资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
副标题：探索三角形中的 “特殊线段”
背景图：左侧展示一个标注中线的三角形，中间是标注角平分线的三角形，右侧是标注高的三角形，直观呈现本节课的三种核心线段，明确学习主题。
幻灯片 2：学习目标
理解三角形中线、角平分线、高的定义，能准确描述三者的概念内涵。
掌握用尺规或三角尺画任意三角形（锐角、直角、钝角三角形）的中线、角平分线、高的方法，能规范完成作图。
了解三角形中线、角平分线、高的性质（如三条中线交于重心、三条角平分线交于内心、三条高交于垂心），能运用性质解决简单几何问题。
通过动手作图与性质探究，培养几何直观能力和逻辑推理能力，体会三种线段在三角形中的重要作用。
幻灯片 3：导入 —— 从 “特殊点” 引出 “特殊线段”
复习回顾：回顾三角形的基本构成要素（顶点、边、角），提问：在三角形中，连接顶点与对边、平分内角、垂直对边的线段分别是什么？引发学生对 “特殊线段” 的初步联想。
生活类比：展示三角形蛋糕，若要将蛋糕从一个顶点平均分成两份，该如何切？（引导学生想到 “中线”）；若要将一个内角平均分成两个角，又该如何切？（引出 “角平分线”）；若要从一个顶点向对边作一条垂直线段，这条线段有什么特点？（指向 “高”），通过生活场景类比，自然导入本节课三种线段的学习。
幻灯片 4：三角形的中线 —— 定义与画法
定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
关键词解析：“对边中点”（需先确定对边的中点，即把对边分成两条相等线段的点），中线是 “线段”，而非直线或射线。
画法演示（以锐角△ABC 画 BC 边上的中线为例）：
方法一：直尺测量法：用直尺测量 BC 边的长度，找到 BC 的中点 D（使 BD=DC），用铅笔标记 D 点；再用直尺连接顶点 A 和中点 D，线段 AD 即为△ABC 中 BC 边上的中线。
方法二：尺规作图法：以 B、C 为圆心，大于\(\frac{1}{2}\)BC 的长度为半径画弧，两弧分别交于 BC 两侧的两点（设为 M、N）；用直尺连接 M、N，直线 MN 与 BC 的交点即为中点 D；最后连接 A、D，线段 AD 即为 BC 边上的中线。
图形标注：在锐角△ABC 中完整标注中线 AD，明确 “BD=DC”，强调中线将对边分成相等的两段。
幻灯片 5：三角形的中线 —— 性质探究
探究实验：
画一个锐角△ABC，分别画出它的三条中线（AB 边上的中线 CE、AC 边上的中线 BF、BC 边上的中线 AD）。
观察三条中线的位置关系，发现三条中线相交于同一点，这个交点叫做三角形的重心（用 G 表示）。
用直尺测量重心 G 到顶点（如 A）和到对边中点（如 D）的距离，发现 AG=2GD，即重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍。
性质总结：
任意三角形有3 条中线，且 3 条中线交于一点（重心）。
重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍（重心分中线的比为 2:1）。
三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形（如中线 AD 将△ABC 分成△ABD 和△ACD，因 BD=DC 且两三角形的高相同，根据 “面积 = 底 × 高 ÷2”，可得 S△ABD=S△ACD），通过计算面积验证该性质。
直角、钝角三角形中线特点：分别画出直角三角形、钝角三角形的三条中线，观察发现：无论三角形类型如何，三条中线始终交于三角形内部的重心，且重心分中线的比仍为 2:1，强调性质的普遍性。
幻灯片 6：三角形的角平分线 —— 定义与画法
定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。
关键词解析：“内角的平分线”（将内角分成两个相等的角）、“与对边相交”（平分线需延伸至对边，形成有端点的线段），区别于 “角的平分线”（射线），三角形的角平分线是 “线段”。
画法演示（以锐角△ABC 画∠A 的角平分线为例）：
尺规作图法：以 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AB、AC 于两点（设为 P、Q）；再分别以 P、Q 为圆心，大于\(\frac{1}{2}\)PQ 的长度为半径画弧，两弧在∠A 内部交于一点（设为 R）；用直尺连接 A、R，射线 AR 与 BC 交于点 D，线段 AD 即为∠A 的角平分线。
验证方法：用量角器测量∠BAD 和∠CAD 的度数，确认∠BAD=∠CAD（均为∠A 的一半），确保角平分线画法正确。
图形标注：在锐角△ABC 中标注角平分线 AD，明确 “∠BAD=∠CAD”，突出角平分线平分内角的核心特征。
幻灯片 7：三角形的角平分线 —— 性质探究
探究实验：
画一个锐角△ABC，分别画出它的三条角平分线（∠A 的平分线 AD、∠B 的平分线 BE、∠C 的平分线 CF）。
观察三条角平分线的位置关系，发现三条角平分线相交于同一点，这个交点叫做三角形的内心（用 I 表示）。
过内心 I 分别作 AB、BC、AC 的垂线，测量三条垂线段的长度，发现三条垂线段长度相等（内心到三角形三条边的距离相等）。
性质总结：
任意三角形有3 条角平分线，且 3 条角平分线交于一点（内心）。
内心到三角形三条边的距离相等（这一性质将在后续 “全等三角形” 和 “圆” 的学习中进一步应用）。
直角、钝角三角形角平分线特点：分别画出直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，观察发现：无论三角形类型如何，三条角平分线始终交于三角形内部的内心，且内心到三边的距离仍相等，说明性质适用于所有三角形。
幻灯片 8：三角形的高 —— 定义与画法
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高（简称三角形的高）。
关键词解析：“对边所在直线”（若对边较短或三角形为钝角三角形，需延长对边再作垂线），高是 “线段”，垂足在对边或对边的延长线上。
画法演示（分三种三角形类型）：
锐角三角形（以△ABC 画 BC 边上的高为例）：用三角尺的一条直角边与 BC 边重合，另一条直角边过顶点 A，沿直角边画出垂线，垂足为 D，线段 AD 即为 BC 边上的高（高在三角形内部）。
直角三角形（以 Rt△ABC，∠C 为直角画高为例）：直角三角形的两条直角边（AC、BC）互为 “高”（AC 是 BC 边上的高，BC 是 AC 边上的高）；画斜边 AB 上的高时，用三角尺的直角边过 C 点垂直于 AB，垂足为 D，线段 CD 即为 AB 边上的高（两条直角边上的高与直角边重合，斜边上的高在三角形内部）。
钝角三角形（以△ABC，∠A 为钝角画高为例）：画∠A 对边 BC 上的高时，高在三角形内部（方法同锐角三角形）；画∠B 对边 AC 上的高时，需延长 AC 至 E，用三角尺过 B 点垂直于 AE，垂足为 E，线段 BE 即为 AC 边上的高（高在三角形外部）；画∠C 对边 AB 上的高时，延长 AB 至 F，过 C 点垂直于 AF，垂足为 F，线段 CF 即为 AB 边上的高（高在三角形外部）。
图形标注：在三种三角形中分别标注高，明确垂足位置（内部或外部），强调高的 “垂直” 特征。
幻灯片 9：三角形的高 —— 性质探究
探究实验：
分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，观察三条高的位置关系：
锐角三角形：三条高均在三角形内部，相交于一点（垂心）。
直角三角形：两条高与直角边重合，三条高交于直角顶点（垂心与直角顶点重合）。
钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在内部，三条高的延长线交于三角形外部的一点（垂心）。
性质总结：
任意三角形有3 条高，且 3 条高（或高的延长线）交于一点（垂心）。
垂心的位置与三角形类型相关：锐角三角形垂心在内部，直角三角形垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在外部。
易错提醒：画钝角三角形的高时，容易忘记延长对边，导致无法正确找到垂足，需重点强调 “对边所在直线” 的含义，确保高的画法准确。
幻灯片 10：三角形中线、角平分线、高的对比总结
对比表格：
线段类型
定义核心
画法关键步骤
交点名称
交点位置
特殊性质
中线
连接顶点与对边中点
找对边中点，连接顶点与中点
重心
均在三角形内部
分中线比 2:1，分三角形为等面积两部分
角平分线
平分内角且交对边于一点
尺规作角平分线，交对边得交点
内心
均在三角形内部
内心到三边距离相等
高
从顶点垂直对边所在直线
作垂线，确定垂足
垂心
锐角内、直角顶点、钝角外
高与对边（或延长线）垂直
图形对比：在同一个锐角三角形中，同时画出三条中线、三条角平分线、三条高，标注各自的交点（重心、内心、垂心），直观展示三者的区别与位置关系（注意：在非特殊三角形中，重心、内心、垂心通常是三个不同的点）。
幻灯片 11：课堂练习 —— 巩固三种线段的应用
练习 1：如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若 BC=8cm，求 BD 的长度；若 S△ABD=12cm ，求 S△ABC 的面积（答案：BD=4cm，S△ABC=24cm ）。
练习 2：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，画∠B 的角平分线交 AC 于 D，若∠ABC=60°，求∠ABD 和∠CBD 的度数（答案：均为 30°）。
练习 3：判断下列说法是否正确：
（1）三角形的三条中线交于一点，且该点在三角形内部（√）；
（2）钝角三角形的三条高均在三角形外部（×，一条在内部，两条在外部）；
（3）三角形的角平分线是射线（×，是线段）。
练习要求：学生独立完成练习，小组内交流解题思路，教师针对作图规范和性质应用进行点评。
幻灯片 12：课堂小结
核心知识：
三种线段的定义：中线（连顶点与对边中点）、角平分线（平分内角交对边）、高（垂直对边所在直线）。
三种线段的画法：中线可测中点或尺规找中点，角平分线用尺规作图，高需结合三角形类型判断是否延长对边。
三种线段的性质：三条中线交于重心（内，分比 2:1）、三条角平分线交于内心（内，到三边等距）、三条高交于垂心（位置随三角形类型变化）。
解题关键：作图时需规范步骤，应用性质时需结合三角形类型，明确交点位置与特殊关系。
幻灯片 13：课后作业
分别画一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形，在每个三角形中画出所有的中线、角平分线、高，标注交点名称（重心、内心、垂心），并观察不同三角形中交点的位置差异。
在△ABC 中，AD 是中线，AB=5cm，AC=7cm，求△ABD 和△ACD 的周长差（提示：周长差 =（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD），BD=CD）。
已知△ABC 的内心为 I，过 I 作 ID⊥AB 于 D，IE⊥BC 于 E，若 ID=2cm，求 IE 的长度；若△ABC 的面积为 15cm ，AB+BC+AC=15cm，求 ID 的长度（提示：利用内心到三边距离相等，将三角形分成三个小三角形计算面积）。
如图，在钝角△ABC 中，∠A 为钝角，画 BC 边上的高 AD，AB 边上的高 CE，标注垂足位置，并说明两条高的位置关系（是否相交，相交于三角形内部还是外部）。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
第十三章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、通过阅读课本掌握三角形的中线、角平分线的定义，高在由图叙述定义的过程中，培养严谨的语言表达能力.
2、通过分析定义掌握三角形的中线、角平分线，高的画法，发展学生的动手画图能力.
学习目标
新课导入
与三角形有关的线段，除了三条边，还有哪些
重要线段？
三角形的中线、角平分线、高.
把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，另一端从点B开始沿着BC向点C移动，观察移动过程中形成的无数条线段中有没有特殊位置的线段.你认为有哪些特殊位置？
导入新课
自主学习
自学课本第7,8页并学会下列问题：（时间：3分钟）
1、什么叫做三角形的中线？什么叫做三角形的重心？
2、什么叫做三角形的角平分线？
3、什么叫做三角形的高？
4、三角形的中线、角平分线、高分别有什么性质？
知识点1：三角形的中线（重点）
合作探究1：
什么是三角形的中线？
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的
中点D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的中线.
A
B
C
D
几何语言：
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴ BD = CD = BC
合作探究1：
【思考】分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
A
B
C
A
B
C
A
C
B
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
E
F
D
D
E
F
D
F
E
一个三角形有三条中线，这三条中线相交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心.
合作探究1：
【拓展】如图，AD为△ABC的中线，猜想△ABD与△ACD的面积关系.
A
B
C
D
因为AD为△ABC的中线，所以 BD = DC
所以△ABD与△ACD等底等高，
所以△ABD与△ACD的面积相等
【总结】三角形的中线将这个三角形分为面积相等的两个三角形
知识点2：三角形的角平分线（重点）
合作探究2：
什么是三角形的角平分线？
如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线.
A
B
C
D
几何语言：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD =∠CAD = ∠BAC.
合作探究2：
【思考】分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，并观察它们中线的交点有什么规律？
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
任何三角形都有三条角平分线
并且三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点.
注意：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线.
知识点3：三角形的高（重难点）
合作探究3：
什么是三角形的高线？
如图，从△ ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的高线.三角形的高线简称三角形的高.
A
B
C
D
几何语言：
∵AD是△ABC的边BC上的高.
∴AD⊥BC,垂足为D.
三角形的高是一条垂线段
合作探究3：
【思考】分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形三条高的位置
三角形 高及高的交点的位置 图示
锐角三角形 三条高都在三角形的内部，三条高的交点在三角形的内部. 　
直角三角形 有两条高恰好是三角形的两条
直角边，另一条高在三角形内
部，三条高的交点是直角顶点. 　
钝角三角形 有两条高落在三角形的外部，另一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高所在直线交于三角形外一点. 　
合作探究3：
归纳：
三角形三种重要线段的区别与联系
三角形的中线 三角形的 角平分线 三角形的高 条数 三条 三条 三条 交点 位置 在三角形内 在三角形内 锐角三角形 在三角形内
直角三角形 在直角顶点处
钝角三角形 没有交点
用途举例 (1)证线段相等； (2)证面积相等 证角相等 (1)证线段垂直 (2)证角相等 用途举例
复习巩固
1. 三角形的三边长分别为 2，7，a，则 a 的取值范围是________.
5 < a < 9
【教材P9习题13.2 第1题】
2. 长为 100 cm，70 cm，50 cm，30 cm 的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？
解：组成三角形的有(1)100 cm，70 cm，50 cm；(2)70 cm，50 cm，30 cm 两种选法.
因为只有这两种能满足“两边的和大于第三边”.
【教材P9习题13.2 第2题】
C
A
B
3. 对于下面每个三角形，分别过顶点 A 画出它的中线、角平分线和高.
解：如下图，AD，AE，AF 分别是△ABC 的中线，角平分线和高.
（1）
（2）
（3）
【教材P9习题13.2 第3题】
C
A
B
D
E
F
(F)
E
D
C
A
B
D
E
F
4. 如图，在△ABC中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高. 填空：
【教材P9习题13.2 第4题】
C
A
B
E
D
F
（1）BE = _____ = _____；
（2）∠BAD =_______= ______；
（3）∠AFB =_______= 90°；
（4）若 BC = 8，AF = 5，
则 S△ABC =______， S△ABE =______.
BC
CE
∠CAD
∠BAC
∠AFC
20
10
综合运用
5. 一个等腰三角形的一边长为 6，周长为 20，求其他两边的长.
解：①当腰长为 6 时，底边长为 20 – 6×2 = 8.
∵6 + 6 > 8，∴能组成三角形.
②当底边长为 6 时，腰长为 = 7.
∵ 6 + 7 > 7，∴能组成三角形.
故其他两边长分别为 6，8 或 7，7.
【教材P10习题13.2 第5题】
6.（1）已知等腰三角形的一边长为 5，一边长为 6，求它的周长；
（2）已知等腰三角形的一边长为 4，一边长为 9，求它的周长.
解:（1）16或17.
（2）22.
【教材P10习题13.2 第6题】
7. 如图，在△ABC 中，AB = 2，BC = 4， 则△ABC 的高 AD 与 CE 的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式）
【教材P10习题13.2 第7题】
解：∵S△ABC = BC·AD = AB·CE，
∴ BC·AD = AB·CE.
∴
A
B
E
D
C
拓广探索
8. 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，DE // AC，DE 交 AB 于点 E， DF // AB，DF 交 AC 于点 F. 图中∠1 与∠2 有什么关系？为什么？
【教材P10习题13.2 第8题】
A
B
E
D
C
F
1
2
A
B
E
D
C
F
1
2
解：∠1 = ∠2. 理由：
∵ DE // AC，∴∠1 = ∠DAC (两直线平行，内错角相等). 同理，∠2 =∠DAB.
又 AD 是△ABC 的角平分线，
∴∠DAC =∠DAB.
∴∠1 =∠2.
1. 用三角尺画的边 上的高线，下列三角尺的摆放
位置正确的是( )
C
A. B. C. D.
当堂检测：
（第2题）
2. 如图，在中，是高， 是
角平分线， 是中线.下列结论错误的
是( )
D
A. B.
C. D.
当堂检测：
3. ［2025开封月考］下列说法正确的是( )
C
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于一点；
③三角形的三条高都在三角形的内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分
A. ①②④ B. ②③④ C. ②④ D. ①②③④
当堂检测：
课堂小结
作业：
必做题：
选做题：
习题13.2 第3、第4题
习题13.2 第8题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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