资源简介

(共42张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：14.3.2 角的平分线的判定
副标题：从 “距离相等” 到 “角平分线” 的推理
背景图：左侧展示一个角的内部有一点，该点向角的两边作垂线且垂线段长度相等；右侧展示连接角的顶点与该点的射线，标注射线将角分成两个相等的角，直观呈现判定定理的核心逻辑。
幻灯片 2：学习目标
理解角的平分线的判定定理的内涵，明确 “角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上” 的推理依据。
掌握角的平分线的判定定理的证明过程，能区分判定定理与性质定理的区别与联系。
能运用角的平分线的判定定理解决角平分线的判定、几何证明及实际应用问题，提升逻辑推理能力。
经历 “猜想 — 证明 — 应用” 的过程，体会转化、类比的数学思想，培养严谨的数学思维。
幻灯片 3：导入 —— 从性质反向思考判定
复习回顾：回顾角的平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等），提问：若已知角的内部一点到角两边的距离相等，能否反过来判断该点在这个角的平分线上？（引导学生提出猜想）
生活实例：展示工人师傅用角尺检测工件的角是否被平分的场景（角尺的两边与工件的角的两边重合，若角尺上某点到两边的距离相等，则该点与顶点的连线平分角），提问：工人师傅的检测依据是什么？引出本节课核心 —— 角的平分线的判定。
幻灯片 4：角的平分线的判定定理的猜想与验证
实验材料：每组准备画有∠AOB 的硬纸板、直尺、三角板、量角器。
实验步骤：
在角内部取点：在∠AOB 内部任意取一点 P，过 P 作 PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，用直尺测量 PD 和 PE 的长度，调整 P 的位置，使 PD=PE。
连接射线：连接 OP，用量角器测量∠AOP 和∠BOP 的度数。
记录结果：观察∠AOP 与∠BOP 的关系，重复多次实验，记录数据。
实验现象：每次实验中，当 PD=PE 时，∠AOP=∠BOP，即 OP 平分∠AOB。
提出猜想：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
幻灯片 5：角的平分线的判定定理的证明
已知条件：如图，点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD=PE。
求证内容：OP 平分∠AOB（即∠AOP=∠BOP）。
证明过程：
因为 PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义），△PDO 和△PEO 均为直角三角形。
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中：
斜边：OP=OP（公共边）；
直角边：PD=PE（已知）。
根据 “HL”（斜边、直角边）全等判定定理，可得 Rt△PDO≌Rt△PEO。
由全等三角形的对应角相等，得∠AOP=∠BOP，即 OP 平分∠AOB。
定理内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：若点 P 在∠AOB 内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且 PD=PE，则 OP 平分∠AOB（或点 P 在∠AOB 的平分线上）。
幻灯片 6：角的平分线的判定定理与性质定理的对比
对比表格：
定理类型
条件
结论
作用
图形特征
性质定理
点在角的平分线上
点到角两边的距离相等
由 “角平分线” 推 “距离相等”（已知平分线，求距离）
点在角平分线上，向两边作垂线
判定定理
点在角内部，且到角两边距离相等
点在角的平分线上
由 “距离相等” 推 “角平分线”（已知距离，判平分线）
点向两边作垂线，垂线段相等
核心区别：性质定理是 “从线到距离”（角平分线→距离相等），判定定理是 “从距离到线”（距离相等→角平分线），两者互为逆定理。
应用场景：证明线段相等用性质定理，证明射线是角平分线用判定定理。
幻灯片 7：角的平分线的判定定理的应用 1—— 判定角平分线
例题 1：如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，且 DE=DF，求证：AD 平分∠BAC。
分析：要证 AD 平分∠BAC，需证点 D 在∠BAC 的平分线上。已知 D 在∠BAC 内部，DE⊥AB，DF⊥AC，且 DE=DF，满足判定定理条件。
证明过程：
∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知），
∴∠AED=∠AFD=90°（垂直定义）。
∵D 是 BC 中点，∴BD=CD（中点定义），但本题无需此条件。
又∵DE=DF（已知），且点 D 在∠BAC 内部，
∴AD 平分∠BAC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
例题 2：如图，BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F，BE 与 CF 交于点 D，且 BD=CD，求证：AD 平分∠BAC。
分析：先证△BDF≌△CDE 得 DF=DE，再用判定定理证 AD 平分∠BAC。
证明过程：
∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°（垂直定义）。
在△BDF 和△CDE 中：
\(\begin{cases}
∠BFD=∠CED（已证）, \\
∠BDF=∠CDE（对顶角相等）, \\
BD=CD（已知）,
\end{cases}\)
∴△BDF≌△CDE（AAS）。
∴DF=DE（全等三角形对应边相等）。
∵DF⊥AB，DE⊥AC，点 D 在∠BAC 内部，
∴AD 平分∠BAC（角的平分线的判定定理）。
幻灯片 8：角的平分线的判定定理的应用 2—— 实际应用
例题 3：如图，某工厂要在厂区内修建一个货物中转站，使它到厂房 A、厂房 B、厂房 C 的距离相等，且到 AB、AC 两边的距离也相等，试确定中转站的位置（保留作图痕迹）。
分析：
到 AB、AC 两边距离相等的点在∠BAC 的平分线上（判定定理）；
到 A、B、C 三点距离相等的点是△ABC 三边垂直平分线的交点（外心）；
中转站的位置是∠BAC 的平分线与三边垂直平分线交点的重合处。
作图步骤：
作∠BAC 的平分线 AD（用尺规作图）；
作 AB、BC 的垂直平分线，交于点 P；
点 P 即为中转站的位置（P 在 AD 上，满足到 AB、AC 距离相等，且到 A、B、C 距离相等）。
原理说明：结合角平分线判定定理和垂直平分线性质，解决实际定位问题。
幻灯片 9：易错点辨析
易错点 1：忽略 “点在角内部” 的条件：
反例：点 P 在∠AOB 外部，PD⊥OA，PE⊥OB，且 PD=PE，此时 OP 不是∠AOB 的平分线（展示图形，标注点 P 在外部，OP 分的是∠AOB 的邻补角）。
强调：判定定理的前提是 “点在角的内部”，若点在外部，即使距离相等，也不能判定为角的平分线。
易错点 2：混淆 “距离” 与 “线段”：
示例：点 P 到 OA、OB 的 “线段长度” 相等，而非 “垂线段长度” 相等，误判为在角平分线上。
辨析：判定定理中的 “距离” 特指 “垂线段的长度”，非任意线段长度，需确保所作线段与角的两边垂直。
易错点 3：证明时缺少 “垂直” 条件：
示例：仅说 “PD=PE”，未证明 PD⊥OA、PE⊥OB，直接用判定定理。
提醒：使用判定定理时，必须明确 “垂线段”，即证明线段与角的两边垂直，否则条件不完整。
幻灯片 10：课堂练习 —— 巩固判定定理应用
练习 1：如图，已知∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，求证：PD=PE（提示：先证 OP 平分∠AOB，再用性质定理，或直接用全等）。
练习 2：如图，在△ABC 中，∠B=∠C，D 是 BC 上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，且 DE=DF，求证：AD 是△ABC 的中线（提示：先证 AD 平分∠BAC，再证△ABD≌△ACD，得 BD=CD）。
练习 3：下列说法正确的是（ ）
A. 到角两边距离相等的点一定在角的平分线上（缺少 “内部”，错）
B. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上（对）
C. 角的平分线上的点到角两边的线段相等（应为 “垂线段”，错）
D. 以上都不对（错）（答案：B）
幻灯片 11：课堂小结
核心知识：
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，需满足 “内部” 和 “垂线段相等” 两个条件。
与性质定理的关系：互为逆定理，性质 “由线到距离”，判定 “由距离到线”。
应用步骤：①证明点在角内部；②证明点到角两边的线段垂直；③证明垂线段相等；④得出点在角平分线上的结论。
解题技巧：遇 “判定角平分线” 问题，优先构造垂线段，证明垂线段相等，再用判定定理。
幻灯片 12：课后作业
如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=90°，E 是 BC 上一点，AE 平分∠BAD，且 AE⊥CE，求证：CE 平分∠BCD（提示：过 E 作 EF⊥AD 于 F，证 EF=BE=CE）。
如图，在△ABC 中，AB=AC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，且 DE=DF，求证：D 在 BC 的垂直平分线上（提示：先证 AD 平分∠BAC，再证 AD⊥BC 且 BD=CD）。
用尺规作图确定一点 P，使点 P 到∠AOB 的两边 OA、OB 的距离相等，且到点 M、N 的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）。
如图，已知 BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：AD 平分∠BAC（提示：证△BFD≌△CED，得 DF=DE，再用判定定理）。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
14.3.2角的平分线的判定
第14章全等三角形课件
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.通过探究角的平分线的判定定理，使学生能够利用角的平分线的判定进行证明，培养学生的推理能力.
2.在探究角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识，增强学生解决问题的信心.
学习目标
O
D
P
P到OA的距离PD
P到OB的距离PE.
P是角平分线上的点
几何语言描述：
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
A
C
B
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
叙述角平分线的性质定理.
不必再证全等
E
新课导入
知识点 1
角平分线的判定
交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
想一想
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB ，
∴ PD= PE.
几何语言：
猜想:
这个结论正确吗？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
猜想证明
B
A
D
O
P
E
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
P
A
O
B
C
D
E
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
例 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ， D即为所求.
O
角平分线的判定的应用
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3 cm，当PD＝____cm时，点P在∠AOB的平分线上．
3
3
新课讲解
如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则点P是 的平分线与 的平分线的交点．
∠ABC
∠BCD
新课讲解
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
三角形的内角平分线
知识点 2
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明这个结论吗？
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A
B
C
P
N
M
证明结论
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条
角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
想一想
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
距离
面积
周长
条件
归纳总结
利用三角形的内角平分线的性质求值
例 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
方法点拨
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
角的平分线的性质
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
归纳总结
1.如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证 EB = FC.
【教材P52习题14.3 第1题】
复习巩固
证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE = DF.
BD = CD，
DE = DF，
在Rt△DEB 和 Rt△DFC 中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.
∴EB = FC.
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为 D，E，BD，CE 相交于点 F. 求证：FA 平分∠DFE.
【教材P52习题14.3 第2题】
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB =∠AEC = 90°.
在△ADB 和 △AEC 中，
∠ADB =∠AEC，
∠BAD = ∠CAE，
AB = AC，
∴△ADB≌△AEC（AAS）. ∴AD = AE.
又 AB⊥CE，AC⊥BD，∴ FA 平分∠DFE.
3. 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD 相交于点 O，OB = OC. 求证∠1 = ∠2.
【教材P52习题14.3 第3题】
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO =∠CEO = 90°.
在△BDO 和△CEO 中，
∠BDO =∠CEO，
∠DOB =∠EOC，
OB = OC，
∴△BDO≌△CEO（AAS）. ∴OD = OE.
∴AO 是∠BAC 的平分线. ∴∠1 =∠2.
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，在边 AC 上求作一点 P，使点 P 到边 BC 和边 AB 的距离相等 .
【教材P52习题14.3 第4题】
解：如图所示.
5. 如图，在△ABC中，AD 是它的角平分线，P 是 AD 上一点，PE // AB，交 BC 于点 E，PF // AC，交 BC 于点 F. 求证：点 D 到 PE 和 PF 的距离相等 .
综合运用
【教材P53习题14.3 第5题】
证明：如图，过点 D 分别作 DM⊥PE，DN⊥PF，垂足分别为 M，N.
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠1 =∠2.
又 PE∥AB，PF∥AC，
∴∠3 =∠1，∠4 =∠2.
∴∠3 =∠4，即 PD 是∠EPF 的平分线.
∴DM = DN，即点 D 到 PE 和 PF 的距离相等.
6. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，F 是 OC 上的另一点，连接 DF，EF，求证 DF = EF.
【教材P53习题14.3 第6题】
证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD = PE，∠PDO =∠PEO = 90°.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
OP = OP，
PD = PE，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.
∴∠OPD =∠OPE.
∴∠DPF =∠EPF（等角的补角相等）.
PD = PE，
∠DPF =∠EPF，
PF = PF，
∴△DPF≌△EPF（SAS）.
∴DF = EF.
在 △DPF 和△EPF 中，
7. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，连接 EF，EF 与 AD 相交于点 G. AD 与 EF 垂直吗？证明你的结论 .
拓广探索
【教材P53习题14.3 第7题】
解：AD⊥EF.
证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠EAD =∠FAD.
又 DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF，∠DEA =∠DFA = 90°.
在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，
AD = AD，
DE = DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.∴AE = AF.
在△AEG 和△AFG 中，
AE = AF，
∠EAG = ∠FAG，
AG = AG，
∴△AEG≌△AFG（SAS）.
∴∠AGE =∠AGF.
∵∠AGE +∠AGF = 180°，
∴∠AGE =∠AGF = 90°，∴AD⊥EF.
8. 如图，∠B =∠C = 90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC. 求证：AE 平分∠DAB.（提示：过点 E 作 EF⊥AD，垂足为 F.）
【教材P53习题14.3 第8题】
证明：如图，过点 E 作 EF⊥AD，垂足为 F.
∵DE 平分∠ADC，EF⊥AD，∠C=90°，
∴EF = CE.
∵E 是 BC 的中点，
∴CE = BE，
∴EF = BE.
又 EF⊥AD，∠B = 90°，
∴AE 平分∠DAB.
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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