资源简介

(共49张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.3.1 等腰三角形的性质
副标题：解密等腰三角形的 “对称密码”
背景图：左侧展示等腰三角形实物（如等腰三角尺、屋顶等腰截面），右侧呈现标准等腰三角形几何图，标注 “腰”“底边”“顶角”“底角”，用红色虚线标注对称轴，直观关联 “实物” 与 “几何定义”。
幻灯片 2：学习目标
理解等腰三角形的定义，能准确识别等腰三角形的腰、底边、顶角和底角。
通过实验探究与逻辑证明，掌握等腰三角形的两大核心性质（等边对等角、三线合一），能规范书写性质的符号语言。
能运用等腰三角形的性质解决角度计算、线段相等证明及实际问题，提升几何推理与应用能力。
体会等腰三角形的对称性，培养几何直观能力和转化思想，感受数学与生活的联系。
幻灯片 3：导入 —— 从 “对称” 初识等腰三角形
生活实例展示：
播放图片：等腰三角形屋顶、等腰三角形锦旗、等腰三角形交通警示牌、等腰三角尺，提问：这些图形有什么共同特点？（引导学生发现 “两边相等”“沿某条直线折叠后完全重合”）。
定义回顾：结合实例，明确等腰三角形定义 —— 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做 “腰”，另一条边叫做 “底边”，两腰的夹角叫做 “顶角”，腰与底边的夹角叫做 “底角”（在几何图中完整标注各部分名称）。
提问引导：等腰三角形作为特殊的三角形，除了 “两边相等”，还具有哪些特殊性质？引出本节课核心 —— 等腰三角形的性质。
幻灯片 4：等腰三角形性质 1—— 等边对等角（实验探究）
实验材料：等腰三角形纸片（如△ABC，AB=AC）、量角器、剪刀、直尺。
实验步骤：
观察与测量：用量角器测量等腰三角形纸片的两个底角（∠B 和∠C）的度数，记录数据。
折叠验证：将等腰三角形纸片沿顶角平分线 AD 折叠，观察∠B 与∠C 是否重合，两腰 AB 与 AC 是否重合。
重复实验：更换不同形状的等腰三角形（顶角为锐角、直角、钝角），重复上述步骤，记录结果。
实验现象：无论等腰三角形的顶角是锐角、直角还是钝角，折叠后两个底角均重合，测量数据显示∠B=∠C；两腰 AB 与 AC 也完全重合。
提出猜想：等腰三角形的两个底角相等（即 “等边对等角”）。
幻灯片 5：等腰三角形性质 1—— 等边对等角（理论证明）
已知条件：如图，在△ABC 中，AB=AC。
求证内容：∠B=∠C。
证明思路：通过添加辅助线（顶角平分线、底边中线或底边高），构造两个全等三角形，利用全等三角形的对应角相等证明底角相等。
证明过程（以顶角平分线为例）：
作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D（辅助线作法）。
在△ABD 和△ACD 中：
\(\begin{cases}
AB=AC（已知）, \\
∠BAD=∠CAD（AD平分∠BAC）, \\
AD=AD（公共边）,
\end{cases}\)
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。
性质总结：等腰三角形的两个底角相等，简写成 “等边对等角”。
符号语言：在△ABC 中，∵AB=AC，∴∠B=∠C。
拓展说明：若等腰三角形为等边三角形（三边相等），则三个角均相等，且每个角都等于 60°（由 “等边对等角” 和三角形内角和 180° 推导得出）。
幻灯片 6：等腰三角形性质 2—— 三线合一（探究与证明）
实验观察：在上述折叠实验中，观察折叠后的辅助线 AD（顶角平分线），发现 AD 同时垂直于 BC 且平分 BC（即 BD=DC），提出猜想：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称 “三线合一”）。
理论证明（以 “顶角平分线也是底边上的高和中线” 为例）：
已知：△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D。
求证：AD⊥BC，且 BD=DC。
证明：
由△ABD≌△ACD（已证，SAS），得 BD=DC（对应边相等），∠ADB=∠ADC（对应角相等）。
又∵∠ADB+∠ADC=180°（平角定义），∴∠ADB=∠ADC=90°，即 AD⊥BC。
故 AD 既是顶角平分线，也是底边上的中线和高。
性质总结：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称 “三线合一”。
符号语言（三种表述）：
在△ABC 中，∵AB=AC，AD 平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=DC；
在△ABC 中，∵AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD；
在△ABC 中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∠BAD=∠CAD。
幻灯片 7：等腰三角形性质的应用 1—— 角度计算
例题 1：在△ABC 中，AB=AC，∠A=50°，求∠B 和∠C 的度数。
分析：由 AB=AC 可知△ABC 是等腰三角形，∠B=∠C（等边对等角），结合三角形内角和 180° 计算。
解答：
∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）。
又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∠A=50°，
∴∠B=∠C=(180°-50°)÷2=65°。
例题 2：在△ABC 中，AB=AC，一个底角为 70°，求顶角∠A 的度数。
解答：
∵AB=AC，∴∠B=∠C=70°（等边对等角）。
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°。
例题 3：在△ABC 中，AB=AC，∠A=∠B，求△ABC 各角的度数（判断是否为等边三角形）。
解答：
∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）。
又∵∠A=∠B，∴∠A=∠B=∠C。
∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°，故△ABC 是等边三角形。
幻灯片 8：等腰三角形性质的应用 2—— 线段相等证明
例题 4：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，求证：∠BAD=∠CAD，AD⊥BC（验证 “三线合一”）。
证明：
∵AB=AC，AD 是 BC 边上的中线（已知），
∴AD 平分∠BAC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
即∠BAD=∠CAD，AD⊥BC。
例题 5：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：DE=DF。
分析：连接 AD，利用 “三线合一” 得 AD 平分∠BAC，再结合角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等）证明 DE=DF。
证明：
连接 AD，∵AB=AC，D 是 BC 中点（已知），
∴AD 平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知），
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
幻灯片 9：等腰三角形性质的应用 3—— 实际问题
例题 6：如图，某工厂要制作一个等腰三角形的钢架，其中 AB=AC，顶角∠A=120°，腰长 AB=2m，求底边 BC 的长度（提示：过 A 作 AD⊥BC，利用 “三线合一” 和直角三角形性质求解）。
解答：
过 A 作 AD⊥BC 于 D，∵AB=AC，AD⊥BC（已知），
∴BD=DC（三线合一），∠BAD=∠CAD=60°（平分顶角）。
在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°，∠BAD=60°，
∴∠ABD=30°，则 AD=AB÷2=1m（直角三角形中 30° 角对边是斜边的一半）。
由勾股定理得：BD=√(AB -AD )=√(2 -1 )=√3 m，
∴BC=2BD=2√3 m。
例题 7：如图，等腰三角形屋顶的顶角∠BAC=100°，AB=AC，求屋顶的两个底角（即∠B 和∠C）的度数，确保屋顶结构稳定。
解答：
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等边对等角）。
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=100°，
∴∠B=∠C=(180°-100°)÷2=40°，即屋顶底角为 40°。
幻灯片 10：易错点辨析与注意事项
易错点 1：混淆 “顶角” 与 “底角”：
示例：在等腰三角形中，误将 “顶角” 当作 “底角” 计算（如已知等腰三角形一个角为 30°，未分情况讨论是顶角还是底角）。
提醒：若已知等腰三角形的一个角，需分 “该角为顶角” 和 “该角为底角” 两种情况讨论（注意：底角不能大于或等于 90°，否则三角形内角和会超过 180°）。
易错点 2：“三线合一” 的适用条件：
误区：在非等腰三角形中误用 “三线合一”（如普通三角形中，认为 “中线也是高”）。
强调：“三线合一” 是等腰三角形的专属性质，仅适用于 “等腰三角形”，且针对 “顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，不可随意扩展到其他线段。
易错点 3：等边三角形的性质混淆：
误区：认为等边三角形只有 “三边相等”，忽略 “三角均为 60°” 和 “三线合一”（每条边上的中线、高、对角平分线均重合）。
纠正：等边三角形是特殊的等腰三角形，兼具等腰三角形的所有性质，且三个角均为 60°，三条边的 “三线” 均重合。
幻灯片 11：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：在等腰△ABC 中，AB=AC，∠C=75°，则∠A=______（答案：30°）。
基础练习 2：如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D，若 BD=3cm，则 BC=______cm（答案：6cm，利用三线合一）。
提升练习 3：如图，△ABC 中，AB=AC，E 是 AC 上一点，ED⊥BC 于 D，交 BA 的延长线于 F，求证：AF=AE（提示：利用等边对等角，证明∠F=∠AEF）。
拓展练习 4：已知等腰三角形的周长为 18cm，其中一边长为 5cm，求另外两边的长度（提示：分 “5cm 为腰” 和 “5cm 为底” 两种情况，结合三边关系验证，答案：5cm 和 8cm，或 6.5cm 和 6.5cm）。
幻灯片 12：课堂小结
核心知识：
等腰三角形定义：有两条边相等的三角形，包含腰、底边、顶角、底角四个要素。
两大性质：
等边对等角：等腰三角形的两个底角相等（AB=AC→∠B=∠C）；
三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（仅适用于等腰三角形）。
特殊情况：等边三角形是特殊的等腰三角形，三边相等、三角均为 60°，三条边的 “三线” 均重合。
解题思路：
角度计算：利用 “等边对等角” 和 “三角形内角和 180°”，注意分类讨论已知角是顶角还是底角；
线段证明：优先考虑 “三线合一” 或全等三角形，结合角平分线、垂直等条件推导；
实际问题：将实际场景转化为等腰三角形模型，利用性质和几何定理（如勾股定理）求解。
幻灯片 13：课后作业
如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=80°，D 是 BC 上一点，∠ABD=60°，求∠ADC 的度数。
已知等腰三角形的一个外角为 100°，求该等腰三角形的顶角和底角的度数（分情况讨论）。
如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的高，E 是 AD 延长线上一点，连接 BE、CE，求证：BE=CE（提示：利用三线合一和全等三角形）。
观察生活中的等腰三角形物体，选择一个测量其腰长、底边长和底角的度数，验证 “等边对等角” 的性质，写出测量报告。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.3.1等要三角形的性质
第十五章 轴对称
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.通过剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形，培养学生的动手能力.
2.通过学生自主探究、探索、猜想、验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质，提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用，掌握转化和分类讨论的数学思想，发展学生的推理能力.
重难点
学习目标
新课导入
新课导入
看到下面三角形了吗，它有何特点呢？
腰
腰
顶角
底角
底角
底边
我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.
新课导入
把一张长方形的纸按图中的虚线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
等腰三角形的性质
知识点
新课讲解
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
新课讲解
【思考】△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
新课讲解
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段 重合的角
　
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
新课讲解
【思考】由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
说一说你的猜想.
新课讲解
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
【思考】如何构造两个全等的三角形？
猜想:等腰三角形的两个底角相等.
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.
新课讲解
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
新课讲解
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，
则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线.
还有其他的证法吗？
新课讲解
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
新课讲解
由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
A
B
C
D
【想一想】
新课讲解
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
A
B
C
D
新课讲解
性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
归纳总结
新课讲解
具备其中一条
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
即：等腰三角形
顶角平分线
底边上的高线
底边上的中线
另外两条成立
新课讲解
归纳总结
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2.（等腰三角形三线合一）
数学语言：如图, 在△ABC中,
新课讲解
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
三线合一
不重合
【思考】
为什么不一样？
新课讲解
（1）等腰三角形的顶角一定是锐角.
（2）等腰三角形的底角可能是锐角，也可能是直角、钝角.
（3）钝角三角形不可能是等腰三角形.
（4）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
（5）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
（6）等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
明辨是非.
（ ）
×
×
×
√
×
√
例题讲解
A
B
C
D
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
分析：（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD.
等腰三角形性质的应用
例题讲解
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（4）设∠A=x ,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °.
例题讲解
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° .
解得x=36 ° .
∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
例题讲解
方法点拨
在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
新课讲解
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，
求∠B和∠C的度数.
例题讲解
解：∵AB=AD=DC
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC.
设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x，
在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得
2x+x+26°+x=180°，
解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
例题讲解
例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
A
例题讲解
方法点拨：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
例题讲解
等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 _______；
等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________；
等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________.
75°, 30°
70°,40°或55°,55°
35°,35°
例题讲解
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
图②
图①
利用等腰三角形的性质证明线段间的关系
例题讲解
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG–DG＝CG–EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
图①
G
例题讲解
在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
例题讲解
方法点拨
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)求证：EF＝ED.
例题讲解
(1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ (180°– ∠BAC)
＝ (180°– 50°)＝65°.
例题讲解
(2)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴ED⊥BC，
又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
例题讲解
1. ［2025广安期中］已知 是等腰三角形，若
，则 的顶角度数是( )
C
A. B.
C. 或 D. 以上都不正确
（第2题）
2. 如图，，在上截取 ，连
接，当 时， 的度数是( )
C
A. B. C. D.
课堂练习
（第3题）
3. 如图①是
两名同学玩跷跷板的场景，如
图②是跷跷板示意图，支柱
与地面垂直，是 的中
B
A. B. C. D.
点，绕着点上下转动.当端落地时， ，则
跷跷板上下可转动的最大角度 是( )
课堂练习
4. ［2025长沙天心区期中］“一亭幽绝费平章，峡口清风赠
晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色，
迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一
亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”.
如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，，
是边上的一点.下列条件不能说明是 的角平分线
的是( )
课堂练习
（第4题）
A.
B.
C.
D. 与 的周长相等
√
课堂练习
5.母题教材P79例1 如图，已知等腰三角形， ，
，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰 于
点，连接，则____ .
30
（第5题）
课堂练习
6. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的
2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 是
“倍长三角形”，底边的长为3，则腰 的长为___.
6
课堂练习
【点拨】 等腰三角形是“倍长三角形”， 或
.若，则 的三边长分别是6，6，
3，符合题意， 腰的长为6；若 ，则
，则的三边长分别是， ，3，
， 此时不能构成三角形，这种情况不存在.
综上所述，腰 的长是6.
课堂练习
7.母题教材P86习题 小琳想要证明命题：等
腰三角形两腰上的中线相等.请你将该命题的已
知与求证补充完整，并完成证明过程.
已知：如图，在 中，_________________
____，，分别为边与 边上的中线，
；
求证： _____________________________________________
____________________________________________________
【解】证明：， .
是边上的中线，是 边上的中线，
课堂练习
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________.
，.又 ,
.
又 ，
.
课堂练习
8. ［2025天津和平区期中］如图，已知 是
四边形内一点， ,
,则 的大
小是( )
D
A. B. C. D.
课堂练习
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质
易错点拨
（1）求等腰三角形角的度数时，如果没有明确是底角还是顶角必须分类讨论
（2）等腰三角形“三线合一”定理，角平分线指的是“顶角平分线”
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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