资源简介

(共24张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.1.2.1 分式的基本性质
副标题：类比分数性质，探索分式变形规律
背景图：左侧展示分数基本性质的示例 “\(\frac{1}{2} = \frac{1×3}{2×3} = \frac{3}{6}\)，\(\frac{6}{9} = \frac{6÷3}{9÷3} = \frac{2}{3}\)”，右侧对应展示分式基本性质的示例 “\(\frac{a}{b} = \frac{a×c}{b×c}\)（\(c≠0\)），\(\frac{ab}{ac} = \frac{b}{c}\)（\(a≠0\)）”，中间用 “类比迁移” 箭头连接，直观呈现分数与分式基本性质的关联。
幻灯片 2：学习目标
类比分数的基本性质，理解并掌握分式的基本性质，能准确表述分式基本性质的内容（强调 “乘或除以同一个不为 0 的整式”）。
能运用分式的基本性质进行分式的变形（如分子分母同乘或除以非零整式），熟练掌握分式约分的方法，能将分式化为最简分式。
理解 “最简分式” 的定义，能判断一个分式是否为最简分式，培养分式变形的严谨性（关注 “不为 0 的整式” 这一前提条件）。
体会类比思想在数学学习中的作用，感受分式基本性质在分式运算中的基础地位，提升代数式变形能力。
幻灯片 3：导入 —— 从分数基本性质回顾切入
复习回顾：
回顾分数的基本性质：分数的分子与分母同乘（或除以）一个不为 0的数，分数的值不变。用字母表示为\(\frac{a}{b} = \frac{a×k}{b×k}\)，\(\frac{a}{b} = \frac{a÷k}{b÷k}\)（其中\(a\)、\(b\)、\(k\)为整数，\(b≠0\)，\(k≠0\)）。
举例验证：\(\frac{2}{3} = \frac{2×4}{3×4} = \frac{8}{12}\)，\(\frac{15}{20} = \frac{15÷5}{20÷5} = \frac{3}{4}\)，强调 “\(k≠0\)” 的重要性（若\(k=0\)，分母会变为 0，分数无意义）。
提出问题：
分式与分数形式相似，分数有基本性质，那么分式是否也有类似的基本性质？若有，分式的基本性质中 “乘或除以的数” 应替换为 “整式”，但需注意什么条件？引出本节课核心 —— 分式的基本性质。
幻灯片 4：分式的基本性质推导与表述
类比推导：
分数的分子、分母是整数，分式的分子、分母是整式，结合分数基本性质的 “同乘或除以不为 0 的数”，可类比猜想分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为 0的整式，分式的值不变。
严谨验证：
以分式\(\frac{a}{b}\)（\(b≠0\)）为例，若乘一个不为 0 的整式\(c\)（\(c≠0\)），则\(\frac{a×c}{b×c}\)：
首先，\(b≠0\)且\(c≠0\)，故\(b×c≠0\)，分式\(\frac{a×c}{b×c}\)有意义；
从分数角度类比，若\(a\)、\(b\)、\(c\)为具体数值（如\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=3\)），则\(\frac{1}{2} = \frac{1×3}{2×3} = \frac{3}{6}\)，验证分式值不变；
同理，若除以不为 0 的整式\(c\)，则\(\frac{a÷c}{b÷c}\)（\(a\)、\(b\)均能被\(c\)整除，且\(c≠0\)），分式值也不变。
性质表述：
一般地，对于任意一个分式\(\frac{A}{B}\)（\(A\)、\(B\)是整式，\(B≠0\)），若\(C\)是不为 0 的整式，则有：
\(\frac{A}{B} = \frac{A×C}{B×C}\)；
\(\frac{A}{B} = \frac{A÷C}{B÷C}\)（\(C\)能整除\(A\)和\(B\)）。
这就是分式的基本性质，核心要点：同乘或除以的整式\(C\)必须不为 0（否则分母为 0，分式无意义）。
幻灯片 5：分式基本性质的关键解读与易错提醒
关键解读：
“不为 0 的整式”：\(C\)可以是单项式（如\(x\)、\(2ab\)）或多项式（如\(x+1\)、\(a-b\)），但必须满足\(C≠0\)，例如分式\(\frac{x}{y}\)，若乘\(x+1\)，则需\(x+1≠0\)（即\(x≠-1\)）。
“值不变”：变形前后分式的值相等，但分式中字母的取值范围可能变化（需排除使原分式和变形后分式无意义的情况），例如\(\frac{x}{x+2} = \frac{x(x-1)}{(x+2)(x-1)}\)，原分式\(x≠-2\)，变形后\(x≠-2\)且\(x≠1\)。
易错提醒：
误区 1：忽略\(C≠0\)的条件，如\(\frac{a}{b} = \frac{a×x}{b×x}\)（未说明\(x≠0\)），导致分式无意义；
误区 2：将 “同乘或除以” 改为 “同加或同减”，如认为\(\frac{x}{y} = \frac{x+1}{y+1}\)（错误，分式值会改变，如\(x=1\)，\(y=2\)时，\(\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}\)）。
幻灯片 6：分式基本性质的应用 1—— 分式变形（同乘或除以非零整式）
例题 1：根据分式的基本性质，填空：
\(\frac{2}{x} = \frac{(\quad)}{x^2y}\)（\(y≠0\)）；
\(\frac{a+b}{ab} = \frac{(\quad)}{a^2b}\)（\(a≠0\)）；
\(\frac{x^2 - 1}{x+1} = \frac{(\quad)}{1}\)（\(x≠-1\)）。
解答过程：
分母\(x\)变为\(x^2y\)，是乘\(xy\)（\(y≠0\)，故\(xy≠0\)），根据性质，分子也乘\(xy\)：\(2×xy=2xy\)，故填\(2xy\)；
分母\(ab\)变为\(a^2b\)，是乘\(a\)（\(a≠0\)），分子也乘\(a\)：\((a+b)×a=a^2+ab\)，故填\(a^2+ab\)；
分母\(x+1\)变为\(1\)，是除以\(x+1\)（\(x≠-1\)，故\(x+1≠0\)），分子也除以\(x+1\)：\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)，故\((x+1)(x-1)÷(x+1)=x-1\)，填\(x-1\)。
解题关键：
观察分母（或分子）的变化：确定是 “乘” 还是 “除以” 某个整式，以及这个整式是什么；
确保所乘或除以的整式不为 0（题目通常会给出隐含条件，如\(y≠0\)、\(a≠0\)）；
分子（或分母）做相同的变形，保证分式值不变。
幻灯片 7：分式基本性质的应用 2—— 分式约分与最简分式
1. 最简分式定义：
若一个分式的分子与分母没有公因式（1 除外），则这个分式叫做最简分式（也叫既约分式）。例如\(\frac{2}{x}\)、\(\frac{a+b}{ab}\)是最简分式，\(\frac{2x}{4}\)、\(\frac{x^2}{xy}\)不是最简分式。
2. 约分的定义与步骤：
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，约分的目标是将分式化为最简分式。
步骤：
① 找公因式：分别找出分子、分母的公因式（系数的最大公约数、相同字母的最低次幂、相同多项式的最低次幂）；
② 约公因式：分子、分母同时除以公因式，注意符号（若分子或分母为负，可先提取负号）；
③ 验结果：检查约分后的分式是否为最简分式（分子分母无公因式）。
例题 2：将下列分式化为最简分式：
\(\frac{12x^2y}{18xy^2}\)；
\(\frac{-4a^3b^2}{2a^2b}\)；
\(\frac{x^2 - 4}{x+2}\)。
解答过程：
\(\frac{12x^2y}{18xy^2}\)：
找公因式：系数 12 和 18 的最大公约数为 6，相同字母\(x\)的最低次幂\(x^1\)，\(y\)的最低次幂\(y^1\)，公因式为\(6xy\)；
约公因式：分子\(12x^2y÷6xy=2x\)，分母\(18xy^2÷6xy=3y\)；
结果：\(\frac{2x}{3y}\)（最简分式）。
\(\frac{-4a^3b^2}{2a^2b}\)：
找公因式：系数绝对值 4 和 2 的最大公约数为 2，相同字母\(a\)的最低次幂\(a^2\)，\(b\)的最低次幂\(b^1\)，公因式为\(2a^2b\)；
约公因式：分子\(-4a^3b^2÷2a^2b=-2ab\)，分母\(2a^2b÷2a^2b=1\)；
结果：\(-2ab\)（最简分式，分母为 1 时可省略）。
\(\frac{x^2 - 4}{x+2}\)：
因式分解分子：\(x^2 - 4=(x+2)(x-2)\)；
找公因式：分子分母的公因式为\(x+2\)（\(x≠-2\)）；
约公因式：\((x+2)(x-2)÷(x+2)=x-2\)，分母\(x+2÷(x+2)=1\)；
结果：\(x-2\)（最简分式）。
幻灯片 8：分式约分的特殊情况与技巧
1. 分子或分母为多项式的约分：
关键：先对多项式进行因式分解（如平方差、完全平方、提公因式），再找公因式。例如\(\frac{x^2 + 2x + 1}{x+1} = \frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1\)（\(x≠-1\)）。
2. 分子或分母为负的约分：
规则：分式的符号、分子的符号、分母的符号，任意改变其中两个，分式的值不变。例如\(\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}\)，\(\frac{-x+y}{-x-y} = \frac{y-x}{-(x+y)} = \frac{x-y}{x+y}\)。
例题 3：约分\(\frac{-3x + 6}{x^2 - 4}\)：
变形分子分母：分子\(-3x+6=-3(x-2)\)，分母\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)；
找公因式：\(x-2\)（\(x≠2\)）；
约公因式：\(\frac{-3(x-2)}{(x+2)(x-2)} = -\frac{3}{x+2}\)（最简分式）。
3. 公因式为多项式的约分：
示例：\(\frac{(x-y)^2}{(y-x)^3} = \frac{(y-x)^2}{(y-x)^3} = \frac{1}{y-x}\)（利用\((x-y)^2=(y-x)^2\)，公因式为\((y-x)^2\)）。
幻灯片 9：易错点辨析与注意事项
易错点 1：约分忽略公因式中的多项式或符号：
示例：约分\(\frac{x^2 - 1}{x-1}\)时，误写成\(\frac{x^2 - 1}{x-1} = x-1\)（正确应为\(\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1\)，漏分解分子的平方差）；或约分\(\frac{-x}{x^2}\)时，误写成\(\frac{-x}{x^2}=-\frac{1}{x^2}\)（正确应为\(\frac{-x}{x^2}=-\frac{1}{x}\)，漏约去\(x\)）。
提醒：分子分母为多项式时，先因式分解；符号问题遵循 “任意变两个，值不变”，避免符号错误。
易错点 2：约分后分母为 0 或忽略 “公因式不为 0” 的条件：
示例：约分\(\frac{x}{x(x+1)}\)时，直接写成\(\frac{1}{x+1}\)，未说明\(x≠0\)和\(x≠-1\)（原分式\(x≠0\)且\(x≠-1\)，变形后仍需满足）；或约分\(\frac{x+2}{x^2 + 4x + 4}\)时，忽略\(x≠-2\)的条件。
强调：约分的前提是 “公因式不为 0”，需明确字母的取值范围，排除使公因式为 0 或分母为 0 的情况。
易错点 3：混淆 “约分” 与 “通分”（提前预警）：
误区：误将\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)进行约分（约分是针对单个分式，通分是针对多个分式的分母统一，后续学习），错写成\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y+x}{xy}\)（虽结果正确，但过程混淆了约分与通分，正确思路是通分）。
区分：约分是 “单个分式的分子分母约去公因式”，结果是分式简化；通分是 “多个分式的分母化为相同”，结果是分母统一，两者目的和操作对象不同。
幻灯片 10：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：根据分式基本性质填空：
\(\frac{3}{a} = \frac{(\quad)}{ab}\)（\(b≠0\)）（答案：\(3b\)）；
\(\frac{x+y}{x-y} = \frac{(x+y)^2}{(\quad)}\)（\(x+y≠0\)）（答案：\((x-y)(x+y)=x^2 - y^2\)）；
\(\frac{6x^3y^2}{-4x^2y^3} = \frac{(\quad)}{-2y}\)（答案：\(3x\)）。
基础练习 2：判断下列分式是否为最简分式，若不是，化为最简分式：
\(\frac{4x}{6x^2}\)（不是，\(\frac{2}{3x}\)）；
\(\frac{x^2 + 1}{x+1}\)（是，分子无法分解，与分母无公因式）；
\(\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a-b}\)（不是，\(\frac{(a-b)^2}{a-b}=a-b\)）。
提升练习 3：约分（含多项式与符号）：
\(\frac{-2x^2 + 4x}{x^2 - 4}\)（答案：\(\frac{-2x(x-2)}{(x+2)(x-2)} = -\frac{2x}{x+2}\)）；
\(\frac{(x-3)(x+2)}{(3-x)(x-1)}\)（答案：$\frac {-(3-x)(x+2)}{(3-x)(
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.1.2.1 分式的基本性质
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过类比分数的基本性质，理解并掌握分式的基本性质，体会类比的数学思想．
2．通过运用分式的基本性质进行分式的恒等变形，理解分式变形中的符号法则，培养学生的推理能力，提高学生的运算能力．
3．经历探索分式基本性质的过程，体会类比的思想．
重点
难点
学习目标
1. 同学们，下列分数是否相等？若相等，可以进行变形的依据是什么？
，，，，.
分数的基本性质是什么？需要注意哪些地方？
你能类比得出分数的基本性质吗？
新课导入
下列分数是否相等？
　 这些分数相等的依据是什么？
　　分数的基本性质.
　　相等.
分式的基本性质
知识点 1
问题1：
新课讲解
分数的基本性质：
　　一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变．
你能叙述分数的基本性质吗？
问题2：
新课讲解
　　一般地，对于任意一个分数 ，有
其中a， b， c 是数．
你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？
问题3：
新课讲解
分式的基本性质：
　　分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．
类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？
问题4：
新课讲解
追问1 如何用式子表示分式的基本性质？
其中A，B，C
是整式.
新课讲解
(1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；
(2)所乘(或除以)的必须是同一个整式；
(3)所乘(或除以)的整式应该不等于零.
追问2　应用分式的基本性质时需要注意什么？
新课讲解
例 下列等式成立吗？右边是怎样从左边得到的？
分式的基本性质的应用
新课讲解
例 下列等式成立吗？右边是怎样从左边得到的？
解: (1)成立.
因为
所以
(2) 成立.
因为
所以
新课讲解
解：(1)正确．分子分母除以x ；
(2)不正确．分子乘x，而分母没乘；
(3)正确．分子分母除以(x -y)．
(1) （2） （3）
下列变形是否正确？如果正确，说出是如何变形的？如果不正确，说明理由.
新课讲解
不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号：
(1) ； (2) ；(3) ； (4) ．
解：
分式的变号法则：分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变.
新课讲解
1. ［2025北京房山区期中］下列各式从左到右的变形正确的
是( )
D
A. B.
C. D.
2. 若，则 可以是( )
C
A. B. C. D.
3.若成立，则 的取值范围是______.
新课讲解
4.利用分式的基本性质填空：
（1） ；
（2） .
新课讲解
5.（1）不改变分式的值，利用分式的基本性质，使分式的分
子和分母都不含“-”号：
① ；
【解】
② .
.
新课讲解
（2）不改变分式的值，使分式中和 的系数都为正数：
① ；
.
② .
.
新课讲解
6. 下列各式中，错误的是( )
C
A. B.
C. D.
7. 若把分式中的， 同时扩大到原来的5倍，分式的值
也扩大到原来的5倍，则“ ”可以是( )
B
A. 5 B. C. D.
新课讲解
8.已知，则 的取值范围是______.
【点拨】 ，
，解得 .
新课讲解
9.母题教材P142练习 不改变分式的值，把下列分式的分
子、分母中各项的系数化为整数.
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
新课讲解
10. 对分式 变形，甲同学的做法是
；乙同学的做法是
.请根据分式的基本性质，判断甲、
乙两同学的解法是否正确，并说明理由.
新课讲解
【解】甲同学的解法是正确的，乙同学的解法是错误的.理
由： 分式中已经隐含了， 可根据分式的
基本性质，给分式的分子与分母同除以 甲同学的解
法是正确的.
是否为0不能确定， 不能根据分式的基本性质，给
分式的分子与分母同乘 乙同学的解法是错误的.
新课讲解
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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