资源简介

(共40张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.1.1 从分数到分式
副标题：探索代数式新领域，从熟悉走向未知
背景图：左侧展示若干常见分数，如\(\frac{1}{2}\)、\(\frac{3}{4}\)等，右侧对应展示类似结构的分式，如\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{x + 1}{x^2 - 1}\)等，中间用箭头标注 “类比迁移”，下方用简洁文字说明分数与分式在形式上的关联，直观引出本节课主题。
幻灯片 2：学习目标
理解分式的概念，明确分式与分数在形式和本质上的联系与区别，能准确识别分式中的分子、分母（分母中含有字母）。
掌握分式有意义、无意义及分式值为零的条件，通过对具体分式的分析，熟练运用这些条件解决相关问题。
能根据实际问题情境列出分式表达式，体会分式在描述数量关系中的作用，提升数学建模能力。
体会从分数到分式的类比推理思想，感受数学知识的发展与拓展过程，增强对代数式学习的兴趣。
幻灯片 3：导入 —— 从分数的回顾与思考出发
复习回顾：
回顾分数的定义：把单位 “1” 平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数，如\(\frac{3}{5}\)表示将单位 “1” 平均分成 5 份，取其中的 3 份。
列举常见分数运算，如\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}\)，强调分数的分子、分母均为整数，且分母不为 0。
提出问题：
给出一些实际问题情境：
某工厂要生产 m 个零件，原计划每天生产 a 个，实际每天多生产 b 个，那么实际完成任务的天数是多少？（答案：\(\frac{m}{a + b}\)）
长方形的面积为 S，长为 x，宽是多少？（答案：\(\frac{S}{x}\)）
引导学生观察这些表达式与分数的异同，提问：这些新的式子能否像分数一样进行运算？它们有怎样的特点？由此引出分式的概念。
幻灯片 4：分式的概念
分式定义：
一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子\(\frac{A}{B}\)叫做分式。其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
概念解读：
形式上，分式与分数类似，都是\(\frac{分子}{分母}\)的形式。
本质区别：分式的分母 B 中必须含有字母，而分数的分母是整数。例如，\(\frac{1}{2}\)是分数，\(\frac{1}{x}\)是分式。
强调：分式中，分子 A 可以含字母，也可以不含字母，但分母 B 一定含有字母。
判断练习：下列式子哪些是分式？
\(\frac{x}{3}\)（不是，分母为常数 3，是整式）；
\(\frac{3}{x}\)（是，分母 x 为字母）；
\(\frac{x + y}{5}\)（不是，分母为常数 5，是整式）；
\(\frac{2}{x - y}\)（是，分母 x - y 含有字母）；
\(\frac{x^2 + 1}{x}\)（是，分母 x 含有字母）。
幻灯片 5：分式有意义、无意义及分式值为零的条件
分式有意义的条件：
因为分式的分母不能为 0，所以当 B≠0 时，分式\(\frac{A}{B}\)有意义。
例如，对于分式\(\frac{1}{x}\)，当 x≠0 时，该分式有意义；对于分式\(\frac{2}{x - 1}\)，当 x - 1≠0，即 x≠1 时，分式有意义。
分式无意义的条件：
当 B = 0 时，分式\(\frac{A}{B}\)无意义。
如分式\(\frac{3}{x + 2}\)，当 x + 2 = 0，即 x = -2 时，分式无意义。
分式值为零的条件：
要使分式的值为零，需同时满足两个条件：一是分子 A = 0，二是分母 B≠0。
例如，对于分式\(\frac{x - 1}{x + 2}\)，当 x - 1 = 0 且 x + 2≠0 时，分式值为零。由 x - 1 = 0 得 x = 1，此时 x + 2 = 3≠0，所以当 x = 1 时，该分式值为零。
应用练习：
当 x 取何值时，分式\(\frac{x}{x - 3}\)有意义？（答案：x - 3≠0，即 x≠3）
当 x 为何值时，分式\(\frac{2x + 1}{x^2 - 4}\)无意义？（答案：x^2 - 4 = 0，即 x = ±2）
若分式\(\frac{x^2 - 1}{x + 1}\)的值为零，求 x 的值。（答案：由 x^2 - 1 = 0 得 x = ±1，又因为 x + 1≠0，所以 x = 1）
幻灯片 6：分式在实际问题中的应用
例题 1：一辆汽车行驶 a 千米用 b 小时，它的平均速度是多少千米 / 小时？一列火车行驶 a 千米比这辆汽车少用 1 小时，火车的平均速度是多少千米 / 小时？
分析：
汽车平均速度 = \(\frac{路程}{时间}\) = \(\frac{a}{b}\)千米 / 小时。
火车行驶时间为 (b - 1) 小时，所以火车平均速度 = \(\frac{a}{b - 1}\)千米 / 小时。
解答过程：
汽车平均速度：\(\frac{a}{b}\)千米 / 小时。
火车平均速度：\(\frac{a}{b - 1}\)千米 / 小时。
例题 2：某村有 m 人，耕地面积为 n 公顷，人均耕地面积是多少公顷？如果粮食总产量为 p 吨，那么该村的人均粮食产量是多少吨？
分析：
人均耕地面积 = \(\frac{耕地总面积}{总人数}\) = \(\frac{n}{m}\)公顷。
人均粮食产量 = \(\frac{粮食总产量}{总人数}\) = \(\frac{p}{m}\)吨。
解答过程：
人均耕地面积：\(\frac{n}{m}\)公顷。
人均粮食产量：\(\frac{p}{m}\)吨。
总结：通过这些实际问题，我们看到分式能够准确地描述各种数量关系，在解决实际问题中有着广泛的应用。
幻灯片 7：分式与分数的对比辨析
对比表格：
对比维度
分数
分式
联系与区别
形式
\(\frac{分子}{分母}\)，分子、分母为整数
\(\frac{分子}{分母}\)，分母含字母
形式相似，分式分母有字母拓展了数的范围
有意义条件
分母不为 0
分母不为 0
本质相同，都需保证分母非零
运算规则
遵循分数运算法则，如通分、约分等
类似分数运算法则，但更复杂（涉及字母）
运算思路一致，分式运算要考虑字母取值
取值范围
分子、分母取值固定
分子、分母取值随字母变化而变化
分数值固定，分式值依字母取值而定
易错示例辨析：
误将\(\frac{x}{3}\)认为是分式（忽略分母为常数，是整式）。
计算分式\(\frac{1}{x - 1}\)时，未考虑 x - 1≠0 的条件，直接进行运算。
在求分式\(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\)值为零时，只考虑分子 x^2 - 4 = 0，忽略分母 x - 2≠0，得出 x = ±2 的错误结论（正确应为 x = -2）。
幻灯片 8：课堂小结
知识回顾：
分式的定义：形如\(\frac{A}{B}\)（A、B 为整式，B 中含字母）的式子。
分式有意义、无意义及值为零的条件。
分式在实际问题中的应用，如何根据情境列分式表达式。
分式与分数的联系与区别。
思想方法总结：
类比思想：从分数类比到分式，通过熟悉的分数概念和性质理解分式。
数学建模思想：运用分式解决实际问题，将实际情境转化为数学模型。
强调重点：
准确识别分式，牢记分式有意义、无意义及值为零的条件并能熟练运用。
注意在分式运算和解决问题时，对字母取值范围的讨论。
幻灯片 9：课后作业布置
基础巩固：
教材课后练习题，如判断给定式子是否为分式，求分式有意义、无意义及值为零的 x 取值等题目，强化对分式基本概念的理解。
能力提升：
给出一些实际问题，要求学生列出分式并分析其取值范围，提升数学建模与应用能力。例如：某工程队计划在 x 天内完成一项工程，原计划每天完成 a 工作量，实际每天多完成 b 工作量，写出实际完成工程所需天数的分式表达式，并求当 x = 10，a = 5，b = 2 时，该分式的值。
拓展探究：
让学生探究当分式\(\frac{x + 1}{x^2 + m}\)无论 x 取何值都有意义时，m 的取值范围是多少，培养学生深入思考与拓展探究的能力。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.1.1从分数到分式
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过类比分数的概念，了解分式的概念，能识别整式、分式，会求分式有无意义和值为零时字母的取值范围，提高自身观察、猜想、类比的能力．
2．经历分式概念的建构过程及用分式描述数量关系的过程，发展类比和抽象概括的能力．
3．通过探究分式的概念，让学生体会交流合作的作用，体会数学的应用价值．
重点
难点
学习目标
整式包括什么？你能说明它们的特点吗？
单项式和多项式．单项式特点：数与字母的积；多项式特点：几个单项式的和
新课导入
根据问题，填空：
(1)长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽为　　　　 cm；长方形的面积为S，长为a，宽为　　　　。
(2)把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为　　　　cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为　　　　。
新课导入
。
请同学们看一下这四个式子，它们有什么相同点和不同点
另两个式子,看它们有什么特点
分母中有字母.
学生活动一 【一起探究】
，
，
，
新课讲解
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．A叫做分子，B叫做分母.
新课讲解
下列代数式中，哪些是整式，哪些是分式？
学生活动二 【一起探究】
， ， ， ， ， ， ，4y＋3
新课讲解
解析：整式有
分式有
判断分式的依据是看分母中是否含有字母,分母中含有字母的代数式是分式.
， ， ， 4y＋3
， ，
新课讲解
问题：下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？
解析：要使分式有意义，必须使分母不等于零。
（1） （2） ； （4）.
（1） ≠0，则
（2） ；
（3） ；
（4） .
新课讲解
解:(1)要使分式有意义,则分母3x≠0,即x≠0,因此,当x≠0时,
分式 有意义;
(2)要使分式 有意义,则分母x-1≠0,即x≠1,因此,当x≠1时,
分式 有意义;
新课讲解
(3)要使分式 有意义,则分母5-3b≠0,即,因此,
当 时,分式 有意义;
(4)要使分式 有意义,则分母x-y≠0,即x≠y,因此,当x≠y时,分式 有意义.
新课讲解
问题：当x为何值时下列分式无意义？
学生活动三 【一起探究】
（1）；（2）.
新课讲解
解析：要使分式无意义，须使分母等于零。
（1）要使分式 无意义，则分母+5=0，即=-5.
（2）要使分式 无意义，
则分母（x+3）*（2x-2）=0，即x+3=0或2x-2=0，即x=-3或x=1.
新课讲解
问题：当x为何值时，下列分式的值为0
解析：要使分式的值为0，必须使分子为零且分母不为0。
（1）由分子2x=0，得x=0，
当x=0时，分母2x-6=-6≠0，
∴当x=0时，分式 的值为0.
（1）； （2）.
新课讲解
（2）由分子x2-16=0，得x=4和-4，
当x=4时，分母x-4=0，原分式无意义，
当x=-4时，分母x-4=-8≠0，
∴当x=-4时，分式 的值为0.
问题：当x为何值时，下列分式的值为0
解析：要使分式的值为0，必须使分子为零且分母不为0。
（1）； （2）.
新课讲解
分式有意义的条件：
分式的分母不等于零
分式的值为零的条件：
分式的分子为零且分母不为零
分式无意义的条件：
分式的分母等于零
类比的思想
方法----
新课讲解
2.当x=-1时，下列分式没有意义的是( )
1.在下面的代数式中,分式为( )
A. B. C. D.－ +
B
A. B. C. D.
C
新课讲解
3.当x 时，分式 有意义。
4.当x 时，分式 的值为零。
≠
=2
5.分式 有意义的条件： 。
x取全体实数
新课讲解
6.当 x 取什么值时，分式 的值为零？
解：由分子∣x∣-2=0得：x=±2，
当x=2时，分母2x+4=8≠0；
当x=-2时，分母2x+4=-4+4=0，分式无意义，舍去.
∴当x=2时，分式的值为0.
新课讲解
7.当 x 取什么值时，分式 的值为正数？
解：由题意可知：当x-3 0时，分式的值为正数.
即x 3.
新课讲解
【题型一】分式的概念
例1：下列各式：
其中分式有(　　)
A．3个　　　　B．4个　　　　C．5个　　　　D．6个
B
新课讲解
变式：把下列各式分别填入相应的圈中：
新课讲解
例2：使分式 有意义的x的取值范围是________．
例3：若分式 的值为0，则m的值为________．
x≠±1
【题型二】分式有无意义、值为0的条件
2
新课讲解
例4：已知分式 .
(1)当x取何值时，分式有意义？
(2)当x取取何值时，分式的值为0
解：(1)由题意，得x＋2≠0，解得x≠－2.
所以当x≠－2时，分式有意义．
(2)由题意，得1－3x＝0，且x＋2≠0，解得x＝ .
所以当x＝ 时，分式的值为0.
新课讲解
例5：若分式 的值总是正数，则a的取值范围是______________．
a>或a<0
【题型三】根据分式的值求参数的值或取值范围
变式：若 表示一个整数，则整数a可取的值有(　　)
A．2个　　　　B．3个　　　　C．4个　　　　D．5个　
C
点拨：由题意可知a－1＝±1或±3，解得a＝0或2或－2或4.故选C.
新课讲解
1. 教材P140练习 代数式，，， ，
， 中，属于分式的有( )
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 要使分式有意义，则 满足( )
B
A. B.
C. D.
课堂练习
3. 分式中，当 时，下列说法正确的是( )
D
A. 分式的值为零
B. 分式无意义
C. 若 ，则分式的值为零
D. 若 ，则分式的值为零
课堂练习
4. ［2025潍坊期中］根据下列表格中的不完整信息，可知
代表的分式可能是( )
… 0 1 2 …
… 0 * * 无意义 * …
C
A. B. C. D.
课堂练习
5. 黑龙江仙洞山梅花鹿保护区是以梅花鹿为
代表的许多珍贵野生动植物的栖息地，经过十多年的努力，
保护取得了显著效果，野生梅花鹿的种群数量逐渐增多.该保
护区为了估计该地区梅花鹿的数量，先捕捉了 只梅花鹿给
它们做上标记，然后放走，待有标记的梅花鹿完全混合于鹿
群后，第二次捕捉了只梅花鹿，发现其中 只有标记，请估
计这个地区的梅花鹿约有( )
C
A. 只 B. 只 C. 只 D. 只
课堂练习
6.已知当时，分式无意义；当 时，此分式的
值为0.
（1）求, 的值；
【解】 当时，分式 无意义，
，解得 .
当 时，此分式的值为0，
，解得 .
课堂练习
（2）当分式的值为正整数时，求整数 的值.
，， .
当时, ,
当时, ,
当时, ,
综上，整数 的值为0，1，3.
课堂练习
7. 如图，有七张写着不同整式的卡牌.
（1）从中选择两张卡牌分别放在分子、分母的位置上，拼
出一个“分式”.
【解】（答案不唯一）拼出的分式可以是 .
课堂练习
（2）当满足什么条件时，你拼出的“分式”有意义？当 满
足什么条件时，它的值为0？
当时，分式 有意义；
当时，分式 的值为0.
（3）拼出一个当 时值为0的“分式”.
拼出的分式可以是 .
课堂练习
8. 下列说法正确的是( )
D
A. 当时， 的值为0
B. 当时， 的值一定存在
C. 无论为何值， 的值不可能是整数
D. 无论为何值， 的值总为正数
课堂练习
9. 教材P139练习 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，
天用水 吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现
在比原来每天节约用水的吨数是( )
A
A. B.
C. D.
课堂练习
10. 若三角形三边长分别为,, ，且分式
的值为0，则此三角形一定是( )
B
A. 不等边三角形
B. 腰与底边不相等的等腰三角形
C. 等边三角形
D. 直角三角形
课堂练习
1.本节课我们学习了哪些知识？
2．从中体会了哪些数学思想？
分式的概念；分式有无意义的条件；分式值为0的条件
类比思想、转化思想、从特殊到一般、从一般到特殊的数学思想
同学们，今天我们类比分数，学习了分式的概念，很多知识都是相互联系，相互贯通的，大家要保持一双善于发现的眼睛.
课堂练习
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑