资源简介

(共36张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：17.2.1 用平方差公式分解因式
副标题：逆用平方差，解锁因式分解新方法
背景图：左侧展示平方差公式的乘法形式 “(a+b)(a-b)=a -b ”，右侧展示其逆过程 “a -b =(a+b)(a-b)”，用双向箭头标注 “整式乘法” 与 “因式分解” 的互逆关系，下方用色块突出 “a -b ” 的结构特征，直观呈现平方差公式分解因式的核心形式。
幻灯片 2：学习目标
理解平方差公式分解因式的原理（逆用平方差乘法公式），明确其适用条件（多项式为两项式，且能写成 “平方差” 形式）。
掌握平方差公式分解因式的表达式 “a -b =(a+b)(a-b)”，能准确识别公式中的 “a” 和 “b”（可表示数字、字母、单项式或多项式）。
能运用平方差公式分解因式，熟练完成 “判断结构 — 识别 a、b— 套用公式 — 分解彻底” 的步骤，能结合提公因式法解决含公因式的平方差分解问题。
体会 “逆向思维”（从乘法公式到因式分解），培养观察与结构分析能力，为后续学习其他公式法分解因式奠定基础。
幻灯片 3：导入 —— 从平方差乘法公式的逆用切入
复习回顾：
回顾平方差乘法公式：(a+b)(a-b)=a -b ，计算练习：(2x+3)(2x-3)=4x -9，(m-n)(m+n)=m -n 。
回顾因式分解的定义：将多项式化为几个整式的积，提问：能否将上述乘法结果（如 4x -9、m -n ）逆过来分解为两个整式的积？
提出问题：对于 “a -b ” 形式的多项式，如何分解因式？它与平方差乘法公式有何关系？引出本节课核心 —— 用平方差公式分解因式。
幻灯片 4：平方差公式分解因式的原理与适用条件
原理推导：
由平方差乘法公式 “(a+b)(a-b)=a -b ”，根据因式分解与整式乘法的互逆关系，可得逆运算公式：a -b =(a+b)(a-b)，这就是用平方差公式分解因式的依据。
公式解读：
左边：多项式为两项式，且两项均为平方形式（如 x 、9、4a 等），符号相反（一项为正，一项为负），即 “正平方 - 负平方”；
右边：两个整式的积，分别为 “左边两项平方根的和”（a+b）与 “平方根的差”（a-b），其中 “a” 是正平方项的平方根，“b” 是负平方项绝对值的平方根。
适用条件：
多项式为两项式（或可整理为两项式）；
两项均能表示为某个整式的平方（即含平方项）；
两项的符号相反（一项为 “+”，一项为 “-”）。
判断练习：下列多项式能否用平方差公式分解因式？
x -4（能，x -2 ，两项平方，符号相反）；
x +4（不能，两项均为正，无负平方项）；
-x +9（能，可整理为 9-x =3 -x ，两项平方，符号相反）；
x -2y（不能，2y 不是平方形式）。
幻灯片 5：平方差公式分解因式的步骤
核心步骤：“一判、二识、三拆、四查”
一判：判断多项式是否符合平方差公式的适用条件（两项式、平方项、符号相反）；
二识：识别 “a” 和 “b”——“a” 是正平方项的平方根（如 x 的平方根为 x，4a 的平方根为 2a），“b” 是负平方项绝对值的平方根（如 - 9 的绝对值 9 的平方根为 3，-16b 的绝对值 16b 的平方根为 4b）；
三拆：套用公式 “a -b =(a+b)(a-b)”，将多项式拆分为两个整式的积；
四查：检查分解结果是否彻底（即两个因式中是否还有可分解的部分，如含公因式需进一步用提公因式法分解）。
示例演示：分解因式 x -16：
判断：两项式，x = x ，-16=-4 ，符号相反，符合条件；
识别：a=x（x 的平方根），b=4（16 的平方根）；
拆：x -16=x -4 =(x+4)(x-4)；
查：(x+4) 和 (x-4) 均为一次二项式，无公因式，无法再分解，分解彻底。
幻灯片 6：平方差公式的应用 1—— 基础型（a、b 为数字或单个字母）
例题 1：分解下列因式：
x -9；
4a -25b ；
-y +1；
16x -1（拓展：含四次方项）。
解答过程：
x -9：
识别：a=x，b=3（9=3 ）；
套用公式：x -3 =(x+3)(x-3)。
4a -25b ：
整理平方项：4a =(2a) ，25b =(5b) ；
识别：a=2a，b=5b；
公式应用：(2a) -(5b) =(2a+5b)(2a-5b)。
-y +1：
调整顺序（正平方在前）：1-y =1 -y ；
识别：a=1，b=y；
公式应用：1 -y =(1+y)(1-y)（或保留负号：-(y -1)=-(y+1)(y-1)，两种形式均可）。
16x -1：
整理平方项：16x =(4x ) ，1=1 ；
第一次分解：(4x ) -1 =(4x +1)(4x -1)；
检查分解彻底性：4x -1 仍为平方差（(2x) -1 ），需进一步分解；
第二次分解：(4x +1)(2x+1)(2x-1)；
结果：(4x +1)(2x+1)(2x-1)（4x +1 不符合平方差条件，无法再分解）。
解题关键：
若多项式首项为负，可先调整顺序（或提取负号），使正平方项在前，便于识别 a 和 b；
对于高次平方项（如四次方），需先将其表示为 “(某个整式) ” 的形式，分解后检查是否彻底，若有可分解的因式需继续分解。
幻灯片 7：平方差公式的应用 2——a、b 为多项式或含公因式
例题 2：分解下列因式（含多项式平方根或公因式）：
(x+2) -9；
a -(b-c) ；
3x -12y （先提公因式，再用平方差）；
(x +y ) -x y 。
分析与解答：
(x+2) -9：
识别：a=(x+2)（(x+2) 的平方根），b=3（9=3 ）；
套用公式：(x+2) -3 =[(x+2)+3][(x+2)-3]；
化简因式：(x+5)(x-1)。
a -(b-c) ：
识别：a=a，b=(b-c)（(b-c) 的平方根）；
公式应用：[a+(b-c)][a-(b-c)]；
化简因式：(a+b-c)(a-b+c)。
3x -12y ：
第一步：先提公因式（两项均含公因式 3）：3 (x -4y )；
第二步：对括号内的 x -4y 用平方差公式：x -(2y) =(x+2y)(x-2y)；
结果：3 (x+2y)(x-2y)。
(x +y ) -x y ：
整理平方项：x y =(xy) ；
第一次分解：(x +y ) -(xy) =[(x +y )+xy][(x +y )-xy]；
化简因式：(x +xy+y )(x -xy+y )；
检查：两个因式均不符合平方差条件（无负平方项），分解彻底；
结果：(x +xy+y )(x -xy+y )。
解题技巧：
当 “a” 或 “b” 为多项式时（如 (x+2)、(b-c)），将其视为一个整体，套用公式后再化简因式（去括号、合并同类项）；
若多项式各项含公因式，需先提公因式，再对剩余部分用平方差公式（提公因式是因式分解的优先步骤，确保分解彻底）。
幻灯片 8：平方差公式的应用 3—— 实际问题与验证
例题 3：如图，一个正方形广场的边长为 x 米，现计划在广场外围修一条宽为 2 米的环形小路，求小路的面积（用因式分解表示），若 x=20，求小路的实际面积。
分析：小路面积 = 外正方形面积 - 内正方形面积，外正方形边长 =(x+4) 米（两侧各宽 2 米），故面积 =(x+4) - x 。
解答：
小路面积 =(x+4) - x ；
用平方差公式分解：[(x+4)+x][(x+4)-x]=(2x+4)×4=4 (2x+4)=8 (x+2)（或直接化简：(2x+4)×4=8x+16=8 (x+2)）；
当 x=20 时，面积 = 8×(20+2)=176（平方米）（或直接计算 (24) - 20 =576-400=176，结果一致）。
例题 4：验证因式分解的正确性：分解因式 9a -16b 后，用整式乘法还原，检查是否与原多项式一致。
解答：
分解因式：9a -16b =(3a) -(4b) =(3a+4b)(3a-4b)；
整式乘法还原：(3a+4b)(3a-4b)=9a -12ab+12ab-16b =9a -16b ，与原多项式一致，分解正确。
幻灯片 9：易错点辨析与注意事项
易错点 1：不符合条件却误用公式：
示例：误将 x +4 用平方差公式分解为 (x+2)(x-2)（实际 x +4 是 “平方和”，不符合 “符号相反” 条件，无法用平方差公式分解）；或误将 x -2xy+y 用平方差公式分解（实际是完全平方，应为 (x-y) ）。
提醒：严格遵循适用条件 —— 两项式、平方项、符号相反，平方和（a +b ）或三项式（如 a ±2ab+b ）均不能用平方差公式，需选择其他分解方法。
易错点 2：识别 a、b 时忽略 “整体” 或平方项不完整：
示例：分解 (2x+y) -(x-2y) 时，误写成 (2x+y+x-2y)(2x+y-x-2y)（去括号符号错误，正确应为 (2x+y+x-2y)(2x+y-x+2y)=(3x-y)(x+3y)）；或分解 4x -9 时，误写成 (4x+3)(4x-3)（a 应为 2x，而非 4x，正确应为 (2x+3)(2x-3)）。
纠正：识别 a 和 b 时，需确保 “a ” 和 “b ” 是完整的平方形式（如 4x =(2x) ，而非 4x =4 x ），将多项式或单项式视为整体；套用公式后去括号，注意符号变化（尤其是 “a-b” 中的 b 为多项式时）。
易错点 3：分解不彻底（漏提公因式或漏分解高次项）：
示例：分解 2x -8 时，误写成 (x -4)=(x+2)(x-2)（漏提公因式 2，正确应为 2 (x -4)=2 (x+2)(x-2)）；或分解 x -16 时，误写成 (x +4)(x -4)（漏分解 x -4，正确应为 (x +4)(x+2)(x-2)）。
预防：分解前先检查是否含公因式，若有则先提公因式；分解后检查每个因式是否还能继续分解（如高次平方项、含公因式等），确保分解彻底。
易错点 4：符号处理错误（首项为负或括号内符号）：
示例：分解 - x +1 时，误写成 -(x +1)（正确应为 -(x -1)=-(x+1)(x-1) 或 (1+x)(1-x)）；或分解 (a-b) -(c-d) 时，误写成 (a-b+c-d)(a-b-c-d)（正确应为 (a-b+c-d)(a-b-c+d)）。
强调：首项为负时，可提取负号后再分解；括号内有多项式时，去括号需遵循 “负负得正”，避免符号混淆。
幻灯片 10：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：分解下列因式：
4x -1=______（答案：(2x+1)(2x-1)）；
-25a +36b =______（答案：(6b+5a)(6b-5a) 或 -(5a+6b)(5a-6b)）；
(m-n) -1=______（答案：(m-n+1)(m-n-1)）。
提升练习 2：分解下列因式（含公因式或高次项）：
8a -2a=______（答案：2a (4a -1)=2a (2a+1)(2a-1)）；
(x +1) -4x =______（答案：(x +1+2x)(x +1-2x)=(x+1) (x-1) ）；
9 (x+y) -4 (x-y) =______（答案：[3 (x+y)+2 (x-y)][3 (x+y)-2 (x-y)]=(5x+y)(x+5y)）。
拓展练习 3：已知 x-y=3，x+y=5，求 x -y 的值（提示：x -y =(x+y)(x-y)=5×3=15）。
幻灯片 11：课堂小结
核心知识：
平方差公式分解因式：a -b =(a+b)(a-b
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
17.2.1用平方差公式分解因式
第十七章 因式分解
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过学生自主探究，掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式进行因式分解，提高学生的自学意识．
2．通过具体练习理解运用平方差公式分解因式，掌握提公因式法和公式法分解因式的综合运用，培养学生解决问题的能力．
3．经历利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的关联性和完整性．
重点
难点
学习目标
整式乘法中的平方差公式是什么？
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
新课导入
同学们，我们来解决一个面积问题：
从前，有一位张大爷向地主租了一块“十字形”土地（如图）.为了便于种植，张大爷提出换一块同等面积的长方形土地耕种，你能帮助张大爷算一算长方形土地的长和宽吗？
新课导入
用平方差公式进行因式分解
多项式a2–b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a，b两数的平方差的形式
知识点
想一想
新课讲解
)
)(
(
b
a
b
a
–
+
=
2
2
b
a
–
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
–
+
=
–
整式乘法
因式分解
平方差公式：
新课讲解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
新课讲解
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2–( )2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
(1)x2+y2
(2)x2–y2
(3)–x2–y2
–(x2+y2)
y2–x2
(4)–x2+y2
(5)x2–25y2
(x+5y)(x–5y)
(6)m2–1
(m+1)(m–1)
新课讲解
例1 分解因式：
利用平方差公式分解因式的应用
新课讲解
a
a
b
b
(
+
)
(
–
)
a2 – b2 =
解:(1)原式=
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式
整体思想
a
b
新课讲解
方法点拨
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
新课讲解
分解因式：
(1)(a＋b)2–4a2； (2)9(m＋n)2–(m–n)2.
新课讲解
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1)原式＝(a＋b–2a)(a＋b＋2a)
＝(b–a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
新课讲解
例2 分解因式：
多次因式分解
新课讲解
解：(1)原式＝(x2)2–(y2)2
＝(x2+y2)(x2–y2)
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解，直到不能分解为止.
＝(x2+y2)(x+y)(x–y);
(2)原式＝ab(a2–1)
分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.
＝ab(a+1)(a–1).
新课讲解
方法点拨
分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
新课讲解
分解因式：
(1)5m2a4–5m2b4； (2)a2–4b2–a–2b.
＝(a＋2b)(a–2b–1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a–b)；
解：(1)原式＝5m2(a4–b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2–b2)
(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b)
＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)
新课讲解
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
利用因式分解求整式的值
新课讲解
∴x–y＝–2②.
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得：
方法总结：在与x2–y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
新课讲解
例4 计算下列各题：
(1)1012–992； (2)53.52×4–46.52×4.
利用因式分解进行简便运算
新课讲解
解：(1)原式＝(101＋99)(101–99)＝400；
(2)原式＝4×(53.52–46.52)
＝ 4× (53.5＋46.5)(53.5–46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
新课讲解
例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
利用因式分解进行证明
新课讲解
即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n 2=8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
新课讲解
1. 母题教材P128例1 分解因式： ( )
A
A. B.
C. D.
2. 将“ ？”因式分解得到
，则“？”是( )
B
A. B.
C. D.
课堂练习
3. 课堂上老师在黑板上布置了以下题目：
用平方差公式分解因式：
（1）； （2） ；
（3）； （4） .
涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是( )
B
A. （1） B. （2）
C. （3） D. （4）
课堂练习
4. 下列分解因式错误的是( )
D
A.
B.
C.
D.
5.一个长方形的面积为，宽为 ，则该长方形
的长为_______.
6.若，，则 的值为___.
4
课堂练习
7.母题教材P129练习 分解因式：
（1） ;
【解】 .
（2） .
.
课堂练习
（3） .
.
课堂练习
8. 有四个式子：，， ，
，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行
因式分解，并写出因式分解的结果.
（1）利用提公因式法；
【解】选取与 ，
.
课堂练习
（2）利用平方差公式法.
（答案不唯一）选取与 ，
.
课堂练习
9. 若，，是三角形的三边长，则式子 的值
( )
B
A. 大于0 B. 小于0
C. 等于0 D. 不能确定
10. 某同学粗心大意，分解因式时，把式子
中的一部分弄污了，那么式子中
所对应的代数式是( )
A
A. B. C. D.
课堂练习
11. 若，则 的值为( )
C
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【点拨】 ，
.
课堂练习
12. ［2025威海期中］对于任意整数， 都
( )
C
A. 能被2整除，不能被4整除
B. 能被4整除，不能被8整除
C. 能被8整除
D. 能被5整除
课堂练方差公式分解因式
公式
a2–b2=(a+b)(a–b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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