资源简介

(共33张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：14.3.1 角的平分线的性质
副标题：探索角平分线的奥秘，解锁几何新技能
背景图：展示一个被角平分线分成两个相等角的三角形，角平分线用红色线条突出显示，在角平分线上取一点，向角的两边作垂线，垂线用蓝色线条表示，直观呈现本节课的核心元素 —— 角平分线及相关性质。
幻灯片 2：学习目标
理解角平分线的定义，掌握角平分线的尺规作图方法，能准确作出已知角的平分线。
探究并证明角平分线的性质定理及其逆定理，明确 “角平分线上的点到角两边距离相等” 以及 “角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上” 这两个重要结论。
熟练运用角平分线的性质定理和逆定理，解决与角平分线相关的几何证明、线段长度计算、面积求解等问题，提升逻辑推理和几何运算能力。
通过经历角平分线性质的探究过程，体会从特殊到一般、类比、转化等数学思想方法，培养严谨的数学思维和勇于探索的精神。
幻灯片 3：导入 —— 生活中的角平分线
展示图片：展示生活中角平分线应用的实例图片，如风筝的骨架（风筝的对称轴可看作角平分线，使风筝保持平衡对称）、房屋顶角的装饰线条（将顶角平分，增加美观性）、道路交叉口的交通指示牌（角平分线可用于指示不同方向的分流角度）等。
提问引导：同学们，在这些图片中，我们能发现一些特殊的线条，它们将一个角分成了两个相等的角，大家知道这样的线条在数学中叫什么吗？（引导学生回答 “角平分线”）我们生活中很多事物都巧妙运用了角平分线的特点，那在数学里，角平分线到底有哪些独特的性质呢？这就是我们今天要深入探究的内容。
幻灯片 4：角平分线的定义
定义阐述：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线（bisector of angle）。例如，在∠AOB 中，射线 OC 将∠AOB 分成∠AOC 和∠BOC，且∠AOC = ∠BOC，那么 OC 就是∠AOB 的角平分线。
符号表示：若 OC 是∠AOB 的平分线，则可表示为∠AOC = ∠BOC = 1/2∠AOB。
图形展示：呈现一个标准的角∠AOB，用红色射线 OC 清晰地将其平分，在图中标注出相等的角∠AOC 和∠BOC，让学生直观理解角平分线的概念。
幻灯片 5：角平分线的尺规作图
作图工具：直尺、圆规。
作图步骤：
以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧：在∠AOB 中，以点 O 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 M、N。（动画展示画弧过程，突出半径长度的任意性）
分别以 M、N 为圆心，大于 1/2MN 的长为半径画弧：保持圆规张开的长度大于 1/2MN，分别以点 M 和点 N 为圆心画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点 P。（动画演示两弧相交过程，强调半径大于 1/2MN 的原因是确保两弧能相交）
作射线 OP：连接 OP 并向两方延长，射线 OP 即为∠AOB 的平分线。（用醒目的颜色显示射线 OP）
证明过程：连接 MP、NP，在△OMP 和△ONP 中，因为 OM = ON（第一步画弧时半径相等），MP = NP（第二步画弧时半径相等），OP = OP（公共边），根据 “SSS”（边边边）全等判定定理，可得△OMP ≌ △ONP，所以∠MOP = ∠NOP，即 OP 是∠AOB 的角平分线。
幻灯片 6：角平分线性质的探究 —— 实验操作
实验准备：每个学生准备一张画有∠AOB 的透明纸、直尺、三角板。
实验步骤：
在角平分线上取点：利用尺规作图作出∠AOB 的平分线 OC，在 OC 上任取一点 P。
作垂线：过点 P 分别作 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。（引导学生用三角板准确作出垂线）
测量线段长度：用直尺测量 PD 和 PE 的长度，并记录下来。
改变点 P 的位置：在 OC 上再取几个不同位置的点，重复步骤 2 和 3，分别测量对应的垂线段长度。
实验现象：学生们会发现，无论点 P 在 OC 上的位置如何变化，PD 和 PE 的长度始终相等。
提出猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等。
幻灯片 7：角平分线性质定理的证明
已知条件：已知 OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。
求证内容：PD = PE。
证明过程：
因为 OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC = ∠BOC（角平分线的定义）。
又因为 PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO = ∠PEO = 90°（垂直的定义）。
在△PDO 和△PEO 中：
∠PDO = ∠PEO（已证）
∠AOC = ∠BOC（已证）
OP = OP（公共边）
根据 “AAS”（角角边）全等判定定理，可得△PDO ≌ △PEO。
由全等三角形的对应边相等，所以 PD = PE。
定理内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：若 OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，则 PD = PE。
幻灯片 8：角平分线性质定理的应用 —— 求线段长度
例题 1：如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC，若 CD = 3，求点 D 到 AB 的距离。
分析：因为 AD 是∠BAC 的平分线，点 D 在 AD 上，根据角平分线的性质，点 D 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距离，已知 CD 就是点 D 到 AC 的距离为 3，所以点 D 到 AB 的距离也为 3。
解答过程：
解：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E。
∵AD 平分∠BAC，∠C = 90°（即 DC⊥AC），DE⊥AB，
∴DE = DC（角平分线的性质）。
又∵CD = 3，
∴DE = 3，即点 D 到 AB 的距离为 3。
幻灯片 9：角平分线性质定理的应用 —— 求面积
例题 2：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AB = 6，AC = 4，BC = 5，若△ABC 的面积为 15，求△ABD 的面积。
分析：过点 D 分别作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。由 AD 平分∠BAC，可得 DE = DF。根据三角形面积公式，分别表示出△ABC、△ABD、△ACD 的面积，再利用△ABC 的面积求出 DE（或 DF）的值，进而求得△ABD 的面积。
解答过程：
解：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF（角平分线的性质）。
设 DE = DF = h。
∵S△ABC = S△ABD + S△ACD，且 S△ABC = 15，
根据三角形面积公式 S = 1/2 底 × 高，可得：
1/2AB×h + 1/2AC×h = 15，即 1/2×6h + 1/2×4h = 15。
3h + 2h = 15，
5h = 15，
h = 3。
则 S△ABD = 1/2AB×h = 1/2×6×3 = 9。
幻灯片 10：角平分线性质定理的逆定理探究
提出问题：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上吗？
已知条件：点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE。
探究过程：
连接 OP。
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中：
PD = PE（已知）
OP = OP（公共边）
根据 “HL”（斜边、直角边）全等判定定理，可得 Rt△PDO ≌ Rt△PEO。
由全等三角形的对应角相等，所以∠AOP = ∠BOP，即 OP 是∠AOB 的平分线。
逆定理内容：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：若点 P 在∠AOB 内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且 PD = PE，则 OP 平分∠AOB。
幻灯片 11：角平分线性质定理逆定理的应用 —— 判定角平分线
例题 3：如图，已知 BE⊥AC 于点 E，CF⊥AB 于点 F，BE、CF 相交于点 D，且 BD = CD，求证：AD 平分∠BAC。
分析：要证 AD 平分∠BAC，即证点 D 在∠BAC 的平分线上。已知 BD = CD，且 BE⊥AC，CF⊥AB，可通过证明 Rt△BDF ≌ Rt△CDE 得到 DF = DE，再根据角平分线性质定理的逆定理得出结论。
解答过程：
证明：在△BDF 和△CDE 中，
∵∠BFD = ∠CED = 90°（垂直的定义）
∠BDF = ∠CDE（对顶角相等）
BD = CD（已知）
∴△BDF ≌ △CDE（AAS）。
∴DF = DE（全等三角形的对应边相等）。
又∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴点 D 在∠BAC 的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），即 AD 平分∠BAC。
幻灯片 12：课堂练习
练习 1：如图，在△ABC 中，∠C = 90°，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，若 CD = 2，AB = 5，则△ABD 的面积为（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
答案：A。提示：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，由 BD 平分∠ABC，可得 DE = CD = 2，根据三角形面积公式 S = 1/2AB×DE 计算。
练习 2：如图，点 P 在∠AOB 的内部，PC⊥OA 于点 C，PD⊥OB 于点 D，PC = PD，∠AOB = 60°，则∠AOP 的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
答案：A。提示：由 PC = PD，根据角平分线性质定理的逆定理可知 OP 平分∠AOB，所以∠AOP = 1/2∠AOB。
练习 3：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，若 S△ABC = 28，DE = 4，AB = 8，求 AC 的长。
答案：6。提示：先根据角平分线性质得 DE = DF = 4，再由 S△ABC = S△ABD + S△ACD，列出关于 AC 的方程求解。
幻灯片 13：课堂小结
知识总结：
角平分线的定义：将角分成两个相等角的射线。
角平分线的尺规作图方法及证明。
角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等。
角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
方法归纳：
证明线段相等时，若涉及角平分线，可考虑利用角平分线性质定理。
判定一条射线是否为角平分线时，可依据角平分线性质定理的逆定理，通过证明到角两边距离相等来判断。
在解决与角平分线相关的几何问题时，常通过作垂线，构造直角三角形，运用全等三角形的知识和角平分线的性质进行求解。
幻灯片 14：课后作业
如图，在△ABC 中，∠ABC = 60°，∠ACB = 40°，AD、CE 分别是∠BAC、∠ACB 的平分线，AD、CE 相交于点 F，求∠AFC 的度数。
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD，CB = CD，点 P 是对角线 AC 上一点，PE⊥BC 于点 E，PF⊥CD 于点 F，求证：PE = PF。
如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F，求证：BE = CF。
如图，在△ABC 中，∠C = 90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE 是 AB 的垂直平分线，若 DE = 1，求 AC 的长。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
14.3.1角的平分线的性质
第14章全等三角形课件
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
学习重点：探究角平分线的性质定理.
学习难点：探究并掌握角平分线的性质定理.
学习目标
请大家在草稿纸上画一个∠AOB，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开.
观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？
你能利用我们学过的知识，证明结论的正确性吗？
新课导入
如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC，不用度量就知道AC是∠DAB的平分线，你知道其中的道理吗？
新课导入
小张家居住在某小区移动居民楼的一楼，刚好位于一条天然气管道和水管道所成角的平分线上的点P处，要从点P建两条管道，分别与天然气管道和水管道相连.
问题1：怎么修建管道最短？
问题2：新修的两条管道长度有什么关系？
新课导入
1.请同学们阅读课本48页第一个思考.
2.你能将思考抽象成数学问题吗？
如图(课本图12.3－1)，已知AB＝AD，BC＝DC，求证：AE平分∠BAD
新课导入
3.通过平分角的仪器，你能想到怎样画一个角的平分线吗？
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.③画射线OC，射线OC即为所求．
新课导入
4.你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？
5.请同学们阅读课本48页第二个思考.
∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，∴△OMC≌△ONC，∴∠MOC＝∠NOC
新课导入
PD=PE
1.请同学们交流48页第二个思考，交换你们的测量数据，你能得出什么结论？
新课导入
2.请你找出角的平分线的性质的已知和求证，完成这个证明.
新课导入
1.用尺规作已知角的平分线：
知识点1．作已知角的平分线（重点）
已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线．
新课讲解
2.作图依据：构造△OMC≌△ONC，利用全等三角形的对应角相等，得到角的平分线.
注：(1)画“射线OC”不能叙述为“连接OC”．因为角的平分线是一条射线．
(2)两弧的交点应该在角的内部找，因为角的平分线肯定在角的内部．
新课讲解
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2.符号语言：
如图，∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD＝PE.
知识点2．角的平分线的性质（难点）
注：(1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据．
(2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段，常添加辅助线：由角的平分线上的已知点向另一边作垂线段．
新课讲解
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
知识点3．证明几何命题的一般步骤
新课讲解
【题型一】角的平分线的作法
例1：如图，用尺规作角的平分线，根据作图步骤，在说明∠CAP＝∠BAP的过程中，以下说法错误的是(　　)
A．由作弧可知AE＝AF
B．由作弧可知FP＝EP
C．由“SAS”证明△AFP≌△AEP
D．由“SSS”证明△AFP≌△AEP
C
新课讲解
例2：如题图，分别作出已知钝角和平角的平分线(不写作法，保留作图痕迹)．
解：如答图所示，射线OC即为所作.
新课讲解
【题型二】角的平分线的性质
例3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝20，且BD∶DC＝3∶2，则点D到AB边的距离为(　　)
A．8　　　B．12　　　C．10　　　D．15
A
点拨：∵BC＝20，BD∶DC＝3∶2，
∴BD＝12，DC＝8.过点D作DE⊥AB于点E.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝8，即点D到AB边的距离为8.
新课讲解
变式：如图，在△ABC中，已知CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝12，DE＝3，则△BCE的面积等于________．
18
点拨：过点E作EF⊥BC于点F.
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，∴EF＝ED＝3.
∴△BCE的面积等于×12×3=18.
新课讲解
【题型三】几何命题的证明
例4：命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知条件是
________________，结论是____________________________，并证明.
两个三角形全等
这两个三角形对应边上的高相等
解：已知：如图，△ABC≌△EFG，AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高．求证：AD＝EH.
新课讲解
证明：∵△ABC≌△EFG，∴AB＝EF，∠B＝∠F，
∵AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高，
∴∠ADB＝∠EHF＝90°.
新课讲解
变式：证明：全等三角形对应边上的中线相等.
解：已知：如图，△ABC≌△A1B1C1，AD，A1D1分别是对应边BC，B1C1上的中线．求证：AD＝A1D1.
证明：∵△ABC≌△A1B1C1，∴AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠B＝∠B1.
新课讲解
1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
新课讲解
2.
如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝50，DE＝14，则△BCE的面积等于_______．
350
新课讲解
知识点1 角的平分线的画法
1.如图，作已知的平分线 ，合理的顺序是( )
C
（第1题）
① 作射线；②在，上分别截取，，使 ；③
分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 内交
于点 .
A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①
返回
（第2题）
2.如图，用直尺和圆规作 的平分线，根据作
图痕迹，下列结论不一定正确的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
3.如图，已知四边形，利用尺规作图法作的平分线交 于
点 .（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图所示.
返回
知识点2 角的平分线的性质
4.如图，是的平分线，点在 上，
于点，于点，若 ，则
的长为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
返回
（第5题）
5.如图，平分，点是射线 上一点，
于点，点是射线 上的一个动点，
连接.若，则 的长度不可能是( )
D
A.18 B.7.2 C.6 D.4.5
返回
6.［2025南京期末］如图，在中， ，平分 ，
交于点,于点.若，，则 的长为___.
3
（第6题）
返回
7.如图,，，垂足分别为,， 与
相交于点，且.求证： .
证明： ,
为 的平分线.
, ，
, .
又 ,
, .
返回
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
为证明线段相等提供了又一途径
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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