资源简介

(共21张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：13.2.1 三角形的边
副标题：探索三角形三边的神秘关系
背景图：左侧展示不同长度的木棒组合（有的能拼成三角形，有的不能），右侧呈现一个标注三边长度的三角形，直观引出本节课对三角形边的研究重点。
幻灯片 2：学习目标
理解三角形三边关系的具体内容，即 “三角形任意两边之和大于第三边”“三角形任意两边之差小于第三边”。
能运用三角形三边关系判断三条线段能否组成三角形，解决相关实际问题。
通过实验探究、推理验证等过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力，体会数学与生活的紧密联系。
幻灯片 3：导入 —— 从生活疑问到数学探究
生活场景提问：
展示小明从家到学校的两条路线图：一条是直接从家到学校（线段），另一条是从家经过图书馆再到学校（两条线段组成的折线）。提问：小明走哪条路线更近？为什么？
引导学生结合 “两点之间线段最短” 的知识，得出 “家到学校的直接距离（一条线段）小于家到图书馆的距离加上图书馆到学校的距离（两条线段之和）”，为后续三角形三边关系的探究埋下伏笔。
实验引入：准备不同长度的小木棒（如 3cm、4cm、5cm、6cm、9cm），邀请学生上台尝试用任意三根小木棒拼三角形，观察哪些组合能拼成三角形，哪些不能，引发学生对 “三条线段满足什么条件才能组成三角形” 的思考。
幻灯片 4：三角形三边关系的探究实验
实验材料：每组准备 5 根不同长度的小木棒（3cm、4cm、5cm、6cm、9cm）、直尺、记录表格。
实验步骤：
从 5 根小木棒中任意选取 3 根，记录所选小木棒的长度。
尝试用这 3 根小木棒拼成三角形，观察能否拼成封闭的三角形。
若能拼成，测量三角形三边的长度（验证所选小木棒长度是否准确）；若不能拼成，分析原因。
重复上述步骤，尝试不同的组合，将结果填入记录表格。
记录表格（示例）：
所选小木棒长度（cm）
能否拼成三角形
三边关系验证（两边之和与第三边比较）
3、4、5
能
3+4＞5，3+5＞4，4+5＞3
3、4、6
能
3+4＞6，3+6＞4，4+6＞3
3、4、9
不能
3+4＜9，3+9＞4，4+9＞3
3、5、6
能
3+5＞6，3+6＞5，5+6＞3
4、5、9
不能
4+5=9，4+9＞5，5+9＞4
幻灯片 5：三角形三边关系的总结
从实验数据推导结论：
观察能拼成三角形的组合（如 3、4、5；3、4、6；3、5、6），发现每组中任意两条边的长度之和都大于第三条边的长度。
观察不能拼成三角形的组合（如 3、4、9；4、5、9），发现其中存在两条边的长度之和小于或等于第三条边的情况（3+4＜9；4+5=9）。
三角形三边关系：
三角形任意两边之和大于第三边：用数学符号表示，在△ABC 中，a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a（其中 a、b、c 分别为△ABC 三边的长度）。
推论（三角形任意两边之差小于第三边）：由 “a+b＞c” 可变形为 “c＜a+b”，同时两边之差 “a - b＜c”（假设 a＞b），同理可得 “b - a＜c”“a - c＜b”“c - a＜b”“b - c＜a”“c - b＜a”，即三角形任意两边之差小于第三边。
简化判断方法：判断三条线段能否组成三角形，无需逐一验证所有三边关系，只需验证 “较短两条边的长度之和是否大于最长边的长度” 即可。例如，判断 3cm、4cm、9cm 能否组成三角形，只需比较 3+4 与 9 的大小（3+4=7＜9），即可得出不能组成三角形的结论，简化计算过程。
幻灯片 6：三角形三边关系的理论验证
依据 “两点之间线段最短”：在△ABC 中，从点 A 到点 B 的所有连线中，线段 AB 是最短的，而 AC + CB 是从 A 到 B 经过点 C 的折线长度，因此 AC + CB＞AB；同理，AB + AC＞BC，AB + BC＞AC，从理论上证明 “三角形任意两边之和大于第三边” 的正确性。
几何图形辅助理解：画出△ABC，标注三边长度，用箭头指示从 A 到 B 的线段 AB 和折线 ACB，直观展示 “线段 AB＜折线 ACB”，强化对三边关系的理论认知。
幻灯片 7：三角形三边关系的应用 1—— 判断三条线段能否组成三角形
例题 1：判断下列长度的三条线段能否组成三角形？
（1）5cm、6cm、11cm （2）5cm、6cm、10cm （3）3cm、7cm、9cm
解题步骤：
先将三条线段按长度从小到大排序。
验证较短两条线段的和是否大于最长线段。
解答过程：
（1）排序：5cm、6cm、11cm，较短两边之和：5+6=11，11=11，不满足 “大于”，因此不能组成三角形。
（2）排序：5cm、6cm、10cm，较短两边之和：5+6=11＞10，满足条件，因此能组成三角形。
（3）排序：3cm、7cm、9cm，较短两边之和：3+7=10＞9，满足条件，因此能组成三角形。
易错提醒：注意 “两边之和等于第三边” 的情况，此时三条线段会共线，无法组成封闭的三角形，需明确排除这种情况。
幻灯片 8：三角形三边关系的应用 2—— 求三角形第三边的取值范围
例题 2：已知一个三角形的两条边长分别为 4cm 和 7cm，求第三条边长 x 的取值范围。
解题依据：根据三角形三边关系 “任意两边之和大于第三边”“任意两边之差小于第三边”，可得：
7 - 4＜x＜7 + 4
计算过程：
7 - 4=3，7 + 4=11，因此 3cm＜x＜11cm。
结论：第三条边长 x 的取值范围是大于 3cm 且小于 11cm（即 x 的取值在 3cm 到 11cm 之间，不包括 3cm 和 11cm）。
拓展练习：已知一个三角形的两条边长分别为 5cm 和 9cm，求第三条边长 y 的取值范围（答案：4cm＜y＜14cm），让学生独立完成，巩固解题方法。
幻灯片 9：三角形三边关系的应用 3—— 解决实际问题
例题 3：一个等腰三角形的周长为 18cm，其中一条边长为 5cm，求另外两条边的长度。
分析过程：等腰三角形有两条边长度相等，需分两种情况讨论：
情况 1：假设 5cm 是等腰三角形的腰长，则另一条腰长也为 5cm，底边长为 18 - 5 - 5=8cm。
验证三边关系：5+5＞8（10＞8），5+8＞5（13＞5），满足条件，因此这种情况成立，另外两条边的长度为 5cm 和 8cm。
情况 2：假设 5cm 是等腰三角形的底边长，则两条腰长相等，腰长为（18 - 5）÷2=6.5cm。
验证三边关系：6.5+6.5＞5（13＞5），6.5+5＞6.5（11.5＞6.5），满足条件，因此这种情况也成立，另外两条边的长度均为 6.5cm。
结论：该等腰三角形另外两条边的长度为 5cm 和 8cm，或均为 6.5cm。
注意事项：在解决等腰三角形相关问题时，需考虑已知边是腰还是底的两种情况，同时要验证每种情况是否满足三角形三边关系，避免出现不符合条件的解。
幻灯片 10：课堂练习 —— 巩固三角形三边关系
练习 1：下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 2cm、3cm、5cm B. 3cm、4cm、8cm C. 4cm、5cm、6cm D. 5cm、6cm、12cm（答案：C）
练习 2：已知三角形的两边长分别为 2 和 7，第三边长为整数，求第三边的长可能是多少？（答案：6、7、8）
练习 3：一个等腰三角形的两条边长分别为 3cm 和 7cm，求该三角形的周长（答案：17cm，提示：需排除 3cm 为腰的情况，因 3+3＜7，不满足三边关系）。
练习要求：学生独立完成练习，之后小组内交流答案和解题思路，教师巡视指导，针对易错点进行讲解。
幻灯片 11：课堂小结
核心知识：
三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
简化判断方法：判断三条线段能否组成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边。
应用场景：判断三条线段能否组成三角形、求三角形第三边的取值范围、解决等腰三角形等实际问题。
解题思路：在解决与三角形边相关的问题时，需结合三边关系，必要时进行分类讨论（如等腰三角形问题），并验证结果是否符合三边关系，确保答案的正确性。
幻灯片 12：课后作业
判断下列各组线段能否组成三角形，能的打 “√”，不能的打 “×”，并说明理由：
（1）3cm、4cm、5cm （2）2cm、2cm、4cm （3）5cm、6cm、12cm （4）4cm、6cm、9cm
已知三角形的两条边长分别为 3 和 5，第三边长为偶数，求第三边的长及该三角形的周长。
用一根长 20cm 的铁丝围成一个三角形，其中一边长为 6cm，另外两边的长均为整数，求另外两边的长可能是多少？
小明想制作一个等腰三角形的风筝，其中一条腰长为 7dm，底边长为 12dm，他准备了一根 30dm 长的绳子，够不够制作这个风筝的边框？（风筝边框由三角形的三边组成）
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.2.1 三角形的边
第十三章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、掌握三角形的三边关系.
2、运用三角形三边关系解决有关的问题.
学习目标
新课导入
【问题】在A点的小狗,为了尽快吃到B点的香肠,它选择A B路线,而不选择A C B路线,难道小狗也懂数学？
A
B
C
自主学习
自学课本第5,6页并学会下列问题：（时间：3分钟）
1、三角形的三条边之间有什么关系？
2、对于三条线段的长度满足什么条件时组成一个三角形？
3、三角形有没有稳定性？
知识点
三角形三边的关系
合作探究
问题1: 任意画一个△ABC,如图 ,从点B出发 ,沿三角形的边到点C,有几条线路可以选择
问题2: 哪条线路较短 理由是什么
问题3: 由问题 1 ,2 ,可说明三角形的边之间有什么关系 能证明你的结论吗
路线1:由点B到点C.
路线2:由点B到点A，再由点A到点C.
合作探究
对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点(例如B，C )看成定点，由“两点之间，线段最短”可得 ：
AB＋AC＞BC ①
同理有
AC＋BC＞AB ②； AB＋BC＞AC ③
一般地，我们有
三角形两边的和大于第三边.
由不等式②③移项可得BC＞AB－AC，BC＞AC－AB. 这就是说，
三角形两边的差小于第三边.
例题尝试
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm,x+2x+2x=18. 解得 x=3.6.
所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.
(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
①若底边长为4cm，设腰长为xcm,
则有4+2x=18.
解得x=7.
例、用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
例题尝试
例、用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有2×4+x=18. 解得x=10.
因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以该情况不存在.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.
【点精】等腰三角形与三角形的三边关系结合时，若腰和底不明确，需要分类讨论，再检验是否符合三边关系.
下列长度的各组线段能否组成一个三角形？
(1)15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm
(3) 3cm、8cm、5cm (4) 4cm、5cm、6cm
素养考点 1
利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形
针对练习1
(1) 因为10cm+7cm>15cm， 所以这三条线段能组成一个三角形.
解：
(2) 因为4cm+5cm<10cm，所以这三条线段不能组成一个三角形.
(3) 因为3cm+5cm=8cm， 所以这三条线段不能组成一个三角形.
(4) 因为4cm+5cm>6cm，所以这三条线段能组成一个三角形.
合作探究2
想一想：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条. 为什么要这样做呢？
合作探究2
1、如图所示，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
不会改变，也就是说，三角形的三条边长确定后，三角形的形状就确定了.
2、三角形的稳定性有着广泛的应用 ,下图表示其中一些例子．你能再举一些例子吗
课堂练习
3.如图 ,一扇窗户打开后 ,用窗钩 BC 可将 其固定 ,这里 所运用的几何原理是( )
A.两点确定一条直线 B.两点之间,线段最短
C.三角形的稳定性 D.三角形的灵活性
如果等腰三角形的一边长是4cm，另一边长是9cm，则这个等腰三角形的周长=______________.
如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长=______________.
5， 5， 8
5， 8， 8
18cm或21cm
4，4，9
4，9，9
×
√
4+9+9=22
22cm
三边长
三边长
√
√
课堂练习
知识点1 三角形的三边关系
1.［教材P练习T 变式］下列每组数分别表示3根小木棒的长度
（单位： ），其中首尾顺次相接能围成一个三角形的是( )
D
A.5，7，12 B.7，7，15 C.6，9，16 D.6，8，12
2.［2024淮安中考］用一根小木棒与两根长度分别为， 的小木
棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是( )
B
A. B. C. D.
3.［2025唐山路南区期末］使用, 两根直铁丝做成一个三角形框架，尺
寸如图所示，若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段
的是( )
B
A.只有 B.只有 C.,都可以 D., 都不可以
4.［2025天津宁河区质检］如图，为估计池塘岸边， 两点的距离，小
明在池塘的一侧选取一点，测得，，则， 间
最大的整数的距离是____ .
17
三边关系
原理
两点之间线段最短
内容
两边之和大于第三边
两边之差小于第三边
|a-b|b,x为第三边）
应用
作业：
必做题：
选做题：
习题13.2 第1、第2、第5题
习题13.2 第6题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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