资源简介

(共34张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：17.2.2 用完全平方公式分解因式
副标题：逆用完全平方，破解三项式分解难题
背景图：左侧展示完全平方乘法公式 “(a+b) =a +2ab+b ”“(a-b) =a -2ab+b ”，右侧展示其逆过程 “a +2ab+b =(a+b) ”“a -2ab+b =(a-b) ”，用双向箭头标注 “整式乘法” 与 “因式分解” 的互逆关系，下方用色块突出 “a ±2ab+b ” 的结构特征，直观呈现完全平方公式分解因式的核心形式。
幻灯片 2：学习目标
理解完全平方公式分解因式的原理（逆用完全平方乘法公式），明确其适用条件（多项式为三项式，且符合 “首平方、尾平方、积的 2 倍放中央” 结构）。
掌握完全平方公式分解因式的两个表达式 “a +2ab+b =(a+b) ”“a -2ab+b =(a-b) ”，能准确识别公式中的 “a”“b”（可表示数字、字母、单项式或多项式）及中间项的符号。
能运用完全平方公式分解因式，熟练完成 “判断结构 — 识别 a、b 与中间项 — 套用公式 — 验证结果” 的步骤，能结合提公因式法解决含公因式的完全平方分解问题。
体会 “逆向思维” 与 “结构分析” 的数学思想，能区分完全平方公式与平方差公式的适用场景，提升因式分解的综合能力。
幻灯片 3：导入 —— 从完全平方乘法公式的逆用切入
复习回顾：
回顾完全平方乘法公式：(a+b) =a +2ab+b ，(a-b) =a -2ab+b ，计算练习：(x+3) =x +6x+9，(2a-1) =4a -4a+1。
回顾因式分解定义与平方差公式分解方法，提问：对于 “x +6x+9”“4a -4a+1” 这类三项式，能否逆用完全平方乘法公式分解因式？
提出问题：什么样的三项式能通过完全平方公式分解因式？分解步骤与平方差公式有何不同？引出本节课核心 —— 用完全平方公式分解因式。
幻灯片 4：完全平方公式分解因式的原理与适用条件
原理推导：
由完全平方乘法公式 “(a+b) =a +2ab+b ”“(a-b) =a -2ab+b ”，根据因式分解与整式乘法的互逆关系，可得逆运算公式：
a +2ab+b =(a+b) （完全平方和公式）；
a -2ab+b =(a-b) （完全平方差公式）。
这两个公式统称为用完全平方公式分解因式的依据。
公式解读（以 a ±2ab+b 为例）：
左边：三项式，包含 “首平方（a ）”“尾平方（b ）”“中间项（±2ab）” 三部分，且 “首平方” 与 “尾平方” 的符号恒为正，中间项的符号与公式中的 “±” 一致；
右边：一个整式的平方（(a±b) ），其中 “a” 是 “首平方” 的平方根，“b” 是 “尾平方” 的平方根，中间项 “±2ab”=±2×a×b。
适用条件：
多项式为三项式（或可整理为三项式）；
多项式中存在两个平方项（符号均为正），且能表示为 “a ” 与 “b ” 的形式；
第三个项（中间项）是 “2×a×b” 或 “-2×a×b”（即中间项是两个平方项平方根乘积的 2 倍，符号可正可负）。
判断练习：下列多项式能否用完全平方公式分解因式？
x +4x+4（能，x +2×x×2+2 ，符合 a +2ab+b ）；
x -6x+9（能，x -2×x×3+3 ，符合 a -2ab+b ）；
x +2x+2（不能，中间项 2x≠2×x×√2，且√2 不是整式，无 “尾平方”）；
-x +4x-4（能，可整理为 -(x -4x+4)=-(x-2) ，含两个正平方项与中间项）。
幻灯片 5：完全平方公式分解因式的步骤
核心步骤：“一判、二识、三套、四验”
一判：判断多项式是否符合完全平方公式的适用条件（三项式、两个正平方项、中间项为 2ab 或 - 2ab）；
二识：识别 “a”“b” 与中间项符号 ——“a”=“首平方” 的平方根（如 x 的平方根为 x，4a 的平方根为 2a），“b”=“尾平方” 的平方根（如 9 的平方根为 3，b 的平方根为 b），中间项符号决定公式中用 “+” 还是 “-”；
三套：若中间项为 “2ab”，套用 “a +2ab+b =(a+b) ”；若中间项为 “-2ab”，套用 “a -2ab+b =(a-b) ”；
四验：验证分解结果是否正确（将右边展开，检查是否与左边多项式一致），确保分解无误。
示例演示：分解因式 x -8x+16：
判断：三项式，x （正平方项）、16=4 （正平方项）、中间项 - 8x，符合适用条件；
识别：a=x（x 的平方根），b=4（4 的平方根），中间项 - 8x=-2×x×4；
套：x -2×x×4+4 =(x-4) ；
验：(x-4) =x -8x+16，与原多项式一致，分解正确。
幻灯片 6：完全平方公式的应用 1—— 基础型（a、b 为数字或单个字母）
例题 1：分解下列因式：
x +6x+9；
4a -12ab+9b ；
-m +4m-4；
x +2x +1（拓展：含四次方平方项）。
解答过程：
x +6x+9：
识别：a=x，b=3（9=3 ），中间项 6x=2×x×3；
套用公式（完全平方和）：x +2×x×3+3 =(x+3) 。
4a -12ab+9b ：
整理平方项：4a =(2a) ，9b =(3b) ；
识别：a=2a，b=3b，中间项 - 12ab=-2×2a×3b；
套用公式（完全平方差）：(2a) -2×2a×3b+(3b) =(2a-3b) 。
-m +4m-4：
第一步：提取负号（使平方项为正）：-(m -4m+4)；
第二步：对括号内多项式分解：m -4m+4=m -2×m×2+2 =(m-2) ；
结果：-(m-2) 。
x +2x +1：
整理平方项：x =(x ) ，1=1 ；
识别：a=x ，b=1，中间项 2x =2×x ×1；
套用公式：(x ) +2×x ×1+1 =(x +1) ；
检查：(x +1) =x +2x +1，分解彻底（x +1 无法再分解）。
解题关键：
若多项式首项为负，先提取负号，使括号内的平方项为正，再进行分解；
对于高次平方项（如 x =(x ) ），需先将其表示为 “(某个整式) ” 的形式，确保 “a” 和 “b” 均为整式。
幻灯片 7：完全平方公式的应用 2——a、b 为多项式或含公因式
例题 2：分解下列因式（含多项式平方根或公因式）：
(x+y) +4(x+y)+4；
3x +6xy+3y （先提公因式，再用完全平方）；
(a-b) -6(a-b)+9；
x +2x+1-y （完全平方与平方差结合）。
分析与解答：
(x+y) +4(x+y)+4：
识别：将 (x+y) 视为整体（a=(x+y)），b=2（4=2 ），中间项 4 (x+y)=2×(x+y)×2；
套用公式：(x+y) +2×(x+y)×2+2 =[(x+y)+2] =(x+y+2) 。
3x +6xy+3y ：
第一步：先提公因式（三项均含公因式 3）：3 (x +2xy+y )；
第二步：对括号内多项式用完全平方公式：x +2xy+y =(x+y) ；
结果：3 (x+y) 。
(a-b) -6(a-b)+9：
识别：将 (a-b) 视为整体（a=(a-b)），b=3（9=3 ），中间项 - 6 (a-b)=-2×(a-b)×3；
套用公式：(a-b) -2×(a-b)×3+3 =[(a-b)-3] =(a-b-3) 。
x +2x+1-y ：
第一步：对前三项用完全平方公式：x +2x+1=(x+1) ；
第二步：原式变为 (x+1) -y ，符合平方差公式；
第三步：用平方差公式分解：(x+1+y)(x+1-y)；
结果：(x+y+1)(x-y+1)。
解题技巧：
当 “a” 或 “b” 为多项式时（如 (x+y)、(a-b)），将其视为一个整体，套用公式后再化简（去括号）；
若多项式各项含公因式，需先提公因式，再对剩余部分用完全平方公式（提公因式优先，确保分解彻底）；
对于含四项的多项式（如 x +2x+1-y ），可先分组（如前三项为一组，第四项为一组），对其中一组用完全平方公式后，再结合其他分解方法（如平方差）。
幻灯片 8：完全平方公式的应用 3—— 实际问题与验证
例题 3：如图，一个正方形的边长为 (x+2) 米，现将边长增加 3 米，求增加后的正方形面积比原正方形面积多的部分（用因式分解表示），若 x=1，求增加的实际面积。
分析：增加的面积 = 新正方形面积 - 原正方形面积 =(x+2+3) -(x+2) =(x+5) -(x+2) ，先展开新正方形面积，再用完全平方公式分解。
解答：
新正方形面积 =(x+5) =x +10x+25；
原正方形面积 =(x+2) =x +4x+4；
增加的面积 =(x +10x+25)-(x +4x+4)=6x+21；
分解因式（提公因式）：3 (2x+7)（或直接对 (x+5) -(x+2) 用平方差分解，结果一致）；
当 x=1 时，增加的面积 = 3×(2×1+7)=27（平方米）（或直接计算 6×1+21=27，结果一致）。
例题 4：验证因式分解的正确性：分解因式 9a -12ab+4b 后，用整式乘法还原，检查是否与原多项式一致。
解答：
分解因式：9a -12ab+4b =(3a) -2×3a×2b+(2b) =(3a-2b) ；
整式乘法还原：(3a-2b) =9a -12ab+4b ，与原多项式一致，分解正确。
幻灯片 9：完全平方公式与平方差公式的对比辨析
对比表格：
对比维度
完全平方公式
平方差公式
核心区别
左边形式
三项式（a ±2ab+b ）
两项式（a -b ）
完全平方是 “三项式”，平方差是 “两项式”
平方项特征
两个正平方项（a 、b ）
一个正平方项、一个负平方项（a 、-b ）
完全平方平方项均为正，平方差符号相反
右边结果
一个整式的平方（(a±b) ）
两个整式的积（(a+b)(a-b)）
完全平方是 “平方” 形式，平方差是 “积” 形式
适用场景
分解三项式（含两个正平方项与中间项）
分解两项式（含一正一负平方项）
按多项式项数与平方项符号选择公式
易错示例辨析：
误将 x +6x+9 用平方差公式分解（应为完全平方，(x+3) ）；
误将 x -4 用完全平方公式分解（应为平方差，(x+2)(x-2)）；
误将 x +2x+1-y 直接用完全平方分解（需先分组，再结合平方差）。
幻灯片 10：易错点辨析与注意事项
易错点 1：不符合条件却误用公式：
示例：误将 x +5x+4 用完全平方公式分解（中间项 5x≠2×x×2，应为 (x+1)(x+4)，用十字相乘法）；或误将 x -2x-1 用完全平方公式分解（尾平方为负，不符合条件）。
提醒：严格遵循适用条件 —— 三项式、两个正平方项、中间项为 2ab 或 - 2ab，缺少任何一个条件均不能用完全平方公式，需选择其他分解方法。
易错点 2：识别 a、b 时忽略 “整体” 或平方项不完整：
示例：分解 (2x+3y) +4 (2x+3y)+4 时，误写成 (2x+3y+4) （b 应为 2，而非 4，正确应为 (2x+3y+2) ）；或分解 x -2x +1 时，误写成 (x -1) （未分解彻底，正确应为 (x -1) =(x+1) (x-1) ）。
纠正：识别 a 和 b 时，需确保 “a ” 和 “b ” 是完整的平方形式（如 4=2 ，而非 4=4×1），将多项式视为整体；分解后检查是否彻底，若含
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
17.2.2用完全平方公式分解因式
第十七章 因式分解
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过学生自主探究，理解完全平方式的特点，培养学生的观察能力．
2．通过对用完全平方公式分解因式的探究学习，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达和交流的习惯．
3．通过练习用完全平方公式分解因式，锻炼学生的计算能力．
重点
难点
学习目标
用完全平方公式分解因式
知识点
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
新课讲解
同学们拼出图形为：
新课讲解
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2+2ab+b2
(a+b)2
=
a
b
a
b
a
ab
ab
b
(a+b)2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看，能得到：
新课讲解
a2+2ab+b2
a2–2ab+b2
我们把a +2ab+b 和a –2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
观察这两个多项式：
(1)每个多项式有几项？
(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？
(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项.
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
是第一项和第三项底数的积的±2倍.
新课讲解
完全平方式的特点：
1.必须是三项式(或可以看成三项的)；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式:
新课讲解
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
新课讲解
3.a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
2.m –6m+9=( ) – 2· ( ) ·( )+( ) =( )
1. x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照 a ±2ab+b =(a±b) ，填空：
m
m – 3
3
x
2
m
3
试一试
新课讲解
下列各式是不是完全平方式？
(1)a2–4a+4; (2)1+4a ;
(3)4b2+4b–1; (4)a2+ab+b2;
(5)x2+x+0.25.
是
只有两项；
不是
4b 与–1的符号不统一；
不是
不是
是
ab不是a与b的积的2倍.
新课讲解
例1 分解因式：
(1)16x2+24x+9； (2)–x2+4xy–4y2.
利用完全平方公式分解因式
分析：(1)中， 16x2=(4x)2， 9=3 ，24x=2·4x·3，
所以16x2+24x+9是一个完全平方式，
即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.
新课讲解
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2；
= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
(2)–x2+ 4xy–4y2
= –(x2–4xy+4y2)
= –(x–2y)2.
新课讲解
例2 如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )
A . 11 B. 9 C. –11 D. –9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.
利用完全平方公式求字母的值
新课讲解
方法点拨
本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
新课讲解
如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________.
解析：∵16=(±4)2，故–m=2×(±4)，m=±8.
±8
新课讲解
例3 把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2–12(a+b)+36.
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.
利用完全平方公式进行较复杂的因式分解
新课讲解
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2；
(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62
=(a+b–6)2.
新课讲解
利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
新课讲解
因式分解：
(1)–3a2x2＋24a2x–48a2；
(2)(a2＋4)2–16a2.
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4–4a)
解：(1)原式＝–3a2(x2–8x＋16)
＝–3a2(x–4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2–(4a)2
＝(a＋2)2(a–2)2.
有公因式要先提公因式.
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
新课讲解
例4 把下列完全平方式分解因式：
(1)1002–2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
利用完全平方公式进行简便运算
新课讲解
解：(1)原式=(100–99)
(2)原式＝(34＋16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.
=1.
＝2500.
新课讲解
例5 已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.
提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.
利用完全平方公式和非负性求字母的值
新课讲解
解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2–4b+4)=0
即(a+1)2+(b–2)2=0
∴ 2a2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7
方法总结：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．
新课讲解
1. 下列各式：； ；
； ，其中不能用完全平方公式因
式分解的式子有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 已知，为任意有理数，记，，则
与 的大小关系为( )
B
A. B.
C. D. 不能确定
课堂练习
3. ［2025漳州期中］一个大正方形被分割成四部分，面积分
别为,,, ，则大正方形的边长为( )
D
A. B.
C. D.
4. 若有理数，满足，则 的
值为( )
A
A. 2 B. C. 1 D.
课堂练习
5. 整式 可以写成( )
A. B.
C. D.
B
课堂练习
6. 若多项式 能用完全平
方公式因式分解，则 的值是_____.
【点拨】 多项式 能用完全平方公式因式
分解，， .
7.利用因式分解计算： ____.
16
课堂练习
8.母题教材P130例3 把下列各式因式分解：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
课堂练习
9. 给出三个多项式： ;
; .
（1）请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；
【解】选择 （答案不唯一）.
.
（2）当, 时，求第（1）问所得的代数式的值.
当，时，原式 .
课堂练习
10. 将多项式加上一项，使它能化成 的形式，
以下是四名学生所加的项，其中错误的是( )
D
A. B.
C. D.
课堂练习
11. ［2025泰安期中］无论， 为何值，
的值都是( )
A
A. 正数 B. 负数
C. 零 D. 非负数
【点拨】， ，
， ，即
无论, 为何值，
的值都是正数.
课堂练习
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
(1)要求多项式有三项.
(2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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