资源简介

(共44张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：14.2.1 用 “SAS” 判定三角形全等
副标题：探索 “边角边” 的全等判定法则
背景图：左侧展示两个三角形，标注出两组对应边相等且夹角相等（如 AB=DE，∠B=∠E，BC=EF）；右侧展示用刻度尺和量角器测量对应边、对应角的场景，直观关联 “SAS” 的核心要素 ——“两边及其夹角对应相等”。
幻灯片 2：学习目标
理解 “SAS”（边角边）判定定理的内涵，明确 “两边及其夹角对应相等” 的具体条件。
通过实验操作与逻辑推理，验证 “SAS” 判定定理的正确性，能区分 “夹角” 与 “非夹角” 的差异。
能运用 “SAS” 判定定理证明两个三角形全等，并解决与全等相关的线段、角度关系问题。
经历 “猜想 — 验证 — 应用” 的过程，培养几何推理能力和严谨的数学思维，体会判定定理的实用价值。
幻灯片 3：导入 —— 从 “全等性质” 反向思考判定
复习回顾：回顾全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等），提问：若两个三角形全等，需满足 6 组对应元素（3 组边、3 组角）都相等，但实际判定时是否需要逐一验证所有元素？能否通过较少的元素对应相等来判定全等？
实验猜想：展示两个三角形模型，已知一组边相等（如 AB=DE），提问：仅一组边相等能否判定全等？（学生观察发现不能）；再增加一组边相等（如 BC=EF），提问：两组边相等能否判定全等？（展示 “SSA” 反例：两边相等但夹角不同，三角形形状不同，不能全等）；最后补充 “夹角相等”（如∠B=∠E），引导学生猜想：“两边及其夹角对应相等” 能否判定三角形全等？引出本节课核心 ——“SAS” 判定定理。
幻灯片 4：“SAS” 判定定理的实验验证
实验材料：每组准备直尺、量角器、硬纸板、剪刀。
实验步骤：
画三角形 1：在硬纸板上画△ABC，使 AB=5cm，∠B=60°，BC=4cm（明确 “两边 AB、BC 及其夹角∠B”）。
画三角形 2：再画△DEF，使 DE=5cm，∠E=60°，EF=4cm（确保 DE=AB，∠E=∠B，EF=BC，即 “两边及其夹角对应相等”）。
剪拼对比：将画好的两个三角形剪下，尝试将△DEF 叠放到△ABC 上，观察是否完全重合。
实验现象：△DEF 与△ABC 能够完全重合，说明满足 “两边及其夹角对应相等” 的两个三角形全等。
反例验证（区分 “夹角” 与 “非夹角”）：
画△MNP，使 MN=5cm，∠N=30°（非 AB、BC 的夹角），NP=4cm。
将△MNP 与△ABC 叠放，发现无法完全重合，说明 “两边及其中一边的对角对应相等（SSA）” 不能判定全等。
实验结论：只有 “两边及其夹角对应相等” 的两个三角形才能全等，即 “SAS” 判定定理的雏形。
幻灯片 5：“SAS” 判定定理的规范表述
定理内容：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “边角边” 或 “SAS”）。
关键词解析：
“两边”：指两个三角形中对应的两条边（如△ABC 的 AB 与△DEF 的 DE，△ABC 的 BC 与△DEF 的 EF）。
“夹角”：指两条对应边的公共夹角（如 AB 与 BC 的夹角∠B，DE 与 EF 的夹角∠E），必须是 “两边之间的角”，而非 “一边的对角”。
符号表示：
已知：在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF。
结论：△ABC ≌ △DEF（SAS）。
图形标注：在两个三角形中，用相同的标记标注相等的边（如 AB 与 DE 画 “└”，BC 与 EF 画 “┘”），用相同的弧线标注相等的夹角（如∠B 与∠E 画 “⌒”），明确对应关系，强化 “边角边” 的视觉认知。
幻灯片 6：“SAS” 判定定理的几何证明（选讲，加深理解）
证明思路：基于 “三角形稳定性” 和 “图形平移、旋转、翻折不变性”，若两个三角形满足 “两边及其夹角对应相等”，可通过平移、旋转将其中一个三角形与另一个三角形完全重合，从而证明全等（初中阶段侧重直观感知，严谨证明需结合全等定义）。
证明过程（简化版）：
将△DEF 平移至△ABC 附近，使点 E 与点 B 重合，边 DE 与边 AB 重合（因 DE=AB，故点 D 与点 A 重合）。
因∠E=∠B，故边 EF 与边 BC 的方向一致；又因 EF=BC，故点 F 与点 C 重合。
此时△DEF 与△ABC 的三个顶点完全重合，即△DEF ≌ △ABC（全等定义）。
核心强调：“夹角相等” 是确保两边方向一致的关键，若夹角不相等，即使两边长度相等，三角形的形状也会不同，无法重合。
幻灯片 7：“SAS” 判定定理的应用 1—— 基础判定
例题 1：如图，已知 AB=AD，∠BAC=∠DAC，AC=AC，求证：△ABC ≌ △ADC。
分析：先找对应元素，确定 “两边及其夹角”：
边：AB=AD（已知），AC=AC（公共边，对应相等）；
夹角：∠BAC=∠DAC（已知，AB 与 AC 的夹角，AD 与 AC 的夹角，为对应夹角）。
证明过程：
在△ABC 和△ADC 中，
\(\begin{cases}
AB = AD（已知）, \\
∠BAC = ∠DAC（已知）, \\
AC = AC（公共边）,
\end{cases}\)
∴ △ABC ≌ △ADC（SAS）。
注意事项：公共边 AC 是两个三角形的公共边，属于 “对应边相等”，需明确写出；夹角∠BAC 与∠DAC 是对应角，确保是 “两边的夹角”。
例题 2：如图，已知 AE=CF，∠AED=∠CFB，DE=BF，求证：△AED ≌ △CFB。
分析：先整理已知条件，对应边：AE=CF，DE=BF；对应夹角：∠AED=∠CFB（AE 与 DE 的夹角，CF 与 BF 的夹角），满足 “SAS” 条件。
证明过程：
在△AED 和△CFB 中，
\(\begin{cases}
AE = CF（已知）, \\
∠AED = ∠CFB（已知）, \\
DE = BF（已知）,
\end{cases}\)
∴ △AED ≌ △CFB（SAS）。
解题技巧：证明时按 “边 — 角 — 边” 的顺序书写条件，确保夹角在两条对应边之间，逻辑清晰。
幻灯片 8：“SAS” 判定定理的应用 2—— 结合性质求线段 / 角度
例题 3：如图，△ABC ≌ △DEF（SAS），已知 AB=DE=6cm，∠B=∠E=45°，BC=EF=8cm，求 AC 的对应边及∠D 的度数（若∠A=60°）。
分析：先由 “SAS” 判定全等，再利用全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）求解。
解答：
由△ABC ≌ △DEF（SAS），对应边 AC 对应 DF，故 AC=DF；
对应角∠A 对应∠D，已知∠A=60°，故∠D=60°。
例题 4：如图，已知 AB=CD，∠ABC=∠DCB，BC=CB，求证：AC=BD。
分析：先证△ABC ≌ △DCB（SAS），再利用 “对应边相等” 得 AC=BD。
证明过程：
在△ABC 和△DCB 中，
\(\begin{cases}
AB = CD（已知）, \\
∠ABC = ∠DCB（已知）, \\
BC = CB（公共边）,
\end{cases}\)
∴ △ABC ≌ △DCB（SAS）。
由△ABC ≌ △DCB，得 AC=BD（全等三角形对应边相等）。
核心思路：当需证明两条线段相等时，可先证明它们所在的两个三角形全等，再利用全等性质推导。
幻灯片 9：易错点辨析 ——“SAS” 与 “SSA” 的区别
易错点 1：混淆 “夹角” 与 “非夹角”：
展示 “SSA” 反例图：△ABC 和△ABD 中，AB=AB（公共边），AC=AD（一组边相等），∠B=∠B（非 AC、AB 与 AD、AB 的夹角，而是 AB 的对角），但△ABC 与△ABD 不全等（形状不同）。
强调：“SAS” 的 “角” 必须是 “两边的夹角”，“SSA”（两边及其中一边的对角）不能判定三角形全等，是常见错误，需严格区分。
易错点 2：对应关系错误：
例题：已知△ABC 中，AB=3cm，∠A=50°，AC=4cm；△DEF 中，DE=3cm，∠D=50°，EF=4cm，能否判定△ABC ≌ △DEF？
分析：△ABC 中是 “AB、AC 及其夹角∠A”，△DEF 中是 “DE、EF 及其夹角∠E”，虽 AB=DE、∠A=∠D，但∠D 不是 DE 与 EF 的夹角，对应关系错误，不能判定全等。
提醒：使用 “SAS” 时，需确保 “边 — 角 — 边” 的对应顺序一致，即相等的角必须是两组相等边的公共夹角。
幻灯片 10：课堂练习 —— 巩固 “SAS” 应用
练习 1：如图，已知 AD=AE，∠1=∠2，AB=AC，求证：△ABD ≌ △ACE（答案：按 “SAS” 书写条件，AD=AE，∠1=∠2，AB=AC，证得全等）。
练习 2：下列条件中，能判定△ABC ≌ △DEF 的是（ ）
A. AB=DE，BC=EF，∠A=∠D（SSA，不能）
B. AB=DE，∠B=∠E，BC=EF（SAS，能）
C. AB=DE，∠A=∠D，AC=DF（ASA，后续学习）
D. ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（AAA，不能）（答案：B）
练习 3：如图，已知 OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，求证：AC=BD（提示：先证∠AOC=∠BOD，再用 “SAS” 证△AOC ≌ △BOD，得 AC=BD）。
练习要求：学生独立完成，小组内交流证明思路，教师针对 “SSA 错误”“对应关系混乱” 等问题进行纠正。
幻灯片 11：课堂小结
核心知识：
“SAS” 判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（边角边），需明确 “夹角” 是两边的公共角。
应用步骤：①找对应边和对应夹角，确认满足 “边 — 角 — 边”；②按规范格式书写证明条件（已知、公共边 / 角）；③得出全等结论，必要时结合全等性质推导线段 / 角度关系。
易错点：区分 “SAS” 与 “SSA”，避免对应关系错误，确保夹角位置正确。
解题逻辑：判定全等时，优先寻找 “两边及其夹角”，证明线段 / 角度相等时，可通过 “证全等→用性质” 的思路解决。
幻灯片 12：课后作业
如图，已知 AB=CD，∠ABE=∠DCF，BE=CF，求证：△ABE ≌ △DCF，并证明 AE=DF。
已知△ABC 中，AB=5cm，∠B=70°，BC=6cm；△DEF 中，DE=5cm，∠E=70°，EF=6cm，判断△ABC 与△DEF 是否全等，若全等，写出判定依据，并求∠A 与∠D 的关系。
画两个满足 “SSA” 条件的三角形（如 AB=DE=4cm，AC=DF=3cm，∠B=∠E=30°），剪下来观察是否全等，写出你的发现，并与同学分享。
如图，已知 AC 与 BD 相交于点 O，OA=OC，OB=OD，求证：AB∥CD（提示：先证△AOB ≌ △COD，得对应角相等，再用 “内错角相等，两直线平行” 证明平行）。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
14.2.1用“SAS”判定三角形全等
第14章全等三角形课件
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.通过教师引导明确判定两个三角形全等至少需要三个条件，发展学生的逻辑推理能力.
2.通过自主探究并掌握“边边边”判定方法，会用“边边边”的判定方法证明三角形全等，提高学生分析问题和解决问题的能力.
学习目标
为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据，能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？
新课导入
新课讲解
第二部分
PART 02
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1. 什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2. 全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
知识点 1
三角形全等的判定——“边边边”定理
新课讲解
A
B
C
D
E
F
3.已知△ABC ≌△DEF，找出其中相等的边与角.
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C= ∠F
即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．
新课讲解
【思考】如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△DEF 吗
学生活动一 【一起探究】
新课讲解
只给一个条件
①只给一条边时；
②只给一个角时；
3cm
3cm
45
45
结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
新课讲解
①两边；
③两角.
②一边一角；
如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？
新课讲解
①如果三角形的两边分别为3cm，4cm 时，
4cm
4cm
3cm
3cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
新课讲解
②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:
4cm
4cm
30
30
结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
新课讲解
45
30
45
30
③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
根据三角形的内角和为180°，则第三角一定确定，所以当三个内角对应相等时，两个三角形不一定全等.
新课讲解
两个条件
①两角；
②两边；
③一边一角.
结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等.
一个条件
①一角；
②一边；
归纳总结
新课讲解
如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？
①三角；
②三边；
③两边一角；
④两角一边.
新课讲解
已知两个三角形的三个内角分别为30°，60° ，90° 它们一定全等吗？
这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
①三个角
新课讲解
已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm .它们一定全等吗？
②三条边
新课讲解
3cm
4cm
6cm
4cm
6cm
3cm
6cm
4cm
3cm
新课讲解
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′,使A′B′= AB ,B′C′ =BC, A′ C′ =AC.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
B
C
A ′
B′
C′
作法：
（1）画B′C′=BC；
（2）分别以B',C'为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B', A 'C'.
做一做
新课讲解
作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
想一想
新课讲解
文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.
（简写为“边边边”或“SSS”）
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）.
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
几何语言：
“边边边”判定方法
新课讲解
例1 如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A与BC中点D的支架．求证：（1）△ABD ≌△ACD．
C
B
D
A
利用“边边边”定理判定三角形全等
新课讲解
C
B
D
A
解题思路：
先找隐含条件
公共边AD
再找现有条件
AB=AC
最后找准备条件
BD=CD
D是BC的中点
新课讲解
证明：∵ D 是BC中点，
∴ BD =DC．
在△ABD 与△ACD 中，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
C
B
D
A
AB =AC (已知）
BD =CD （已证）
AD =AD （公共边）
准备条件
指明范围
摆齐
根据
写出结论
新课讲解
(2)∠BAD = ∠CAD.
由（1）得△ABD≌△ACD ，
∴ ∠BAD= ∠CAD.
（全等三角形对应角相等）
C
B
D
A
新课讲解
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；
④写出结论：写出全等结论.
证明的书写步骤：
归纳总结
新课讲解
如图, C是BF的中点，AB =DC,AC=DF.
求证:△ABC ≌ △DCF.
在△ABC 和△DCF中，
AB = DC，
∴ △ABC ≌ △DCF
(已知)
(已证)
AC = DF，
BC = CF，
证明：∵C是BF中点，
∴BC=CF.
(已知)
(SSS).
例题讲解
例2 已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.
求证：∠BAC＝∠DAE.
例题讲解
利用三角形全等证明线段或角相等
分析：要证∠BAC＝∠DAE，而这两个角所在三角形显然不全等，我们可以利用等式的性质将它转化为证∠BAD＝∠CAE；由已知的三组相等线段可证明△ABD≌△ACE，
根据全等三角形的性质可得∠BAD＝∠CAE.
例题讲解
证明：在△ ABD和△ ACE中，
AB＝AC，
AD＝AE，
BD＝CE，
∴ △ ABD≌ △ ACE(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAE.
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE.
例题讲解
　　已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
例 用尺规作一个角等于已知角．
O
D
B
C
A
O′
C′
A′
B′
D ′
用尺规作一个角等于已知角
知识点 2
例题讲解
已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．
用尺规作一个角等于已知角
学生活动二 【一起探究】
新课讲解
作法：
（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，
OB 于点C,D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）步中
所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
依据是什么？
新课讲解
1.如图,AD＝BC,AC＝BD.求证:∠C＝∠D .(提示: 连接AB)
证明：连接AB两点,
∴△ABD≌△BAC(SSS)
AD=BC，
BD=AC，
AB=BA，
在△ABD和△BAC中，
∴∠D=∠C.
例题讲解
2.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使 △ABF≌△ECD ，还需要条件 .
BF=CD
或 BD=FC
A
E
=
=
×
×
B
D
F
C
例题讲解
知识点1 用“ ”判定三角形全等
1.下列与如图所示的三角形全等的是( )
D
A.①② B.②③ C.①③ D.只有①
2.如图，点在的平分线上，若能用“”判定 ，
则需添加的一个条件是__________.
3.如图，，，.求证： .
证明： ，
，
即 .
在与 中，
.
知识点2 三角形全等“ ”判定与性质的综合
4.如图，，， ，则 的度数为( )
A
（第4题）
A. B. C. D.
5.［教材P练习T变式］如图，点，，， 在一条直线上，
，，，，则 ___.
6
（第5题）
6.［2025常州调研］如图，是边上一点， 交
于点，，，求证： .
证明：在和 中，
，
， .
边边边
内容
有三边对应相等的两个三角形全等（简写成 “SSS”)
应 用
思路分析
书写步骤
结合图形找隐含条件和现有条件，找准备条件
注意
四步骤
1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写
2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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