资源简介

(共35张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：5.3.4 方案选择问题
学科：数学
年级：七年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解方案选择问题的核心是 “通过计算不同方案的成本 / 收益，比较后选择最优方案”，能根据实际场景建立代数式或方程。
掌握方案选择的解题步骤：分析场景→建立模型→计算比较→确定最优方案。
能运用一元一次方程解决生活中的方案选择问题（如收费、购物、优惠活动等），提升数学应用与决策能力。
幻灯片 3：情境引入（生活中的方案选择场景）
场景 1：手机套餐选择
运营商推出两种套餐：
套餐 A：月租 58 元，含 100 分钟通话，超出部分 0.3 元 / 分钟；
套餐 B：月租 88 元，含 300 分钟通话，超出部分 0.2 元 / 分钟。
小明每月通话时间约 200 分钟，选择哪种套餐更划算？
场景 2：购物优惠选择
超市促销：
方案一：所有商品打 8 折；
方案二：满 200 元减 50 元（不满 200 元不减免）。
妈妈要买总价 280 元的商品，哪种方案更省钱？
提问：这些场景中，如何通过数学计算判断 “哪种方案更优”？当条件（如通话时间、购物金额）变化时，最优方案是否会改变？
幻灯片 4：方案选择问题的核心解题思路
核心原则：
方案选择的本质是 “量化比较”—— 通过建立代数式表示不同方案的关键指标（如成本、费用、收益），再根据实际条件（如用量、数量）计算指标值，或通过方程找到 “两方案效果相等” 的临界值，最终确定最优方案。
通用解题步骤：
分析场景，明确变量：
确定影响方案选择的 “关键变量”（如通话时间、购物金额、使用数量等，设为 x）。
明确每个方案的计算规则（如固定费用 + 变动费用、折扣、满减等）。
建立模型，列代数式：
用含 x 的代数式表示每个方案的 “总费用 / 总收益”（记为 y 、y 、…）。
计算比较，找临界值：
若已知变量 x 的具体值，直接代入代数式计算，比较结果选最小 / 最大值；
若变量 x 不确定，通过方程 “y = y ” 找到 “两方案效果相等” 的临界值，再分区间讨论 x 不同取值时的最优方案。
验证结论，确定最优方案：
结合实际场景（如 x 为正整数、费用为非负数）验证计算结果，确保方案合理。
幻灯片 5：例题讲解 1（固定变量的方案选择：直接计算比较）
例 1：某班组织春游，现有两家旅行社提供服务，收费标准如下：
旅行社甲：每人收费 120 元，含门票和车费；
旅行社乙：每人收费 100 元（含门票），另需支付车费共 300 元。
若该班共有 40 名学生，选择哪家旅行社更省钱？
解答与分析：
第一步：明确关键变量与方案规则
变量：人数 x = 40（固定）；
甲方案总费用 y = 120x；
乙方案总费用 y = 100x + 300。
第二步：代入 x = 40 计算两方案费用
y = 120×40 = 4800（元）；
y = 100×40 + 300 = 4000 + 300 = 4300（元）。
第三步：比较费用，选择最优方案
因 4300 < 4800，故选择乙旅行社更省钱。
答：选择乙旅行社更省钱，总费用 4300 元。
幻灯片 6：例题讲解 2（变量不确定的方案选择：找临界值 + 分区间讨论）
例 2：某电力公司推出两种居民用电收费方案：
方案一：每月用电量不超过 100 度，按 0.5 元 / 度收费；超过 100 度的部分，按 0.6 元 / 度收费；
方案二：无论用电量多少，均按 0.55 元 / 度收费。
（1）当每月用电量为多少度时，两种方案收费相同？
（2）若家庭每月用电量为 150 度，选择哪种方案更划算？若用电量为 80 度呢？
解答与分析：
第一步：设变量，建立两方案费用代数式
设每月用电量为 x 度，总费用为 y 元。
方案一（分段收费）：
当 x ≤ 100 时，y = 0.5x；
当 x > 100 时，y = 0.5×100 + 0.6 (x - 100) = 50 + 0.6x - 60 = 0.6x - 10；
方案二（统一收费）：y = 0.55x。
（1）求 “收费相同” 的临界值（分情况讨论）
① 当 x ≤ 100 时，令 y = y ：0.5x = 0.55x → 0.05x = 0 → x = 0（无实际意义，舍去）；
② 当 x > 100 时，令 y = y ：0.6x - 10 = 0.55x → 0.05x = 10 → x = 200。
答：当每月用电量为 200 度时，两种方案收费相同。
（2）根据具体用电量选择方案
① 用电量 x = 150 度（x > 100）：
y = 0.6×150 - 10 = 90 - 10 = 80（元）；
y = 0.55×150 = 82.5（元）；
因 80 < 82.5，选择方案一更划算。
② 用电量 x = 80 度（x ≤ 100）：
y = 0.5×80 = 40（元）；
y = 0.55×80 = 44（元）；
因 40 < 44，选择方案一更划算。
（补充讨论）当 x > 200 时（如 x = 250 度）：
y = 0.6×250 - 10 = 140（元），y = 0.55×250 = 137.5（元），此时方案二更划算。
结论：x <200 度选方案一，x = 200 度两方案相同，x> 200 度选方案二。
幻灯片 7：例题讲解 3（复杂场景：含多种优惠条件的方案选择）
例 3：某商场推出两种促销方案，购买同一品牌冰箱（原价 4500 元 / 台）：
方案一：先打 9 折，再减 300 元；
方案二：满 3000 元减 500 元，满 5000 元减 800 元（按原价计算满减）；
另外，会员可在上述方案基础上再享 9.5 折（非会员无此优惠）。
（1）非会员购买 1 台冰箱，选择哪种方案更便宜？
（2）会员购买 1 台冰箱，选择哪种方案更便宜？
解答与分析：
第一步：明确原价与方案规则
原价 = 4500 元，设非会员方案总费用为 y 、y ，会员方案总费用为 y '、y '。
（1）非会员方案计算
方案一：先打 9 折→4500×0.9 = 4050 元，再减 300 元→y = 4050 - 300 = 3750（元）；
方案二：原价 4500 元，满 3000 元减 500 元（不满 5000 元）→y = 4500 - 500 = 4000（元）；
因 3750 < 4000，非会员选方案一更便宜。
（2）会员方案计算（在非会员基础上再打 9.5 折）
方案一会员价：y ' = 3750×0.95 = 3562.5（元）；
方案二会员价：y ' = 4000×0.95 = 3800（元）；
因 3562.5 < 3800，会员选方案一更便宜。
答：（1）非会员选方案一；（2）会员选方案一。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
某复印店有两种收费方式：
方式一：复印页数不超过 10 页，每页 0.5 元；超过 10 页，超出部分每页 0.3 元；
方式二：无论页数多少，每页 0.4 元。
（1）复印 15 页，选择哪种方式更省钱？
（2）复印多少页时，两种方式收费相同？
提升题
某租车公司推出两种租车方案：
方案 A：日租金 180 元，不限里程；
方案 B：日租金 100 元，加每公里 0.5 元里程费。
（1）若一天行驶 200 公里，选哪种方案？
（2）一天行驶多少公里时，两种方案费用相同？超过这个里程，选哪种方案？
拓展题
书店购书优惠：
方案一：所有图书打 7.5 折；
方案二：买 3 本送 1 本（不满 3 本不送），每本原价 20 元。
（1）买 4 本，哪种方案更便宜？
（2）买 5 本，哪种方案更便宜？
幻灯片 9：易错点深度剖析
忽略 “分段计费” 的边界条件：
错误案例：例 2 中，计算 x=150 度的方案一费用时，错按 “0.5×150=75 元”（未分段，正确应为 0.5×100 + 0.6×50=80 元）。
规避方法：遇到分段计费方案，先明确 “临界值”（如 100 度、200 元），判断变量是否超过临界值，再选择对应公式计算，避免直接套用单一公式。
遗漏 “附加条件”（如会员折扣、满减门槛）：
错误案例：例 3 中，会员方案计算时，错将 “会员折扣” 直接乘原价（4500×0.95），忽略需先算非会员方案费用再打折。
规避方法：复杂方案需按 “规则顺序” 逐步计算（如先满减 / 打折，再叠加附加优惠），可在草稿纸上标注每一步计算依据，避免跳过关键步骤。
比较时混淆 “成本” 与 “收益”：
错误案例：方案选择中，错将 “收益更高” 选成 “成本更高”（如套餐选择时，错把费用高的方案当作更优）。
规避方法：明确比较的 “指标类型”—— 成本类问题选 “费用最低”，收益类问题选 “收益最高”，计算后标注指标性质（如 “费用：3750 元”“收益：200 元”），避免判断反。
幻灯片 10：课堂总结
核心知识梳理：
方案选择本质：量化比较（成本 / 收益），关键是建立代数式 / 方程。
两类场景处理：
① 变量固定：直接代入代数式计算，比较结果选最优；
② 变量不确定：先找 “临界值”（方程 y =y ），再分区间讨论。
注意细节：分段计费的边界、附加优惠的顺序、指标性质（成本 / 收益）。
方法提炼：
复杂场景 “分步拆解”：将多条件方案（如打折 + 满减 + 会员）拆分为 “基础计算→附加优惠” 两步，逐步推导，降低复杂度。
结论验证 “反向核对”：计算后代入原方案规则反向验证（如例 2 中 x=200 度，验证两方案费用是否均为 110 元），确保计算无误。
幻灯片 11：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（方案选择相关题目）。
拓展练习：
（1）某电影院售票：
成人票：每张 40 元；学生票：每张 25 元；
团体票（10 人及以上）：每张 30 元（不分成人 / 学生）。
某班 12 名学生和 2 名老师去看电影，选择 “单独购票” 还是 “买团体票” 更划算？
（2）某手机店分期购手机：
方案一：首付 1000 元，每月还款 300 元，共还 12 个月；
方案二：首付 1500 元，每月还款 250 元，共还 10 个月。
两种方案总付款额相差多少元？选择哪种方案总付款更少？
实践思考：观察生活中的方案选择场景（如外卖会员、打车优惠、流量套餐），记录 2 种不同方案，通过计算分析哪种方案更适合自己家庭的使用情况，写出分析报告。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.3.4方案选择问题
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过阅读题目，正确理解图表中所给信息的含义，并能合理利用信息列方程，体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用，提高学生分析问题、解决问题的能力．
2．通过结合实际问题情境发现并提出数学问题，在解决问题的过程中，能够有条理地思考、分析实际问题中的相等关系，培养学生勤于思考的学习习惯．
3．经历分段计费问题的解题过程，学习方案选择问题，体会最优化思想，从实际问题中体会数学的价值．
情境导入
同学们，老师这几天又高兴又发愁，高兴的是手机话费大降价，发愁的是不知道如何选择手机卡，你能帮老师解决这个问题吗？
复习导入
同学们，用一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？
同学们，你们跟父母出门旅游都是选择什么方式呢？
小明和爸爸妈妈三人暑假准备参加旅游团去北京旅游，甲旅行社说：“若父母买全票，则小孩可以半价优惠.”乙旅行社说：“全部按全票价的八折优惠.”若全票价为1200元，则他们应该选择哪家旅行社？
视频导入
观看视频思考：现在推出的一系列节能产品，比耗能高的节省在哪呢？
请同学们阅读课本138－139页探究3，并思考以下问题：
(1)空调的综合费用和哪些量有关？
(2)请你表示出两款空调的综合费用．
空调的售价、空调的耗电量
设空调的使用年数是t，则1级能效空调的综合费用(单位：元)是3 000＋0.5×640t＝3 000＋320t，3级能效空调的综合费用(单位：元)是2 600＋0.5×800t＝2 600＋400t
(3)如何比较两款空调综合费用的大小？
先令3 000＋320t＝2 600＋400t，解得t＝5，即空调的使用年数为5时，两种空调的综合费用相同．将3 000＋320t变形为2 600＋400t＋400－80t＝2 600＋400t＋80(5－t)，若t>5，则5－t<0，
3 000＋320t＜2 600＋400t，若00，3 000＋320t＞
2 600＋400t；或将2 600＋400t变形为3 000＋320t＋80(t－5)，
若t>5，则t－5>0，3 000＋320t＜2 600＋400t，
若0(4)综上所述，你能得到什么结论？
(5)根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起)，所以购买哪款空调更划算？
当使用年份超过5年时，1级能效空调的综合费用低；当使用年份不足5年时，3级能效空调的综合费用低；当使用年份为5年时，两种空调的综合费用相同
购买1级能效空调更划算
小组合作完成课本141页14题．
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
用一元一次方程解决方案选择问题的步骤：
①先设未知数表示消费量及各计费方式下的费用；
②再以费用相等的情况列出方程并求出未知数的值，这个值就是分类讨论的分界点；
③最后在每个范围内比较费用的大小关系，选择出符合题意的最优解决方案．
知识点：方案选择问题(重难点)
【题型】方案选择问题
例1：下表是某地移动公司推出的两种话费收取方式：
解：设通话时间为x分钟，则方式一每月收费(20＋0.1x)元，方式二每月收费0.2x元．令20＋0.1x＝0.2x，解得x＝200.
将0.2x变形为20＋0.1x＋0.1(x－200)，
当x>200时，0.2x＞20＋0.1x；当0故当0200时，选择方式一更优惠．
方式一 方式二
月租费 20元/月 0
本地通话费 0.10元/分 0.20元/分
选择哪种方式更优惠？
例2：网约车是一种新的出行方式，某公司的网约车有快车和优享专车两种出租车，它们的收费方式有所不同．
优享专车：每千米收费2.5元，不收其他费用；
快车：
计费项目 起步价 里程费 远途费
计费价格 8元 2.0元/千米 1.0元/千米
注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米：里程>2千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为行车15千米以内(含15千米)不收远途费，超过15千米的，超出部分每千米加收1.0元．
(1)若张老师选择乘坐优享专车3千米需付______元；若张老师选择乘坐快车3千米需付______元；
若张老师选择乘坐优享专车20千米需付____元；若张老师选择乘坐快车20千米需付____元．
(2)若张老师需要乘网约车到离家x(x为正整数)千米的学校上班，请问她该如何选择出行方式？
7.5
10
50
49
优享专车：每千米收费2.5元，不收其他费用；
快车：
计费项目 起步价 里程费 远途费
计费价格 8元 2.0元/千米 1.0元/千米
解：(2)设乘坐快车需付W快车元，乘坐优享专车需付W优享元．
①05，故选优享专车．
②2③x>15时，W优享＝2.5x，W快车＝8＋2(x－2)＋x－15＝3x－11.令2.5x＝3x－11，解得x＝22.
故1522时，选优享专车，x＝22时，两者皆可．
综上，当022时选优享专车，8习题5.3
1. 结合本节内容体会例 2 后归纳的框图.
解:将实际问题转化为数学问题（列一元一次方程），再通过解方程得到数学问题的解（x = a），最后将
得到的解代回原方程检验，得到实际问题的答案.
2. 制作一张桌子要用 1 个桌面和 4 条桌腿，1 m3 木材可制作 20 个桌面，或者制作 400 条桌腿. 现有 12 m3 木材，应怎样
计划用料才能制作尽可能多的桌子？
解:设用 x m3 木材制作桌面，则用 (12-x) m3 木材制作桌腿.
根据题意，得 4×20x ＝ 400(12-x).
解得 x = 10. 所以 12 - x ＝ 2.
答:用 10 m3 木材制作桌面，2 m3 木材制作桌腿，才能制作
尽可能多的桌子.
3. 某车间每天能制作 500 个甲种零件，或 250 个乙种零件（同一天内不能同时制作这两种零件），甲、乙两种零件各 1 个
配成 1 套产品. 现要用 30 天制作最多的成套产品，甲、乙两种零件各应制作多少天？
解：设甲种零件应制作 x 天，则乙种零件应制作 (30 - x) 天.
根据题意，得 500x ＝ 250(30 - x).
解得 x ＝10. 所以 30 - x ＝ 20.
答：甲种零件应制作 10 天，乙种零件应制作 20 天.
4. 某项工作由甲、乙两人单独做分别需要 7.5 h 和 5 h. 如果让甲、乙两人一起工作 1 h，再由乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间？
解：设剩余部分由乙单独完成需 x h.
根据题意，得 .
解得 . 所以 .
答：一共需要 h.
5. 整理一批数据，由 1 人整理需 80 h 完成. 现在计划先由一些人整理 2 h，再增加 5 人整理 8 h，完成这项工作的 . 怎样安排参与整理数据的具体人数？
解：设先安排 x 人整理 2 h.
解得 x ＝ 2.
答:应先安排 2 人整理 2 h，再增加 5 人整理 8 h.
根据题意，得 .
综合运用
6. 用 A 型和 B 型机器生产同样的产品，已知 5 台 A 型机器一天生产的产品装满 8 箱后还剩 4 个，7 台 B 型机器一天生产的产品装满 11 箱后还剩 1 个，每台 A 型机器比 B 型机器一天多生产 1 个产品. 求每箱装多少个产品.
解：设每箱装 x 个产品.
根据题意，得 .
解得 x ＝ 12.
答:每箱装 12 个产品.
7. 下表中记录了一次实验中时间和温度的数据，假设温度的
变化是均匀的.
（1）实验进行 21 min 时的温度是多少？
时间/min 0 5 10 15 20 25
温度/℃ 10 25 40 55 70 85
解：由题意可知，实验开始 21 min 时的温度是
（℃）
时间/min 0 5 10 15 20 25
温度/℃ 10 25 40 55 70 85
（2）实验进行多长时间的温度是 34 ℃？
设实验开始 x min 后的温度是 34 ℃.
答：实验进行 8 min 的温度是 34 ℃.
根据题意，得 10 + x ＝ 34. 解得 x ＝ 8.
8. 某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装 2 块大月饼和 4 块小月饼. 制作 1 块大月饼要用 0.05 kg 面粉，制作 1 块小月饼要用 0.02 kg 面粉. 现有面粉 4500 kg，应各用多少千克面粉制
作两种月饼，才能生产最多的盒装月饼？
解:设制作 x 块大月饼，则需要制作 2x 块小月饼.
根据题意，得 0.05 + 0.02×2x ＝ 4500.
解得 x ＝ 50000
所以 0.05x ＝ 2500，0.05×2x ＝ 2000.
答：应用 2500 kg 面粉制作大月饼，2000 kg 面粉
制作小月饼，才能生产最多的盒装月饼.
9. 李明和刘伟分别从 A，B 两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发 24 min 后两人相遇，相遇时李明比刘伟多行进 4.8 km，相遇后 6 min 李明到达 B 地. 两人每小时分别行进多少千米？相遇后经过多长时间刘伟到达 A地？
解:设刘伟的行进速度是 x km/h，则李明的行进速度是(x + 12) km/h.
根据题意，得 0.4(x+x+12) ＝0.5(x + 12).
解得 x＝ 4.
所以 x + 12＝16，0.4×16÷4＝ 1.6 (h).
答:刘伟的行进速度是 4 km/h，李明的行进速度是 16 km/h，相遇后经过 1.6 h 刘伟到达 A 地.
10. 商店对某商品降价 20% 促销，为了使销售总金额不变，
销售量要比按原价销售时增加百分之几？
解：设销售量要比按原价销售时增加 x％ .
根据题意，得 (1-20％)(1 + x％) ＝ 1.
解得 x ＝ 25.
答：销售量要比按原价销售时增加 25％ .
11. 甲组的 4 名工人 3 月份完成的总工作量比此月人均定额的 4 倍多 20 件，乙组的 5 名工人 3 月份完成的总工作量比此月人均定额的 6 倍少 20 件.
（1）如果两组工人此月人均实际完成的工作量相等，那么此月人均定额是多少件？
解：设此月人均定额是 x 件.
根据题意，得 .
解得 x ＝ 45.
答：此月人均定额是 45 件.
（2）如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的多 2 件，那么此月人均定额是多少件？
设此月人均定额是 y 件.
根据题意，得 .
解得 y ＝ 35.
答：此月人均定额是 35 件.
（3）如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少 2 件，那么此月人均定额是多少件？
设此月人均定额是 z 件.
根据题意，得 .
解得 z ＝ 55.
答：此月人均定额是 55 件.
同学们，方案选择问题相对来说难度比较大，需要我们对题目的分析和理解更加深刻，希望同学们课后多多复习，反复思考．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑