资源简介

(共33张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：6.3.1 角的概念
学科：数学
年级：七年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解角的两种定义（静态、动态），能从生活实例中抽象出角的几何图形。
掌握角的四种表示方法，能根据角的特征选择合适的表示方式，规范书写角的符号。
认识角的度量单位（度、分、秒）及换算关系，能进行简单的单位换算，提升几何直观能力。
幻灯片 3：情境导入（生活中的 “角”）
展示生活实例图片：
日常场景：时钟的时针与分针形成的角、剪刀张开的角、三角尺的角、墙角的角；
几何场景：两条相交直线形成的角、射线绕端点旋转形成的角。
提问引导：
这些实例中，“角” 有什么共同的特征？它们都由哪些部分组成？
时钟从 3 点走到 3 点 15 分，时针与分针形成的 “角” 发生了什么变化？这种变化能体现角的另一种形成方式吗？
幻灯片 4：角的定义
1. 静态定义（从图形构成角度）
定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角。
组成要素：
顶点：两条射线的公共端点（如点 O），是角的 “顶点”；
边：两条射线（如射线 OA、射线 OB），是角的 “边”。
图示：
O（顶点）
/|
/ |
/ |
OA | OB
关键说明：角的边是射线，具有无限延伸性，角的大小与边的长短无关，只与两条边的 “张开程度” 有关。
2. 动态定义（从形成过程角度）
定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
形成要素：
始边：射线旋转前的位置（如射线 OA）；
终边：射线旋转后的位置（如射线 OB）；
顶点：射线的端点（如点 O）。
图示（以顺时针旋转为例）：
O（顶点）
|
| OB（终边）
|
| OA（始边）
特殊情况：
当射线旋转一周回到初始位置时，形成的角叫做 “周角”（360°）；
当射线旋转半周（与始边成一条直线）时，形成的角叫做 “平角”（180°）。
幻灯片 5：角的表示方法
角的表示方法有四种，需根据角的顶点和边的特征选择合适的方式：
1. 用三个大写字母表示（最规范，适用于所有角）
规则：顶点字母写在中间，两条边上各取一个点，分别写在顶点字母的两侧，格式为 “∠AOB”（O 为顶点，A、B 分别在两条边上）。
示例：顶点为 O，边为 OA、OB，记为∠AOB（或∠BOA，顶点字母始终在中间）。
注意：当一个顶点处有多个角时，必须用三个大写字母表示，避免混淆（如顶点 O 处有∠AOB、∠BOC，不能简记为∠O）。
2. 用一个大写字母表示（适用于顶点处只有一个角的情况）
规则：直接用顶点字母表示，格式为 “∠O”。
示例：顶点 O 处只有一个角，可记为∠O。
注意：若顶点处有多个角（如∠AOB、∠BOC 共用顶点 O），不能用一个大写字母表示，否则无法区分具体是哪个角。
3. 用数字表示（适用于图形中标记了数字的角）
规则：在角的内部靠近顶点处标注数字（如 1、2），格式为 “∠1”“∠2”。
示例：在∠AOB 内部标注 “1”，记为∠1。
优势：简洁直观，适用于复杂图形中多个角的区分。
4. 用希腊字母表示（适用于图形中标记了希腊字母的角）
规则：在角的内部靠近顶点处标注希腊字母（如 α、β、γ），格式为 “∠α”“∠β”。
示例：在∠BOC 内部标注 “α”，记为∠α。
注意：希腊字母需规范书写（如 α、β、γ，避免与英文字母混淆）。
幻灯片 6：角的分类（按大小）
根据角的度数大小，可将角分为以下几类（后续将详细学习，此处先初步认知）：
角的类型
度数范围
特征描述
示例（图形简化）
锐角
0° < 锐角 < 90°
张开程度较小，小于直角。
∠AOB（开口小）
直角
直角 = 90°
张开程度为 90°，两条边互相垂直，常用 “┐” 标记。
∠AOB（标注 “┐”）
钝角
90° < 钝角 < 180°
张开程度大于直角，小于平角。
∠AOB（开口较大）
平角
平角 = 180°
两条边在同一条直线上，方向相反，是一条 “直线形” 的角（注意：平角不是直线）。
A——O——B（∠AOB=180°）
周角
周角 = 360°
终边与始边重合，是一个 “圆形” 的角（注意：周角不是射线）。
射线 OA 旋转一周（∠AOA）
幻灯片 7：角的度量单位及换算
1. 度量单位
角的度量单位是度（°）、分（′）、秒（″），是六十进制单位（与时间单位换算类似）。
1 度 = 60 分，即 1° = 60′；
1 分 = 60 秒，即 1′ = 60″；
1 度 = 3600 秒，即 1° = 3600″。
2. 单位换算方法
度化分、分化秒：大单位化小单位，乘 60；
示例：0.5° = 0.5×60′ = 30′；30′ = 30×60″ = 1800″；1.2° = 1° + 0.2×60′ = 1°12′。
秒化分、分化度：小单位化大单位，除以 60；
示例：120′ = 120÷60° = 2°；180″ = 180÷60′ = 3′；7200″ = 7200÷3600° = 2°（或 7200÷60′ = 120′，120′÷60° = 2°）。
3. 换算示例
例：将 35°25′12″化为度；将 4.25° 化为度分秒。
35°25′12″ = 35° + 25′ + 12÷60′ = 35° + 25′ + 0.2′ = 35° + 25.2′ = 35° + 25.2÷60° = 35° + 0.42° = 35.42°；
4.25° = 4° + 0.25×60′ = 4° + 15′ = 4°15′（0.25° 化分后无剩余，故秒为 0）。
幻灯片 8：例题讲解 1（角的表示与判断）
例 1：如图，顶点为 O，边为 OA、OB、OC，图中有哪些角？分别用合适的方法表示出来。
解答与分析：
图中共有 3 个角，分别是：
∠AOB（或∠BOA，顶点 O，边 OA、OB）；
∠BOC（或∠COB，顶点 O，边 OB、OC）；
∠AOC（或∠COA，顶点 O，边 OA、OC）。
（因顶点 O 处有 3 个角，均需用三个大写字母表示，不能简记为∠O）。
例 2：判断下列关于角的表示方法是否正确，若不正确，请说明理由并改正：
（1）顶点为 A，边为 AB、AC，记为∠A；
（2）顶点为 O，边为 OA、OB、OC，记为∠O；
（3）标注为 “2” 的角，记为∠2。
解答与分析：
（1）正确。顶点 A 处只有一个角，可用一个大写字母∠A 表示；
（2）不正确。顶点 O 处有 3 个角（∠AOB、∠BOC、∠AOC），用∠O 无法区分，应分别表示为∠AOB、∠BOC、∠AOC；
（3）正确。标注数字的角，可用数字表示为∠2。
幻灯片 9：例题讲解 2（角的单位换算）
例 3：完成下列单位换算：
（1）将 56°36′化为度；
（2）将 108.36° 化为度分秒；
（3）计算 180° - 75°18′36″。
解答与分析：
（1）56°36′ = 56° + 36÷60° = 56° + 0.6° = 56.6°；
（2）108.36° = 108° + 0.36×60′ = 108° + 21.6′ = 108°21′ + 0.6×60″ = 108°21′36″；
（3）180° = 179°59′60″（借 1° 化为 60′，再借 1′化为 60″），
179°59′60″ - 75°18′36″ = (179 - 75)° + (59 - 18)′ + (60 - 36)″ = 104°41′24″。
幻灯片 10：课堂练习（分层巩固）
基础题
从生活中找出 3 个不同的角实例，分别抽象出几何图形，并标注顶点和边。
如图，顶点为 O，边为 OA、OB、OC、OD，图中有多少个角？分别用三个大写字母表示出来。
完成单位换算：
（1）30.5° = °′；
（2）45°18′ = ______°；
（3）1200″ = ______′ = ______°。
提升题
判断下列说法是否正确：
（1）平角是一条直线；（2）周角是一条射线；（3）角的大小与边的长短无关；（4）用一个大写字母表示角时，顶点处必须只有一个角。
计算：
（1）25°30′ + 35°45′；
（2）90° - 42°36′18″。
拓展题
时钟在 12 点时，时针与分针重合，形成周角（360°）。当时间为 1 点时，时针与分针形成的角是多少度？3 点时呢？6 点时呢？（提示：时钟一圈 360°，共 12 个大格，每个大格对应角度相同）
幻灯片 11：易错点深度剖析
混淆角的 “静态定义” 与 “图形本身”：
错误案例：认为 “平角是一条直线”（平角是由两条方向相反的射线组成的角，有顶点和边，直线没有顶点，二者本质不同）；认为 “周角是一条射线”（周角是射线绕端点旋转一周形成的角，终边与始边重合，但仍有两条边，射线只有一条边，二者不同）。
规避方法：牢记角的定义 —— 无论静态还是动态，角都包含 “顶点” 和 “两条边（射线）”，直线和射线不具备 “顶点 + 两条边” 的特征，避免将角与直线、射线混淆。
角的表示方法使用错误：
错误案例：顶点 O 处有∠AOB、∠BOC，却简记为∠O（无法区分具体角）；将∠AOB 记为∠OAB（顶点字母未在中间，顺序错误）。
规避方法：表示角时，优先用三个大写字母（顶点在中间），若顶点处只有一个角，可简化为一个大写字母；标注数字或希腊字母时，确保标记位置在角的内部靠近顶点处，避免与其他角混淆。
角的单位换算 “六十进制” 与 “十进制” 混淆：
错误案例：将 1.5° 换算为 1°50′（正确应为 1° + 0.5×60′ = 1°30′，误将 0.5×100′计算）；将 30′换算为 0.3°（正确应为 30÷60° = 0.5°，误将 30÷100° 计算）。
规避方法：牢记角的单位是六十进制（1°=60′，1′=60″），换算时大单位化小单位乘 60，小单位化大单位除以 60，避免与十进制单位（如长度、重量）的换算混淆，可通过 “时间单位换算” 类比记忆（1 小时 = 60 分钟，1 分钟 = 60 秒）。
幻灯片 12：课堂总结
核心知识梳理：
角的定义：静态（两条公共端点的射线）、动态（射线绕端点旋转），核心是 “顶点 + 两条边（射线）”；
表示方法：三个大写字母（顶点在中间）、一个大写字母（单角）、数字、希腊字母，根据角的特征选择；
度量单位：度（°）、分（′）、秒（″），六十进制换算（1°=60′，1′=60″）；
分类初步：锐角、直角、钝角、平角、周角，按度数大小区分，注意与直线、射线的区别。
方法提炼：
角的识别 “抓要素”：判断一个图形是否为角，关键看是否有 “一个顶点 + 两条射线边”；
单位换算 “分步骤”：大化小乘 60，小化大除以 60，分和秒的换算需逐步进行，避免跳步出错。
幻灯片 13：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（角的概念相关题目）。
拓展练习：
（1）将 72°36′48″化为度；将 5.45° 化为度分秒；
（2）时钟在 2 点 30 分时，时针与分针形成的角是多少度？（提示：时针每小时走 30°，每分钟走 0.5°；分针每分钟走 6°）。
实践作业：
（1）用硬纸板制作一个可活动的角（如用两根硬纸条固定一端），旋转其中一根纸条，观察角的大小变化，记录锐角、直角、钝角、平角、周角的状态；
（2）观察家中的物品，记录 5 个含有角的物体，标注角的顶点和边，并判断角的类型（锐角、直角、钝角）。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
6.3.1 角的概念
第六章 几何图形初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过现实情境，认识角是一种基本的几何图形，理解角的概念，学会角的表示方法，提高学生的识图能力．
2．通过阅读课本，认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算，提高学生的运算能力．
3．通过实际操作，体会角在实际生活中的应用，激发学生对数学的好奇心与求知欲．
情境导入
同学们，假如时间可以倒退或前进，你们最希望可以停留在哪个时间段？（出示实物表盘）
请同学们观察时针与分针一直是什么关系？构成了什么图形？
同学们，时针与分针构成了角，在我们的生活中，还有哪些物体包含着角？
请同学们观看一段视频：
视频导入
请同学们在草稿纸上画一个点，将这个点无限向右移动，会形成什么？
再将形成的图形绕着起始端点旋转，会得到一个怎样的图形呢？
活动导入
射线
1.请同学们阅读课本170页图6.3－2，归纳角的表示方法．
2．思考：如图，∠α能记作∠O吗？为什么？
①用三个大写英文字母或一个大写英文字母(表示公共端点的字母)表示；②用数字或小写希腊字母表示，要在靠近顶点处加弧线，并标上数字或小写希腊字母
不能．以O为顶点的角不止一个，会引起歧义
3．请同学们阅读课本170页思考．
4．请同学们阅读课本171页例1前，思考：
(1)什么是1度的角？什么是1分的角？什么是1秒的角？
(2)1周角＝________°，1平角＝________°，
1°＝________′，1′＝________″.
5．请同学们完成课本171－172页例1.
把一个周角平均分成360份，每一份就是1度的角；把1度的角平均分成60份，每一份就是1分的角；把1分的角平均分成60份，每一份就是1秒的角
360
180
60
60
1.判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”．
(1)两条射线组成的图形叫作角；(　 　)
(2)角的两边是两条射线；(　 　)
(3)平角是一条直线；(　 　)
(4)周角是一条射线．(　 　)
×
√
×
×
2．将图中的角用不同方法表示出来，填在下表中．
用数字或小写 希腊字母表示 ∠1 ∠3 ∠4 ∠α
用三个大写英文字母表示 ∠BCA ∠BAC ∠ABF
∠ABC
∠2
∠β
∠BCE
(或
∠FCE)
∠BAD
3．计算：
(1)1.45°＝______′＝________″；
(2)1 800″＝______′＝_______°；
(3)58.37°＝_______°_______′______″；
(4)15°32′24″＝_______°＝__________″.
87
5 220
30
0.5
58
22
12
15.54
55 944
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提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
1．角的定义：
知识点1：角的定义及表示(重点)
角的定义 图示 相关概念
静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角 这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边
动态定义：角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 起始位置的边叫角的始边，终止位置的边叫角的终边
注：平角和周角都是角，而不是“线”，不能说“平角是直线”或“直线是平角”，也不能说“周角是射线”或“射线是周角”．
注：(1)用数字或小写希腊字母表示单独角(顶点处必须画弧线，并标上数字或小写希腊字母)．
(2)角的表示方法有多种，在表示时要明确，不能产生误解．
2.角的表示：
角的表示方法 记法及注意 图示
用三个大写英文字母表示 记作∠AOB或∠BOA.O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的点，写在两边，可以交换位置
用一个大写英文字母表示 记作∠O.在以点O为顶点的角只有一个时，才能用这种方法
用数字或小写希腊字母表示 记作∠1或∠α.要在靠近顶点处加上弧线，标注上阿拉伯数字或小写希腊字母α，β，γ等
知识点2：角的度量及单位换算(难点)
度量单位 换算方法 度量工具
(1)度：把一个周角360等分，每一份是1度的角，1度记作1°. (2)分：把1度的角60等分，每一份是1分的角，1分记作1′. (3)秒：把1分的角60等分，每一份是1秒的角，1秒记作1″ (1)从高级到低级：1°＝60′，1′＝60″， 1°＝3 600″. (2)从低级到高级： 量角器、经纬仪等
注：(1)以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制．
(2)角的度、分、秒是六十进制的，这与计量时间的时、分、秒的进制是一样的．
(3)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边张开的程度大小有关．
方位角是表示方向的角，在实际问题中常会遇到．
知识点3：用角表示方位(重点)
【题型一】角的概念及表示
例1：下列说法中正确的是(　　)
A．两条射线所组成的图形叫作角
B．有公共点的两条射线组成的图形叫作角
C．一条射线旋转而成的图形叫作角
D．一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫作角
D
例2：下列图形中，∠AOB，∠1，∠O表示同一个角的是(　　)
A
例3：(1)用度、分、秒的形式表示：①22.5°；　②51.23°.
(2)用度的形式表示：①18°36′；　　②13°37′48″.
解：(1)①22.5°＝22°30′.　②51.23°＝51°13′48″.
【题型二】度、分、秒的换算
(2)①18°36′＝18.6°.　②13°37′48″＝13.63°.
例4：灯塔在货轮的南偏东50°方向的30海里处，则货轮相对于灯塔的位置是(　 　)
A．北偏西50°方向，30海里处
B．西偏北50°方向，30海里处
C．北偏西40°方向，30海里处
D．南偏东50°方向，30海里处
A
【题型三】用角表示方向
变式：嘉淇一家要到革命圣地西柏坡参观，如图，西柏坡位于嘉淇家南偏西20°的方向，10 km处，则嘉淇家位于西柏坡的(　 )
A．南偏西70°方向，10 km处
B．南偏东20°方向，10 km处
C．北偏东20°方向，10 km处
D．北偏东70°方向，10 km处
C
3. 6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？8时呢？8时30分呢？
解：分别是180°，120°，75°的角.
【选自教材P172 练习 第1题】
4.根据图中信息填写下表，将表中的角用其他方法表示出来.
表示 方法1 ∠1 ∠3 ∠D
表示 方法2 ∠CAD ∠ACB ∠ABC ∠ACD
∠2
∠B
∠4
∠BAC
∠ADC
【选自教材P172 练习 第2题】
5.（1）35°等于多少分？等于多少秒？
（2） 38°15′和38.15°相等吗？如不相等，哪一个大？
解：（1）35°=2100'=126000''
（2）这两个角不相等，38°15'大.
【选自教材P172 练习 第3题】
6. 从蜂巢的入口处看，蜂巢由许多正六边形（六条边相等，六个角也相等）构成，按图示的方法，利用三角尺和圆规画出一个正六边形.
【选自教材P172 练习 第4题】
1. 下列关于角的说法中,正确的个数是( )
①两条射线组成的图形叫作角；
②角的边越长，角越大；
③用放大镜看一个角，角的度数变大了；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
返回
2. 如图，下列表示角的方法中，错误的是( )
B
A. 与 表示同一个角
B. 也可以用 表示
C. 图中共有三个角，分别是 、
、
D. 表示
返回
3. 下列对于图形的描述中,正确的有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
（第4题）
4. 如图，用量角器测得 的度数是
( )
C
A. B. C. D.
返回
本节课学习了哪些知识？
角的两个定义、角的表示、角的单位换算
同学们，送给大家一句话，愿大家探索不止，学习更多的数学知识．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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