资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：13.1 三角形的概念
副标题：走进平面几何的基础图形
背景图：左侧展示生活中的三角形元素（如三角尺、自行车车架、埃及金字塔侧面），右侧呈现抽象的三角形几何图形，标注顶点、边、角，直观关联 “生活实例” 与 “数学定义”。
幻灯片 2：学习目标
理解三角形的定义，能准确识别三角形的顶点、边、角等基本构成要素，掌握三角形的表示方法。
掌握三角形按边和按角的两种分类标准，能区分不同类型的三角形（如等腰三角形、直角三角形等），明确各类三角形的特征。
认识三角形的高、中线、角平分线，会用尺规或三角尺画出任意三角形的这三种重要线段，理解它们的几何意义。
通过观察、操作和分析，体会三角形的稳定性在生活中的应用，培养几何图形的直观感知能力和逻辑归纳能力。
幻灯片 3：导入 —— 从生活到数学，初识三角形
生活实例展示：
展示三角尺、篮球架的三角形支架、屋顶的三角形桁架、三明治的切面、交通警示牌（如注意危险的三角标志）等图片，引导学生观察：这些物体的形状有什么共同特点？
提问：为什么很多建筑和物品会采用三角形结构？（引发学生对三角形 “稳定性” 的初步思考，为后续知识点铺垫）
数学抽象：从上述生活实例中提取出抽象的三角形图形，提问：你认为什么样的图形可以称为 “三角形”？鼓励学生尝试用自己的语言描述，引出本节课核心 —— 三角形的定义。
幻灯片 4：三角形的定义与基本要素
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。
关键词解析：“不在同一条直线上”（若三条线段共线，无法构成封闭图形）、“首尾顺次相接”（线段端点依次连接，形成封闭的三条边），通过对比 “共线三条线段” 和 “首尾不相连的三条线段” 的反例图，强化定义的准确性。
基本要素：
顶点：三条线段的公共端点，用大写英文字母表示（如点 A、点 B、点 C），一个三角形有 3 个顶点。
边：组成三角形的三条线段，用顶点对应的小写字母表示（如顶点 A 对边为 a，顶点 B 对边为 b，顶点 C 对边为 c），或用两个端点的字母表示（如边 AB、边 BC、边 AC），一个三角形有 3 条边。
角：三角形相邻两边组成的角，叫做三角形的内角（简称三角形的角），用 “∠”+ 顶点字母表示（如∠A、∠B、∠C），一个三角形有 3 个内角。
表示方法：用符号 “△” 表示三角形，如顶点为 A、B、C 的三角形，记作 “△ABC”，读作 “三角形 ABC”。
图形标注：在抽象三角形图形上完整标注顶点、边、角的符号，让学生直观对应各要素的名称和表示方法。
幻灯片 5：三角形按边分类
分类标准：根据三角形三条边的长度关系进行分类。
具体类型：
不等边三角形：三条边都不相等的三角形。展示不等边三角形图形，标注三边长度（如 AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm），强调 “三边长度均不同” 的特征。
等腰三角形：有两条边相等的三角形。
相关概念：相等的两条边叫做 “腰”，另一条边叫做 “底边”；两腰所夹的角叫做 “顶角”，底边与腰的夹角叫做 “底角”。
图形标注：在等腰三角形中用相同的标记（如 “┐”）标注相等的腰，标注 “腰”“底边”“顶角”“底角”，明确各部分名称。
等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形。
特殊说明：等边三角形是特殊的等腰三角形（满足 “有两条边相等” 的条件，且三条边都相等），展示等边三角形图形，用相同标记标注三条边，强调 “三边长度均相等，三个角也相等（均为 60°）” 的特征。
分类树状图：用树状图清晰呈现分类逻辑：
三角形（按边分）
├─ 不等边三角形（三边都不相等）
└─ 等腰三角形（至少两边相等）
├─ 普通等腰三角形（只有两边相等）
└─ 等边三角形（三边都相等，特殊等腰三角形）
幻灯片 6：三角形按角分类
分类标准：根据三角形三个内角的度数大小进行分类（结合 “锐角、直角、钝角” 的定义）。
具体类型：
锐角三角形：三个角都是锐角（即每个角都小于 90°）的三角形。展示锐角三角形图形，标注三个角的度数（如∠A=60°，∠B=70°，∠C=50°），强调 “三个角均为锐角”。
直角三角形：有一个角是直角（即 90°）的三角形。
相关概念：直角所对的边叫做 “斜边”，夹直角的两条边叫做 “直角边”。
图形标注：在直角三角形中用 “┐” 标记直角，标注 “斜边”“直角边”，说明 “斜边是直角三角形中最长的边”（可通过测量边长验证）。
钝角三角形：有一个角是钝角（即大于 90° 且小于 180°）的三角形。展示钝角三角形图形，标注钝角的度数（如∠A=120°，∠B=30°，∠C=30°），强调 “只有一个钝角（三角形内角和为 180°，不可能有两个及以上钝角）”。
分类树状图：用树状图呈现分类逻辑：
三角形（按角分）
├─ 锐角三角形（三个角都是锐角）
├─ 直角三角形（有一个角是直角）
└─ 钝角三角形（有一个角是钝角）
思考提问：一个三角形能否同时是 “直角三角形” 和 “等腰三角形”？（引出 “等腰直角三角形”，说明其既是直角三角形，又是等腰三角形，两条直角边相等，两个锐角均为 45°，展示对应的图形）。
幻灯片 7：三角形的重要线段 —— 高
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高（简称三角形的高）。
关键词解析：“向对边所在直线作垂线”（若对边较短或顶点位置特殊，需延长对边再作垂线），“线段”（高是有端点的线段，而非无限延伸的直线）。
画法演示：
以锐角三角形为例：用三角尺的直角边，一条直角边与三角形的一边（如 BC 边）重合，另一条直角边过对应顶点（如 A 点），画出垂线，垂足为 D，线段 AD 即为△ABC 中 BC 边上的高。
以直角三角形为例：直角三角形的两条直角边（如 AB、AC）互为 “高”（AB 是 AC 边上的高，AC 是 AB 边上的高），斜边上的高（如 BC 边上的高 AD）需用三角尺规范画出，强调 “直角三角形斜边上的高在三角形内部”。
以钝角三角形为例：钝角所对的边上的高（如钝角∠A 对边 BC 上的高 AD）在三角形内部，锐角所对的边上的高（如∠B 对边 AC 上的高 BE）需延长对边 AC，再作垂线，垂足 E 在 AC 的延长线上，高 BE 在三角形外部，通过动画分步演示画法，明确 “钝角三角形有两条高在外部，一条在内部”。
性质：一个三角形有 3 条高，三条高所在的直线相交于一点（叫做三角形的垂心），展示不同类型三角形（锐角、直角、钝角）的三条高及其交点位置（锐角三角形垂心在内部，直角三角形垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在外部）。
幻灯片 8：三角形的重要线段 —— 中线
定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
关键词解析：“对边中点”（需先确定对边的中点，即把对边分成两条相等线段的点），中线是连接 “顶点” 和 “中点” 的线段。
画法演示：
以△ABC 为例，要画 BC 边上的中线：先用直尺测量 BC 边的长度，找到 BC 的中点 D（使 BD=DC），再连接顶点 A 和中点 D，线段 AD 即为△ABC 中 BC 边上的中线。
用尺规作图法补充演示：以 B、C 为圆心，大于\(\frac{1}{2}\)BC 的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，与 BC 的交点即为中点 D，再连接 AD，强化尺规作图的规范性。
性质：
一个三角形有 3 条中线，三条中线相交于一点（叫做三角形的重心），且重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍（如重心 G 在 AD 上，AG=2GD），可通过测量或几何证明（初中阶段暂用测量验证）说明这一性质。
三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形（如中线 AD 将△ABC 分成△ABD 和△ACD，因 BD=DC 且高相同，故面积相等），通过计算两个小三角形的面积（底 × 高 ÷2）验证该性质。
幻灯片 9：三角形的重要线段 —— 角平分线
定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。
关键词解析：“内角的平分线”（将内角分成两个相等的角）、“与对边相交”（平分线需延伸至对边，形成线段），区别于 “角的平分线”（射线），三角形的角平分线是 “线段”。
画法演示：
以△ABC 为例，要画∠A 的角平分线：用尺规作图法，以 A 为圆心，任意长为半径画弧，交 AB、AC 于两点；再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；过 A 点和该交点作射线，交 BC 于 D，线段 AD 即为∠A 的角平分线。
用三角尺辅助验证：用量角器测量∠BAD 和∠CAD，确认两角相等（均为∠A 的一半），确保角平分线画法正确。
性质：
一个三角形有 3 条角平分线，三条角平分线相交于一点（叫做三角形的内心），内心到三角形三条边的距离相等（这一性质将在后续 “全等三角形” 中深入学习，此处可通过 “过内心作三边垂线，测量垂线段长度” 初步感知）。
三角形的角平分线将对应的内角分成两个相等的角（如 AD 平分∠A，故∠BAD=∠CAD），通过量角器测量直观验证。
幻灯片 10：三角形的稳定性
实验探究：
展示用木条制作的三角形框架和四边形框架，邀请学生上台拉动两个框架：拉动三角形框架，框架形状不变；拉动四边形框架，框架形状明显变形。
提问：为什么三角形框架不易变形，而四边形框架容易变形？
原理分析：三角形的三条边长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定（即 “三角形具有稳定性”）；而四边形的四条边长度确定后，形状仍可变化（即 “四边形具有不稳定性”），通过对比 “固定三边的三角形” 和 “固定四边但可变形的平行四边形” 的图形，强化稳定性的本质。
生活应用：
展示三角形稳定性的实际应用案例：自行车车架的三角形结构（保证骑行时车架不变形）、篮球架的三角形支架（固定篮筐位置）、屋顶的三角形桁架（承受屋顶重量，防止坍塌）、斜拉桥的三角形钢索结构（分散桥面压力）等图片，说明三角形稳定性在建筑、交通等领域的重要作用。
拓展思考：生活中哪些地方利用了四边形的不稳定性？（如伸缩门、折叠椅、升降机的支架等），通过对比，加深对两种图形特性的理解。
幻灯片 11：课堂小结
核心知识：
三角形定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，基本要素包括 3 个顶点、3 条边、3 个角，记作△ABC。
两种分类：按边分（不等边、等腰、等边），按角分（锐角、直角、钝角），明确各类三角形的特征及特殊关系（如等边是特殊等腰）。
三种重要线段：高（垂直对边，3 条高交于垂心）、中线（连接顶点与对边中点，3 条中线交于重心，分面积相等）、角平分线（平分内角，3 条角平分线交于内心），会用尺规或三角尺画出。
重要性质：三角形具有稳定性，广泛应用于生活。
知识框架图：用框架图梳理本节课知识点，形成 “定义→要素→分类→重要线段→性质” 的逻辑链，帮助学生构建系统的知识体系。
幻灯片 12：课后作业
如图，在△ABC 中，AB=5cm，BC=6cm，AC=4cm，分别画出△ABC 的三条高、三条中线和三条角平分线，并用符号标注各线段，测量并记录三条中线的交点（重心）到各顶点和对边中点的距离。
已知一个三角形的两个内角分别为 30° 和 60°，判断这个三角形按角分类属于什么三角形？若其中一条直角边的长度为 3cm，求斜边的长度（提示：直角三角形中 30° 角对边是斜边的一半）。
观察家中或学校里的物品，找出 3 个利用三角形稳定性的例子和 2 个利用四边形不稳定性的例子，简要说明它们的工作原理，写成一篇简短的观察报告。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.1三角形的概念
第十三章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、通过阅读课本了解三角形的顶点、边、角以及三角形的表示方法，能够认清三角形的分类.（重点）
2、通过观察、比较、推断获得解决实际问题的方法.
学习目标
导入新课
【问题】
(1)这些物体中有没有三角形的形象？
(2)在我们的生活中有没有这样的形象呢 试举例.
自主学习
自学课本第2页并学会下列问题：（时间：3分钟）
1、什么叫做三角形？它有哪些要素？
2、什么是三角形的内角？怎么用符号表示三角形和它的边？
3、按照三角形三个内角的大小怎么分类三角形？按照边的关系怎么分类？
4、什么叫做等腰三角形？它有哪些要素？什么叫做等边三角形？
角：∠A,∠B,∠C 叫做三角形的内角，简称三角形的角.
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
问题2：三角形中有几条线段 有几个角
A
B
C
一、三角形的相关概念
合作探究
问题1：在练习本上画一个三角形，并观察说出什么样的图形是三角形.
有三条线段，三个角
边：线段 AB，BC，CA 是三角形的边.
顶点：点 A，B，C 是三角形的顶点.
记法：三角形 ABC 用符号表示为________.
边的表示：三角形 ABC 的边 AB、AC 和 BC 可用小写
字母分别表示为________.
△ABC
c，b，a
边c
边b
边a
顶点C
角
角
角
顶点A
顶点B
合作探究
B
C
A
在△ABC 中，
AB 边所对的角是：
∠A 所对的边是：
∠C
BC
再说几个对边与对角的关系试试.
三角形的对边与对角：
合作探究
三角形用符号“△”表示，如三角形 ABC 可记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”，此外 △ABC 还可记作 △BCA，△CAB，△ACB 等.
识别三角形的三个条件：
1. 三条线段；2. 不在同一条直线上；3. 首尾顺次相接.
表示方法：
A
B
C
要点提醒
合作探究
找一找：（1）图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．
A
B
C
D
E
5 个，分别是△ABE，△ABC，△BCE，△BCD，△ECD.
（2）以 AB 为边的三角形有哪些？
△ABC、△ABE.
（3）以 E 为顶点的三角形有哪些？
△ABE、△BCE、△CDE.
（4）以∠D 为角的三角形有哪些？
△BCD、△DEC.
针对练习
二、三角形的分类
问题1：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
(1) 等腰三角形和等边三角形的区别是什么
(2) 从是否有相等边来看，除了等腰三角形和等边三角形之外
还有什么样的三角形
(3) 根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类？
等腰三角形两边相等，等边三角形三边相等.
三边都不相等的三角形.
问题2：如果从三角形三边的相等关系来看，三角形该如何分类呢？
合作探究
二、三角形的分类
1.等腰三角形及等边三角形
三角形类型 概念 图例
等腰三角形
等边三角形
总结概念
其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，
三边都相等的三角形叫做等边三角形，
即底和腰相等的等腰三角形是等边三角形. 等边三角形是特殊的等腰三角形
二、三角形的分类
(1)按内角的大小分类(如图11.1－3)
锐角三角形(最大内角为锐角)
直角三角形(最大内角为直角)
钝角三角形(最大内角为钝角)
三角形
课堂小结
(2)按边的相等关系分类(如图11.1－4 )
三角形
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底边和腰不相等
的等腰三角形
等边三角形
1、下列由三条线段组成的图形是三角形的是( )
C
A. B. C. D.
2、图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )
D
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能
3、用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是( )
D
A. B. C. D.
4、如图，图中有___个三角形，含 的三角形为____________ __；
在中，的对角是_______， 的对边是____.
6
,,
5、如图，过，，，， 五个点中任意三点画三角形.
2.如图，在中，边所对的角是_______， 所对的边是___；
在中，边所对的角是_______， 所对的边是____；以
为内角的三角形有________________________.
、、
知识点2 三角形的分类
3.如图是三角形按边的相等关系进行的分类，则图中， 分别表示的
三角形是( )
B
A.等边三角形、等腰三角形
B.等腰三角形、等边三角形
C.锐角三角形、等腰三角形
D.等腰三角形、锐角三角形
4.［教材P练习T 变式］［2024陕西中考改编］
如图，在中， ，，
是的中点，连接 ,则图中的直角三角形有___
个,锐角三角形有___个.
4
1
5.［教材习题变式］如图， ，
，找出图中的等腰三角形和等边三角形.
解：等腰三角形有,,, ,等边
三角形有 .
6.若，，是的三边长，且，，满足 ，
则 的形状为( )
A
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法判断
有关概念
三角形
分类
按照角分类
按照边分类
顶点、角(内角)、边
作业：
必做题：
选做题：
习题13.1 第1、第2题
习题13.1 第5题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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