资源简介

(共32张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.1.2 线段的垂直平分线
副标题：探索线段的 “对称生命线”
背景图：左侧展示一条线段 AB，右侧展示 AB 的垂直平分线 l（标注 “垂直” 和 “平分” 符号），在 l 上取一点 P，连接 PA、PB，标注 PA=PB，直观呈现线段垂直平分线的核心特征。
幻灯片 2：学习目标
理解线段垂直平分线的定义，能准确识别线段的垂直平分线，掌握其 “垂直” 且 “平分” 的双重属性。
通过实验探究与逻辑证明，掌握线段垂直平分线的性质定理（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）和判定定理（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）。
会用尺规作线段的垂直平分线，能运用线段垂直平分线的性质与判定解决几何证明、线段计算及实际定位问题。
经历 “定义 — 性质 — 判定 — 应用” 的过程，体会轴对称与线段垂直平分线的关联，培养几何推理与作图能力。
幻灯片 3：导入 —— 从 “轴对称” 关联线段垂直平分线
复习回顾：回顾轴对称的性质（对应点的连线被对称轴垂直平分），展示线段 AB 及其关于直线 l 的对称线段 A'B'，提问：若 A' 与 A 重合、B' 与 B 重合（即线段 AB 是轴对称图形），则对称轴 l 与线段 AB 有什么关系？（引导学生发现：l 垂直于 AB 且平分 AB）。
生活实例：展示工人师傅用绳子找线段中点并画垂线的场景（如确定长方形木板对角线的中点，再画垂直于对角线的直线），提问：这条直线有什么特点？引出本节课核心 —— 线段的垂直平分线。
幻灯片 4：线段垂直平分线的定义
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫线段的中垂线）。
关键词解析：
“垂直”：直线与线段的夹角为 90°；
“平分”：直线经过线段的中点，将线段分成两条长度相等的线段；
双重属性：线段的垂直平分线需同时满足 “垂直” 和 “平分” 两个条件，缺一不可（反例：仅垂直不平分的直线、仅平分不垂直的直线，均不是线段的垂直平分线）。
图形标注：展示线段 AB，直线 l 经过 AB 的中点 O，且 l⊥AB，标注 “AO=OB”“l⊥AB”，明确直线 l 是线段 AB 的垂直平分线。
符号表示：若直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，O 是 AB 的中点，则 l⊥AB 且 AO=OB。
幻灯片 5：线段垂直平分线的性质定理（探究与证明）
实验探究：
实验材料：画有线段 AB 及其中垂线 l 的硬纸板、直尺、圆规。
实验步骤：
在直线 l 上任意取一点 P（如 P1、P2、P3）；
用圆规分别测量 PA 与 PB、P1A 与 P1B、P2A 与 P2B 的长度；
记录测量结果，观察规律。
实验现象：无论点 P 在 l 上的哪个位置，PA=PB、P1A=P1B、P2A=P2B，即 “线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”。
定理证明：
已知：如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，O 是 AB 的中点，l⊥AB，点 P 在 l 上。
求证：PA=PB。
证明过程：
∵l 是 AB 的垂直平分线，∴AO=OB，∠AOP=∠BOP=90°（垂直定义）。
在△AOP 和△BOP 中：
\(\begin{cases}
AO=OB（已证）, \\
∠AOP=∠BOP（已证）, \\
OP=OP（公共边）,
\end{cases}\)
∴△AOP≌△BOP（SAS）。
∴PA=PB（全等三角形对应边相等）。
定理内容：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
符号语言：若直线 l 是 AB 的垂直平分线，点 P 在 l 上，则 PA=PB。
幻灯片 6：线段垂直平分线的性质定理应用
例题 1：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 的垂直平分线，已知 BD=3cm，求 BC 的长度；若点 E 在 AD 上，BE=5cm，求 EC 的长度。
分析：AD 是 BC 的垂直平分线，故 AD 平分 BC（BD=DC），且 E 在 AD 上，故 EB=EC（性质定理）。
解答：
∵AD 是 BC 的垂直平分线，
∴BD=DC（垂直平分线定义），EB=EC（垂直平分线性质定理）。
又∵BD=3cm，BE=5cm，
∴BC=BD+DC=3+3=6cm，EC=BE=5cm。
例题 2：如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，P、Q 是 l 上的两点，已知 PA=4cm，∠PAB=30°，求 PB 的长度及∠PBA 的度数。
解答：
∵P 在 AB 的垂直平分线上，∴PB=PA=4cm（性质定理）。
∴△PAB 是等腰三角形，∠PBA=∠PAB=30°（等腰三角形两底角相等）。
幻灯片 7：线段垂直平分线的判定定理（推导与证明）
逆向思考：若点 P 到线段 AB 两端的距离相等（PA=PB），则点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上？
定理证明：
已知：如图，点 P 满足 PA=PB，过 P 作 PO⊥AB 于 O。
求证：PO 是线段 AB 的垂直平分线（即 AO=OB，PO⊥AB）。
证明过程：
∵PO⊥AB，∴∠AOP=∠BOP=90°（垂直定义），△AOP 和△BOP 是直角三角形。
在 Rt△AOP 和 Rt△BOP 中：
\(\begin{cases}
PA=PB（已知）, \\
PO=PO（公共边）,
\end{cases}\)
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）。
∴AO=OB（全等三角形对应边相等）。
又∵PO⊥AB，∴PO 是 AB 的垂直平分线，即点 P 在 AB 的垂直平分线上。
定理内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
符号语言：若 PA=PB，则点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
幻灯片 8：线段垂直平分线的判定定理应用
例题 3：如图，在△ABC 中，AB=AC，DB=DC，求证：AD 是 BC 的垂直平分线。
分析：由 AB=AC 得 A 在 BC 的垂直平分线上（判定定理），由 DB=DC 得 D 在 BC 的垂直平分线上，两点确定一条直线，故 AD 是 BC 的垂直平分线。
证明过程：
∵AB=AC（已知），∴点 A 在 BC 的垂直平分线上（垂直平分线判定定理）。
∵DB=DC（已知），∴点 D 在 BC 的垂直平分线上（垂直平分线判定定理）。
∵两点确定一条直线，∴直线 AD 是 BC 的垂直平分线。
例题 4：如图，已知 PA=PB，QA=QB，求证：PQ 垂直平分 AB。
证明：
∵PA=PB，∴P 在 AB 的垂直平分线上；
∵QA=QB，∴Q 在 AB 的垂直平分线上；
∴PQ 是 AB 的垂直平分线（两点确定一条直线）。
幻灯片 9：尺规作线段的垂直平分线
作图工具：直尺、圆规。
作图步骤（以作线段 AB 的垂直平分线为例）：
以 A 为圆心，大于\(\frac{1}{2}\)AB 的长为半径画弧：确保两弧能相交于 AB 两侧，弧长需大于\(\frac{1}{2}\)AB（若等于或小于，两弧无交点或仅交于一点）。
以 B 为圆心，相同半径画弧：与第一步所画的弧分别交于 AB 上方的点 C 和下方的点 D。
作直线 CD：用直尺连接 C、D，直线 CD 即为线段 AB 的垂直平分线。
作图依据：
由作图可知 AC=BC=AD=BD（同圆半径相等），故点 C、D 均在 AB 的垂直平分线上（判定定理），因此直线 CD 是 AB 的垂直平分线。
动画演示：分步演示作图过程，标注弧的交点、直线 CD，验证 CD 垂直平分 AB（测量 AO=OB，∠AOC=90°）。
幻灯片 10：易错点辨析
易错点 1：混淆 “线段的垂直平分线” 与 “直线的垂直平分线”：
误区：认为 “线段的垂直平分线” 是线段，实际是 “直线”（可无限延伸），线段的垂直平分线是直线，而非线段或射线。
强调：定义中明确是 “直线”，需注意与 “线段的垂线”（可是线段、射线或直线）区分。
易错点 2：应用性质时忽略 “点在线上”：
示例：误将 “任意点 P 到 A、B 距离相等” 归因于 “P 在 AB 的垂直平分线上”，未验证 P 是否满足 “到两端距离相等”。
提醒：性质定理需 “点在线段垂直平分线上”，判定定理需 “点到两端距离相等”，条件缺一不可。
易错点 3：尺规作图时半径过小：
作图时若半径≤\(\frac{1}{2}\)AB，两弧无交点或仅交于 AB 中点，无法画出垂直平分线，需确保半径大于\(\frac{1}{2}\)AB。
幻灯片 11：课堂练习 —— 巩固线段垂直平分线知识
练习 1：如图，在△ABC 中，DE 是 AB 的垂直平分线，若 AE=3cm，∠ABD=50°，求 AB 的长度及∠A 的度数（答案：AB=6cm，∠A=∠ABD=50°，等腰三角形）。
练习 2：下列说法正确的是（ ）
A. 线段的垂直平分线是线段（错，是直线）
B. 到线段两端距离相等的点一定在线段的垂直平分线上（对）
C. 线段的垂直平分线仅有 1 个点到线段两端距离相等（错，无数个）
D. 过线段中点的直线是线段的垂直平分线（错，需垂直）（答案：B）
练习 3：用尺规作线段 MN 的垂直平分线，并在其上取一点 P，测量 PM 与 PN 的长度，验证性质定理（操作题，强调作图规范）。
幻灯片 12：课堂小结
核心知识：
定义：线段的垂直平分线是 “垂直于线段且平分线段的直线”，具双重属性。
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等（“线→距离”）。
判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（“距离→线”）。
尺规作图：以线段两端为圆心，大于\(\frac{1}{2}\)线段长为半径画弧，连接交点得垂直平分线。
解题逻辑：证明线段相等用性质定理，证明直线是垂直平分线用判定定理（找两点到线段两端距离相等）。
幻灯片 13：课后作业
如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线，求证：AD 是 BC 的垂直平分线（提示：证△ABD≌△ACD，得 BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°）。
已知线段 AB=8cm，用尺规作 AB 的垂直平分线 l，在 l 上取一点 P，使 PA=5cm，求 PB 的长度及点 P 到 AB 的距离（提示：用勾股定理计算距离）。
如图，某小区要建一个超市，使超市到 A、B、C 三栋楼的距离相等，试确定超市的位置（保留作图痕迹，提示：找 AB、BC 的垂直平分线交点）。
证明：三角形三边的垂直平分线交于一点（提示：设两边垂直平分线交于 P，证 P 在第三边垂直平分线上）。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.1.2线段的垂直平分线
第十五章 轴对称
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.通过学生自主探究，理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定，会用线段的垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题，培养学生解决问题的能力.
2.学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力.
学习目标
线段的垂直平分线的定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
新课导入
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3 ……到点A 与点B 的距离之间的数量关系.
相等．
A
B
l
P1
P2
P3
线段的垂直平分线的性质定理
知识点 1
猜想：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”
　　已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
　　求证：PA =PB．
A
B
P
C
l
猜想与证明
用符号语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ PA =PB．
证明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
　　 又 AC =CB，PC =PC，
　　 ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
　　 ∴ PA =PB．
A
B
P
C
l
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
归纳总结
　　反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
线段的垂直平分线的判定定理
知识点 2
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
用数学符号表示为：
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
　　到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
P
A
B
C
这些点能组成什么几何图形？
　　 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
　　在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A，B 的距离相等的所有点的集合．
P
A
B
C
l
试一试：
例 如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.
线段垂直平分线的判定定理的应用
证明：∵OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上.
又AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
即A，O均在BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC.
　　如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？
C
B
过直线外一点作已知直线的垂线
知识点 3
A
C
A
B
D
K
F
E
作法：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点
D和E.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 的长
为半径作弧，两弧相交于点F.
（4）作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？
（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？
（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？
想一想
1. 如图，在四边形中，垂直平分 ，
垂足为 ，下列结论不一定成立的是( )
C
A. B. 平分
C. D.
课堂练习
2. 下列说法中错误的个数是( )
①任何一个命题都有逆命题；
②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题；
③任何一个定理都有逆定理；
④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题.
B
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
课堂练习
3. ［2025无锡期中］有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他
们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为
三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的
位置是在三角形的( )
B
A. 三边中线的交点处
B. 三边垂直平分线的交点处
C. 三条角平分线的交点处
D. 三边上高的交点处
课堂练习
（第4题）
4. 如图，在中， ，
为内一点，过点的直线 分别交
，于点，，若在 的垂直平
分线上，在 的垂直平分线上，则
的度数为( )
B
A. B.
C. D.
课堂练习
（第4题）
【点拨】 ，
， ，
，
.
在的垂直平分线上，在 的垂直
平分线上，，，
课堂练习
， ，
.
（第4题）
课堂练习
（第5题）
5.母题教材P70习题 如图，在 中，
的垂直平分线交于点，若 的周
长为5，，则边 的长的取值范围为
____________.
课堂练习
（第5题）
【点拨】的周长为5， ，
，
的垂直平分线交 于点
， ，
.由三角形的三边关系得
，，即边
的长的取值范围为 .
课堂练习
6.如图，在中， ，
平分，交于点，
于点，连接 .
（1）求证： ；
【证明】平分， ， ，
， .
又， .
课堂练习
（2）求证：垂直平分 ；
【证明】， .
又，垂直平分 .
课堂练习
（3）若的周长为24，，求 的周长.
课堂练习
【解】由（2）得 .
，
的周长
.
的周长为24，
，即
，
， 的周长为8.
课堂练习
线段的垂直平分线
性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
集合
定义
线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合
关系
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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