资源简介

(共39张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：16.3.2 完全平方公式
副标题：探索多项式乘法的特殊二次展开式
背景图：左侧展示完全平方和公式推导 “(a+b) =a +2ab+b ”，右侧用大正方形面积模型（边长为 a+b，由边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形及两个长 a 宽 b 的长方形组成）直观表示面积关系，标注 “(a+b) =a +2ab+b ”，下方补充完全平方差公式 “(a-b) =a -2ab+b ” 的几何模型（大正方形减两个长方形加小正方形），初步呈现公式的代数与几何意义。
幻灯片 2：学习目标
理解完全平方和与完全平方差公式的推导过程，明确公式的结构特征（“首平方、尾平方、积的 2 倍放中央，符号看前方”）。
掌握完全平方公式的表达式 “(a+b) =a +2ab+b ” 和 “(a-b) =a -2ab+b ”，能准确识别公式中的 “a” 和 “b”（可表示数字、字母或多项式）。
能运用完全平方公式解决直接应用、符号变形、底数为多项式及混合运算等问题，提升整式乘法的准确性与效率。
体会 “从一般到特殊”“数形结合” 的数学思想，培养观察、归纳与推理能力，能区分完全平方公式与平方差公式。
幻灯片 3：导入 —— 从多项式乘法的特殊形式切入
复习回顾：回顾多项式乘多项式法则，计算练习：
(x+3)(x+3)；
(2a-1)(2a-1)。
学生计算后发现：这两个式子均为 “两个相同二项式相乘”，即 “(m+n) ” 或 “(m-n) ” 的形式，展开后结果有规律可循。
提出问题：对于 “(a+b) ”“(a-b) ” 这类 “二项式的平方”，展开后是否有统一的公式？与平方差公式有何区别？引出本节课核心 —— 完全平方公式。
幻灯片 4：完全平方和公式的推导（代数与几何结合）
一、代数推导：
定义：(a+b) 表示 “(a+b) 与 (a+b) 相乘”，即 (a+b) =(a+b)(a+b)。
按多项式乘法展开：
(a+b)(a+b)=a a + a b + b a + b b=a + ab + ab + b 。
合并同类项：ab + ab=2ab，最终得 (a+b) =a + 2ab + b 。
二、几何验证（面积法）：
几何模型：边长为 (a+b) 的大正方形，可分割为三部分：边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形、两个长为 a、宽为 b 的长方形。
面积关系：
大正方形面积 =(a+b) ；
三部分面积和 = a + b + ab + ab=a + 2ab + b 。
结论：(a+b) =a + 2ab + b ，从几何角度验证公式正确性。
动画演示：分步展示大正方形的分割过程，标注各部分边长与面积，直观呈现 “整体面积 = 部分面积和” 的关系。
幻灯片 5：完全平方差公式的推导（类比与变形）
一、代数推导：
方法 1：类比完全平方和公式，将 (a-b) 看作 (a + (-b)) ，代入完全平方和公式：
(a + (-b)) =a + 2 a (-b) + (-b) =a - 2ab + b 。
方法 2：直接展开多项式：
(a-b) =(a-b)(a-b)=a a - a b - b a + b b=a - ab - ab + b =a - 2ab + b 。
二、几何验证：
几何模型：边长为 a 的大正方形，在其中一个角剪去一个长为 a、宽为 b 的长方形，再补上一个长为 (a-b)、宽为 b 的长方形，最终形成边长为 (a-b) 的正方形（结合图形变形）。
面积关系：
边长为 (a-b) 的正方形面积 =(a-b) ；
面积计算：大正方形面积 - 两个长方形面积 + 小正方形面积（补全部分）=a - ab - ab + b =a - 2ab + b 。
结论：(a-b) =a - 2ab + b ，验证公式正确性。
公式总结：
完全平方和公式：(a+b) =a + 2ab + b ；
完全平方差公式：(a-b) =a - 2ab + b ；
统一口诀：“首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方”（“首” 指 a，“尾” 指 b，“符号” 由 (a±b) 的符号决定）。
幻灯片 6：完全平方公式的结构特征分析
结构拆解：以 (a±b) =a ±2ab+b 为例：
左边：二项式的平方，形式为 “(首 ± 尾) ”；
右边：三项式，包含 “首 ”“尾 ”“±2× 首 × 尾” 三部分，且 “首 ” 与 “尾 ” 的符号恒为正，中间项的符号与左边 “±” 一致。
易错对比：
避免与 “(ab) =a b ” 混淆（前者是二项式的平方，后者是积的平方）；
避免漏写中间项 “2ab”（如误将 (a+b) 写成 a + b ）；
避免中间项系数错误（如误将 (a+b) 写成 a + ab + b ）。
示例分析：
(3x+2y) ：首 = 3x，尾 = 2y，右边 =(3x) + 2×3x×2y + (2y) =9x + 12xy + 4y ；
(5a-1) ：首 = 5a，尾 = 1，右边 =(5a) - 2×5a×1 + 1 =25a - 10a + 1。
幻灯片 7：完全平方公式的应用 1—— 直接应用（a、b 为数字或单个字母）
例题 1：计算下列各题：
(x+4) ；
(2a-3) ；
(-m+2n) ；
(√3 - 2) （拓展，可选讲）。
解答过程：
(x+4) ：
识别首 = x，尾 = 4，符号为 “+”；
应用公式：x + 2×x×4 + 4 =x + 8x + 16。
(2a-3) ：
首 = 2a，尾 = 3，符号为 “-”；
公式应用：(2a) - 2×2a×3 + 3 =4a - 12a + 9。
(-m+2n) ：
变形为 (2n - m) （或直接看作 (a+b) ，其中 a=-m，b=2n）；
方法 1（变形后）：首 = 2n，尾 = m，公式应用 =(2n) - 2×2n×m + m =4n - 4mn + m ；
方法 2（直接应用）：(-m) + 2×(-m)×2n + (2n) =m - 4mn + 4n （结果一致）。
(√3 - 2) ：
首 =√3，尾 = 2，符号为 “-”；
公式应用：(√3) - 2×√3×2 + 2 =3 - 4√3 + 4=7 - 4√3。
解题关键：
准确确定 “首”“尾” 及符号，无论 “首”“尾” 是正数还是负数，“首 ”“尾 ” 均为正；
中间项系数为 “2× 首 × 尾”，符号与左边 “±” 一致，避免漏写或系数错误。
幻灯片 8：完全平方公式的应用 2—— 底数为多项式或复杂形式
例题 2：计算下列各题：
(x+y+z) （拓展：三项式的平方）；
(2a - b + 3) ；
(a - 1) (a + 1) （完全平方与平方差结合）。
分析与解答：
(x+y+z) ：
分组变形：将 (x+y) 看作一个整体，即 [(x+y) + z] ；
应用完全平方和公式：(x+y) + 2×(x+y)×z + z ；
展开 (x+y) ：x + 2xy + y + 2xz + 2yz + z ；
结果：x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz（三项式平方规律：各项平方和 + 两两积的 2 倍）。
(2a - b + 3) ：
分组变形：[(2a - b) + 3] ；
公式应用：(2a - b) + 2×(2a - b)×3 + 3 ；
展开：4a - 4ab + b + 12a - 6b + 9；
整理结果：4a + b + 9 - 4ab + 12a - 6b。
(a - 1) (a + 1) ：
逆用积的乘方：[(a - 1)(a + 1)] （先算平方差，更简便）；
计算 (a - 1)(a + 1)=a - 1；
再应用完全平方公式：(a - 1) =(a ) - 2×a ×1 + 1 =a - 2a + 1。
解题技巧：
底数为多项式时，通过 “分组” 将其转化为 “(首 ± 尾) ” 的形式，再应用公式；
混合运算中，优先逆用运算律（如积的乘方）简化计算，再结合完全平方公式，提升效率。
幻灯片 9：完全平方公式的应用 3—— 简便计算与实际问题
例题 3：用完全平方公式计算下列数字运算：
102 ；
99 。
解答：
102 =(100 + 2) ：
首 = 100，尾 = 2，符号为 “+”；
公式应用：100 + 2×100×2 + 2 =10000 + 400 + 4=10404。
99 =(100 - 1) ：
首 = 100，尾 = 1，符号为 “-”；
公式应用：100 - 2×100×1 + 1 =10000 - 200 + 1=9801。
例题 4：如图，一个正方形花坛的边长为 (x + 5) 米，现将边长增加 3 米，求扩大后花坛的面积（用含 x 的代数式表示），若 x=10，求扩大前后面积的差值。
解答：
扩大后边长 =(x + 5) + 3=(x + 8) 米；
扩大后面积 =(x + 8) ，应用公式：x + 16x + 64（平方米）；
扩大前面积 =(x + 5) =x + 10x + 25（平方米）；
面积差值 =(x + 16x + 64) - (x + 10x + 25)=6x + 39；
当 x=10 时，差值 = 6×10 + 39=99（平方米）。
幻灯片 10：完全平方公式与平方差公式的对比辨析
对比表格：
对比维度
完全平方公式
平方差公式
核心区别
左边形式
二项式的平方（(a±b) ）
两个二项式的和与差相乘（(a+b)(a-b)）
完全平方是 “平方” 运算，平方差是 “乘法” 运算
右边结果
三项式（a ±2ab+b ）
二项式（a - b ）
完全平方有三项（含中间项），平方差有两项
适用条件
两个相同二项式相乘
两个二项式，一项相同、一项互为相反数
完全平方需 “相同二项式”，平方差需 “和与差”
口诀记忆
首平方，尾平方，积的 2 倍放中央
首平方减尾平方，先看符号后计算
完全平方多 “积的 2 倍”，平方差无中间项
易错示例辨析：
误将 (a+b) 写成 a + b （漏中间项 2ab）；
误将 (a-b) 写成 a - b （混淆完全平方与平方差）；
误将 (a+b)(a-b) 写成 a + 2ab + b （用错公式）。
幻灯片 11：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：计算下列各题：
(m-2n) =______（答案：m - 4mn + 4n ）；
(3x+1) =______（答案：9x + 6x + 1）；
(-2y-3) =______（答案：4y + 12y + 9）。
提升练习 2：计算下列各题（混合运算）：
(a+2b) - (a-2b) （提示：用完全平方公式展开后合并，或逆用平方差公式）；
方法 1（展开合并）：(a + 4ab + 4b ) - (a - 4ab + 4b )=8ab；
方法 2（逆用平方差）：[(a+2b) - (a-2b)][(a+2b) + (a-2b)]=4b×2a=8ab；
(x-3) + 2 (x-3)(x+3) - (x+2) （答案：x - 10x - 1）。
拓展练习 3：已知 a + b=5，ab=3，求 a + b 和 (a - b) 的值（提示：a + b =(a+b) - 2ab=25 - 6=19；(a - b) =a - 2ab + b =19 - 6=13）。
幻灯片 12：课堂小结
核心知识：
完全平方公式：
(a+b) =a + 2ab + b ；
(a-b) =a - 2ab + b ；
结构特征：三项式，含 “首 ”“尾 ”“±2ab”，几何意义为正方形面积的分割与
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
16.3.2 完全平方公式
第十六章 整式的乘法
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过学生自主探究理解完全平方公式，掌握公式的结构特征，了解公式的几何意义，并能熟练运用公式进行简单计算，提高学生解决问题的能力．
2．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力．
3．让学生经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力．
4．通过探究过程，使学生了解“特殊—一般”的认识规律，体会数形结合、类比、转化的数学思想．
重点
难点
学习目标
1．a2可以表示成什么？
2．多项式与多项式相乘的法则是什么？
a×a
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
新课导入
一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如图)用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你有什么发现呢？
新课导入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
a
a
b
b
知识点 1
完全平方公式
新课讲解
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2
a
a
b
b
新课讲解
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
(2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
(3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= .
p2–2p+1
(4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= .
m2–4m+4
问题1：
学生活动 【一起探究】
新课讲解
根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
问题2：
新课讲解
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
完全平方公式
新课讲解
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗
新课讲解
设大正方形ABCD的面积为S.
S= =S1+S2+S3+S4= .
(a+b)2
a2+b2+2ab
S1
S2
S3
S4
证明
新课讲解
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
几何解释
新课讲解
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
差的完全平方公式：
几何解释
新课讲解
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a–b)2= a2–2ab+b2.
观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(1) 说一说积的次数和项数.
(2) 两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？
(3) 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a， b有什么关系？它的符号与什么有关？
问题4：
新课讲解
公式特征：
公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.
新课讲解
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2；
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+8mn
+n2；
利用完全平方公式进行计算
(2)
(a – b)2 = a2– 2ab + b2
y2
=y2
–y
+
解： =
+
–2 y
新课讲解
(1) 1022；
= (100 –1)2
=10000 –200+1
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
利用完全平方公式进行简便计算
新课讲解
方法总结：当一个数具备与整十、整百相差一个正整数时求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较简便．
新课讲解
利用乘法公式计算：
(1)982–101×99； (2)20162–2016×4030＋20152.
＝(2016–2015)2＝1.
解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)
＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；
(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152
新课讲解
例3 已知x–y＝6，xy＝–8.
求:(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36 –16＝20；
解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，
(x–y)2＝x2＋y2–2xy，
∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20 –16＝4.
利用完全平方公式的变形求整式的值
新课讲解
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.
新课讲解
添括号法则
a+(b+c) = a+b+c;
a– (b+c) = a – b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a – b – c = a – ( b + c ) .
去括号：
把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：
知识点 2
新课讲解
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).
添括号法则
新课讲解
例 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]
解: (1)
(2)原式= [(a+b)+c]2
= x2–(2y–3)2
= x2–(4y2–12y+9)
= x2–4y2+12y–9.
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
添括号法则的应用
新课讲解
计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．
＝1–4x2＋4xy–y2.
解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2
＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c
＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；
(2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)]
＝12–(2x–y)2
课堂练习
1. 给出下列算式： ；
； ；
.其中错误的
有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
课堂练习
2. 如果,则 的值是( )
A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8
【点拨】 ,
, ,
.
D
课堂练习
3. 如图，可验证的乘法公式是( )
A
A.
B.
C.
D.
课堂练习
4.若，则 的值为____.
5.若，则代数式 为______.
6.［2025广州越秀区期中］若 ，那么多项式
的值是___.
8
课堂练习
7.母题教材P115例4 利用完全平方公式计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ;
原式 .
课堂练习
利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆
成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式：
一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整
千的数与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真
分数的和或差
. .
课堂练习
8.（1）解方程： ;
【解】 ，
，
，
，
.
课堂练习
（2）计算： .
.
课堂练习
9. 母题教材P117习题 一个正方形的边长少了 ，它的
面积就减少了 ，那么这个正方形的边长为( )
B
A. B.
C. D.
课堂练习
10. 母题母题 若，，则
( )
A. 52 B. 50 C. 45 D. 60
【点拨】, .
A
课堂练习
11.设，， ，若
，则 的值是____.
16
【点拨】，，，.又， .
课堂练习
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)
a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab;
4ab=(a+b)2–(a–b)2.
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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