资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：16.3.2 完全平方公式
副标题：探索多项式乘法的特殊二次展开式
背景图：左侧展示完全平方和公式推导 “(a+b) =a +2ab+b ”，右侧用大正方形面积模型（边长为 a+b，由边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形及两个长 a 宽 b 的长方形组成）直观表示面积关系，标注 “(a+b) =a +2ab+b ”，下方补充完全平方差公式 “(a-b) =a -2ab+b ” 的几何模型（大正方形减两个长方形加小正方形），初步呈现公式的代数与几何意义。
幻灯片 2：学习目标
理解完全平方和与完全平方差公式的推导过程，明确公式的结构特征（“首平方、尾平方、积的 2 倍放中央，符号看前方”）。
掌握完全平方公式的表达式 “(a+b) =a +2ab+b ” 和 “(a-b) =a -2ab+b ”，能准确识别公式中的 “a” 和 “b”（可表示数字、字母或多项式）。
能运用完全平方公式解决直接应用、符号变形、底数为多项式及混合运算等问题，提升整式乘法的准确性与效率。
体会 “从一般到特殊”“数形结合” 的数学思想，培养观察、归纳与推理能力，能区分完全平方公式与平方差公式。
幻灯片 3：导入 —— 从多项式乘法的特殊形式切入
复习回顾：回顾多项式乘多项式法则，计算练习：
(x+3)(x+3)；
(2a-1)(2a-1)。
学生计算后发现：这两个式子均为 “两个相同二项式相乘”，即 “(m+n) ” 或 “(m-n) ” 的形式，展开后结果有规律可循。
提出问题：对于 “(a+b) ”“(a-b) ” 这类 “二项式的平方”，展开后是否有统一的公式？与平方差公式有何区别？引出本节课核心 —— 完全平方公式。
幻灯片 4：完全平方和公式的推导（代数与几何结合）
一、代数推导：
定义：(a+b) 表示 “(a+b) 与 (a+b) 相乘”，即 (a+b) =(a+b)(a+b)。
按多项式乘法展开：
(a+b)(a+b)=a a + a b + b a + b b=a + ab + ab + b 。
合并同类项：ab + ab=2ab，最终得 (a+b) =a + 2ab + b 。
二、几何验证（面积法）：
几何模型：边长为 (a+b) 的大正方形，可分割为三部分：边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形、两个长为 a、宽为 b 的长方形。
面积关系：
大正方形面积 =(a+b) ；
三部分面积和 = a + b + ab + ab=a + 2ab + b 。
结论：(a+b) =a + 2ab + b ，从几何角度验证公式正确性。
动画演示：分步展示大正方形的分割过程，标注各部分边长与面积，直观呈现 “整体面积 = 部分面积和” 的关系。
幻灯片 5：完全平方差公式的推导（类比与变形）
一、代数推导：
方法 1：类比完全平方和公式，将 (a-b) 看作 (a + (-b)) ，代入完全平方和公式：
(a + (-b)) =a + 2 a (-b) + (-b) =a - 2ab + b 。
方法 2：直接展开多项式：
(a-b) =(a-b)(a-b)=a a - a b - b a + b b=a - ab - ab + b =a - 2ab + b 。
二、几何验证：
几何模型：边长为 a 的大正方形，在其中一个角剪去一个长为 a、宽为 b 的长方形，再补上一个长为 (a-b)、宽为 b 的长方形，最终形成边长为 (a-b) 的正方形（结合图形变形）。
面积关系：
边长为 (a-b) 的正方形面积 =(a-b) ；
面积计算：大正方形面积 - 两个长方形面积 + 小正方形面积（补全部分）=a - ab - ab + b =a - 2ab + b 。
结论：(a-b) =a - 2ab + b ，验证公式正确性。
公式总结：
完全平方和公式：(a+b) =a + 2ab + b ；
完全平方差公式：(a-b) =a - 2ab + b ；
统一口诀：“首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方”（“首” 指 a，“尾” 指 b，“符号” 由 (a±b) 的符号决定）。
幻灯片 6：完全平方公式的结构特征分析
结构拆解：以 (a±b) =a ±2ab+b 为例：
左边：二项式的平方，形式为 “(首 ± 尾) ”；
右边：三项式，包含 “首 ”“尾 ”“±2× 首 × 尾” 三部分，且 “首 ” 与 “尾 ” 的符号恒为正，中间项的符号与左边 “±” 一致。
易错对比：
避免与 “(ab) =a b ” 混淆（前者是二项式的平方，后者是积的平方）；
避免漏写中间项 “2ab”（如误将 (a+b) 写成 a + b ）；
避免中间项系数错误（如误将 (a+b) 写成 a + ab + b ）。
示例分析：
(3x+2y) ：首 = 3x，尾 = 2y，右边 =(3x) + 2×3x×2y + (2y) =9x + 12xy + 4y ；
(5a-1) ：首 = 5a，尾 = 1，右边 =(5a) - 2×5a×1 + 1 =25a - 10a + 1。
幻灯片 7：完全平方公式的应用 1—— 直接应用（a、b 为数字或单个字母）
例题 1：计算下列各题：
(x+4) ；
(2a-3) ；
(-m+2n) ；
(√3 - 2) （拓展，可选讲）。
解答过程：
(x+4) ：
识别首 = x，尾 = 4，符号为 “+”；
应用公式：x + 2×x×4 + 4 =x + 8x + 16。
(2a-3) ：
首 = 2a，尾 = 3，符号为 “-”；
公式应用：(2a) - 2×2a×3 + 3 =4a - 12a + 9。
(-m+2n) ：
变形为 (2n - m) （或直接看作 (a+b) ，其中 a=-m，b=2n）；
方法 1（变形后）：首 = 2n，尾 = m，公式应用 =(2n) - 2×2n×m + m =4n - 4mn + m ；
方法 2（直接应用）：(-m) + 2×(-m)×2n + (2n) =m - 4mn + 4n （结果一致）。
(√3 - 2) ：
首 =√3，尾 = 2，符号为 “-”；
公式应用：(√3) - 2×√3×2 + 2 =3 - 4√3 + 4=7 - 4√3。
解题关键：
准确确定 “首”“尾” 及符号，无论 “首”“尾” 是正数还是负数，“首 ”“尾 ” 均为正；
中间项系数为 “2× 首 × 尾”，符号与左边 “±” 一致，避免漏写或系数错误。
幻灯片 8：完全平方公式的应用 2—— 底数为多项式或复杂形式
例题 2：计算下列各题：
(x+y+z) （拓展：三项式的平方）；
(2a - b + 3) ；
(a - 1) (a + 1) （完全平方与平方差结合）。
分析与解答：
(x+y+z) ：
分组变形：将 (x+y) 看作一个整体，即 [(x+y) + z] ；
应用完全平方和公式：(x+y) + 2×(x+y)×z + z ；
展开 (x+y) ：x + 2xy + y + 2xz + 2yz + z ；
结果：x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz（三项式平方规律：各项平方和 + 两两积的 2 倍）。
(2a - b + 3) ：
分组变形：[(2a - b) + 3] ；
公式应用：(2a - b) + 2×(2a - b)×3 + 3 ；
展开：4a - 4ab + b + 12a - 6b + 9；
整理结果：4a + b + 9 - 4ab + 12a - 6b。
(a - 1) (a + 1) ：
逆用积的乘方：[(a - 1)(a + 1)] （先算平方差，更简便）；
计算 (a - 1)(a + 1)=a - 1；
再应用完全平方公式：(a - 1) =(a ) - 2×a ×1 + 1 =a - 2a + 1。
解题技巧：
底数为多项式时，通过 “分组” 将其转化为 “(首 ± 尾) ” 的形式，再应用公式；
混合运算中，优先逆用运算律（如积的乘方）简化计算，再结合完全平方公式，提升效率。
幻灯片 9：完全平方公式的应用 3—— 简便计算与实际问题
例题 3：用完全平方公式计算下列数字运算：
102 ；
99 。
解答：
102 =(100 + 2) ：
首 = 100，尾 = 2，符号为 “+”；
公式应用：100 + 2×100×2 + 2 =10000 + 400 + 4=10404。
99 =(100 - 1) ：
首 = 100，尾 = 1，符号为 “-”；
公式应用：100 - 2×100×1 + 1 =10000 - 200 + 1=9801。
例题 4：如图，一个正方形花坛的边长为 (x + 5) 米，现将边长增加 3 米，求扩大后花坛的面积（用含 x 的代数式表示），若 x=10，求扩大前后面积的差值。
解答：
扩大后边长 =(x + 5) + 3=(x + 8) 米；
扩大后面积 =(x + 8) ，应用公式：x + 16x + 64（平方米）；
扩大前面积 =(x + 5) =x + 10x + 25（平方米）；
面积差值 =(x + 16x + 64) - (x + 10x + 25)=6x + 39；
当 x=10 时，差值 = 6×10 + 39=99（平方米）。
幻灯片 10：完全平方公式与平方差公式的对比辨析
对比表格：
对比维度
完全平方公式
平方差公式
核心区别
左边形式
二项式的平方（(a±b) ）
两个二项式的和与差相乘（(a+b)(a-b)）
完全平方是 “平方” 运算，平方差是 “乘法” 运算
右边结果
三项式（a ±2ab+b ）
二项式（a - b ）
完全平方有三项（含中间项），平方差有两项
适用条件
两个相同二项式相乘
两个二项式，一项相同、一项互为相反数
完全平方需 “相同二项式”，平方差需 “和与差”
口诀记忆
首平方，尾平方，积的 2 倍放中央
首平方减尾平方，先看符号后计算
完全平方多 “积的 2 倍”，平方差无中间项
易错示例辨析：
误将 (a+b) 写成 a + b （漏中间项 2ab）；
误将 (a-b) 写成 a - b （混淆完全平方与平方差）；
误将 (a+b)(a-b) 写成 a + 2ab + b （用错公式）。
幻灯片 11：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：计算下列各题：
(m-2n) =______（答案：m - 4mn + 4n ）；
(3x+1) =______（答案：9x + 6x + 1）；
(-2y-3) =______（答案：4y + 12y + 9）。
提升练习 2：计算下列各题（混合运算）：
(a+2b) - (a-2b) （提示：用完全平方公式展开后合并，或逆用平方差公式）；
方法 1（展开合并）：(a + 4ab + 4b ) - (a - 4ab + 4b )=8ab；
方法 2（逆用平方差）：[(a+2b) - (a-2b)][(a+2b) + (a-2b)]=4b×2a=8ab；
(x-3) + 2 (x-3)(x+3) - (x+2) （答案：x - 10x - 1）。
拓展练习 3：已知 a + b=5，ab=3，求 a + b 和 (a - b) 的值（提示：a + b =(a+b) - 2ab=25 - 6=19；(a - b) =a - 2ab + b =19 - 6=13）。
幻灯片 12：课堂小结
核心知识：
完全平方公式：
(a+b) =a + 2ab + b ；
(a-b) =a - 2ab + b ；
结构特征：三项式，含 “首 ”“尾 ”“±2ab”，几何意义为正方形面积的分割与
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
17.1用提公因式法分解因式
第十七章 因式分解
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念，体会数学知识的内在含义与价值.
2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式，培养学生有条理的思考和运算能力.
3.会利用因式分解进行简便计算，体会因式分解的价值，培养学生创新意识。
4.经历从分解因数到分解因式的类比过程,感受因式分解在解决问题中的作用，培养学生的应用意识.
学习目标
学习重点：运用提公因式法分解因式.
学习难点：正确理解因式分解的概念，准确找出公因式.
新课导入
我们知道，利用整式的乘法运算，可以将几个整式的积化为一个多项式的形式，反过来，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫做什么呢？
新课导入
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
知识点 1
因式分解的概念
a
b
c
m
新课讲解
a
b
c
m
方法一：m(a+b+c)
方法二：ma+mb+mc
m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法

新课讲解
1.运用整式乘法法则或公式填空：
(1) m(a+b+c)= ；
(2) (x+1)(x–1)= ；
(3) (a+b)2 = .
ma+mb+mc
x2 –1
a2 +2ab+b2
2.根据等式的性质填空：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 –1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
x+1 x–1
a+b
都是多项式化为几个整式的积的形式
比一比，这些式子有什么共同点？
新课讲解
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
新课讲解
x2–1 (x+1)(x–1)
因式分解
整式乘法
x2–1 = (x+1)(x–1)
等式的特征：左边是多项式，
右边是几个整式的乘积
整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
想一想
新课讲解
例 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；
③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
因式分解变形的识别
新课讲解
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
新课讲解
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .不是因式分解的，请说明原因.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2–1=(x+1)(x–1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
课堂练习
1. 下列各式的变形中，表述正确的是( )
；
.
C
A. 都是因式分解
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
课堂练习
2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )
C
A.
B.
C.
D.
3. 多项式 因式分解时，应提取的公因式是
( )
A
A. B. C. D.
课堂练习
4. 在处填入一个整式，使关于 的多项式
可以因式分解，则 可以为__________________
（写出一个即可）.
（答案不唯一）
课堂练习
5. ［2025菏泽模拟］若 可以分解为
，那么 的值为( )
B
A. B. 1 C. D. 2
【点拨】
，
，， .
，故选B.
课堂练习
6.母题教材P125练习 分解因式.
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
课堂练习
7.利用简便方法计算：
（1） ；
【解】 .
（2） ．
课堂练习
8. 计算 的值是( )
A
A. B. C. D. 0
9. 如果能被整除，则 的值可能是( )
B
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
【点拨】
，
则 的值可能是30.故选B.
课堂练习
10. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多
项式的因式分解：___________________________.
11.［2025淄博月考］在分解因式时，甲看错了
的值，分解的结果是，乙看错了 的值，分解
的结果是，则 _____.
课堂练习
提公因式法分解因式
定义
am+bm+mc=m(a+b+c)
方法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑