资源简介

(共35张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.3.1 等腰三角形的判定
副标题：探索等腰奥秘，解锁三角形新特性
背景图：展示一个等腰三角形，将其对称轴用醒目的颜色标记，三角形的两腰长度相等直观可辨，背景辅以简洁的几何线条，突出主题。
幻灯片 2：学习目标
理解并掌握等腰三角形的判定定理，能清晰阐述判定定理的内容及推导过程。
能够熟练运用等腰三角形的判定定理进行相关证明，包括证明三角形是等腰三角形、线段相等以及角相等的问题。
通过对判定定理的探究，体会数学中的转化思想，即把证明线段相等的问题转化为证明角相等，提升逻辑推理能力。
学会在实际生活情境中，运用等腰三角形的判定知识解决问题，增强数学应用意识。
幻灯片 3：知识回顾
等腰三角形定义：展示一个等腰三角形，标注出两腰，提问学生等腰三角形的定义，引导回答：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形性质：
提问：等腰三角形有哪些性质？
学生回答后总结：等腰三角形的两个底角相等（简写成 “等边对等角”）；等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成 “三线合一”）。
动画演示：通过动画展示等腰三角形沿着顶角平分线折叠，两部分完全重合，再次强调 “三线合一” 性质，为判定定理的探究做铺垫。
幻灯片 4：判定定理探究 —— 猜想环节
提出问题：我们知道等腰三角形两底角相等，那么反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
引导猜想：展示一个有两个角相等的三角形，让学生观察并大胆猜想。鼓励学生通过测量三角形的边，初步得出 “如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等” 的猜想。
幻灯片 5：判定定理探究 —— 证明环节
已知条件：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证内容：AB = AC。
证明思路引导：
提示学生添加辅助线，构造全等三角形来证明。
动画展示：过点 A 作 AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D（也可作 BC 边上的高 AD，或 BC 边上的中线 AD）。
证明过程：
在△ABD 和△ACD 中：
∠B = ∠C（已知）。
∠BAD = ∠CAD（AD 平分∠BAC）。
AD = AD（公共边）。
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
由全等三角形对应边相等，可得 AB = AC。
归纳判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成 “等角对等边”）。用数学符号语言表示为：在△ABC 中，∵∠B = ∠C，∴AB = AC，即△ABC 为等腰三角形。
幻灯片 6：判定定理应用 —— 基础例题讲解
例题 1：在△ABC 中，已知∠A = 50°，∠B = 80°，判断△ABC 是什么三角形，并说明理由。
分析思路：
先求出∠C 的度数，根据三角形内角和为 180°，可得∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 50° - 80° = 50°。
发现∠A = ∠C，满足等腰三角形 “等角对等边” 的判定条件。
解答过程：
解：因为∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 50° - 80° = 50°，所以∠A = ∠C。
根据等腰三角形的判定定理 “等角对等边”，可知 AB = BC，所以△ABC 是等腰三角形。
幻灯片 7：判定定理应用 —— 角平分线与平行线结合
例题 2：如图，已知 OC 是∠AOB 的平分线，CD∥OB 交 OA 于点 D。求证：△DOC 是等腰三角形。
分析思路：
由 OC 平分∠AOB，可得∠AOC = ∠BOC。
因为 CD∥OB，根据平行线的性质，内错角相等，所以∠DCO = ∠BOC。
从而得出∠AOC = ∠DCO，满足等腰三角形 “等角对等边” 的条件。
解答过程：
证明：∵OC 平分∠AOB，∴∠AOC = ∠BOC。
∵CD∥OB，∴∠DCO = ∠BOC。
∴∠AOC = ∠DCO。
根据 “等角对等边”，可得 OD = CD，所以△DOC 是等腰三角形。
总结规律：角平分线 + 平行线可以推出等腰三角形，帮助学生快速识别此类几何模型。
幻灯片 8：判定定理应用 —— 实际生活问题
生活情境：展示一个屋顶的示意图，屋顶的截面是一个三角形，工人师傅要检验这个屋顶是否为等腰三角形，他用量角器量得∠B = ∠C = 55°，能否判断这个屋顶是等腰三角形？
分析思路：引导学生将实际问题转化为数学问题，已知∠B = ∠C，根据等腰三角形的判定定理 “等角对等边”，可判断该三角形是否为等腰三角形。
解答过程：
解：因为在这个三角形中，∠B = ∠C = 55°，满足等腰三角形 “等角对等边” 的判定条件。
所以 AB = AC，即这个屋顶的截面三角形是等腰三角形。
强调数学应用价值：让学生体会到数学知识在实际生活中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣。
幻灯片 9：等腰三角形判定与性质对比
表格对比：
| 对比项目 | 性质 | 判定 |
|----|----|----|
| 条件 | 三角形的两条边相等 | 三角形的两个角相等 |
| 结论 | 这两条边所对的角相等 | 这两个角所对的边相等 |
| 几何语言 | 在△ABC 中，∵AB = AC，∴∠B = ∠C | 在△ABC 中，∵∠B = ∠C，∴AB = AC|
| 作用 | 由边相等推出角相等，用于证明角相等 | 由角相等推出边相等，用于证明三角形是等腰三角形或边相等 |
易错点提醒：强调 “等边对等角” 与 “等角对等边” 的前提条件都是在同一个三角形中，防止学生在应用时忽略这一要点。
幻灯片 10：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：在△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 70°，判断△ABC 的形状，并说明理由。（学生独立完成，教师随机提问解答）
基础练习 2：如图，已知∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，找出图中的等腰三角形，并说明理由。（学生思考后，同桌之间交流讨论，教师巡视指导，然后请小组代表发言）
提升练习 3：已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F，且 DE = DF。求证：△ABD≌△ACD。（学生在练习本上书写证明过程，教师选取部分学生的作业进行展示和点评，强调证明格式和思路）
拓展练习 4：在平面直角坐标系中，已知点 A（2，0），B（0，2），在坐标轴上找一点 C，使△ABC 为等腰三角形，求点 C 的坐标。（小组合作探究，鼓励学生分类讨论，考虑 AB 为腰或底边的不同情况，教师引导学生画出图形，利用等腰三角形的性质和两点间距离公式求解，最后展示各小组的讨论结果，总结解题方法）
幻灯片 11：课堂小结
判定定理总结：回顾等腰三角形的判定定理 “等角对等边”，强调其条件和结论，以及在证明等腰三角形时的关键作用。
证明思路归纳：总结证明等腰三角形的常见思路，如通过角相等证明边相等，利用角平分线与平行线的组合构造等腰三角形，以及在实际问题中如何识别和应用等腰三角形的判定定理。
数学思想提炼：指出在整个学习过程中所运用的转化思想，将证明线段相等的问题转化为证明角相等，培养学生运用数学思想方法解决问题的能力。
幻灯片 12：课后作业
教材习题：完成教材中与等腰三角形判定相关的 3 道基础题目，要求写出详细的证明过程，规范书写格式。
实践作业：测量家里的一个三角形物品（如衣架、三角架等）的两个角的度数，判断该物品是否为等腰三角形，并记录测量数据和判断过程。
拓展作业：如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 F，过点 F 作 DE∥BC，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E。猜想线段 DE 与 BD、CE 之间的数量关系，并证明你的猜想。（通过拓展作业，进一步提升学生综合运用知识的能力，培养学生的创新思维和探索精神）
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.3.1等要三角形的判定
第十五章 轴对称
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.等腰三角形的定义？
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.
①等腰三角形的两个底角相等
(简写成“等边对等角”) .
2.等腰三角形有哪些性质？
D
A
B
C
几何语言：∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C (等边对等角) .
新课导入
A
B
C
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
新课讲解
如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系
C
A
B
AB=AC
你能验证你的结论吗？
等腰三角形的判定
知识点
请同学用直尺和量角器，画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？
小活动
新课讲解
在△ABD与△ACD，
∠1=∠2，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC是
等腰三角形.
新课讲解
∴ AC=AB. ( )
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C， ( )
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”，这又是一个判定两条线段相等的根据之一）.
已知
等角对等边
在△ABC中，
B
C
A
(
(
归纳总结
应用格式：
新课讲解
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC
（等角对等边）.
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
【思考】如图,下列推理正确吗
新课讲解
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB=AC．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
利用等腰三角形的判定定理判定三角形的形状
例题讲解
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
例题讲解
已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等),
∴AE=DE(等角对等边）,
∴ △AED是等腰三角形.
例题讲解
例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD.
B
A
D
C
由平行及角平分线识别等腰三角形
例题讲解
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：平分角+平行=等腰三角形
B
A
D
C
例题讲解
如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.
3cm
例题讲解
如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
B
C
A
D
E
答：是.
由折叠可知，∠EBD=∠CBD.
∵AD∥BC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.
∴∠EDB=∠CBD，
例题讲解
例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
通过计算角相等来证明等腰三角形
例题讲解
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
例题讲解
方法点拨
“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，它的前提条件是“在同一个三角形中”．
例题讲解
例4 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作
等腰△ABC.使底边BC=a，底边上的高为h.
a
h
利用尺规作图作等腰三角形
例题讲解
作法：
1.作线段AB=a.
2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB 于点D.
3.在MN上取一点C，使DC=h.
4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
A
B
C
M
N
D
例题讲解
例5 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
探究EF，BE，FC之间的关系.
A
B
C
O
E
F
利用等腰三角形的判定证明线段之间的关系
例题讲解
解：EF=BE+CF.
理由如下：∵ EF∥BC,
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.
∵ BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，
∴BE＝OE，CF=OF，
∴ EF=EO+FO＝BE+CF.
A
B
C
O
E
F
例题讲解
O
A
B
C
E
F
若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？
结论还成立吗？
例题讲解
方法点拨
判定线段之间的数量关系，一般做法是通过证明线段所在的两个三角形全等或利用同一个三角形中“等角对等边”，运用转化思想，解决问题.
例题讲解
1. 下列能判定 是等腰三角形的是( )
B
A. ，
B. ，
C. ，
D. ， ，周长为13
课堂练习
（第2题）
2. 母题教材P81练习 如图，
，
，则图中的
等腰三角形有( )
D
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
课堂练习
（第3题）
3. ［2025江门期中］如图，
中，平分，平分 ，
经过点，与，相交于点 ，
，且，已知 ，
，，则 的周长
为( )
B
A. 6 B. 7 C. 7.5 D. 8.5
课堂练习
（第3题）
【点拨】根据角平分线的定义和平行线
的性质可证和 是等腰三
角形，从而可得， ，
然后根据等量代换可得, 的周长
，从而进行计算即可解答.
课堂练习
（第4题）
4. 如图，一艘海轮位于灯
塔的南偏东 方向的 处，它以每小时
的速度向正北方向航行，2小时后
到达位于灯塔的北偏东 方向的 处，
则处与灯塔 的距离为( )
D
A. B.
C. D.
课堂练习
5.［2024重庆］如图，在中，， ，
平分交于点.若，则 的长度为___.
2
（第5题）
课堂练习
6.如图，在中， ， .用无刻度的
直尺和圆规在边上找一点，使 为等腰三角形.下列
作法正确的有___个.
3
课堂练习
7.母题教材P81练习 如图，将一
张长方形的纸条沿 折叠，
交于点 ,若折叠后
.
（1）求 的度数；
【解】 四边形 是长方形，
.由折叠的性质，得
， .
课堂练习
（2）求证： 是等腰三角形.
【证明】 四边形是长方形， .
.由（1）得 .
，即 是等腰三角形.
课堂练习
等腰三角形的判定
等角对等边
定义
注意是指同一个三角形中
有两边相等的三角形是等腰三角形
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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