资源简介

(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：13.3.2 三角形的外角
副标题：探索三角形外部角的特性与应用
背景图：左侧展示一个标注内角的锐角三角形，右侧延长三角形的一边，标注出对应的外角，用不同颜色区分内角与外角（内角为蓝色，外角为红色），直观呈现 “内角” 与 “外角” 的关联与区别。
幻灯片 2：学习目标
理解三角形外角的定义，能准确识别三角形的外角，明确外角与相邻内角的位置关系。
通过实验探究与逻辑证明，掌握三角形外角的性质（外角等于不相邻两内角之和、外角大于不相邻内角），能推导性质的合理性。
能运用三角形外角的性质计算未知角的度数，解决与外角相关的几何问题，提升角度推理能力。
经历 “定义识别 — 性质探究 — 应用拓展” 的过程，培养几何直观能力和逻辑思维的严谨性。
幻灯片 3：导入 —— 从 “内角延伸” 引出外角
复习回顾：回顾三角形内角和定理（内角和为 180°），展示△ABC，标注三个内角∠A、∠B、∠C，提问：若延长△ABC 的一边（如 BC 至 D），形成的∠ACD 与三角形的内角有什么关系？
生活实例：展示生活中的三角形外角场景（如斜拉桥的钢索与桥塔形成的角、自行车车架延伸部分形成的角），引导学生观察 “三角形一边延长后形成的新角”，引出本节课核心 —— 三角形的外角。
幻灯片 4：三角形外角的定义与识别
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
关键词解析：“一边的延长线”（需从三角形的一个顶点出发，延长与该顶点相邻的一条边）、“组成的角”（外角的顶点与三角形的顶点重合，一边为三角形的边，另一边为延长线）。
图形标注与特征：
以△ABC 为例，延长 BC 至 D，形成∠ACD，标注：
顶点：∠ACD 的顶点为 C，与△ABC 的顶点 C 重合；
边：一边为△ABC 的边 AC，另一边为 BC 的延长线 CD；
相邻内角：∠ACD 与△ABC 的内角∠ACB 相邻（有公共边 AC，且∠ACB + ∠ACD = 180°，互为邻补角）；
不相邻内角：∠ACD 与△ABC 的内角∠A、∠B 不相邻（无公共边，位于三角形内部，与外角分别在 AC 两侧）。
外角数量：一个三角形有 6 个外角（每个内角对应 2 个外角，3 个内角共 6 个），展示△ABC 的 6 个外角（分别延长三边，标注对应的外角），说明 “每个顶点处的两个外角是对顶角，大小相等”，因此研究时通常每个顶点取一个外角，共 3 个主要外角。
识别练习：展示含多个角的图形（如△ABC 延长 BC 至 D，延长 AC 至 E），让学生指出哪些是△ABC 的外角（如∠ACD、∠BCE 是，∠ADE 不是），强化定义理解。
幻灯片 5：三角形外角的性质探究（实验验证）
实验材料：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形纸片各 1 张，量角器、铅笔、直尺。
实验步骤：
任选一个三角形（如锐角△ABC），延长 BC 至 D，确定外角∠ACD。
用量角器测量∠ACD（外角）、∠A（不相邻内角 1）、∠B（不相邻内角 2）、∠ACB（相邻内角）的度数，记录数据。
计算 “∠A + ∠B” 的度数，对比与∠ACD 的关系；同时观察∠ACD 与∠A、∠ACD 与∠B 的大小关系。
更换直角三角形、钝角三角形重复实验，记录多组数据。
实验数据示例（表格形式）：
三角形类型
外角∠ACD（°）
不相邻内角∠A（°）
不相邻内角∠B（°）
∠A + ∠B（°）
∠ACD 与∠A + ∠B 的关系
∠ACD 与∠A、∠B 的大小关系
锐角三角形
120
50
70
120
相等
∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B
直角三角形
135
90
45
135
相等
∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B
钝角三角形
110
100
10
110
相等
∠ACD＞∠A（否），∠ACD＞∠B（是）
初步结论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和（∠ACD = ∠A + ∠B）；
三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角（∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B，钝角三角形中需注意：若不相邻内角为钝角，外角可能小于该钝角，需强调 “不相邻的锐角”）。
幻灯片 6：三角形外角性质的理论证明
证明依据：利用 “三角形内角和定理”（内角和为 180°）和 “邻补角的定义”（邻补角和为 180°）进行逻辑证明。
性质 1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
已知：如图，△ABC，延长 BC 至 D，∠ACD 是△ABC 的外角，求证：∠ACD = ∠A + ∠B。
证明步骤：
在△ABC 中，由三角形内角和定理得：∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和为 180°）；
因为∠ACB 与∠ACD 是邻补角（BC 延长至 D，形成平角），所以∠ACB + ∠ACD = 180°（邻补角的定义）；
由 1、2 可得：∠A + ∠B + ∠ACB = ∠ACB + ∠ACD（等量代换）；
两边同时减去∠ACB，得：∠ACD = ∠A + ∠B（等式性质）。
图形标注：在证明图中清晰标注∠ACB（相邻内角）、∠ACD（外角）、∠A 和∠B（不相邻内角），突出 “邻补角” 与 “内角和” 的关联。
性质 2：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角
证明：由性质 1“∠ACD = ∠A + ∠B” 可知：
∠ACD = ∠A + ∠B，且∠B＞0°，所以∠ACD＞∠A（一个角加上正数后大于原角）；
同理，∠ACD = ∠A + ∠B，且∠A＞0°，所以∠ACD＞∠B；
因此，三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角。
特殊说明：若不相邻内角为钝角（如△ABC 中∠A=100°，∠B=10°，外角∠ACD=110°），则∠ACD（110°）＞∠B（10°），但∠ACD（110°）＜∠A（100° 不成立，实际∠A=100°，∠ACD=110°＞100°），需纠正 “钝角三角形中外角与不相邻钝角的关系”—— 即使不相邻内角为钝角，外角仍大于该钝角（因∠A + ∠B = ∠ACD，∠B＞0°，故∠ACD = ∠A + 正数＞∠A），之前实验数据需重新验证，避免误解。
幻灯片 7：三角形外角的重要推论
推论 1：三角形的一个外角与它相邻的内角互补（即和为 180°），由邻补角定义直接可得，可用于已知外角求相邻内角（如∠ACD=120°，则相邻内角∠ACB=180°-120°=60°）。
推论 2：三角形的三个外角和为 360°
推导过程：设△ABC 的三个外角分别为∠1（∠A 的外角）、∠2（∠B 的外角）、∠3（∠C 的外角），则：
∠1 = ∠B + ∠C（性质 1）；
∠2 = ∠A + ∠C（性质 1）；
∠3 = ∠A + ∠B（性质 1）；
三式相加得：∠1 + ∠2 + ∠3 = 2 (∠A + ∠B + ∠C)；
由内角和定理∠A + ∠B + ∠C=180°，故∠1 + ∠2 + ∠3=2×180°=360°。
图形辅助：展示△ABC 的三个外角，用箭头标注外角的位置，直观呈现 “三个外角围绕三角形一周，和为 360°”，类比 “周角为 360°” 帮助理解。
幻灯片 8：三角形外角性质的应用 1—— 求未知角的度数
例题 1：如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=40°，延长 BC 至 D，求∠ACD 的度数。
解答：由外角性质 1“∠ACD = ∠A + ∠B” 得，∠ACD=60°+40°=100°（或用邻补角：先求∠ACB=180°-60°-40°=80°，再求∠ACD=180°-80°=100°，两种方法对比，凸显外角性质的便捷性）。
例题 2：如图，在△ABC 中，∠ACD 是外角，∠ACD=110°，∠A=50°，求∠B 的度数。
解答：由外角性质 1“∠ACD = ∠A + ∠B” 得，∠B=∠ACD - ∠A=110°-50°=60°。
例题 3：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠ACB=110°，延长 AC 至 E，求∠BCE 的度数及∠BAE 的度数（提示：∠BAE 是∠A 的外角）。
解答：
∠BCE 与∠ACB 是邻补角，故∠BCE=180°-110°=70°；
先求∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-30°-110°=40°，∠BAE 是∠A 的外角，故∠BAE=180°-40°=140°（或用外角性质：∠BAE=∠B + ∠ACB=30°+110°=140°，直接计算更快捷）。
解题技巧：优先观察图形中的外角，利用 “外角 = 不相邻两内角和” 直接计算，避免反复使用内角和定理，简化解题步骤。
幻灯片 9：三角形外角性质的应用 2—— 比较角的大小
例题 4：如图，在△ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，比较∠ADB 与∠B 的大小，并说明理由。
解答：∠ADB＞∠B，理由：∠ADB 是△ABD 的一个外角（或△ADC 的外角，需明确图形结构，假设 D 在 BC 延长线上，连接 AD，则∠ADB 是△ABD 中无直接相邻内角，实际应为∠ADC 是△ABD 的外角，∠ADC=∠B + ∠BAD，故∠ADC＞∠B，即∠ADB＞∠B）。
例题 5：如图，在△ABC 中，∠1 是∠A 的外角，∠2 是∠B 的外角，∠3 是∠C 的外角，比较∠1、∠2、∠3 的大小（已知∠A＞∠B＞∠C）。
解答：由外角性质 1，∠1=∠B + ∠C，∠2=∠A + ∠C，∠3=∠A + ∠B；
因为∠A＞∠B＞∠C，所以∠A + ∠B＞∠A + ∠C＞∠B + ∠C，即∠3＞∠2＞∠1。
比较方法：利用外角性质将外角转化为 “不相邻两内角和”，结合已知内角的大小关系，推导外角的大小关系。
幻灯片 10：三角形外角性质的应用 3—— 判断三角形类型
例题 6：已知△ABC 的一个外角为 120°，与该外角相邻的内角为 60°，判断△ABC 的类型。
解答：与外角相邻的内角为 60°，则该内角的两个不相邻内角和为 120°（外角性质），但仅知一个内角为 60°，无法直接判断类型（可能为锐角三角形，如 60°、50°、70°；也可能为直角三角形，如 60°、30°、90°；还可能为钝角三角形，如 60°、20°、100°），需补充条件。
例题 7：已知△ABC 的一个外角为 90°，判断△ABC 的类型。
解答：外角为 90°，则与该外角相邻的内角为 180°-90°=90°，故△ABC 为直角三角形。
判断思路：若已知外角为直角或钝角，可先求出相邻内角的度数，再结合内角和定理判断三角形类型；若仅知外角为锐角，相邻内角为钝角，可直接判断为钝角三角形。
幻灯片 11：课堂练习 —— 巩固外角性质应用
练习 1：在△ABC 中，∠A=55°，∠B=45°，延长 AB 至 E，求∠CBE 的度数（答案：100°，提示：∠CBE 是∠B 的外角，∠CBE=∠A + ∠ACB，先求∠ACB=80°，再计算或直接用∠CBE=180°-∠B=135°？需纠正，∠CBE 是△ABC 的外角，顶点在 B，延长 AB 至 E，故∠CBE=∠A + ∠ACB，∠ACB=180°-55°-45°=80°，故∠CBE=55°+80°=135°，正确）。
练习 2：如图，在△ABC 中，∠ACD=130°，∠A=70°，求∠B 和∠ACB 的度数（答案：∠B=60°，∠ACB=50°）。
练习 3：如图，在△ABC 中，D 是 AB 上一点，延长 CD 至 E，∠ADE=120°，∠ACD=20°，求∠B 的度数（提示：∠ADE 是△ACD 的外角，先求∠A，再用内角和求∠B，答案：∠A=120°-20°=100°，若已知∠ACB=30°，则∠B=180°-100°-30°=50°，需补充∠ACB 条件，或调整图形）。
练习要求：学生独立完成，小组内交流解题思路，教师针对 “外角识别错误”“性质应用混淆” 等问题进行讲解，强调图形分析的重要性。
幻灯片 12：课堂小结
核心知识：
外角定义：三角形一边与另一边延长线组成的角，一个三角形有 6 个外角（3 对相等的对顶角）。
外角性质：
外角 = 与它不相邻的两个内角的和；
外角＞与它不相邻的任意一个内角；
外角与相邻内角互补（和为 180°）；
三个外角和为 360°。
应用场景：求未知角的度数、比较角的大小、判断三角形类型，简化角度推理过程。
解题关键：准确识别外角（明确顶点、边的延长方向），优先利用外角性质解题，避免冗余步骤。
幻灯片 13：课后作业
如图，在△ABC 中，∠B=40°，∠C=60°，D 是
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.3.2 三角形的外角
第十三章 三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、通过阅读课本理解三角形外角的概念，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，培养学生的模型观念.
2、通过学生在操作活动中探索三角形内角和定理的推论，能进行合情推理，培养学生对所学知识的运用能力.
学习目标
1、在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
48 °
2、如下图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,则∠ACB= ，∠ACD= .
A
B
C
D
50 °
130°
3、什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，
它们的和是180 °.
新课导入
自主学习
阅读课本第15页内容，学会下列问题：（时间：4分钟）
1、什么叫做三角形的外角？
2、三角形内角和定理的推论是什么？
3、如何得出三角形内角和定理的推论？
4、如何运用三角形内角和定理的推论进行角的计算？
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
探究实例
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
探究实例
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角.
C
B
A
D
归纳新知
如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
C
B
A
D
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题1：
合作探究1
问题2：
如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？
在三角形的每个顶点处有多少个外角？
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
在三角形每个顶点处都有两个外角.
A
B
C
画出△ABC的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
画一画
合作探究
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
C
B
A
D
合作探究
怎么识别三角形的外角？
F
A
B
C
D
E
如图，∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
针对练习1
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∠BCD与∠ACB互补.
合作探究2
如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
得出什么结论结论？
合作探究2
如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
几何语言：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角.
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
归纳新知
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
合作探究
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3，
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
学生尝试
如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80 °
60 °
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50 °
32 °
(2)
∠1=40 °， ∠2=140 °
∠1=18 °， ∠2=130 °
针对练习2
复习巩固
1. 求出下列各图形中的 x 的值：
【教材P16习题13.3 第1题】
（1）
（2）
解:（1）∵x° = 180° – 39° – 108° = 33°，∴x = 33.
（2）∵x° + x° + x° = 180° ，∴x = 60.
（3）
（4）
（3）∵x° + x° + 72° = 180° ，
∴2x = 180 – 72 = 108. ∴x = 54.
（4）∵x° + (x – 36)° + (x + 36)° = 180° ，
∴x = 60.
2.（1）一个三角形最多有几个直角？为什么？
（2）一个三角形最多有几个钝角？为什么？
（3）直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？
【教材P16习题13.3 第2题】
解:（1）一个三角形最多有一个直角. 若一个三角形有两个直角，则不能满足三角形的内角和定理.
（2）一个三角形最多有一个钝角. 若一个三角形有两个钝角，则不能满足三角形的内角和定理.
（3）不可以. 若一个直角三角形的外角是锐角，则在一个三角形中有一个直角和一个钝角，则不能满足三角形的内角和定理.
3. 在△ABC 中，∠B 比∠A 大 10°，∠C 比∠B 大 10°. 求△ABC 各内角的度数.
【教材P16习题13.3 第3题】
解：由题意可知∠B =∠A + 10°，
∠C =∠B + 10° =∠A + 20°，
又∠A +∠B +∠C = 180°，
∴∠A +∠A + 10° +∠A + 20°= 180°，
即 3∠A + 30°= 180°. ∴∠A = 50°，
∠B =∠A + 10° = 60°，∠C =∠B + 10° =70°.
4. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，∠1 =∠2，∠C = 65°. 求∠BAC 的度数.
【教材P16习题13.3 第4题】
解：∵ AD ⊥ BC，∴∠ADB =∠ADC = 90°.
∵∠1 =∠2，
∴∠2 =∠1 = ×(180° ∠ADB)
= × 90° = 45°.
∴∠BAC = 180° (∠2 +∠C)
= 180° (45° + 65°) = 70°.
综合运用
5. 如图，AB // CD，∠A = 40°，∠D = 45°. 求∠1 和∠2 的度数.
【教材P17习题13.3 第5题】
解：∵ AB // CD，
∴ ∠1 = ∠A = 40°.
∴∠2 =∠1 +∠D
= 40° + 45°
= 85°.
6. 如图，AB // CD，AE 与 CD 相交于点 O，∠A = 45°，∠C =∠E. 求∠C 的度数.
【教材P17习题13.3 第6题】
解：∵ AB // CD，∴ ∠DOE =∠A = 45°.
又∠DOE =∠C +∠E，且∠C =∠E，
∴∠C = ∠DOE = ×45°= 22.5°.
7. 如图，B 处在 A 处的南偏西 45°方向，C 处在 A 处的南偏东 15°方向，C 处在 B 处的北偏东 80°方向. 求∠ACB 的度数.
【教材P17习题13.3 第7题】
解：如图，设点 B 的正北方向的射线为 BD，点 A 的正南方向的射线为 AE.
由题意可知 ∠BAE = 45°，∠EAC = 15°，∠DBC = 80°，
∴∠BAC = 45° + 15° = 60°.
由 DB // AE 可得∠DBA =∠BAE = 45°，
∴∠ABC =∠DBC ∠DBA = 80° 45° = 35°.
在 △ABC 中，∠ACB = 180° ∠BAC ∠ABC = 180° 60° 35° = 85°.
D
E
作 业：
必做题：
选做题：
课本第17页 习题13.3第 5、6 题
课本第17页 第11题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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