资源简介

(共36张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：6.2.2 线段的比较与运算
学科：数学
年级：七年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
掌握线段的两种比较方法（叠合法、度量法），能准确判断两条线段的大小关系。
理解线段和差运算的几何意义，能进行简单的线段和差计算，明确运算结果仍为线段。
熟练运用线段中点的性质进行线段计算，能解决含中点、分点的线段综合问题，提升几何推理与计算能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
线段的定义：直线上两点及两点间的部分，有 2 个端点，可度量长度；
线段的性质：两点之间线段最短，两点间距离是线段的长度；
线段中点：将线段分成两条相等线段的点，若 M 是 AB 中点，则 AM = MB = 1/2 AB。
情境导入：
场景 1：小明有两根不同长度的木棒，一根长 15cm，一根长 20cm，他想知道哪根更长，除了用尺子量，还有什么方法能比较？
场景 2：如图，从学校（A）到图书馆（B）有两条路：① 直接走线段 AB；② 经过超市（C）走线段 AC + CB。根据 “两点之间线段最短”，可知 AB < AC + CB，这里体现了线段的什么关系？
提问：如何通过图形操作比较两条线段的长短？线段的和差运算与数的和差有什么区别？遇到线段中点时，如何建立数量关系？
幻灯片 4：线段的比较方法
1. 叠合法（直观比较，适用于图形操作）
操作步骤（以比较线段 AB 与线段 CD 为例）：
对齐端点：将线段 AB 的一个端点 A 与线段 CD 的一个端点 C 重合；
重合边：使线段 AB 与线段 CD 沿同一直线摆放（确保两条线段的方向一致）；
判断大小：观察另一个端点的位置：
若端点 B 与端点 D 重合（AB 与 CD 完全重叠），则 AB = CD；
若端点 B 在线段 CD 内部（B 在 C、D 之间），则 AB < CD；
若端点 B 在线段 CD 外部（D 在 C、B 之间），则 AB > CD。
图示说明：
（1）AB = CD （2）AB < CD （3）AB > CD
C(A)———D(B) C(A)———B———D C(A)———D———B
注意事项：叠合时需保证两条线段 “共线且同向”，避免因摆放方向不同导致判断错误。
2. 度量法（精确比较，适用于数值计算）
操作步骤：
测量长度：用直尺分别测量两条线段的长度（如 AB = 4cm，CD = 5cm）；
比较数值：根据长度数值的大小判断线段大小（4cm < 5cm，故 AB < CD）。
优势：可直接得到线段的具体长度，适用于需要精确比较或后续计算的场景；
注意事项：测量时直尺需与线段对齐，刻度读数要准确（估读到最小刻度的下一位）。
幻灯片 5：线段的和差运算
1. 线段的和运算
几何意义：将两条线段首尾顺次连接，得到的新线段的长度等于两条线段长度之和，新线段称为两条线段的和。
操作示例：
已知线段 AB = 3cm，线段 BC = 2cm，将点 B 与点 C 重合（使 AB 与 BC 首尾顺次连接，且 A、B、C 三点共线），则线段 AC = AB + BC = 3 + 2 = 5cm，即 AC 是 AB 与 BC 的和。
图示：A———B———C（AC = AB + BC）
关键条件：两条线段需 “首尾顺次连接且共线”，否则无法形成一条完整的和线段（如 A、B、C 三点不共线时，AC 是三角形的边，不满足 AC = AB + BC）。
2. 线段的差运算
几何意义：在较长的线段上截取一段与较短线段相等的部分，剩余部分的长度等于两条线段长度之差，剩余部分称为两条线段的差。
操作示例：
已知线段 AC = 5cm，线段 AB = 3cm（A、B、C 三点共线，且 B 在 A、C 之间），则线段 BC = AC - AB = 5 - 3 = 2cm，即 BC 是 AC 与 AB 的差。
图示：A———B———C（BC = AC - AB）
关键条件：较短线段需 “在较长线段上，且端点重合、共线”，否则无法直接截取（如 AB 不在线段 AC 上时，无法直接用 AC - AB 表示 BC）。
3. 运算性质
线段的和差运算遵循 “长度对应运算”，即若线段 a = m cm，线段 b = n cm（m > n），则 a + b = (m + n) cm，a - b = (m - n) cm；
运算结果仍为线段，需带单位（长度单位，如 cm、mm），且长度为非负数（线段长度不可为负）。
幻灯片 6：线段中点与分点的应用
1. 线段中点的深化应用
核心性质：若 M 是线段 AB 的中点，则：
AM = MB = 1/2 AB；
AB = 2AM = 2MB；
若已知 AM 或 MB 的长度，可求 AB 的长度；若已知 AB 的长度，可求 AM 或 MB 的长度。
示例：已知 M 是 AB 中点，AM = 4cm，则 MB = 4cm，AB = 8cm。
2. 线段分点（拓展）
定义：将线段分成若干等份的点称为分点（中点是分点的特殊情况，将线段分成 2 等份）；
常见分点：
三等分点：将线段分成 3 等份的两个点（如 M、N 是 AB 的三等分点，则 AM = MN = NB = 1/3 AB，AB = 3AM）；
四等分点：将线段分成 4 等份的三个点（如 M、N、P 是 AB 的四等分点，则 AM = MN = NP = PB = 1/4 AB）。
图示（三等分点）：A———M———N———B（AM = MN = NB = 1/3 AB）
幻灯片 7：例题讲解 1（线段比较与和差运算）
例 1：如图，已知线段 AB = 5cm，BC = 3cm，点 C 在线段 AB 的延长线上，求线段 AC 的长度。
解答与分析：
第一步：判断线段位置关系 —— 点 C 在线段 AB 的延长线上，故 A、B、C 三点共线，且 B 在 A、C 之间；
第二步：确定运算关系 ——AC = AB + BC（延长线上的和运算）；
第三步：代入计算 ——AC = 5 + 3 = 8cm。
答：线段 AC 的长度为 8cm。
例 2：如图，线段 AC = 10cm，线段 BC = 4cm，点 B 在线段 AC 上，点 M 是 AB 的中点，求线段 MC 的长度。
解答与分析：
第一步：先求 AB 的长度 ——AB = AC - BC = 10 - 4 = 6cm；
第二步：利用中点求 AM 的长度 ——M 是 AB 中点，故 AM = 1/2 AB = 1/2 × 6 = 3cm；
第三步：求 MC 的长度 ——MC = AC - AM = 10 - 3 = 7cm（或 MC = MB + BC = 3 + 4 = 7cm）。
答：线段 MC 的长度为 7cm。
幻灯片 8：例题讲解 2（含分点的综合运算）
例 3：如图，线段 AB = 12cm，点 M、N 是 AB 的三等分点，求线段 AM、MN、NB 以及 AN 的长度。
解答与分析：
第一步：明确三等分点的性质 ——M、N 是 AB 的三等分点，故 AM = MN = NB = 1/3 AB；
第二步：计算各段长度 ——AB = 12cm，因此 AM = MN = NB = 1/3 × 12 = 4cm；
第三步：求 AN 的长度 ——AN = AM + MN = 4 + 4 = 8cm（或 AN = AB - NB = 12 - 4 = 8cm）。
答：AM = 4cm，MN = 4cm，NB = 4cm，AN = 8cm。
例 4：已知线段 AB = 18cm，点 C 是 AB 上一点，且 AC = 1/3 AB，点 D 是 BC 的中点，求线段 AD 的长度。
解答与分析：
第一步：求 AC 的长度 ——AC = 1/3 AB = 1/3 × 18 = 6cm；
第二步：求 BC 的长度 ——BC = AB - AC = 18 - 6 = 12cm；
第三步：利用中点求 BD 的长度 ——D 是 BC 中点，故 BD = 1/2 BC = 1/2 × 12 = 6cm；
第四步：求 AD 的长度 ——AD = AC + CD = 6 + 6 = 12cm（或 AD = AB - BD = 18 - 6 = 12cm）。
答：线段 AD 的长度为 12cm。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
用叠合法比较如图所示的线段 AB 与线段 CD 的大小，并用度量法验证（写出操作步骤和测量结果）。
已知线段 AB = 7cm，线段 BC = 4cm，且 A、B、C 三点共线，求线段 AC 的长度（分两种情况：C 在线段 AB 上或延长线上）。
线段 AB = 10cm，点 M 是 AB 的中点，求 AM 和 BM 的长度。
提升题
如图，线段 AC = 15cm，点 B 在线段 AC 上，且 AB:BC = 2:3，点 M 是 AB 的中点，点 N 是 BC 的中点，求线段 MN 的长度。
已知线段 AB = 24cm，点 C 是 AB 的延长线上一点，且 BC = 1/4 AB，点 D 是 AC 的中点，求线段 BD 的长度。
拓展题
如图，点 A、B、C、D 在同一条直线上，M 是 AB 的中点，N 是 CD 的中点，若 AB = 4cm，CD = 6cm，BC = 5cm，求线段 MN 的长度（提示：分两种情况：点 B 在 A、C 之间或点 C 在 A、B 之间）。
幻灯片 10：易错点深度剖析
线段和差运算忽略 “共线” 条件：
错误案例：认为 “任意三点 A、B、C，都有 AC = AB + BC”（忽略 A、B、C 需共线，若三点不共线，AC 是三角形的边，满足 AC < AB + BC，不满足和关系）。
规避方法：进行线段和差运算前，先判断三点是否共线，明确线段的位置关系（如 “在线段上”“在延长线上”），再确定用和还是差运算，避免脱离位置关系直接计算。
分点问题中混淆 “等分份数”：
错误案例：认为 “线段 AB 的三等分点有 3 个”（正确应为 2 个，将 AB 分成 3 段，需 2 个分点）；计算时错将 “AM = 1/2 AB” 用于三等分点（正确应为 AM = 1/3 AB）。
规避方法：记忆分点与份数的关系 ——n 等分点有 (n - 1) 个，每个等分段的长度为原线段的 1/n；计算前明确分点类型（中点、三等分点），标注线段各段的数量关系，避免混淆比例。
多情况问题漏解（三点共线位置不确定）：
错误案例：已知 A、B、C 三点共线，AB = 5cm，BC = 3cm，错算 AC = 8cm（忽略 C 可能在线段 AB 上，此时 AC = 2cm）。
规避方法：当题目未明确点的位置（如 “C 在线段 AB 上” 或 “延长线上”）时，需画图分情况讨论，列出所有可能的位置关系，分别计算线段长度，确保不遗漏任何一种情况。
幻灯片 11：课堂总结
核心知识梳理：
线段比较：叠合法（共线同向，看端点位置）、度量法（测长度，比数值）；
线段运算：和（首尾顺次共线，长度相加）、差（较长线段上截取，长度相减）；
线段分点：中点（2 等分，AM = 1/2 AB）、n 等分点（(n - 1) 个点，每段 1/n AB），运算时紧扣 “比例关系”。
方法提炼：
线段计算 “数形结合法”：结合图形标注已知长度和数量关系（如中点、分点），明确线段间的和差或比例关系，再代入计算；
多情况问题 “分类讨论法”：位置不确定时，画图列举所有可能的位置，逐一分析计算，避免漏解。
幻灯片 12：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（线段比较与运算相关题目）。
拓展练习：
（1）线段 AB = 16cm，点 C 是 AB 上一点，且 AC = 6cm，点 M 是 AB 的中点，点 N 是 AC 的中点，求线段 MN 的长度；
（2）已知 A、B、C、D 四点共线，AB = 3cm，BC = 2cm，CD = 4cm，求线段 AD 的长度（分情况讨论点的顺序）。
实践作业：
（1）用直尺和圆规画出一条长 10cm 的线段 AB，再画出它的中点 M 和三等分点 N，测量并验证 AM = 5cm，AN = 10/3 cm；
（2）观察生活中的线段和差现象（如一段绳子剪成两段、两根木棒拼接），记录 1 个实例，并用线段和差表示其长度关系。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
6.2.2线段的比较与运算
第六章 几何图形初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过学生自主探究，会用尺规作图，理解线段的长短、和、差、中点的几何意义及数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行综合描述，提高学生的自主学习能力和语言描述能力．
2．通过对图形的分析，会利用线段的和、差、中点等知识进行初步的推理与计算，体会分类讨论的思想，提高学生的推理能力．
活动导入
同学们，请你在草稿纸上画一条线段AB.
你能在草稿纸上作出一条同样大小的线段吗？
你是怎么做的？
同学们，请你们观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段a和b的长短吗？
情境导入
事实上，这三组图形中，线段a和b的长度是相等的.
很多时候，眼见未必为实，准确比较线段的长短还需要更加严谨的办法.
a
b
同学们，老师这里有一个问题：
做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较长的木棍
上截下一段，使其等于短木棒，你有什么办法吗？
问题导入
思考：在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，大家想想办法，如何画出一条与已知线段相等的线段？
提示：圆规可截取任意长度，相当于可以移动的“小木棍”.
结论：通过移动、对齐，可以在长木棒上“截取”相等长度的短木棒.
1.阅读课本164－166页，思考并回答以下问题：
如图，已知线段a，画一条线段AB等于线段a.(请注意标上字母和结论)　
①用刻度尺画图，如图，AB就是所求作的线段．
②根据课本164页示范，用圆规和无刻度的直尺画图，如图，AB就是所求作的线段．
2．线段的长短比较有两种方法：(用“＞”“＝”或“＜”填空)
(1)叠合法：把其中一条线段移到另一条上作比较．
如图①，AB____CD；如图②，AB____CD；如图③，AB___CD.
(2)度量法：量出两条线段的长度进行比较．
如图①，量出AB＝____cm，CD＝____cm，则AB___CD；
如图②，量出AB＝____cm，CD＝____cm，则AB____CD；
如图③，量出AB＝____cm，CD＝____cm，则AB____CD.
<
＝
>
2.3
3.4
<
2
2
＝
3
2
>
3．(1)两点的所有连线中，_____________．简单说成：____________________________．
(2)连接两点的线段的长度，叫作这两点间的_________．
线段最短
两点之间，线段最短
距离
例1.如图，已知线段a、b，尺规作图：
(1)画一条线段AC＝a＋b；(根据下列作法画出图形)
作法：①用直尺画直线l；
②用圆规在直线l上截取线段AB＝a(点B在点A的右侧)；
③用圆规在直线l上截取线段BC＝b(点C在点B的右侧)；
则线段AC即为所求．
(2)画一条线段MN＝a－b；
(3)画一条线段PQ＝2a－b.
尺规作图略
例2.(1)如图，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点．求MN的长；
(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC＋CB＝a cm，点M、N分别是AC、BC的中点，请猜想MN的长．
MN＝7 cm
MN＝ a cm
(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC－CB＝b cm，点M、N分别是AC、BC的中点，请猜想MN的长，并画出图形，说明理由．
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
1．尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．
2．画一条线段等于已知线段：
画法一(尺规作图)：如图所示，先用直尺画射线AC，再用圆规在射线AC上截取AB＝a.
画法二(测量长度)：先量出线段a的长度，
再画一条等于这个长度的线段．
知识点1：线段的画法及长短比较(重点)
3．线段的长短比较：
(1)线段长短比较的实质是线段的长度的比较．
(2)线段长短的比较方法：
①度量法(数)：用刻度尺量出线段的长度，根据长度大小来比较，长度大的线段较长，长度相等时两线段相等．
②叠合法(形)：比较两条线段AB与CD的长短，可以把线段AB移到线段CD上，使点A与点C重合，点B与点D在重合点的同一侧．
1．线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．
2．两点间的距离：连接两点的线段的长度．
知识点2：线段的性质及两点间的距离(重点)
注：线段是一个图形，两点间的距离是指线段的长度，是一个数值，而不是线段本身，因此不能说“A，B两点间的距离是线段AB”，而应该说“A，B两点间的距离是线段AB的长度”．
知识点3：尺规作线段的和与差(难点)
条件 图形 作法 结论
用圆规在射线AE上截取线段AB＝a，再在射线BE上截取线段BC＝b
线段AC是线段a、b的和，即AC＝a＋b
用圆规在射线AE上截取线段AB＝a，再在线段AB上截取线段BD＝b
线段AD是线段a、b的差，即AD＝a－b
注：进行线段的和、差作图时，要掌握画一条线段等于已知线段的方法，作图时作图痕迹要保留，并且结论必须写明哪条线段是所求作的线段．
1．线段的中点：如图，点M在线段AB上，AM＝BM，点M叫作线段AB的中点.
应用：因为点M是线段AB的中点，所以AM＝BM＝ AB，
AB＝2AM＝2BM.
知识点4：线段的中点及等分点(难点)
2．线段的等分点：
如图①所示，B，C是线段AD上的两点，
且AB＝BC＝CD＝ AD或AD＝3AB＝3BC＝3CD，
我们称点B，C是线段AD的三等分点．
类似地，还有线段的四等分点，
如图②所示，
AB＝BC＝CD＝DE＝ AE或AE＝4AB＝4BC＝4CD＝4DE.
【题型一】线段的长短比较
例1：如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，结论正确的是(　 　)
A．A′B′>AB
B．A′B′＝AB
C．A′B′D．没有刻度尺，无法确定
C
变式：为比较线段AB、CD的长短，小明将点A与点C重合，使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则(　 　)
A．ABCD
C．AB＝CD D．以上都有可能
B
例2：下列说法正确的是(　　)
A．过A，B两点的直线的长度是A，B两点之间的距离
B．线段AB就是A，B两点之间的距离
C．在连接A，B两点的所有线中，最短线的长度是A，B两点之间的距离
D．乘火车从上海到北京要行驶1 463千米，这就是说上海站与北京站之间的距离是1 463千米
C
【题型二】两点间的距离
变式：如图，C，D是线段AB上两点．若AC＝3，点C是线段AD的中点，AB＝10，则B，D两点之间的距离是____．
4
例3：下列四个现象中，可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有(　 　)
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能地沿着直线架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
D
【题型三】线段的性质
变式：如图，A，B是公路(直线l)两旁的两个村庄．若两个村庄要在公路上合修一个汽车站，使它到A，B两个村庄的距离之和最小，试在直线l上标出汽车站的位置，并说明作图依据．
解：如图，连接AB交直线l于点P，则点P即为汽车站的位置．依据：两点之间，线段最短．
l
B
A
·
·
例4：如图．
(1)AD＝AB＋______＝AC＋_______＝______＋BC＋______；
(2)AB＝AD－______＝AC－______＝______－BC－______；
(3)AC＋BD－AD＝______．
【题型四】线段的和与差
BD
CD
AB
CD
BD
BC
AD
CD
BC
例5：如图，已知线段a，b，求作线段AB＝2a－b.不写步骤，保留作图痕迹．
解：如图，线段AB即为所求作．
【题型五】尺规作图
例6：点B在线段AC上，下列关系式：①AB＝ AC；②AB＝BC；③AC＝2BC；④AB＋BC＝AC.其中能表示点B是线段AC的中点的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型六】线段的中点及等分点
C
1. 如图，， 两点之间的距离指的是( )
C
A. 线段
B. 线段与线段 的长度之和
C. 线段 的长度
D. 线段与线段 的长度之差
返回
2. 如
图，生活中有下列两个现象：现
象1，建筑工人砌墙时，会在两个
墙脚的位置分别固定一根木杆，
然后拉一条直的参照线；现象2，把原来弯曲的河道改直，
， 两地间的河道长度变短.对于这两个现象的解释，正确
的是( )
A. 均用两点之间线段最短来解释
B. 均用两点确定一条直线来解释
C. 现象1用两点之间线段最短来
解释，现象2用两点确定一条直
线来解释
D. 现象1用两点确定一条直线来
解释，现象2用两点之间线段最
短来解释
√
返回
（第3题）
3. 如图，围绕在正方形四周的四条线段 ，
，， 中，长度最长的是( )
D
A. B. C. D.
返回
4. ［2025温州期末］如图，延长线段至点 ，使
.若恰好为线段的中点，且 ，则线
段 的长度是( )
（第4题）
B
A. B.
C. D.
1. 比较两条线段长短的方法：度量法，叠合法．
2．基本作图：作一条线段等于已知线段．
3．线段的中点：　 　
因为点M是线段AB的中点，所以AM＝BM＝ AB或AB＝2AM＝2BM.
4．线段的和、差、倍、分．
同学们，这是我们第一次接触线段的运算，一定要多观察，没图的时候先画图，能帮助我们更直观地解决问题．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑