量成比例”，能根据比例关系列出方程。
掌握工程问题中 “工作总量、工作效率、工作时间” 的关系，能通过设 “工作总量为 1” 建立方程。
能运用一元一次方程解决实际中的配套和工程问题，提升数学建模能力。
幻灯片 3：情境引入（两类问题的生活实例）
配套问题实例：
工厂生产桌椅，1 张桌子需要搭配 4 把椅子。现有工人分别生产桌子和椅子，每天生产 1 张桌子耗时 2 小时，生产 1 把椅子耗时 1 小时，若每天工作 8 小时，如何安排生产，才能使桌椅刚好配套？
工程问题实例：
装修一套房子，甲师傅单独做需要 10 天完成，乙师傅单独做需要 15 天完成。若两人合作，几天能完成这套房子的装修？
提问：这两类问题的关键等量关系是什么？如何通过设未知数，将实际问题转化为一元一次方程？
第一部分：配套问题
幻灯片 4：配套问题的核心等量关系
核心原理：配套问题中，不同部件的数量需满足固定比例（如 1 个部件 A 配 2 个部件 B，则 A 的数量 ×2 = B 的数量），这是列方程的关键。
常见比例类型：
“1:1” 配套：如 1 个螺丝配 1 个螺母，则螺丝数量 = 螺母数量。
“1:n” 配套：如 1 件上衣配 2 条裤子，则上衣数量 ×2 = 裤子数量；1 张桌子配 4 把椅子，则桌子数量 ×4 = 椅子数量。
“m:n” 配套：如 2 个零件 A 配 3 个零件 B，则 A 的数量 ×3 = B 的数量 ×2（交叉相乘相等）。
解题思路：
设未知数：设生产其中一种部件的数量为 x（或设生产时间为 t）。
表示相关量：根据比例关系，用含 x（或 t）的式子表示另一种部件的数量。
列方程：根据 “配套比例” 列出等式。
解方程并验证：确保结果符合实际（数量为非负整数）。
幻灯片 5：例题讲解 1（1:n 型配套问题）
例 1：某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母。1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
解答与分析：
第一步：设未知数（设安排 x 名工人生产螺钉，则生产螺母的工人为 (22 - x) 名）。
第二步：表示每天生产的部件数量：
每天生产螺钉数量 = 1200x（个）；
每天生产螺母数量 = 2000 (22 - x)（个）。
第三步：根据配套比例列方程（1 个螺钉配 2 个螺母，即螺母数量 = 螺钉数量 ×2）：
2000(22 - x) = 2×1200x。
第四步：解方程：
2000(22 - x) = 2400x
44000 - 2000x = 2400x
4400x = 44000
x = 10。
第五步：求生产螺母的工人数量：22 - x = 22 - 10 = 12（名）。
验证：螺钉数量 = 1200×10 = 12000（个），螺母数量 = 2000×12 = 24000（个），24000 = 2×12000，刚好配套。
答：应安排 10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母。
幻灯片 6：例题讲解 2（m:n 型配套问题）
例 2：某工厂生产 A、B 两种零件，2 个 A 零件和 3 个 B 零件刚好可以组装成一个产品。已知该工厂每天能生产 A 零件 100 个或 B 零件 120 个，现安排 14 天生产，如何分配生产 A、B 零件的天数，才能使生产的零件刚好组装成产品？
解答与分析：
第一步：设未知数（设生产 A 零件的天数为 x 天，则生产 B 零件的天数为 (14 - x) 天）。
第二步：表示生产的零件数量：
A 零件总数量 = 100x（个）；
B 零件总数量 = 120 (14 - x)（个）。
第三步：根据配套比例列方程（2 个 A 配 3 个 B，即 A 数量 ×3 = B 数量 ×2）：
3×100x = 2×120(14 - x)。
第四步：解方程：
300x = 240(14 - x)
300x = 3360 - 240x
540x = 3360
x = 3360 ÷ 540 = 16/3 ≈ 5.33（天）？（此处发现结果非整数，需调整思路，实际生产中天数应为整数，重新检查方程）
（修正：方程正确，若允许小数天数，x = 16/3 ≈ 5.33 天，生产 B 零件天数 = 14 - 16/3 = 26/3 ≈ 8.67 天；若要求整数天数，需取近似值，如 x=5 天，A=500 个，B=120×9=1080 个，500×3=1500≠1080×2=2160；x=6 天，A=600 个，B=120×8=960 个，600×3=1800=960×2=1920？不相等，说明题目数据可调整为 “每天生产 B 零件 150 个”，则方程为 300x=300 (14-x)，x=7 天，更合理，此处按原题数据讲解，强调实际中需符合整数要求）
答：生产 A 零件约 5.33 天，生产 B 零件约 8.67 天（实际应用中需调整生产计划，使天数为整数）。
第二部分：工程问题
幻灯片 7：工程问题的核心数量关系
核心公式：
工作总量 = 工作效率 × 工作时间
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率
关键设定：
工程问题中，通常将 “工作总量” 设为1（表示整个工程的工作量），此时：
单人单独完成工程的时间为 t，则其工作效率为 1/t（每天完成工程的 1/t）。
多人合作时，总工作效率 = 各个人工作效率之和。
常见题型：
单人完成工程：求时间或效率。
多人合作完成工程：求合作时间（总工作量 = 合作效率 × 合作时间）。
工程中途有人退出 / 加入：分阶段计算工作量，总工作量 = 各阶段工作量之和。
幻灯片 8：例题讲解 3（单人与合作工程问题）
例 3：一项工程，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要 18 天完成。
（1）甲、乙两人的工作效率分别是多少？
（2）若两人合作，多少天能完成这项工程？
解答与分析：
（1）设工作总量为 1，根据 “工作效率 = 1 / 单独完成时间”：
甲的工作效率 = 1/12（每天完成工程的 1/12）；
乙的工作效率 = 1/18（每天完成工程的 1/18）。
答：甲的效率为 1/12，乙的效率为 1/18。
（2）第一步：计算合作效率 = 甲效率 + 乙效率 = 1/12 + 1/18。
通分：1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36。
第二步：设合作时间为 x 天，根据 “总工作量 = 合作效率 × 时间” 列方程：
(5/36)x = 1。
第三步：解方程：x = 1 ÷ (5/36) = 36/5 = 7.2（天）。
验证：合作 7.2 天，甲完成 7.2×(1/12)=0.6，乙完成 7.2×(1/18)=0.4，0.6+0.4=1，刚好完成。
答：两人合作 7.2 天能完成这项工程。
幻灯片 9：例题讲解 4（含中途退出的工程问题）
例 4：一项工程，甲单独做需要 20 天完成，乙单独做需要 30 天完成。两人合作 5 天后，甲因事退出，剩余工程由乙单独完成，乙还需要多少天才能完成这项工程？
解答与分析：
第一步：设工作总量为 1，计算甲、乙效率：
甲效率 = 1/20，乙效率 = 1/30；
合作效率 = 1/20 + 1/30 = 3/60 + 2/60 = 5/60 = 1/12。
第二步：计算前 5 天合作完成的工作量：
合作工作量 = 合作效率 × 时间 = (1/12)×5 = 5/12。
第三步：设乙单独完成剩余工程需要 x 天，剩余工作量 = 1 - 5/12 = 7/12。
根据 “乙的工作量 = 乙效率 × 时间” 列方程：
(1/30)x = 7/12。
第四步：解方程：x = (7/12) ÷ (1/30) = (7/12)×30 = 17.5（天）。
验证：总工作量 = 5/12 + (1/30)×17.5 = 5/12 + 17.5/30 = 5/12 + 7/12 = 1，正确。
答：乙还需要 17.5 天才能完成这项工程。
幻灯片 10：课堂练习（分层巩固）
配套问题
某服装厂要生产一批校服，每套校服包含 1 件上衣和 1 条裤子。已知每名工人每天能生产上衣 15 件或裤子 20 条，现有 42 名工人，如何安排生产上衣和裤子的工人，才能使每天生产的校服刚好配套？
某车间生产机器零件，3 个甲零件和 2 个乙零件可以组装成 1 个部件。已知每天能生产甲零件 240 个或乙零件 180 个，现安排 10 天生产，多少天生产甲零件，多少天生产乙零件，才能使零件刚好组装成部件？
工程问题
一项工作，小张单独做需要 8 小时完成，小李单独做需要 10 小时完成。两人合作，多少小时能完成这项工作的 3/4？
一项工程，A 队单独做需要 15 天完成，B 队单独做需要 20 天完成。A 队先做 5 天后，B 队加入合作，还需要多少天才能完成这项工程？
幻灯片 11：易错点深度剖析
配套问题中比例关系颠倒：
错误案例：1 张桌子配 4 把椅子，错列方程为 4× 桌子数量 = 椅子数量（正确应为桌子数量 ×4 = 椅子数量）。
规避方法：明确 “谁配谁”，如 “1A 配 n B”，则 A 的数量 ×n = B 的数量；“m A 配 n B”，则 A×n = B×m，可通过举例验证（如 1 张桌子配 4 把椅子，2 张桌子需 8 把椅子，2×4=8，符合桌子 ×4 = 椅子）。
工程问题中工作总量设定错误：
错误案例：将工作总量设为具体数值（如 100），但未统一单位，导致计算混乱（正确通常设为 1，简化计算）。
规避方法：无论工程实际工作量多少，均设为 1，此时效率为 “1 / 时间”，便于计算；若题目给出具体工作量（如修 1000 米公路），则按实际数值计算。
含中途变化的工程问题漏算阶段工作量：
错误案例：甲、乙合作 5 天后甲退出，乙单独做 x 天，错列方程为 (甲 + 乙) 效率 ×(5+x)=1（忽略甲只做 5 天，乙做 5+x 天）。
规避方法：分阶段列工作量，如 “甲 5 天工作量 + 乙 (5+x) 天工作量 = 1”，明确每个人的工作时间，再乘以对应效率，避免混淆总时间。
幻灯片 12：课堂总结
配套问题：
核心：部件数量成比例（1A 配 n B→A×n=B；m A 配 n B→A×n=B×m）。
步骤：设未知数→表数量→列比例方程→解方程→验证。
工程问题：
核心：工作总量 = 效率 × 时间，总量常设为 1，效率 = 1 / 单独时间。
步骤：设总量为 1→算效率→按 “总量 = 各部分工作量之和” 列方程→求解。
共性方法：
实际问题→设未知数→找等量关系→列一元一次方程→求解验证，关键是找准 “配套比例” 或 “工作量关系”。
幻灯片 13：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（配套问题、工程问题相关题目）。
拓展练习：
（1）某工厂生产玩具车，1 辆玩具车需要 1 个车身和 4 个车轮。已知每天能生产车身 200 个或车轮 850 个，现有 21 天生产时间，如何分配天数生产车身和车轮，才能使零件刚好组装成玩具车？
（2）一项工程，甲单独做需要 10 天，乙单独做需要 12 天，丙单独做需要 15 天。三人合作 2 天后，甲、丙退出，剩余工程由乙单独完成，乙还需要多少天？
实践思考：观察生活中的配套或工程场景（如家庭做饭时食材搭配、装修房屋），自编一道相关实际问题，并用一元一次方程求解。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.3.1配套问题和工程问题
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过自主探究、合作探究、交流展示，让学生经历提出问题、分析问题、解决问题的数学过程，培养学生抽象、分析、概括和解决问题的能力．
2．通过列方程解决实际问题，让学生体会建模思想，培养学生的模型意识．
3．体会数学来源于生活，又服务于生活，让学生在探究中感受学习的喜悦，增强学生学习数学的兴趣．
旧知回顾
同学们，你们还记得什么叫作比例吗？
这个式子两端的项6和2叫作什么？中间的两项3和4叫作什么？
比例的内项和外项间有什么数量关系？
表示两个比相等的式子叫作比例，比如6∶3＝4∶2
外项；内项
两内项的积等于两外项的积
情境导入
同学们，在我们的生活中，有很多需要进行配套的问题.比如，课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等.
你还能举出生活中配套问题的例子吗？
问题导入
有一个很有意思的问题：
巍巍古寺在山林，不知寺中几多僧.三百六十四只碗，众僧刚好都用尽.
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹请问先生名算者，算来寺内几多僧？
诗的意思：3个和尚吃一碗饭，4个和尚吃一碗羹，刚好用了364只碗，请问寺内有多少和尚？这是一个很经典的配套问题，我们需要给和尚们配上数量刚好的碗，才能让每个人都吃上饭，喝上汤.
同学们，你们能尝试给下面的物品连线，使之配套吗？
它们的配套比例是怎么样的？
你还能举出其他的配套例子吗？
图片导入
1.请同学们阅读课本133页例1并回答以下问题：
(1)“1个螺栓需要配2个螺母”这句话包含着什么等量关系？
(2)本题中有哪些等量关系？请同学们完成表格：
(3)请完成这道题目．
螺母的数量＝2×螺栓的数量
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺栓 x 1 200
螺母 2 000
1 200x
22－x
2 000(22－x)
略
2．请同学们阅读课本133页例2并回答下列问题：
(1)请你找出题目中的工作总量、工作时间、工作效率．
(2)怎么设未知数？
可设先安排x人整理4 h
工作总量为1；1个人的工作效率为 .工作时间分为两部分：一部分人工作4＋8＝12(h)，2人工作8 h
(3)请同学们完成下表：
(4)请完成这道题目．
人数 x x＋2
工作效率
工作时间
工作量
4
8
略
1.请同学们讨论一下用一元一次方程解决实际问题的步骤．
2．请同学们完成课本134页练习1，3题．
①设：设适当的未知数，表示出未知量；
②列：根据题目中的相等关系列方程；
③解：解方程；
④检：检验所得结果；
⑤答：确定答案
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
①设：设适当的未知数，表示出未知量；
②列：根据题目中的相等关系列方程；
③解：解方程；
④检：检验所得结果；
⑤答：确定答案．
知识点1：列一元一次方程解决实际问题的一般步骤(重点)
解配套问题的关键是要明确配套物品之间的数量关系，这是列方程的依据．
若m件甲产品与n件乙产品配套，则满足相等关系：
甲产品的数量×n＝乙产品的数量×m.
可根据该等量关系列出方程求解．
知识点2：配套问题(难点)
工程问题中的等量关系：
(1)工作量＝工作效率×工作时间；
(2)合作效率：各部分单独完成的效率之和；
(3)工作总量：各部分工作量之和，题中不知道工作总量时，常将工作总量看作1.
知识点3：工程问题(难点)
【题型一】配套问题
例1：一套仪器由1个A部件和3个B部件构成．用1 m3钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6 m3钢材制作这种仪器(刚好用完，无浪费)，应该用多少钢材做A部件和B部件，才能恰好配成这种仪器多少套？
解：设用x m3钢材做A部件，则用(6－x)m3钢材做B部件．
根据题意，得3×40x＝(6－x)×240，解得x＝4，所以6－x＝2，4×40＝160(套)．
答：应该用4 m3钢材做A部件，用2 m3钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器160套．
变式：用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒(全部用完，无浪费)
解：设用x张制盒身，则用(150－x)张制盒底．
根据题意，得16x×2＝43×(150－x)，解得x＝86.
所以150－x＝150－86＝64.
答：用86张制盒身，64张制盒底，可以正好制成整套罐头盒．
例2：一批文稿，若由甲抄，30小时可以抄完，若由乙抄，20小时可以抄完，现由甲抄3小时后改由乙抄余下部分，则乙还需抄_______小时．
18
【题型二】工程问题
变式：甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天内(含15天)完成，否则每超过1天罚款1 000元，甲、乙两人经协商后签订了该合同．
(1)正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？
(2)现两人合作了这项工程的75%，因特殊情况，必须调走1人，问调走谁更合适？为什么？
解：(1)能履行该合同，理由：设甲、乙合作x天完成，由题意，得
x＝1，解得x＝12.因为12＜15，所以两人能履行该合同．
(2)调走甲更合适．理由：由(1)知，两人合作完成这项工程的75%所需时间为12×75%＝9(天)．剩下15－9＝6(天)必须由其中一人做完余下的工程，故他的工作效率至少应为(1－75%)÷6＝
所以调走甲更合适．
练 习
【选自教材P134 练习 第1题】
1. 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12 天，由乙工程队单独铺设需要 24 天，如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？
解: 设需要 x 天可以铺好这条管线.
根据题意，得 .
解得 x ＝ 8.
答: 需要 8 天可以铺好这条管线.
2. 在一次劳动课上，有 27 名同学在甲处劳动，有 19 名
同学在乙处劳动. 现在从其他班级另调 20 人去支援，
使得在甲处的人数为在乙处人数的 2 倍，应调往甲、
乙两处各多少人？
解：设调往甲处 x 人，则调往乙处 (20 - x) 人.
根据题意，得 27 + x = 2(19 + 20 - x).
解得 x = 17. 所以 20 - x = 3.
答：应调往甲处 17 人，乙处 3 人.
【选自教材P134 练习 第2题】
3. 一台仪器由 1 个 A 部件和 3 个 B 部件构成. 用 1 m3 钢材可以做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件，现要用 6 m3 钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做 A 部件，多少立方米钢材做 B 部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？
解:设用 x m3 钢材做 A 部件，则用 (6 - x) m3 钢材做 B 部件.
根据题意，3×40x = 240(6 - x). 解得 x = 4.
所以 6 - x = 2，40x = 160.
答:应用 4 m3 钢材做A部件，2 m3 钢材做 B 部件，才能制作
尽可能多的仪器，最多能制成 160 台仪器.
【选自教材P134 练习 第3题】
1. 汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史
上素有“汝窑为魁”之称.某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具
由1个茶壶和6只茶杯组成.用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶
杯，现要用6千克瓷泥制作茶具，设用 千克瓷泥做茶壶时，
恰好使制作的茶壶和茶杯配套.根据题意，下面所列方程正确
的是( )
D
A. B.
C. D.
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2. ［2024烟台］《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著
作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日
织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何？”意思是：
现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每
天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一
尺布，30天完工，问一共织了多少布？( )
C
A. 45尺 B. 88尺
C. 90尺 D. 98尺
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3.某工厂安排60名工人加工一批桌子，每张桌子由1张桌面和
4条桌腿组成.每名工人每天可以加工2张桌面或者4条桌腿
（每人只加工桌面或桌腿），为了使每天加工的桌面和桌腿
恰好配套，每天应该安排____名工人生产桌面.
20
【点拨】设每天应该安排名工人生产桌面，则有 名
工人生产桌腿，由题意，得，解得 ，
所以每天应该安排20名工人生产桌面.
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4. 问题：师徒二人检修管道，____，求师傅
与徒弟每小时各检修多长的管道.
条件：
①该管道长 ；
②师傅每小时比徒弟多检修 ；
③若两人从管道两端同时开始检修，则 后完成任务；
④若师傅先检修，则两人再一起检修 后完成任务；
在上述四个条件中选择三个条件，并完成解答.（写一种即可）
【解】（答案不唯一，写一种即可）
当选择①②③时，
设师父每小时检修，则徒弟每小时检修 ，
由题意，得 ，
解得，所以 .
答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 .
当选择①②④时，
设师父每小时检修，则徒弟每小时检修 ，
由题意，得 ，
解得，所以 .
答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 .
当选择②③④时，
设师父每小时检修，则徒弟每小时检修 ，
由题意，得 ，
解得，所以 ，
答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 .
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用一元一次方程解决实际问题的基本步骤有哪些？
设、列、解、检、答
同学们，数学是开启我们智慧的金钥匙，希望同学们喜欢数学、学好数学！
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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