资源简介

(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：6.3.2 角的比较与运算
学科：数学
年级：七年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
掌握角的两种比较方法（叠合法、度量法），能准确判断两个角的大小关系。
理解角的和、差运算的意义，能进行简单的角的和差计算。
掌握角平分线的定义，能利用角平分线进行角的计算与推理，提升几何直观与运算能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
角的定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形，公共端点为角的顶点，两条射线为角的边。
角的表示方法：用三个大写字母（如∠AOB）、一个大写字母（如∠O，顶点唯一时）或数字 / 希腊字母（如∠1、∠α）表示。
角的度量单位：度（°）、分（′）、秒（″），1°=60′，1′=60″。
情境导入：
场景 1：小明用两根硬纸条制作了两个角，∠1 和∠2，他想知道哪个角更大，该如何比较呢？
场景 2：老师在黑板上画了一个∠AOB，若从顶点 O 出发再画一条射线 OC，把∠AOB 分成两个小角，这两个小角与∠AOB 有什么数量关系？
提问：角的大小如何比较？角的和差运算该如何进行？如何利用射线将一个角分成两个相等的角？
幻灯片 4：角的比较方法
1. 叠合法（直观比较，适用于图形）
操作步骤：
使两个角的顶点重合（如将∠AOB 与∠COD 的顶点 O、C 重合）。
使两个角的一条边重合（如将 OA 与 OC 重合，且边的方向相同）。
观察另一条边的位置：
若另一条边也重合（如 OB 与 OD 重合），则∠AOB = ∠COD；
若另一条边在重合边的内部（如 OB 在∠COD 内部），则∠AOB < ∠COD；
若另一条边在重合边的外部（如 OB 在∠COD 外部），则∠AOB > ∠COD。
图示说明：
（1）∠AOB = ∠COD （2）∠AOB < ∠COD （3）∠AOB > ∠COD
O=C O=C O=C
/|\ /|\ /|\
/ | \ / | \ / | \
OA OB OA OB OA OB
\ \ \
\ OD \ OD \ OD
2. 度量法（精确比较，适用于数值）
操作步骤：
用量角器分别测量两个角的度数（如∠1 = 35°，∠2 = 42°）。
比较度数大小：度数大的角更大（如 35° < 42°，则∠1 < ∠2）。
注意事项：测量时需将量角器的中心与角的顶点重合，0° 刻度线与角的一条边重合，另一条边对应的刻度即为角的度数。
幻灯片 5：角的和差运算
1. 角的和运算
定义：两个角的和是指将两个角的一边重合，另一边所形成的新角（顶点相同），新角的度数等于两个角的度数之和。
示例：如图，∠AOB 与∠BOC 有公共边 OB，且 OC 在∠AOB 外部，则∠AOC = ∠AOB + ∠BOC。
若∠AOB = 30°，∠BOC = 20°，则∠AOC = 30° + 20° = 50°。
2. 角的差运算
定义：两个角的差是指从较大角中减去较小角，得到的新角的度数等于两个角的度数之差。
示例：如图，∠AOC = 50°，∠AOB = 30°，且 OB 在∠AOC 内部，则∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 50° - 30° = 20°。
3. 运算性质
角的和差运算满足 “度数对应运算”，即若∠α = m°，∠β = n°，则∠α + ∠β = (m + n)°，∠α - ∠β = (m - n)°（m > n）。
运算时需注意单位统一（度、分、秒需分别运算，满 60 进 1 或借 1 当 60）。
幻灯片 6：例题讲解 1（角的比较与和差运算）
例 1：如图，已知∠AOB = 45°，∠BOC = 30°，OD 平分∠AOC，求：
（1）∠AOC 的度数；
（2）∠AOD 的度数；
（3）比较∠AOD 与∠BOC 的大小。
解答与分析：
（1）∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和（OC 在∠AOB 外部）：
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 45° + 30° = 75°。
（2）OD 平分∠AOC，即 OD 将∠AOC 分成两个相等的角：
∠AOD = ∠AOC ÷ 2 = 75° ÷ 2 = 37.5°（或 37°30′）。
（3）比较∠AOD 与∠BOC：
∠AOD = 37.5°，∠BOC = 30°，因 37.5° > 30°，故∠AOD > ∠BOC。
答：（1）∠AOC = 75°；（2）∠AOD = 37.5°；（3）∠AOD > ∠BOC。
例 2：计算下列角的和差（结果用度、分、秒表示）：
（1）35°20′ + 25°45′； （2）90° - 42°35′； （3）18°30′×3。
解答与分析：
（1）度与度相加，分与分相加：
35°20′ + 25°45′ = (35 + 25)° + (20 + 45)′ = 60°65′ = 61°5′（65′ = 1°5′，满 60 进 1）。
（2）借 1° 当 60′再减：
90° = 89°60′，89°60′ - 42°35′ = (89 - 42)° + (60 - 35)′ = 47°25′。
（3）度与分分别乘 3：
18°30′×3 = (18×3)° + (30×3)′ = 54°90′ = 55°30′（90′ = 1°30′，满 60 进 1）。
幻灯片 7：角平分线的定义与应用
1. 角平分线的定义
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
几何语言：若 OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB，或∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC。
图示：
O
/|\
/ | \
/ | \
OA OC OB
（OC平分∠AOB，∠AOC = ∠BOC）
2. 角平分线的性质
角平分线将原角分成两个相等的小角，且小角的度数是原角的一半。
若一条射线将一个角分成两个相等的角，则这条射线一定是该角的平分线。
幻灯片 8：例题讲解 2（角平分线的应用）
例 3：如图，已知∠AOB = 120°，OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠BOC 的平分线，求∠AOD 的度数。
解答与分析：
第一步：根据角平分线定义求∠BOC：
OC 平分∠AOB → ∠BOC = (1/2)∠AOB = (1/2)×120° = 60°。
第二步：根据角平分线定义求∠BOD：
OD 平分∠BOC → ∠BOD = (1/2)∠BOC = (1/2)×60° = 30°。
第三步：求∠AOD（∠AOD = ∠AOB - ∠BOD）：
∠AOD = 120° - 30° = 90°（或∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 60° + 30° = 90°）。
答：∠AOD 的度数为 90°。
例 4：已知∠α = 50°，∠β 是∠α 的补角（和为 180° 的两个角互为补角），OC 平分∠β，求∠β 与∠COB（假设 OB 为∠β 的一边）的度数。
解答与分析：
第一步：求∠β 的度数（补角定义）：
∠β = 180° - ∠α = 180° - 50° = 130°。
第二步：求∠COB 的度数（角平分线定义）：
OC 平分∠β → ∠COB = (1/2)∠β = (1/2)×130° = 65°。
答：∠β = 130°，∠COB = 65°。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
用叠合法比较如图所示的∠1 和∠2 的大小，并用度量法验证（画出操作示意图，写出度数）。
计算：
（1）28°15′ + 32°45′； （2）100° - 56°23′； （3）25°30′×4。
已知∠AOB = 80°，OC 平分∠AOB，求∠AOC 的度数。
提升题
如图，∠AOC = 100°，∠BOC = 30°，OD 平分∠AOB，求∠COD 的度数。
已知∠α 的余角（和为 90° 的两个角互为余角）是∠α 的 2 倍，OB 平分∠α，求∠AOB（假设 OA 为∠α 的一边）的度数。
拓展题
如图，∠AOB = 150°，OC 是∠AOB 内部的一条射线，OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC，求∠DOE 的度数（提示：利用角平分线的性质，将∠DOE 表示为∠AOB 的一半）。
幻灯片 10：易错点深度剖析
叠合法比较角大小时操作错误：
错误案例：比较∠AOB 与∠COD 时，顶点未重合或重合边的方向相反，导致判断错误（如将 OA 与 OD 重合，而非 OC）。
规避方法：严格遵循 “顶点重合、一边重合、方向相同” 的三步操作，确保两条角的边起始方向一致，再观察另一条边的位置。
角的和差运算中单位换算错误：
错误案例：计算 90° - 35°40′时，错算为 55°40′（未借位，正确应为 89°60′ - 35°40′ = 54°20′）；计算 15°20′×2 时，错算为 30°20′（分未乘 2，正确应为 30°40′）。
规避方法：度、分、秒运算需 “分别运算，满 60 进 1，借 1 当 60”，计算前明确各单位的运算规则，避免度与分直接混合计算。
角平分线应用时混淆 “角的关系”：
错误案例：已知 OC 平分∠AOB，错认为∠AOC = ∠AOB（正确应为∠AOC = (1/2)∠AOB）；或已知∠AOC = ∠BOC，未明确 OC 是角平分线（需强调 “从顶点出发的射线” 这一前提）。
规避方法：牢记角平分线的定义 “从顶点出发的射线分角为两个相等的角”，应用时先确认射线是否过顶点，再建立角的倍数关系。
幻灯片 11：课堂总结
核心知识梳理：
角的比较：叠合法（直观）、度量法（精确），关键是确保比较条件统一（顶点、一边重合或度数准确）。
角的和差：度数对应相加 / 相减，注意单位换算（1°=60′，1′=60″）。
角平分线：从顶点出发分角为两个相等的角，几何语言：OC 平分∠AOB → ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。
方法提炼：
角的运算 “数形结合”：结合图形明确角的位置关系（和 / 差），再代入度数计算，避免脱离图形导致关系混淆。
角平分线问题 “找倍数关系”：遇到角平分线，优先建立 “小角 = 1/2 大角” 或 “大角 = 2 小角” 的关系，简化计算。
幻灯片 12：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（角的比较、和差运算及角平分线相关题目）。
拓展练习：
（1）已知∠AOB = 90°，OC 在∠AOB 外部，∠BOC = 30°，OD 平分∠AOC，求∠AOD 的度数；
（2）计算：18°40′50″ + 23°30′20″； 120° - 45°15′30″。
实践作业：用硬纸板制作一个角，再用直尺和圆规画出该角的平分线（可参考课本作图方法），用量角器验证平分线是否将角分成两个相等的角，并记录过程。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
6.3.2 角的比较与运算
第六章 几何图形初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过类比线段的中点，自主探究角的平分线，理解并掌握角的平分线的概念，感受学习过程中的类比思想．
2．通过具体的题目，学会运用角的平分线的概念解决问题，能进行角的乘除运算，提高学生解决问题的能力和运算能力．
视频导入
请同学们观看一段视频，思考角平分线的作法.
大家拿出一张正方形纸片,沿对角线折叠,思考折叠后分成的两个角分别是多少度.
活动导入
大家拿出自己的三角尺，思考如何利用30°角构造60°角.
问题导入
1.请同学们阅读课本174－175页探究前，完成填空．
如图，∠AOB＝∠BOC＝∠COD，填空：
(1)OB是_________的平分线；
(2)_______＝_________＝_________＝ ∠AOC＝ ________
(3)OB，OC是∠AOD的什么？
∠AOC
∠AOB
∠BOC
∠COD
∠BOD
∠AOD
是∠AOD的三等分线
2．请同学们思考：如何作一个角(∠AOB)的平分线(OC)呢？
3．请同学们完成课本176页练习2题．
方法1：利用量角器，先量出∠AOB的度数，除以2，就是∠AOC的度数，然后根据此度数在∠AOB内部作射线OC即可；
方法2：通过折叠，使角的两边(OA，OB)叠合，折痕所在射线(OC)就是角(∠AOB)的平分线
1.请同学们计算：
(1)21°31′27″×3；
(2)63°21′39″÷3；
(3)106°6′25″÷5.
2．请同学们完成课本175页例3.
(1)原式＝64°34′21″.
(2)原式＝21°7′13″.
(3)原式＝21°13′17″
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
1．文字语言：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．
2．几何语言：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠COB
＝ ∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB.
知识点1：角的平分线(重点)
知识点2：角度的乘除运算(难点)
运算 法则 举例
乘法运算 当一个角度与一个正整数相乘时，要将正整数分别与度、分、秒相乘，逢60要进位 21°17′×5＝105°85′＝106°25′
除法运算 当一个角度除以一个正整数时，从高级单位算起，余数乘60化为下一级再运算 49°8′52″÷4＝12°＋68′52″÷4＝12°17′13″
【题型一】认识角平分线
例1：如图，已知∠AOB＝20°，∠BOC＝80°，OE是∠AOC的平分线，则∠COE的度数为( 　 　)
A．50° B．40° C．30° D．20°
A
变式：如图，已知∠AOB＝35°，∠BOC＝90°，OD是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数．
　
解：因为∠AOB＝35°，∠BOC＝90°，
所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝35°＋90°＝125°.
因为OD是∠AOC的平分线，
所以∠AOD＝ ∠AOC＝ ×125°＝62.5°.
所以∠BOD＝∠AOD－∠AOB＝62.5°－35°＝27.5°.
例2：计算：(1)33°15′16″×5；　(2)109°24′÷8；　(3)23°35′×3－107°43′÷6.
解：(1)原式＝165°78′80″＝166°16′20″.
【题型二】角度的乘除运算
(2)原式＝13°＋324′÷8＝13°＋40′＋240″÷8＝13°40′30″.
(3)原式＝70°45′－17°57′10″＝52°47′50″.
变式：如图，已知射线OC，OD是∠AOB的三等分线，若∠BOD＝40°50′，则∠AOB的度数是(　　)
A．81°50′
B．81°40′
C．60°15′
D．61°15′
D
4.按图填空.
（1）∠AOB+∠BOC= _______；
（2）∠AOC+∠COD= _______；
（3）∠BOD-∠COD= _______；
（4）∠AOD-_______=∠AOB.
【选自教材P174 练习 第2题】
3.填空题.
（1）如果∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1_____∠3；
（2）如果∠1＞∠2，∠2＞∠3，则∠1_____∠3.
【选自教材P174 练习 第1题】
O
A
B
C
D
=
＞
∠AOC
∠AOD
∠BOC
∠BOD
5.计算：
（1）48°39′+67°31′ （2）41°12′-11°27′
（3）21°17′×5 （4）180°÷11（精确到分）
解： 48°39′+67°31′
=115°70′
=116°10′
解： 41°12′-11°27′
=40°72′-11°27′
=29°45′
解： 21°17′×5
=21°×5+17′×5
=105°+85′
=106°25′
解： 180°÷11
≈16°22′
【选自教材P174 练习 第3题】
【选自教材P176 练习 第3题】
6. 如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份？
解：把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是 45°；要使每份中的角是 15°，这个蛋糕应等分成 24 份.
【选自教材P175 练习 第1题】
7. 如图，О是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD=31°28′，求∠AOD的度数.
解：因为OC是∠AOB的平分线，
所以
所以∠AOD=∠AOC-∠COD
=90°-31°28′=58°32′
【选自教材P176 练习 第2题】
（第1题）
1. ［2024广东］如图，一把直尺、
两个含 角的三角尺拼接在一起，
则 的度数为( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. 若， ，
，则( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】因为 ，所以
，所以 .
返回
（第3题）
3. 如图，已知 ,
,那么 ( )
B
A. B. C. D.
返回
4. 用一副三角尺可以画一些指定度数的角.下面的角中，不
能用一副三角尺直接画出的是( )
C
A. B. C. D.
返回
本节课你获得了哪些知识？
2．本节课你获得了哪些学习方法？
3．本节课你还有哪些感悟？
角的平分线的定义，角的等分、角度的乘除运算
类比、数形结合
同学们，做任何一件事，只要不断进取，努力奋斗，凭借顽强的毅力、刻苦的精神，就一定会获得成功！
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑