资源简介

(共36张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.2.2 坐标上的轴对称
副标题：数字与图形共舞，探索对称新篇
背景图：在平面直角坐标系中，绘制一个关于 y 轴对称的简单图形（如直角三角形，直角顶点在 y 轴上），坐标系网格线清晰可见，突出 “坐标” 与 “轴对称” 的融合主题。
幻灯片 2：学习目标
理解平面直角坐标系中，点关于 x 轴、y 轴对称的坐标变化规律，能准确写出已知点关于坐标轴的对称点坐标。
掌握简单平面图形（如三角形、四边形）顶点坐标的变化规律，进而画出其关于 x 轴、y 轴的轴对称图形。
能运用坐标上的轴对称知识，解决生活中的实际问题（如地图上对称地点的坐标确定），体会数学与生活的紧密联系。
通过观察、归纳、验证坐标变化规律的过程，培养逻辑推理与数学抽象能力。
幻灯片 3：导入 —— 生活中的 “坐标对称”
生活情境：展示城市地图，标注出一条河流（看作 x 轴），河流两岸有两个对称分布的公园 A、B，提问：若已知公园 A 在地图坐标系中的坐标，如何确定公园 B 的坐标？（引导学生思考点在关于 x 轴对称时坐标的变化）。
知识回顾：回顾平面直角坐标系的构成（横轴 x、纵轴 y、原点 O）以及点的坐标表示方法（有序数对 (x,y)），提问：在坐标系中，一个点的位置由什么决定？（横坐标 x 和纵坐标 y），为探究坐标上的轴对称做铺垫。
幻灯片 4：点关于 x 轴对称的坐标规律
探究活动：在平面直角坐标系中，画出点 A (2,3)，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 M。
思考 1：点 A 到 x 轴的距离是多少？（3 个单位长度，即纵坐标的绝对值）。
思考 2：若点 A 关于 x 轴对称的点为 A'，那么 A' 到 x 轴的距离是多少？（同样是 3 个单位长度）。
思考 3：A' 的横坐标与 A 的横坐标有什么关系？纵坐标呢？
动画演示：将点 A 沿 x 轴折叠，得到对称点 A'，展示折叠过程，测量 A 与 A' 的坐标（A (2,3)，A'(2,-3)）。
归纳总结：点 (x,y) 关于 x 轴对称的点的坐标为 (x,-y)，即横坐标不变，纵坐标互为相反数。
验证练习：给出点 B (-1,4)、C (3,-2)，让学生口答它们关于 x 轴的对称点 B'、C' 的坐标（B'(-1,-4)，C'(3,2)）。
幻灯片 5：点关于 y 轴对称的坐标规律
类似探究：在坐标系中画出点 P (-3,2)，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 N。
思考 1：点 P 到 y 轴的距离是多少？（3 个单位长度，即横坐标的绝对值）。
思考 2：点 P 关于 y 轴对称的点 P' 到 y 轴的距离是多少？（也是 3 个单位长度）。
思考 3：P' 的横坐标与 P 的横坐标有什么关系？纵坐标呢？
动画展示：将点 P 沿 y 轴折叠得到 P'，测量坐标（P (-3,2)，P'(3,2)）。
总结规律：点 (x,y) 关于 y 轴对称的点的坐标为 (-x,y)，即纵坐标不变，横坐标互为相反数。
巩固练习：已知点 Q (4,1)、R (-2,-3)，写出它们关于 y 轴的对称点 Q'、R' 的坐标（Q'(-4,1)，R'(2,-3)）。
幻灯片 6：画简单图形（三角形）关于 x 轴的轴对称图形
已知条件：在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A (1,2)、B (3,4)、C (5,1)，求作△ABC 关于 x 轴的轴对称图形△A'B'C'。
作图思路：根据点关于 x 轴对称的坐标规律，求出 A、B、C 三点关于 x 轴的对称点 A'、B'、C' 的坐标，再顺次连接这三个对称点。
计算过程：
点 A (1,2) 关于 x 轴的对称点 A'(1,-2)。
点 B (3,4) 关于 x 轴的对称点 B'(3,-4)。
点 C (5,1) 关于 x 轴的对称点 C'(5,-1)。
作图步骤：
在坐标系中标出 A'(1,-2)、B'(3,-4)、C'(5,-1)。
用直尺顺次连接 A'、B'、B'、C'、C'、A'，得到△A'B'C'。
性质验证：测量△ABC 与△A'B'C' 的对应边长度（AB 与 A'B'、BC 与 B'C'、AC 与 A'C'），发现对应边相等；测量对应角（∠A 与∠A'、∠B 与∠B'、∠C 与∠C'），发现对应角相等，符合轴对称图形性质。
幻灯片 7：画简单图形（四边形）关于 y 轴的轴对称图形
已知条件：四边形 DEFG 的顶点坐标为 D (-2,3)、E (-4,1)、F (-1,-2)、G (1,0)，求作其关于 y 轴的轴对称图形 D'E'F'G'。
解题步骤：
求对称点坐标：
点 D (-2,3) 关于 y 轴的对称点 D'(2,3)。
点 E (-4,1) 关于 y 轴的对称点 E'(4,1)。
点 F (-1,-2) 关于 y 轴的对称点 F'(1,-2)。
点 G (1,0) 关于 y 轴的对称点 G'(-1,0)。
在坐标系中标出 D'、E'、F'、G'。
按顺序连接 D'、E'、E'、F'、F'、G'、G'、D'，得到四边形 D'E'F'G'。
特殊情况：若图形的边与坐标轴平行（如四边形 DEFG 中 EF 平行于 x 轴），其对称边（E'F'）也平行于 x 轴，且对应边长度相等，强调利用图形与坐标轴的位置关系简化作图。
幻灯片 8：复杂图形（含曲线）在坐标上的轴对称
已知条件：在平面直角坐标系中有一半圆形，圆心坐标为 (0,0)，半径为 2，其方程为\(y = \sqrt{4 - x^{2}}\)（\(y \geq 0\)），对称轴为 y 轴，求作其轴对称图形。
作图思路：对于曲线图形，先在曲线上取多个关键点，根据坐标轴对称规律求出对称点，再用平滑曲线连接对称点。
取关键点：在半圆上取点 A (-2,0)、B (-1,\(\sqrt{3}\))、C(0,2)、D(1,\(\sqrt{3}\))、E(2,0)。
求对称点：
点 A (-2,0) 关于 y 轴的对称点 A'(2,0)。
点 B (-1,\(\sqrt{3}\)) 关于 y 轴的对称点 B'(1,\(\sqrt{3}\))。
点 C (0,2) 的对称点 C'(0,2)（在对称轴上，对称点与自身重合）。
点 D (1,\(\sqrt{3}\)) 关于 y 轴的对称点 D'(-1,\(\sqrt{3}\))。
点 E (2,0) 关于 y 轴的对称点 E'(-2,0)。
描点连线：在坐标系中标出 A'、B'、C'、D'、E'，用平滑曲线连接，得到完整圆形（符合半圆关于 y 轴对称的性质）。
生活应用：展示地图上以河流（y 轴）为对称轴的对称区域（如城市的两个对称城区，有不规则边界，类似含曲线图形），说明如何用此方法确定对称区域的坐标边界，体现坐标轴对称在实际中的应用。
幻灯片 9：坐标上轴对称的易错点与技巧
易错点 1：坐标符号混淆：
错误表现：求点关于 x 轴或 y 轴对称点坐标时，记错横、纵坐标的变化规律，如将点 (3, -4) 关于 x 轴的对称点错写为 (-3, -4)。
纠正方法：牢记 “关于 x 轴对称，横不变纵相反；关于 y 轴对称，纵不变横相反”，可通过多画坐标系、多练习简单点的对称点坐标来强化记忆。
易错点 2：图形顶点顺序混乱：
错误表现：画多边形关于坐标轴的轴对称图形时，连接对称点顺序错误，导致图形变形，如原四边形顶点顺序为 A→B→C→D，连接对称点时错连为 A'→C'→B'→D'。
预防方法：在原图顶点旁标注顺序（1、2、3…），对称点旁标注对应序号（1'、2'、3…），按序号顺序连接。
技巧分享：
对于关于 x 轴对称的图形，可将原图形沿 x 轴 “翻转” 想象，辅助确定对称点位置。
若图形有顶点在坐标轴上，其对称点位置较易确定（在 x 轴上的点关于 x 轴对称点是本身，关于 y 轴对称点横坐标变号；在 y 轴上的点反之），可先确定这些特殊点，再找其他点的对称点。
幻灯片 10：课堂练习 —— 分层提升
基础练习 1：已知点 P (5, -3)，求点 P 关于 x 轴、y 轴的对称点 P 、P 的坐标（学生独立完成，教师随机提问回答）。
基础练习 2：在平面直角坐标系中，已知线段 AB，A (2,1)，B (4,3)，求作线段 AB 关于 y 轴的轴对称图形 A'B'（学生在练习本上画图，教师巡视指导，展示学生作品并点评）。
提升练习 3：已知△MNO，M (-1,2)、N (0,4)、O (2,1)，画出△MNO 关于 x 轴的轴对称图形△M'N'O'，并计算△MNO 与△M'N'O' 的面积（强调面积计算方法，巩固图形轴对称与面积知识）。
拓展练习 4：给出一个由直线和曲线组成的不规则图形（类似公园地图轮廓）在坐标系中的部分图形及对称轴（x 轴），小组合作补全完整的轴对称图形，并标注关键顶点坐标（培养学生合作能力与解决复杂问题能力）。
幻灯片 11：课堂小结
核心规律：
点 (x,y) 关于 x 轴对称的点为 (x,-y)，关于 y 轴对称的点为 (-x,y)。
画图形关于坐标轴的轴对称图形，关键是求出图形顶点（或关键点）的对称点坐标，再按顺序连接。
解题流程：确定图形类型（点、简单图形、复杂图形）→分析对称轴（x 轴或 y 轴）→根据规律求关键点对称点坐标→在坐标系中标出对称点→连接对称点得到轴对称图形。
知识关联：坐标上的轴对称与之前学的平面直角坐标系、点的坐标、图形的轴对称性质紧密相关，是用代数方法（坐标）研究几何图形（轴对称）的重要体现。
幻灯片 12：课后作业
教材习题：完成教材中 3 道关于坐标轴对称的基础题目，包括求点的对称点坐标、画简单图形的轴对称图形，要求写出详细计算过程与作图步骤。
实践作业：观察家里的物品（如书架、窗户），以房间的墙面交线（可看作坐标轴）为对称轴，画出物品在坐标系中的一半图形，再补全完整的轴对称图形，标注至少 3 个关键点坐标，并说明作图思路。
拓展作业：设计一个在平面直角坐标系中的城市规划草图，包含住宅区、商业区、公园等区域，使整个规划图关于 x 轴或 y 轴对称，标注各区域关键地点坐标，阐述设计理念中如何运用坐标轴对称知识实现布局的合理性与美观性。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.2.2坐标上的轴对称
第十五章 轴对称
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y轴建立平面直角坐标系.根据如图所示的东直门的坐标（3.5，4），你能说出西直门的坐标吗？
新课导入
已知点A和一条直线MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗
A
M
N
O
平面直角坐标系中的轴对称
知识点
问题1：
新课讲解
A
A′
M
N
∴A′就是点A关于直线MN的对称点.
O
（2）延长AO至A′,使OA′=AO.
（1）过点A作AO⊥MN，垂足为点O.
新课讲解
x
y
O
如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗
A (2,3)
A′(2,–3)
你能说出点A与点A'坐标的关系吗？
问题2：
新课讲解
x
y
O
在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点.
C (3,–4)
C '(3,4)
B(–4,2)
B '(–4,–2)
(x , y)
关于 x 轴
对称
( , )
x
–y
做一做:
新课讲解
关于x轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标相等,纵坐标互为相反数. （简称：横同纵反）
归纳总结
新课讲解
练一练
1.点P(–5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________.
2.点M(a, –5)与点N(–2, b)关于x轴对称，则a=_____,
b =_____.
(– 5 , –6 )
–2
5
新课讲解
如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于y轴的对称点吗
x
y
O
A (2,3)
A′(–2,3)
你能说出点A与点A'坐标的关系吗？
问题3：
新课讲解
x
y
O
在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点.
C (3,–4)
C '(3,4)
B(–4,2)
B '(–4,–2)
(x , y)
关于 y轴
对称
( , )
–x
y
做一做:
新课讲解
关于y轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标互为相反数,纵坐标相等. （简称：横反纵同）
归纳总结
新课讲解
练一练
1.点P(–5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________.
2.点M(a, –5)与点N(–2, b)关于y轴对称，则a=_____,
b =_____.
(5 , 6 )
2
–5
新课讲解
例1 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(–5,1),
B(–2,1),C(–2,5),D(–5,4),分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.
x
y
A
B
C
D
A ′ ′
B ′ ′
C ′ ′
D ′ ′
A ′
B ′
C ′
D ′
O
在平面直角坐标系内作轴对称图形
新课讲解
方法点拨
对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形. (一找二描三连）
新课讲解
平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为
A（0,4），B（2,4），C（3，–1）.
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，画出△A'B'C'，
并写出A'、B'、C'的坐标.
新课讲解
解：如图所示：
x
y
O
A (0,4)
B (2,4)
C (3,–1)
A' (0,–4)
B' (2,–4)
C' (3,1)
新课讲解
例2 已知点A(2a–b，5＋a)，B(2b–1，–a＋b)．
(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
(2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2016的值．
新课讲解
利用轴对称在平面直角坐标系内求字母的值
解：(1)∵点A、B关于x轴对称，
∴2a–b＝2b–1，5＋a–a＋b＝0，
解得a＝–8，b＝–5；
(2)∵A、B关于y轴对称，
∴2a–b＋2b–1＝0，5＋a＝–a＋b，
解得a＝–1，b＝3，
∴(4a＋b)2016＝1.
解决此类题可根据关于x轴、y轴对称的点的特征列方程(组)求解．
新课讲解
已知点A(2a＋3b，–2)和点B(8，3a＋2b)关于x轴对称，则a＋b＝ ．
若M(a，– )与N(4，b)关于y轴对称，则a，b的值分别为 ，MN＝ ．
2
–4，
8
新课讲解
利用轴对称在平面直角坐标系内求字母的取值范围
例3 已知点P(a＋1，2a–1)关于x轴的对称点在第一象限，
求a的取值范围．
新课讲解
解：依题意得点P在第四象限，
解得 .
即a的取值范围是
方法总结：解决此类题，一般先写出对称点的坐标或判断已知所在的象限，再由各象限内点的坐标的符号，列不等式(组)求解．
新课讲解
已知点M(1–a，2a＋2)，若点M关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是 ．
a>1
新课讲解
如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系，在这种变换下，如果△ABC内任意一点M(a，b)，那么它的对应点N的坐标为
．
(–a，b)
新课讲解
1. 教材练面直角坐标系中，若点 关于
轴对称的点的坐标是，则点 的坐标为( )
D
A. B.
C. D.
2. ［2024雅安］在平面直角坐标系中，将点 向右平
移2个单位长度后，得到的点关于 轴的对称点的坐标是
( )
B
A. B.
C. D.
课堂练习
3. 小红同学误将点的横、纵坐标次序颠倒，写成 ，
另一学生误将点的坐标写成关于 轴对称的点的坐标，写成
，则， 两点原来的位置关系是( )
A
A. 关于轴对称 B. 关于 轴对称
C. 点和 重合 D. 以上都不对
4.［2025德阳期中］已知点与点关于 轴
对称，则 的值为____.
课堂练习
5. 如图是蜡烛平面镜成
像原理图，若以桌面为 轴，镜面侧面
为 轴（镜面厚度忽略不计）建立平面
直角坐标系，若某刻火焰顶尖 点的坐
6.已知点到轴、轴的距离分别是4和5，且点关于 轴对
称的点在第四象限，则点 的坐标是_________.
标是，此时对应的虚像的坐标是，则 的值
为____.
课堂练习
7. 在如图的
直角坐标系中，每个小方格都是边
长为1个单位长度的正方形，
的三个顶点都在格点上
（每个小方格的顶点叫格点），点
的坐标为 .
课堂练习
（1）请画出关于轴对称的（其中，，
分别是，， 的对应点）；
【解】如图所示， 即为所求.
（第7题）
课堂练习
（2）写出,, 三点的坐标：_________
____________________.
，，
（3）若在轴上有一点，使得
的值最小，请画出点 的位置.
如图所示，点 即为所求.
课堂练习
8. 已知点关于 轴的对称点在第一象限，则
的取值范围在数轴上表示正确的是( )
D
A. B.
C. D.
课堂练习
9. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一.如图
是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，
点与点 对称，点与点 对称，
将其放置在直角坐标系
A
A. B. C. D.
中，点，，的坐标分别为，，，则点 的
坐标为( )
课堂练习
10. 点 的横坐标为一元一次方程
的解，纵坐标为的值，其中， 满足
二元一次方程组 则点关于轴的对称点
的坐标为_________.
课堂练习
11.如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为 .若
是关于直线对称的轴对称图形，则点 的坐标为
__________.
课堂练习
用坐标表示轴对称
关于坐标轴对称的点的坐标特征
在坐标系中作已知图形的对称图形
关于x轴对称，横同纵反；关于y轴对称，横反纵同
关键要明确点关于x轴、y轴对称点的坐标变化规律，然后正确画出对称点的位置
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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