资源简介

(共37张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：6.3.3 余角和补角
学科：数学
年级：七年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解余角和补角的定义，能准确判断两个角是否互为余角或补角。
掌握余角和补角的性质（同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等），能运用性质进行简单的推理和计算。
能解决含余角、补角的实际问题（如角度计算、图形推理），提升几何逻辑思维能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
角的和差运算：若∠α + ∠β = 90°，则两角之和为直角；若∠α + ∠β = 180°，则两角之和为平角。
直角为 90°，平角为 180°（如 6.3.1 中所学，直角和平角是特殊的角）。
情境导入：
场景 1：三角尺中，30° 角与 60° 角的和是 90°，45° 角与 45° 角的和也是 90°；
场景 2：两条直线相交形成的邻补角，如∠1 与∠2 的和是 180°（平角）。
提问引导：
30° 角与 60° 角、45° 角与 45° 角，它们的和有什么共同特点？这样的角有什么特殊名称？
若∠1 与∠2 互为补角，∠1 与∠3 也互为补角，那么∠2 与∠3 的大小有什么关系？
幻灯片 4：余角和补角的定义
1. 余角（Complementary Angle）
定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称 “互余”。
几何语言：若∠α + ∠β = 90°，则∠α 与∠β 互为余角（∠α 是∠β 的余角，∠β 也是∠α 的余角）。
关键特征：
两角之和为 90°（必须是 “和为直角”，与角的位置无关）；
互余是 “两个角” 之间的关系，不能单独说某一个角是余角；
锐角（0° < 角 < 90°）才有余角，直角和钝角没有余角（如 90° 角与任何角的和都≥90°，无法等于 90°）。
示例：∠α = 35°，则∠α 的余角为 90° - 35° = 55°，即 35° 角与 55° 角互为余角。
2. 补角（Supplementary Angle）
定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称 “互补”。
几何语言：若∠α + ∠β = 180°，则∠α 与∠β 互为补角（∠α 是∠β 的补角，∠β 也是∠α 的补角）。
关键特征：
两角之和为 180°（必须是 “和为平角”，与角的位置无关）；
互补是 “两个角” 之间的关系，不能单独说某一个角是补角；
锐角、直角、钝角都有补角（如 120° 角的补角为 180° - 120° = 60°），周角（360°）没有补角。
示例：∠β = 105°，则∠β 的补角为 180° - 105° = 75°，即 105° 角与 75° 角互为补角。
3. 余角与补角的区别与联系
对比维度
余角
补角
两角和
90°（直角）
180°（平角）
适用角的范围
仅锐角（0° < 角 < 90°）
锐角、直角、钝角（0° < 角 < 180°）
数量关系
一个角的余角 = 90° - 这个角
一个角的补角 = 180° - 这个角
联系
若两个角互为补角，则它们的余角之差为 90°（如∠α + ∠β = 180°，则 (90° - ∠α) - (90° - ∠β) = ∠β - ∠α = 180° - 2∠α）
幻灯片 5：余角和补角的性质
1. 余角的性质：同角或等角的余角相等
语言表述：
同角的余角相等：若∠α + ∠β = 90°，∠α + ∠γ = 90°（∠α 是同一个角），则∠β = ∠γ；
等角的余角相等：若∠α + ∠β = 90°，∠γ + ∠δ = 90°，且∠α = ∠γ（∠α 与∠γ 是等角），则∠β = ∠δ。
推理证明（以同角的余角相等为例）：
∵ ∠α + ∠β = 90°（已知），∴ ∠β = 90° - ∠α；
∵ ∠α + ∠γ = 90°（已知），∴ ∠γ = 90° - ∠α；
∴ ∠β = ∠γ（等量代换）。
示例：如图，∠AOB = 90°，OC 是射线，∠AOC + ∠BOC = 90°，若∠AOC = 30°，则∠BOC = 60°；若∠AOC = 45°，则∠BOC = 45°，即∠BOC 始终等于 90° - ∠AOC，体现同角的余角相等。
2. 补角的性质：同角或等角的补角相等
语言表述：
同角的补角相等：若∠α + ∠β = 180°，∠α + ∠γ = 180°（∠α 是同一个角），则∠β = ∠γ；
等角的补角相等：若∠α + ∠β = 180°，∠γ + ∠δ = 180°，且∠α = ∠γ（∠α 与∠γ 是等角），则∠β = ∠δ。
推理证明（以等角的补角相等为例）：
∵ ∠α + ∠β = 180°（已知），∴ ∠β = 180° - ∠α；
∵ ∠γ + ∠δ = 180°（已知），∴ ∠δ = 180° - ∠γ；
又∵ ∠α = ∠γ（已知），∴ 180° - ∠α = 180° - ∠γ（等式性质）；
∴ ∠β = ∠δ（等量代换）。
示例：如图，直线 AB 上有一点 O，∠AOC + ∠COB = 180°，若∠AOC = ∠DOE（等角），则∠COB = 180° - ∠AOC，∠EOF = 180° - ∠DOE，故∠COB = ∠EOF，体现等角的补角相等。
幻灯片 6：例题讲解 1（余角和补角的识别与计算）
例 1：已知∠α = 50°，求∠α 的余角和补角的度数；若∠β 的补角是∠β 的 3 倍，求∠β 的度数。
解答与分析：
（1）求∠α 的余角和补角：
余角 = 90° - ∠α = 90° - 50° = 40°；
补角 = 180° - ∠α = 180° - 50° = 130°；
（2）求∠β 的度数：
设∠β 的度数为 x，根据 “补角是∠β 的 3 倍” 列方程：
180° - x = 3x；
移项得：3x + x = 180° → 4x = 180° → x = 45°；
验证：∠β = 45°，补角 = 180° - 45° = 135°，135° = 3×45°，符合条件。
答：∠α 的余角为 40°，补角为 130°；∠β 的度数为 45°。
例 2：判断下列说法是否正确，并说明理由：
（1）30° 角的余角是 150°；（2）若∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°，则∠1、∠2、∠3 互为余角；（3）若∠A 与∠B 互为补角，则∠A 与∠B 中必有一个是锐角，一个是钝角。
解答与分析：
（1）不正确。30° 角的余角应为 90° - 30° = 60°，150° 是 30° 角的补角，混淆了余角与补角的定义；
（2）不正确。互余是 “两个角” 的关系，三个角的和为 90°，不能说它们互为余角；
（3）不正确。若∠A = ∠B = 90°，则∠A + ∠B = 180°，此时两角均为直角，并非一个锐角一个钝角，直角的补角仍是直角。
幻灯片 7：例题讲解 2（余角和补角的性质应用）
例 3：如图，∠AOB = ∠COD = 90°，求证：∠AOC = ∠BOD（利用余角的性质）。
解答与分析：
证明：
∵ ∠AOB = 90°（已知），∴ ∠AOC + ∠COB = 90°（角的和差关系），即∠AOC 与∠COB 互为余角；
∵ ∠COD = 90°（已知），∴ ∠BOD + ∠COB = 90°（角的和差关系），即∠BOD 与∠COB 互为余角；
∵ ∠AOC 与∠BOD 都是∠COB 的余角（同角的余角相等），∴ ∠AOC = ∠BOD（余角的性质）。
结论：∠AOC = ∠BOD 成立。
例 4：已知∠1 与∠2 互为补角，∠3 与∠4 互为补角，且∠1 = ∠3，求证：∠2 = ∠4（利用补角的性质）。
解答与分析：
证明：
∵ ∠1 与∠2 互为补角（已知），∴ ∠1 + ∠2 = 180°（补角定义），即∠2 = 180° - ∠1；
∵ ∠3 与∠4 互为补角（已知），∴ ∠3 + ∠4 = 180°（补角定义），即∠4 = 180° - ∠3；
又∵ ∠1 = ∠3（已知），∴ 180° - ∠1 = 180° - ∠3（等式性质）；
∴ ∠2 = ∠4（等量代换，等角的补角相等）。
结论：∠2 = ∠4 成立。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
已知∠α = 38°，求∠α 的余角和补角的度数；若∠β 的余角是∠β 的 2 倍，求∠β 的度数。
判断下列说法是否正确：
（1）若两个角互为余角，则它们的和为 90°；（2）若∠A + ∠B = 180°，则∠A 与∠B 互为补角；（3）一个角的补角一定大于这个角。
提升题
如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOC 与∠BOD 互为对顶角（相等），求证：∠AOC 的补角与∠BOD 的补角相等（利用补角的性质）。
已知∠A 的余角比∠A 的补角的 1/3 还小 20°，求∠A 的度数。
拓展题
如图，∠AOB = 90°，OE 平分∠AOB，∠BOC = 30°，OD 平分∠BOC，求∠DOE 的余角和补角的度数（提示：先求∠DOE 的度数，再找余角和补角）。
幻灯片 9：易错点深度剖析
混淆余角与补角的定义（和的度数错误）：
错误案例：认为 “∠α = 40°，其补角为 90° - 40° = 50°”（正确应为 180° - 40° = 140°，混淆了 90° 与 180°）；认为 “两个角的和为 180°，则它们互为余角”（正确应为互为补角）。
规避方法：牢记 “余角和为 90°，补角和为 180°”，可简记为 “余 90，补 180”，计算前先明确是求余角还是补角，再选择对应的度数进行计算。
误解 “互余”“互补” 的对象（多角关系错误）：
错误案例：认为 “∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°，则∠1、∠2、∠3 互为余角”（互余仅针对两个角，三个角的和为 90° 不能说互余）；认为 “单独一个角可以说余角或补角”（如 “∠α 是余角”，正确应为 “∠α 与∠β 互为余角”）。
规避方法：明确 “互余”“互补” 是两个角之间的相互关系，不能用于三个或更多角，也不能单独描述一个角，需用 “∠A 与∠B 互为余角 / 补角” 的规范表述。
应用性质时忽略 “同角或等角” 的前提：
错误案例：认为 “若∠α + ∠β = 90°，∠γ + ∠δ = 90°，则∠β = ∠δ”（未满足 “∠α = ∠γ” 的等角前提，无法直接得出∠β = ∠δ）；认为 “若∠α + ∠β = 180°，∠α + ∠γ = 90°，则∠β = ∠γ”（和的度数不同，一个是补角，一个是余角，无法应用性质）。
规避方法：应用性质前，先确认两角是否满足 “同角”（同一个角的余角 / 补角）或 “等角”（相等角的余角 / 补角），且两角的和需分别为 90°（余角）或 180°（补角），再推导角的相等关系。
幻灯片 10：课堂总结
核心知识梳理：
定义：余角（和为 90°）、补角（和为 180°），均为两个角的相互关系；
性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，是角的相等推理的重要依据；
计算：一个角的余角 = 90° - 这个角，一个
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
6.3.3 余角和补角
第六章 几何图形初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过具体情境了解余角和补角，理解余角和补角的性质，能运用它们解决相关问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
2．经历观察、探究、操作等过程，发展学生的几何概念，培养学生的推理能力和语言表达能力．
情境导入
同学们，对于三角尺，我们已经很熟悉了，我们一起来回顾一下一副三角尺各个角的度数.
问题：在一副三角尺中，这些角之间有什么样的数量关系呢？
请同学们准备一张长方形纸片，沿一个角折叠后，找出折痕与长方形的边形成的角。
例：如图长方形纸片的折痕与长方形的边形成了4个角，
思考：
（1）∠1与∠2有什么数量关系？
（2）∠3与∠4有什么数量关系？
活动导入
同学们，你们打过台球吗？请同学们观看一段视频：
视频导入
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2.
这个问题可以简单地表示为右图，其中∠EDC=90°，那么图中各个角与∠1有什么数量关系呢？
1.请同学们阅读课本176页思考前内容，并回答问题：
(1)余角的定义是什么？120°的角有余角吗？
(2)补角的定义是什么？若∠1＋∠2＋∠3＝180°，能说∠1，∠2，∠3互为补角吗？
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角.120°的角没有余角
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角．不能，只能是两个角互为补角
(3)如图，∠1＋∠2＝90°，如果将∠1和∠2变换位置，它们还互为余角吗？你能得出什么结论？
2．完成课本177页练习1题．
互为余角．是否互为余角与角的位置无关，只与角的和有关
请同学们完成课本177页练习2，3题．
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
1．余角：
(1)定义：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角．
(2)数学语言：若∠1＋∠2＝90°，则说∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角或∠1与∠2互余．
知识点1：余角和补角的概念(重点)
2．补角：
(1)定义：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角．
(2)数学语言：若∠1＋∠2＝180°，则说∠1是∠2的补角或∠2是∠1的补角或∠1与∠2互补．
注：余角、补角都是成对出现的．
1．同角(等角)的余角相等．
2．同角(等角)的补角相等．
知识点2：余角和补角的性质(难点)
【题型一】余角和补角的定义
例1：若∠A＝23°，则∠A的余角的度数是(　　)
A．57° B．67° C．77° D．157°
B
变式：已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求这个角的度数以及这个角的余角和补角的度数．
　
解：设这个角的度数是x，则这个角的余角的度数是90°－x，
这个角的补角的度数是180°－x.
依题意，得90°－x＝ (180°－x)，解得x＝67.5°，即这个角的度数是67.5°.
所以这个角的余角的度数是90°－67.5°＝22.5°，这个角的补角的度数是180°－67.5°＝112.5°.
例2：如图所示，直线AB，CD相交于点O，因为∠1＋∠3＝ 180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2.其推理依据是(　 　)
A．同角的余角相等
B．等角的余角相等
C．同角的补角相等
D．等角的补角相等
C
【题型二】余角和补角的性质
例3：如图，点A，O，E在同一条直线上，OB，OC，OD都是射线，∠1＝∠2，∠1与∠4互为余角．
(1)∠2与∠3有何数量关系？请说明理由；
解：(1)∠2＋∠3＝90°.理由：因为∠1与∠4互为余角，所以∠1＋∠4＝90°.因为点A，O，E在同一条直线上，所以∠AOE＝180°，所以∠2＋∠3＝180°－90°＝90°.
如图，点A，O，E在同一条直线上，OB，OC，OD都是射线，∠1＝∠2，∠1与∠4互为余角．
(2)∠3与∠4的大小有何关系？请说明理由；
(3)试说明∠3是∠AOD的补角．
(2)∠3＝∠4.理由：因为∠1＝∠2，∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠3＝∠4.
(3)因为∠AOE＝180°，所以∠4是∠AOD的补角，因为∠3＝∠4，所以∠3是∠AOD的补角．
3.图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
【选自教材P177 练习 第1题】
解：互为余角的角是 10°和 80°、30°和 60°，互为补角的角是10°和 170°、30°和 150°、60°和 120°、80°和 100°.
【选自教材P177 练习 第2题】
4. 一个角是70°39'，求它的余角和补角.
解：它的余角是 19°21′，补角是 109°21′.
5. ∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？
解：设∠α= x.则 3x=180°-x，解得 x=45°.所以∠α是 45°
【选自教材P177 练习 第3题】
6.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？
解：先将其一边 OA 反向延长为 OC，便可测出∠BOC 的度数，而∠AOB与∠BOC互为补角，故∠AOB=180°-∠BOC
C
【选自教材P177 练习 第4题】
习题6.3
1.图中以 OC 为边的角有几个？请把它们表示出来.
解：以 OC 为边的角有3个，分别是∠COD，∠BOC，∠AOC.
2.判断题.
（1）两条射线组成的图形叫作角；
（2）平角是一条直线；
（3）互补且相等的两个角都是直角；
（4）一个锐角的补角比这个角的余角大90°；
（5）在同一平面内，∠AOB=60°，∠COB=30°，则∠AOC=90°.
×
×
×
√
√
3.填空题.
（1）0.4°=_______′；
（2）12″=______′；
（3）57°31′+17°39′=______°______′；
（4）25°36′×4=______°______′；
（5）46.8°÷6=_____°=______°______′
24
0.2
75
10
102
24
7.8
7
48
4.一个角的补角是 150°，这个角的余角是多度？
解:这个角的余角是 60°.
5.按照上北下南、左西右东的规定，画出表示东、南、西、北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线：
（1）北偏西30°；（2）南偏东75°；
（3）北偏东40°；（4）西南 （南偏西 45°）.
解：如图所示（1）射线 OA；
（2）射线 OB；
（3）射线 OC；
（4）射线 OD.
6.（1）时钟的时针1h旋转多少度？
（2）时钟的分针1min旋转多少度？
（3）3时25分，时钟的时针与分针所成的角是多少度？
解：（1）30°；（2）6°；（3）47.5°.
7.如图，∠AOC=∠BOD=90°.比较∠AOB 与∠COD的大小，并说明理由.
解：∠AOB=∠COD.理由如下:
因为∠AOC=∠BOD，
所以∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，
即∠AOB=∠COD.
8.如图，∠COD=35°，OC平分∠AOB，OD 平分∠AOC.求∠AOB 的度数.
解：因为 OD 平分∠AOC，
所以∠AOC=2∠COD=2×35°=70°
因为 OC平分∠AOB，所以∠AOB=2∠AOC=2×70°=140°.
综合运用
9.已知∠AOB=70°，以 OA 为边画∠AOC=32°.求∠BOC 的度数.
解：当 OC 在∠AOB 内部时，
如图①，∠BOC=∠AOB-∠AOC=
70°-32°=38°；
当OC在∠AOB 外部时，
如图②，∠BOC= ∠AOB+ ∠AOC=70°+32°=102°
综上所述， ∠BOC 的度数为 38°或 102°.
10.如图，在∠AOB内部任意画一条射线OC，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，根据图形填空：
（1）∠AOB= ∠AOC+_______；
（2）∠COD=_______= _______；
（3）∠DOE=_______+______= ______；
（4）若∠DOE=60°，则∠AOB=_____°；
若∠AOB=n°，则∠DOE =______°.
∠BOC
∠AOD
∠COE
∠COD
∠AOC
∠AOB
120
1.我们学习了哪些知识？
余角 补角
定义 如果两个角的和为90°，就说这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角 如果两个角的和为180°，就说这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角
性质 同角(等角)的余角相等 同角(等角)的补角相等
常见图形
作用 说明两个角相等的重要依据
2.用到了哪些方法和思想？　　　　
类比学习法，数形结合思想
同学们，生活中处处皆数学，我们要善于用数学的眼光去观察，用数学的思维去思考，用数学的语言去描述.　　
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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