资源简介

(共37张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.3.2 含 30 度角的三角形
副标题：探索特殊角度三角形的边角关系
背景图：左侧展示含 30° 角的直角三角尺（标注 30°、60°、90°），右侧呈现由等边三角形拆分而成的两个含 30° 角的直角三角形（标注 30° 角对边与斜边的关系），直观关联 “等边三角形” 与 “含 30° 角的直角三角形”。
幻灯片 2：学习目标
理解含 30° 角的直角三角形的特殊性质（30° 角所对的直角边等于斜边的一半），掌握性质的推导过程。
能运用含 30° 角的直角三角形的性质解决线段长度计算、几何证明及实际应用问题。
了解含 30° 角的非直角三角形的特点，能结合三角形内角和与等腰三角形性质分析其边角关系。
经历 “推导 — 验证 — 应用” 的过程，培养逻辑推理与几何应用能力，体会特殊与一般的数学思想。
幻灯片 3：导入 —— 从等边三角形拆分引出特殊三角形
复习回顾：回顾等边三角形的性质（三边相等、三角均为 60°），展示一个等边△ABC，提问：若过顶点 A 作 BC 边上的高 AD，将等边三角形分成两个直角三角形，这两个直角三角形有什么特殊角度？（引导学生发现：∠BAD=30°，∠B=60°，∠ADB=90°，即含 30° 角的直角三角形）。
提出问题：在拆分后的 Rt△ABD 中，∠BAD=30°，它所对的直角边 BD 与斜边 AB 有什么数量关系？（结合等边三角形 “AB=BC=2BD”，引导学生猜想 “BD=1/2AB”），引出本节课核心 —— 含 30° 角的直角三角形的性质。
幻灯片 4：含 30° 角的直角三角形的性质推导
推导依据：利用等边三角形的性质与直角三角形的定义进行推导。
推导过程：
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°。
推导步骤：
延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD（构造全等三角形）。
在△ABC 和△ADC 中：
\(\begin{cases}
BC=CD（构造）, \\
∠ACB=∠ACD=90°（已知）, \\
AC=AC（公共边）,
\end{cases}\)
∴△ABC≌△ADC（SAS），故 AB=AD，∠B=∠D=60°。
由∠B=∠D=60°，AB=AD，可知△ABD 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形），故 AB=BD。
又∵BD=BC+CD=2BC（CD=BC），∴AB=2BC，即 BC=1/2AB。
性质总结：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
符号语言：在 Rt△ABC 中，∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=1/2AB（或 AB=2BC）。
实验验证：用含 30° 角的直角三角尺测量（如三角尺斜边 AB=10cm，30° 角对边 BC=5cm），验证 “BC=1/2AB”，确保性质的准确性。
幻灯片 5：含 30° 角的直角三角形的性质应用 1—— 线段长度计算
例题 1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，斜边 AB=8cm，求 BC 和 AC 的长度。
分析：由性质得 BC=1/2AB，再用勾股定理求 AC。
解答：
∵∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm，
∴BC=1/2AB=1/2×8=4cm（含 30° 角的直角三角形性质）。
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：
AC=√(AB -BC )=√(8 -4 )=√48=4√3 cm。
例题 2：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5cm，求斜边 AB 和直角边 BC 的长度。
分析：∠B=30°，其对边是 AC，故 AC=1/2AB，先求 AB，再用勾股定理求 BC。
解答：
∵∠C=90°，∠B=30°，AC 是∠B 的对边，
∴AC=1/2AB（性质），故 AB=2AC=2×5=10cm。
由勾股定理得：BC=√(AB -AC )=√(10 -5 )=√75=5√3 cm。
幻灯片 6：含 30° 角的直角三角形的性质应用 2—— 几何证明
例题 3：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，∠A=30°，求证：CD=1/2AB=BC。
分析：先由性质得 BC=1/2AB，再利用 “直角三角形斜边中线等于斜边一半” 得 CD=1/2AB，从而证得 CD=BC。
证明：
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=1/2AB（含 30° 角的直角三角形性质）。
∵∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 的中线，∴CD=1/2AB（直角三角形斜边中线性质）。
∴CD=BC（等量代换）。
例题 4：如图，在等边△ABC 中，AD⊥BC 于 D，DE⊥AB 于 E，若 AB=4cm，求 BE 的长度。
分析：先由等边三角形性质得 BD=2cm，∠B=60°，再在 Rt△BDE 中，∠BDE=30°，利用性质求 BE。
解答：
∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC，∴BD=1/2BC=1/2×4=2cm，∠B=60°。
∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，在 Rt△BDE 中，∠BDE=90°-60°=30°。
∴BE=1/2BD=1/2×2=1cm（含 30° 角的直角三角形性质）。
幻灯片 7：含 30° 角的非直角三角形的特点
角度与边的关系：
已知含 30° 角的非直角三角形，结合三角形内角和 180°，设∠A=30°，则∠B+∠C=150°，需结合其他条件（如等腰、边相等）分析边的关系。
示例 1：在△ABC 中，∠A=30°，∠B=30°，则∠C=120°，△ABC 是等腰三角形（AB=AC），可通过作高拆分出含 30° 角的直角三角形，计算边的长度（如 AB=AC=2，高 AD=1，BC=2√3）。
示例 2：在△ABC 中，∠A=30°，∠B=100°，则∠C=50°，非等腰三角形，需用正弦定理（初中暂不深入）或作高转化为直角三角形分析。
解题思路：含 30° 角的非直角三角形，可通过 “作高” 构造含 30° 角的直角三角形，利用特殊性质计算线段长度，体现 “转化” 思想。
幻灯片 8：含 30° 角的三角形的实际应用
例题 5：如图，某登山队在登山过程中，遇到一个坡度为 30° 的斜坡（斜坡与水平面的夹角为 30°），若队员沿斜坡向上攀登了 100 米，求队员上升的垂直高度（即 30° 角对边的长度）。
分析：斜坡、垂直高度与水平面构成含 30° 角的直角三角形，斜边为攀登距离，垂直高度为 30° 角对边。
解答：
设垂直高度为 h 米，由含 30° 角的直角三角形性质得：
h=1/2×100=50 米，故队员上升的垂直高度为 50 米。
例题 6：如图，一个含 30° 角的直角三角形零件，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，现需加工该零件，求斜边 AB 的长度及另一直角边 AC 的长度（结果保留根号）。
解答：
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，
∴AB=2BC=10cm（性质），
AC=√(AB -BC )=√(10 -5 )=5√3 cm，
故斜边 AB 为 10cm，直角边 AC 为 5√3 cm。
幻灯片 9：易错点辨析与注意事项
易错点 1：混淆 “30° 角所对的边”：
示例：在 Rt△ABC 中，∠A=30°，误将∠A 的邻边当作 “等于斜边一半” 的边（如认为 AC=1/2AB，实际 BC=1/2AB）。
纠正：明确 “30° 角所对的直角边”—— 直角边与 30° 角直接相对（无公共顶点），可通过 “角与边的对应关系” 判断（如∠A=30°，对边是 BC；∠B=60°，对边是 AC）。
易错点 2：忽略 “直角三角形” 的前提条件：
误区：在非直角三角形中误用 “30° 角所对的边等于斜边一半”（如在含 30° 角的钝角三角形中，认为 30° 角对边等于某边的一半）。
强调：该性质仅适用于 “直角三角形”，非直角三角形中无此特殊边角关系，需通过作高转化为直角三角形后再应用。
易错点 3：计算时忘记结合勾股定理：
示例：已知含 30° 角的直角三角形斜边，仅求出 30° 角对边，忽略求另一直角边（如已知 AB=8cm，只算 BC=4cm，未算 AC=4√3 cm）。
提醒：若题目要求求所有边的长度，需结合 “性质” 和 “勾股定理” 完整计算，避免遗漏。
幻灯片 10：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，斜边 AB=12cm，求∠B 所对的直角边 AC 的长度（答案：6cm）。
基础练习 2：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，求 AB 和 AC 的长度（答案：AB=6cm，AC=3√3 cm）。
提升练习 3：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD 平分∠ABC，交 AC 于 D，若 AD=2cm，求 CD 的长度（提示：∠ABD=∠DBC=30°，故 AD=BD=2cm，CD=1/2BD=1cm）。
拓展练习 4：如图，在等边△ABC 中，边长为 6cm，点 E、F 分别在 AB、AC 上，且 DE⊥BC，DF⊥BC，垂足为 D、D（此处修正为 DE⊥AB，DF⊥AC），求 DE+DF 的长度（提示：DE=DF= (3√3)/2 cm，和为 3√3 cm）。
幻灯片 11：课堂小结
核心知识：
含 30° 角的直角三角形的特殊性质：30° 角所对的直角边等于斜边的一半（仅适用于直角三角形）。
性质推导：由等边三角形拆分与全等三角形证明得出，可通过实验验证。
应用场景：
计算线段长度（已知斜边求 30° 角对边，或反之）；
几何证明（结合直角三角形斜边中线、等边三角形性质）；
实际问题（斜坡高度、零件尺寸计算）。
解题思路：
遇含 30° 角的直角三角形，优先用 “30° 角对边 = 1/2 斜边” 简化计算；
遇含 30° 角的非直角三角形，通过作高构造直角三角形，再应用性质；
计算时结合勾股定理，确保边的长度求解完整。
幻灯片 12：课后作业
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm，点 D 是 AB 的中点，求 CD 和 BC 的长度。
已知一个含 30° 角的直角三角形，斜边长为 16cm，求该三角形的面积（结果保留根号）。
如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，若 BD=2cm，求 BC 的长度（提示：∠BAD=∠DAC=30°，故 AD=BD=2cm，CD=1cm，BC=3cm）。
观察生活中含 30° 角的三角形物体（如屋顶支架、梯子与地面的夹角），测量相关边长，验证 “含 30° 角的直角三角形性质”，写出测量报告。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.3.2含30度角的三角形
第十五章 轴对称
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.通过画图活动和折纸活动，进一步体会等边三角形的对称性，训练学生的直观想象能力.
2.通过学生自主探究掌握含30°角的直角三角形的性质，会运用性质进行计算与证明，培养学生解决问题的能力.
3.通过学生猜想和归纳结论的过程，渗透转化思想，培养数学抽象能力和逻辑推理能力.
重难点
学习目标
2.这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？
1.等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？
想一想:
新课导入
如下图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
含30°角的直角三角形的性质
知识点
问题1：
分离
拼接
A
C
B
将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，
如图所示，你有什么发现？
问题2：
A
B
C
D
如图，显然，△ADC与△ABC关于AC成轴对称图形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD= AB.
性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
你还能用其他
方法证明吗？
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = AB．
A
B
C
证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD.
在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°．
∴△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
A
B
C
D
证明方法：倍长法
∴BC = AB．　　
∴BC = BD．　　
方法一：
方法点拨
倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……
倍长法
E
A
B
C
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30° = 30°.
∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴BC = AB．　　
证明方法：截半法
方法二：
方法点拨
在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.
截半法
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它
所对的直角边等于斜边的一半.
∵　在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，
归纳总结
应用格式：
∴　BC = AB．　　
A
B
C
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
D
利用含30°角的直角三角形的性质求线段的值
A
B
C
D
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°.
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.
△ABC中，AB=AC，∠C=30°,DA ⊥BA于A，BD=9.6cm，
则AD= .
4.8cm
B
C
D
A
新课讲解
如图∠C=90°，D是CA的延长线上的一点，∠BDC=15°，且AD=AB，则BC= AD.
B
C
D
A
新课讲解
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)
A．3 B．2 C.1.5 D．1
C
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，
∴∠AOP＝∠CPO，
∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.
又∵PC＝3，
∴PE＝1.5.
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴PD＝PE＝1.5.
E
归纳总结
含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .
1
A
B
C
D
解析：在△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴BC=AB=4×=2.
同理可得：BD=BC=2× =1.
新课讲解
已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
解:过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
A
C
B
D
15 °
15 °
20
)
)
∴CD= AC= ×20=10.
新课讲解
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
解：
理由如下：
∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB.
归纳总结
含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？　　　
证明：∵∠B+∠A =180°– ∠C=90°，
∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°.
∴ AB=2BC.
新课讲解
例4　如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC,DE 有多长？
A
B
C
D
E
利用直角三角形的性质解决实际问题
图中BC,DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
A
B
C
D
E
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
∴BC= AB, DE= AD.
∴BC= AB= ×7.4=3.7(m).
又AD= AB,
∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
1. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面
处折断倒下，倒下的部分与地面成 角，这棵树在折
断前的高度为( )
B
（第1题）
A. B.
C. D.
课堂练习
（第2题）
2. 如图，在中， ，
，的垂直平分线交 于点
，连接.若，则 的长为
( )
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 母题教材P84练习 在中，若 ，
且，则 等于( )
D
A. 2 B. 3 C. 9 D. 12
课堂练习
（第4题）
4.将一副三角尺按如图所示方式叠放在一
起，若 ，则阴影部分的面积是
___ .
【点拨】 , ,
.
, .
.
课堂练习
5.如图，的斜边轴，点的坐标是 ，
，则 ___.
4
（第5题）
课堂练习
6.［2025北师大附中期中］某市在旧城改造中，计划在一块如
图所示的 空地上种植草皮以美化环境.已知
，， ，这种草皮每平方米
售价元，则购买这种草皮至少需要______元.（用含 的代数
式表示）
课堂练习
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用要点
含30°角的直角三角形的性质
①分清30 °的角所在的直角边
②作辅助线，构造直角三角形
注意
前提条件：直角三角形中
证题方法
倍长法
截半法
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑