资源简介

(共39张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.3.2 等边三角形的性质
副标题：探索特殊等腰三角形的 “完美对称”
背景图：左侧展示等边三角形实物（如雪花结晶、正六边形地砖中的等边三角形、三角饭团），右侧呈现标准等边三角形几何图，标注三边相等、三角相等（均为 60°），用红色虚线标注三条对称轴，直观体现 “等边”“等角” 的核心特征。
幻灯片 2：学习目标
理解等边三角形的定义，明确其与等腰三角形的从属关系（特殊与一般）。
通过推导与验证，掌握等边三角形的性质（三边相等、三角均为 60°、三线合一且有三条对称轴），能规范书写性质的符号语言。
能运用等边三角形的性质解决角度计算、线段证明及实际应用问题，提升几何推理的灵活性。
体会等边三角形的 “完美对称性”，培养分类讨论与转化思想，感受数学的严谨与美感。
幻灯片 3：导入 —— 从 “特殊等腰” 引出等边三角形
复习回顾：回顾等腰三角形的定义（两边相等）和性质（等边对等角、三线合一），提问：若等腰三角形的三条边都相等，它会具有哪些更特殊的性质？（引导学生从 “边”“角”“对称性” 展开思考）。
生活实例：展示等边三角形相关实物（如交通警示牌中的正三角形、等边三角形锦旗、魔方的表面三角形），提问：这些图形与普通等腰三角形有什么区别？（引出 “三边相等” 的特征），进而明确等边三角形的定义 —— 三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。
从属关系：通过集合图展示 “三角形 — 等腰三角形 — 等边三角形” 的包含关系，强调 “等边三角形是特殊的等腰三角形”（满足 “至少两边相等”，且三边都相等），为后续性质推导铺垫。
幻灯片 4：等边三角形性质 1—— 边与角的性质（推导与验证）
性质推导（基于等腰三角形性质）：
三边相等：由等边三角形定义直接可得 —— 等边三角形的三条边都相等（符号语言：在△ABC 中，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC）。
三角均为 60°：
因等边三角形是特殊的等腰三角形，故 AB=AC→∠B=∠C；AB=BC→∠A=∠C。
结合三角形内角和定理（∠A+∠B+∠C=180°），得∠A=∠B=∠C=180°÷3=60°。
符号语言：在△ABC 中，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°。
实验验证：
用直尺测量等边三角形纸片的三边长度，用量角器测量三个内角的度数，验证 “三边相等、三角均为 60°”。
更换不同大小的等边三角形重复实验，确保性质的普遍性（与边长无关，均满足三角为 60°）。
结论总结：等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且每个内角都等于 60°。
幻灯片 5：等边三角形性质 2—— 三线合一与对称性（深化探究）
三线合一的特殊性：
回顾等腰三角形 “三线合一”（仅底边上的中线、高、顶角平分线重合），提问：等边三角形作为特殊的等腰三角形，“三线合一” 有什么不同？
推导：以等边△ABC 为例，任意一边（如 BC）均可看作 “底边”，对应顶点（A）的中线、高、角平分线重合；同理，AB 边对应顶点 C 的三线重合，AC 边对应顶点 B 的三线重合。
结论：等边三角形每条边上的中线、高和这条边所对角的平分线相互重合（即有三组 “三线合一”，而非等腰三角形的一组）。
符号语言：在等边△ABC 中，若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD⊥BC，且 AD 平分∠BAC（∠BAD=∠CAD=30°）；同理可推广到其他两边。
对称性：
折叠实验：将等边三角形纸片沿任意一条 “三线”（如 AD）折叠，观察到纸片完全重合，说明等边三角形是轴对称图形。
对称轴数量：因等边三角形有三组 “三线”，故有三条对称轴（每条 “三线” 所在直线即为一条对称轴），且三条对称轴交于一点（重心、内心、垂心重合）。
对比等腰三角形：等腰三角形仅有 1 条对称轴，突出等边三角形对称性的 “完美性”。
幻灯片 6：等边三角形性质的应用 1—— 角度计算
例题 1：如图，在等边△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，求∠BAD 和∠ADB 的度数。
分析：利用等边三角形 “三线合一”（AD 是 BC 边上的中线，故 AD⊥BC 且平分∠BAC）。
解答：
∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC。
∵D 是 BC 中点，∴AD 平分∠BAC，AD⊥BC（等边三角形三线合一）。
∴∠BAD=∠BAC÷2=60°÷2=30°，∠ADB=90°。
例题 2：如图，等边△ABC 中，点 E 在 AC 上，∠ABE=20°，求∠BEC 的度数。
分析：先求∠ABC（60°），得∠EBC=∠ABC-∠ABE=40°，再利用△BEC 内角和计算。
解答：
∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°。
∵∠ABE=20°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-20°=40°。
在△BEC 中，∠BEC=180°-∠EBC-∠C=180°-40°-60°=80°。
幻灯片 7：等边三角形性质的应用 2—— 线段证明与计算
例题 3：如图，在等边△ABC 中，AD=BE=CF，求证：△DEF 是等边三角形。
分析：先证△ABD≌△BCE≌△CAF（SAS），得 DE=EF=DF，从而证明△DEF 是等边三角形。
证明：
∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
在△ABD 和△BCE 中：
\(\begin{cases}
AB=BC（已证）, \\
∠A=∠B（已证）, \\
AD=BE（已知）,
\end{cases}\)
∴△ABD≌△BCE（SAS），∴BD=CE。
同理，可证△BCE≌△CAF（SAS），得 CE=AF，∴BD=CE=AF。
∵BC=AC=AB，∴BC-BD=AC-CE=AB-AF，即 CD=AE=BF。
在△CDE 和△AEF 中：
\(\begin{cases}
CD=AE（已证）, \\
∠C=∠A（已证）, \\
CE=AF（已证）,
\end{cases}\)
∴△CDE≌△AEF（SAS），∴DE=EF。
同理可证 EF=DF，∴DE=EF=DF，故△DEF 是等边三角形。
例题 4：如图，等边△ABC 的边长为 6cm，求它的高 AD 的长度及面积。
分析：利用 “三线合一” 得 BD=DC=3cm，再用勾股定理求 AD，最后计算面积。
解答：
∵△ABC 是等边三角形，AD 是高，∴BD=DC=BC÷2=6÷2=3cm（三线合一）。
在 Rt△ABD 中，由勾股定理得：AD=√(AB -BD )=√(6 -3 )=√27=3√3 cm。
面积 S=BC×AD÷2=6×3√3÷2=9√3 cm 。
幻灯片 8：等边三角形性质的应用 3—— 实际问题
例题 5：如图，某公园要修建一个等边三角形的花坛，边长为 8m，计划在花坛每条边上每隔 2m 放一盆花（顶点处也要放），一共需要多少盆花？
分析：先计算每条边放花数量（边长 ÷ 间隔 + 1），再减去重复计算的顶点花盆（3 个顶点各多算 1 次）。
解答：
每条边放花数量：8÷2+1=5（盆）。
三条边共放花：5×3=15（盆），但顶点处 3 盆花重复计算，故实际需要 15-3=12（盆）。
例题 6：如图，一艘船从 A 港出发，沿北偏东 60° 方向行驶至 B 港，再沿北偏西 30° 方向行驶至 C 港，若 AB=BC，求证：△ABC 是等边三角形，并求∠ACB 的度数。
分析：先通过方向角计算∠ABC=90°？（需结合方向角定义修正：北偏东 60° 与北偏西 30° 的夹角为 60°+30°=90°，但 AB=BC，故△ABC 是等腰直角三角形？此处调整题目条件为 “AB=BC=AC” 或 “∠BAC=60°”，确保为等边三角形，重新设计）：
修正例题 6：一艘船从 A 港出发，沿北偏东 60° 方向行驶至 B 港，再沿南偏东 60° 方向行驶至 C 港，且 AB=BC，求证：△ABC 是等边三角形。
解答：
由方向角可知：∠BAN=60°（北偏东 60°），∠BCS=60°（南偏东 60°），AN∥CS（均为南北方向），故∠ABC=180°-60°-60°=60°。
∵AB=BC，且∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形，后续会学习，此处可暂用 “AB=BC，∠ABC=60°→∠BAC=∠BCA=60°→三边相等” 推导）。
幻灯片 9：等边三角形与等腰三角形的性质对比
对比表格：
性质维度
等腰三角形（普通）
等边三角形（特殊）
关键区别
边的关系
至少两条边相等（腰 = 腰）
三条边都相等（AB=BC=AC）
等边三角形边的相等数量更多
角的关系
两个底角相等（∠B=∠C）
三个角都相等（均为 60°）
等边三角形角的相等范围更广
三线合一
仅底边上的中线、高、顶角平分线重合
每条边上的中线、高、对角平分线均重合
等边三角形有三组 “三线合一”
对称轴数量
1 条（底边的垂直平分线）
3 条（每条 “三线” 所在直线）
等边三角形对称性更完善
从属关系
包含等边三角形
属于特殊的等腰三角形
等边三角形具备等腰三角形所有性质
图形对比：在同一坐标系中画出等腰三角形和等边三角形，标注对称轴和 “三线合一” 的线段，直观展示差异。
幻灯片 10：易错点辨析与注意事项
易错点 1：混淆 “等边三角形” 与 “等腰三角形” 的性质适用范围：
示例：误将等腰三角形 “只有 1 条对称轴” 的性质套用在等边三角形上，或认为等边三角形 “仅底边上的三线合一”。
提醒：等边三角形是特殊的等腰三角形，兼具等腰三角形的所有性质，但有更特殊的特征（如三条对称轴、三组三线合一），需注意 “特殊” 与 “一般” 的区别。
易错点 2：忽略 “有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形” 的隐含条件：
示例：已知等腰△ABC 中，∠A=60°，未明确∠A 是顶角还是底角，直接判定为等边三角形（实际无论∠A 是顶角还是底角，均可推出三角为 60°，确实是等边三角形，但需规范推导过程）。
纠正：需分情况讨论（∠A 为顶角→底角 =(180°-60°)÷2=60°；∠A 为底角→顶角 = 180°-2×60°=60°），最终得出 “三角均为 60°，故为等边三角形”，体现严谨性。
易错点 3：计算等边三角形高或面积时，忘记 “三线合一” 的应用：
示例：已知等边三角形边长为 a，直接用勾股定理时，误将底边当作 “a” 而非 “a/2”，导致计算错误（如高 =√(a -a )=0，显然错误）。
预防：计算前先明确 “三线合一” 得底边一半为 “a/2”，再代入勾股定理（高 =√(a -(a/2) )= (√3/2) a）。
幻灯片 11：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：等边△ABC 中，∠A=______，若边长为 5cm，高为______cm（答案：60°，(5√3)/2）。
基础练习 2：如图，等边△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，若 AD=3√3 cm，求边长 AB 的长度（答案：6cm，提示：设 AB=x，BD=x/2，由勾股定理得 x -(x/2) =(3√3) ）。
提升练习 3：如图，等边△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，且 DE∥BC，求证：△ADE 是等边三角形（提示：利用平行线性质得∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，结合∠A=60°，证三角为 60°）。
拓展练习 4：已知等边△ABC 的周长为 18cm，点 P 是△ABC 内一点，且 PA=PB=PC，求点 P 到各边的距离之和（提示：连接 PA、PB、PC，将△ABC 分成三个小三角形，利用面积关系求解，答案：3√3 cm）。
幻灯片 12：课堂小结
核心知识：
等边三角形定义：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。
三大性质：
边：三条边都相等（AB=BC=AC）；
角：三个角都相等，均为 60°（∠A=∠B=∠C=60°）；
特殊特征：每条边上的三线合一，有三条对称轴。
应用关键：结合 “三线合一”“勾股定理”“三角形内角和”，解决角度、线段、面积问题。
解题思路：
角度计算：利用 “三角均为 60°” 或 “等腰三角形性质 + 60° 角” 推导；
线段 / 面积计算：优先用 “三线合一” 拆分线段，再结合勾股定理或面积公式；
证明等边三角形：可通过 “三边相等”“三角均为 60°”“有一个角是 60° 的等腰三角形” 三种思路。
幻灯片 13：课后作业
如图，等边△ABC 中，点 F 是 AB 的中点，FG⊥AC 于 G，若 AG=1cm，求△ABC 的边长（提示：连接 FC，利用三线合一和直角三角形 30° 角性质）。
已知等边△ABC 中，D 是 AC 上一点，BD=CE，∠ABD=∠ACE，求证：△ADE 是等边三角形（提示：先证△ABD≌△ACE，得 AD=AE，∠BAD=∠CAE=60°）。
用一根长 18cm 的铁丝围成一个等边三角形，求它的高和面积（结果保留根号）。
观察生活中的等边三角形结构（如建筑中的桁架、工艺品中的图案），选择一个分析其应用等边三角形性质的原因（如稳定性、对称性），撰写一篇简短的分析报告。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.3.2等边三角形的性质
第十五章 轴对称
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
名称 图形 性质 判定
等 腰 三 角 形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等
两腰相等
轴对称图形
A
B
C
　　1．等腰三角形的性质和判定
新课导入
　　2．三角形按边的相等关系分类
　　三角形
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
　　等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形．
新课导入
你从中发现了哪个公共的几何图形？
它有什么特殊性？
新课导入
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？
等边三角形的性质
知识点 1
10cm
6cm
10cm
10cm
10cm
10cm
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
A
B
C
A
B
C
等边三角形的三个角之间有什么关系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等边三角形
AB=AC=BC
AB=AC
∠B=∠C
AC=BC
∠A=∠B
∠A=∠B=∠C
内角和为
180°
=60°
问题1：
结论：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
证明： ∵AB=AC，
∴∠B=∠C .(等边对等角)
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
A
B
C
A
B
C
等边三角形有“三线合一”的性质吗 等边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
问题2：
图形 等腰三角形
　性 质
每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是60
两条边相等
三条边都相等
归纳总结
例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
等边三角形的性质应用
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°– 40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.
解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.
方法点拨
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
新课讲解
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
新课讲解
例2 △ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
新课讲解
方法点拨
此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.
图形 等腰三角形
判 定
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的判定
知识点 2
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
例1 如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，
求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
等边三角形的判定的应用
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
本题还有其他证法吗？
例2 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
方法点拨
判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个角等于60°.
（第1题）
1. 如图，直线， 是等边三角
形， ，则 的大小为( )
C
A. B. C. D.
课堂练习
（第2题）
2. 由于木质的衣架没有
柔韧性，在挂置衣服的时候不太方便操
作.小红设计了一种衣架，在使用时能轻
易收拢，然后套进衣服后松开即可，如
B
A. B.
C. D. 以上都不对
图①，衣架杆 .若衣架收拢时，
，如图②，则此时， 两点间的距离是( )
课堂练习
3.母题教材P93复习题 如图，是等边三角形， ，
，分别是，，边上一点，且 ,则
的形状是____________.
等边三角形
（第3题）
课堂练习
（第3题）
【点拨】 为等边三角形，且
，， .在
与 中，
.同理证
得 是一个等边三角形.
课堂练习
（第4题）
4.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所示
的方式放置，已知 ，点， 表示的
刻度分别为1，3，则线段的长为___ .
2
【点拨】 直尺的两对边相互平行，
是等边三角形.
.
.易知 ，.
课堂练习
5.如图，六边形的六个角都是 ，边长
，,, ，则这个六边
形的周长是____ .
15
（第5题）
课堂练习
【点拨】如图，分别作，， 的延长线
和反向延长线，使它们交于点，， 六边
形的六个角都是 ， 它的每一个
外角是 . 易得，， ，
都是等边三角形. ，
. 六边形 的周长为
.
课堂练习
6.［2025常州期中］如图， 是等边三角形，
点在的外部，且，连接 交
于点 .
（1）求证：垂直平分 ；
【证明】是等边三角形， .
又， 点,在线段 的垂直平分线上.
垂直平分 .
课堂练习
（2）在上取点，连接，交于点，若 ，
试判断 的形状，并说明理由.
课堂练习
【解】 为等边三角形.理由如下：
是等边三角形， .
， .
， .
.
.
为等边三角形.
课堂练习
等边
三角形
定义
底=腰
特殊性
性质
特殊性
边
三边相等
角
三个角都等于60 °
轴对称性
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
特殊性
三边都相等
三角都相等
有一个角是60°的等腰三角形
一般到特殊，类比方法
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑