资源简介

(共38张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：13.3.1.1 三角形内角和定理与应用
副标题：揭秘三角形内角的 “固定总和”
背景图：左侧展示三个不同类型的三角形（锐角、直角、钝角），每个三角形内角标注序号；右侧呈现 “180°” 的醒目标识，直观关联 “三角形内角和” 的核心结论。
幻灯片 2：学习目标
通过实验探究与逻辑证明，理解 “三角形内角和等于 180°” 的定理内涵，掌握定理的推导过程。
能运用三角形内角和定理计算三角形中未知角的度数，解决与角相关的几何问题。
了解三角形内角和定理的延伸性质（如直角三角形两锐角互余、多边形内角和与三角形内角和的关系），拓展几何认知。
经历 “猜想 — 验证 — 证明 — 应用” 的过程，培养动手操作能力、逻辑推理能力和数学应用意识。
幻灯片 3：导入 —— 从生活猜想引发探究
生活疑问：展示三角尺（含 30°、60°、90° 和 45°、45°、90° 两种），提问：这两种三角尺的三个内角之和分别是多少？（引导学生计算：30+60+90=180，45+45+90=180）。
提出猜想：是不是所有三角形的内角和都是 180°？展示锐角三角形、钝角三角形实物模型，邀请学生用量角器测量内角并计算总和，初步验证猜想，引出本节课核心 —— 三角形内角和定理。
幻灯片 4：三角形内角和定理的实验探究
实验材料：每组准备锐角三角形、直角三角形、钝角三角形纸片各 1 张、剪刀、量角器、铅笔、直尺。
实验方法（三种验证方式）：
测量求和法：
步骤：用量角器分别测量三角形三个内角的度数，记录数据并计算总和。
结果：各组汇报测量结果，发现多数三角形内角和接近 180°（因测量误差可能存在 ±2° 偏差）。
剪拼法：
步骤：将三角形纸片的三个内角剪下，把三个角的顶点重合，使它们的边顺次拼接在一起。
现象：三个角拼接后形成一个平角（180°），直观证明内角和为 180°。
注意：分别对锐角、直角、钝角三角形进行剪拼，确保结论适用于所有三角形类型。
平行线辅助法：
步骤：在三角形纸片的一边（如 BC 边）上取一点 D，过 D 作 AB 的平行线 DE，作 AC 的平行线 DF，观察形成的角与原三角形内角的关系。
现象：DE∥AB、DF∥AC，形成的平角∠EDF 与三角形三个内角相等，总和为 180°，从几何变换角度验证猜想。
实验结论：通过三种实验方法，初步得出 “三角形内角和等于 180°” 的结论，为后续理论证明奠定基础。
幻灯片 5：三角形内角和定理的理论证明
证明依据：利用 “平角的定义”（平角为 180°）和 “平行线的性质”（两直线平行，同位角相等、内错角相等）进行逻辑证明。
证明过程（标准证明方法）：
已知：如图，△ABC，求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°。
证明步骤：
过点 A 作直线 EF∥BC（构造平行线，为角的转化做准备）。
因为 EF∥BC（已作），所以∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等），∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
因为∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = ∠EAF（平角的定义），且∠EAF = 180°（平角为 180°）。
所以∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换），即△ABC 的内角和为 180°。
图形标注：在证明图中清晰标注平行线 EF、内错角∠EAB 与∠B、∠FAC 与∠C，以及平角∠EAF，帮助学生理解角的转化过程。
其他证明思路（拓展）：
延长三角形的一边（如延长 BC 至 D），过 C 作 CE∥AB，利用 “两直线平行，同位角相等（∠ECD=∠B）、内错角相等（∠ACE=∠A）”，结合平角∠ACD=180°，证明内角和为 180°。
鼓励学生思考不同证明方法，培养逻辑思维的灵活性。
幻灯片 6：三角形内角和定理的核心性质
定理内容：任意三角形的三个内角的和等于 180°，用数学符号表示：在△ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。
延伸性质（结合三角形类型）：
直角三角形：直角三角形的两个锐角互余（即两个锐角之和为 90°）。
证明：设 Rt△ABC 中，∠C=90°，由内角和定理得∠A + ∠B + 90°=180°，故∠A + ∠B=90°。
应用：若已知直角三角形一个锐角的度数，可直接求出另一个锐角（如∠A=35°，则∠B=90°-35°=55°）。
等腰三角形：等腰三角形的两个底角相等，结合内角和定理可快速计算顶角或底角（如等腰三角形顶角为 100°，则底角 =(180°-100°)÷2=40°）。
钝角三角形：钝角三角形的两个锐角之和小于 90°（因钝角大于 90°，故两个锐角和 = 180°- 钝角＜90°）。
性质总结：三角形内角和定理是解决三角形角的计算问题的 “核心工具”，需结合三角形类型灵活运用。
幻灯片 7：三角形内角和定理的应用 1—— 求未知角的度数
例题 1：在△ABC 中，已知∠A=50°，∠B=60°，求∠C 的度数。
解答：由三角形内角和定理得∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°。
例题 2：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=2∠B，求∠A 和∠B 的度数。
解答：设∠B=x，则∠A=2x，由直角三角形两锐角互余得 x + 2x=90°，解得 x=30°，故∠A=60°，∠B=30°。
例题 3：在等腰△ABC 中，AB=AC，∠B=70°，求∠A 的度数。
解答：因为 AB=AC，所以∠B=∠C=70°（等腰三角形两底角相等），由内角和定理得∠A=180°-70°-70°=40°。
解题步骤总结：
明确已知角的度数及三角形类型（直角、等腰等）。
利用内角和定理或延伸性质（如直角互余、等腰底角相等）建立等式。
求解未知角的度数，验证结果是否符合三角形内角的取值范围（每个角大于 0° 且小于 180°）。
幻灯片 8：三角形内角和定理的应用 2—— 判断三角形类型
例题 4：已知一个三角形的三个内角度数比为 2:3:5，判断该三角形的类型。
解答：设三个内角分别为 2x、3x、5x，由内角和定理得 2x + 3x + 5x=180°，解得 x=18°，则三个角分别为 36°、54°、90°，故该三角形为直角三角形。
例题 5：一个三角形的一个内角为 100°，另一个内角为 30°，判断该三角形的类型。
解答：第三个内角 = 180°-100°-30°=50°，因有一个角大于 90°，故该三角形为钝角三角形。
判断方法：通过内角和定理求出所有内角的度数，再根据 “锐角三角形（三个角＜90°）、直角三角形（一个角 = 90°）、钝角三角形（一个角＞90°）” 的定义判断类型。
幻灯片 9：三角形内角和定理的拓展 —— 多边形内角和初步
关联思考：三角形是最简单的多边形，能否利用三角形内角和定理推导多边形的内角和？
推导过程（以四边形为例）：
连接四边形的一条对角线（如连接四边形 ABCD 的 AC），将四边形分成 2 个三角形（△ABC 和△ADC）。
每个三角形内角和为 180°，故四边形内角和 = 2×180°=360°。
拓展延伸：
五边形：连接两条对角线，分成 3 个三角形，内角和 = 3×180°=540°。
n 边形：从一个顶点出发可作 (n-3) 条对角线，分成 (n-2) 个三角形，故 n 边形内角和 =(n-2)×180°（初中阶段暂作初步介绍，为后续学习铺垫）。
应用示例：求正六边形（各边相等、各角相等）的一个内角的度数，解答：正六边形内角和 =(6-2)×180°=720°，一个内角 = 720°÷6=120°。
幻灯片 10：课堂练习 —— 巩固定理应用
练习 1：在△ABC 中，∠A=45°，∠B=∠C，求∠C 的度数（答案：67.5°）。
练习 2：在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A 比∠C 大 20°，求∠A 和∠C 的度数（答案：∠A=55°，∠C=35°）。
练习 3：一个三角形的三个内角中，最大角是最小角的 3 倍，另一个角是最小角的 2 倍，判断该三角形的类型（答案：直角三角形，三个角分别为 30°、60°、90°）。
练习 4：求五边形的内角和，并计算正五边形一个内角的度数（答案：内角和 540°，一个内角 108°）。
练习要求：学生独立完成，小组内核对答案并交流解题思路，教师针对易错点（如等腰三角形顶角与底角混淆、直角三角形互余性质遗忘）进行讲解。
幻灯片 11：课堂小结
核心知识：
三角形内角和定理：任意三角形内角和为 180°，通过实验（测量、剪拼）和理论证明（平行线辅助）验证。
延伸性质：直角三角形两锐角互余，等腰三角形底角相等，钝角三角形两锐角和小于 90°。
应用场景：求未知角的度数、判断三角形类型、初步推导多边形内角和。
解题方法：利用定理建立等式，结合三角形类型（直角、等腰等）简化计算，注意验证结果的合理性。
幻灯片 12：课后作业
一个等腰三角形的周长为 20cm，其中一个内角为 80°，求另外两个内角的度数（提示：分 80° 为顶角或底角两种情况讨论）。
在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，AB=6cm，求 BC 的长度（提示：先判断三角形类型，再利用直角三角形特殊角的性质求解）。
如图，在△ABC 中，∠B=50°，∠C=60°，AD 是∠BAC 的角平分线，求∠BAD 和∠ADC 的度数（提示：先求∠BAC，再用角平分线性质，最后在△ADC 中用内角和定理）。
查阅资料，了解除本节课介绍的方法外，还有哪些证明三角形内角和定理的方法，选择一种整理成证明过程，并与同学分享。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.3.1.1内角和定理与应用
第十三章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、理解并掌握三角形的内角和定理；
2、能应用三角形内角和定理进行角度的计算；
重点
重难点
学习目标
新课导入
问1：在小学你学到了有关三角形内角和的那个知识？
问2：我们如何验证这个结论？
三角形的内角和180
1
测量
2
剪拼方法
3
折叠方法
(有误差)
(只能对有限个三角形使用这些方法)
自主学习
阅读课本第11、第12页内容，学会下列问题：（时间：3分钟）
1、如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和？
2、利用你的剪拼方法怎么证明三角形的内角和是180 ？
3、如何运用三角形的内角和定理进行角的计算？
合作探究
命题证明
三角形三个内角的和等于180°.
画图写出
已知求证
已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
A
B
C
证明过程
将三角形的任意两个内角剪下，试着拼拼看.
你有什么发现？
合作探究
如图所示，∠B 和∠C 分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点 A 的直线 l，直线 l 与边BC有什么位置关系？
B
B
C
C
A
l
直线 l 与边 BC 平行
你能由这个图发现证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？
合作探究
已知：△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证法：过点A作l∥BC，
∵ l ∥BC ，
∴∠2 = ∠4，∠3 = ∠5
（两直线平行，内错角相等） ．
∵∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义），
∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°（等量代换）．
A
B
C
2
4
1
5
3
　 l
即∠A+∠B+∠C=180°.
合作探究
合作探究
B
B
C
A
A
l
探究：从下图给出的操作过程中，类比上一个证明过程，
你能发现其他证明的思路吗？
A
B
C
l
1
2
3
4
5
如何添加辅助线？
说说证明过程.
A
B
C
合作归纳新知
三角形的内角和定理
三角形的内角和等于180°.
几何语言：
在△ABC 中，
∠A +∠B +∠C = 180°
如图，在△ABC中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数
C
B
D
A
解：∵∠BAC = 40°，AD是△ABC的角平分线，
在△ABD中，
∠ADB=180°- ∠B - ∠BAD
=180°-75°-20°= 85°
∴∠BAD = ∠BAC =20°
例题尝试
课堂检测
1、如图，说出各图中∠1 的度数.　　
30°
105°
1
（2）
80°
50°
1
（1）
22°
1
（3）
50°
45°
68°
（1）∠1 = 180°– 50°– 80° = 50°
（2）∠1 = 180°– 105°– 30°= 45°
（3）∠1 = 180°– 22°– 90° = 68°
解：
2、如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
北
北
C
A
B
D
E
分析：∠ACB是△ABC的一个内角，
求∠ACB需先求 ∠CAB 、∠ABC.
课堂检测
作 业：
必做题：
选做题：
课本第13页 练习题1、2
课本第17页 第7题
第十三章 三角形 13.3.1
三角形的内角和
第二课时 直角三角形的性质与判定
重点
重难点
学习目标
1、理解直角三角形的定义，会用符号表示直角三角形的
2、探索并掌握直角三角形的性质定理和判定方法
3、能够灵活运用直角三角形的性质和判定解决相关的角度计算、推理证明等问题。
重难点
新课导入
1、哪位同学回顾一下上节课我们学习的三角形的内角和定理？
答：三角形的内角和等于180°
2、三角形按“角”怎么分类的？
答：三角形按“角”可分为：
·锐角三角形：三个角都小于90°的三角形
·直角三角形：有一个角等于90°的三角形（其余两个角为锐角）
·钝角三角形：有一个角大于90°且小于180°的三角形（其余两个角为锐角）
3、那一类三角形有特殊角度？
答：直角三角形，特殊角度90°
自主学习
自学课本第13,14页并学会下列内容：（时间：3分钟）
（1）直角三角形的定义
（2）直角三角形的符号表示
（3）直角三角形的性质、判定及其语言描述
如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度
30°+60°=90°
45°+45°=90°
直角三角形的性质
知识点 1
问题1：
合作探究1
如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
在直角三角形ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得 ∠A +∠B+∠C=180°，
即 ∠A +∠B=90°.
由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
问题2：
合作探究1
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．(直角三角形的性质定理）　　
几何语言：
在Rt△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
合作归纳
例2 如图， ∠C=∠D=90 °， AD， BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °– ∠AEC.
在Rt△BDE中，
∠DBE=90 °– ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
应用解题
有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？
直角三角形的判定
知识点 2
A
B
C
合作探究2
在△ABC中，
因为 ∠A +∠B +∠C=180°，
又 ∠A +∠B=90°，
所以∠C=90°.
即△ABC是直角三角形.
由此，你可以得到直角三角形的判定方法吗？
A
B
C
几何语言：
在△ABC 中，
∵　∠A +∠B =90°，
∴　△ABC 是直角三角形．
有两个角互余的三角形是直角三角形.　(直角三角形的判定定理）　　
合作归纳
教材P13练习 第1题
1. 如图，从 A 处观测 C 处的仰角 ∠CAD = 30°，从 B 处观测 C 处的仰角 ∠CBD = 45°. 从 C 处观测 A，B 两处的视角∠ACB 是多少度？
C
A
B
D
随堂演练
教材P13练习 第1题
C
A
B
D
解：在△ABC 中，
∠ACD = 180° – (∠BAD +∠CAD)
= 180° – (30° + 90°) = 60° .
在△BCD 中，
∠BCD = 180° – (∠CBD +∠D)
= 180° – (45° + 90°) = 45° .
∴∠ACB =∠ACD –∠BCD = 60° – 45° = 15° .
随堂演练
教材P13练习 第2题
2. 如图，在△ABC 中，∠A = 40°，求∠B + ∠C + ∠ADE + ∠AED 的度数.
C
A
B
D
E
随堂演练
教材P13练习 第2题
C
A
B
D
E
解：在△ADE 中，
∠ACD +∠AED = 180° –∠A
= 180° – 40° = 140° .
在△ABC 中，
∠B +∠C = 180° – ∠A
= 180° – 40° = 140° .
∴ ∠B + ∠C + ∠ADE + ∠AED = 140° + 140° = 280° .
知识点1 三角形内角和定理
1.如图，在中， ， ，则 的度数为( )
C
（第1题）
A. B. C. D.
（第2题）
2.［2025唐山月考］如图，已知 ，
， ，则 的度数为
( )
A
A. B. C. D.
3.［2024长沙中考］如图，在 中，
， ，，则 的
度数为( )
C
A. B. C. D.
4.在中， ，，则 _____.
5. ［教材 探究变式］数学课上，同学们通过撕、拼
的方法，探索、验证三角形的内角和等于 .下面是小彬的课堂笔记，
请阅读操作方法，补全证明过程.
如图①，的三个内角分别为，，.将和 撕下，按图
②的方式摆拼，使和的顶点均与的顶点重合，的一边与
重合，的一边与 重合.
_________________________________________________________________________________________________
证明：由操作可知 ，
（________________________）.
同理，， ____//____.
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 点，，
在同一条直线上，
_____ ，
即________ ______.
内错角相等，两直线平行
180
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
作业：
必做题：
选做题：
习题13.3 第3、第4题
习题13.2 第10题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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