资源简介

(共33张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.2.1 分式的乘除
副标题：类比分数运算，掌握分式乘除法则
背景图：左侧展示分数乘除示例 “\(\frac{2}{3}×\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\)，\(\frac{2}{3}÷\frac{5}{4}=\frac{2}{3}×\frac{4}{5}=\frac{8}{15}\)”，右侧对应展示分式乘除示例 “\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)，\(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}×\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\)（\(b、c、d≠0\)）”，用双向箭头标注 “分数→分式” 的类比关系，直观呈现分式乘除与分数乘除的关联。
幻灯片 2：学习目标
类比分数的乘除法则，理解并掌握分式的乘法法则（\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)）和除法法则（\(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}×\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\)），明确法则中 “分母不为 0” 的前提条件。
能运用分式乘除法则进行运算，熟练完成 “因式分解→约分→计算→化简” 的步骤，能处理含多项式、符号的分式乘除问题。
掌握分式乘除混合运算的顺序（从左到右，先除后乘转化为乘法），提升分式运算的严谨性与准确性。
体会类比思想在分式运算中的应用，感受分式运算与分数运算的一致性，为后续分式加减运算奠定基础。
幻灯片 3：导入 —— 从分数乘除类比切入
复习回顾：
回顾分数乘除法则：
乘法：\(\frac{m}{n}×\frac{p}{q}=\frac{mp}{nq}\)（分子相乘作分子，分母相乘作分母，再约分）；
除法：\(\frac{m}{n}÷\frac{p}{q}=\frac{m}{n}×\frac{q}{p}=\frac{mq}{np}\)（除以一个数等于乘它的倒数，再按乘法计算）。
举例计算：\(\frac{3}{4}×\frac{2}{5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\)，\(\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{3}{4}×\frac{5}{2}=\frac{15}{8}\)，强调 “约分优先” 可简化计算。
提出问题：
分式与分数形式相似，分数的乘除法则能否推广到分式？若能，分式乘除中需注意哪些条件（如分母不为 0）？引出本节课核心 —— 分式的乘除。
幻灯片 4：分式的乘法法则推导与表述
类比推导：
分数乘法是 “分子乘分子，分母乘分母”，分式中分子分母为整式，可类比猜想：分式相乘，用分子的积作分子，分母的积作分母。
严谨表述：
一般地，对于任意两个分式\(\frac{a}{b}\)和\(\frac{c}{d}\)（\(b≠0\)，\(d≠0\)，\(a、b、c、d\)为整式），分式的乘法法则为：
\(\boxed{\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}}\)
前提条件：\(b≠0\)，\(d≠0\)（保证原分式有意义），\(ac\)、\(bd\)为整式（符合分式定义）。
关键解读：
运算步骤：先将分子、分母分别相乘，得到一个新的分式\(\frac{ac}{bd}\)；
化简要求：新分式需通过约分化为最简分式（或整式），“约分优先” 可减少计算量（如先约分再相乘，避免分子分母过大）。
示例验证：
计算\(\frac{x}{y}×\frac{y^2}{x^3}\)（\(x≠0\)，\(y≠0\)）：
方法一（先乘后约）：\(\frac{x×y^2}{y×x^3}=\frac{xy^2}{x^3y}=\frac{y}{x^2}\)；
方法二（先约后乘）：\(\frac{x}{y}×\frac{y^2}{x^3}=\frac{1}{1}×\frac{y}{x^2}=\frac{y}{x^2}\)（先约去\(x\)和\(y\)）；
结果一致，验证法则正确性，且 “先约后乘” 更简便。
幻灯片 5：分式的除法法则推导与表述
类比推导：
分数除法是 “转化为乘法（乘除数的倒数）”，分式除法同理：除以一个分式，等于乘这个分式的倒数，再按乘法法则计算。
严谨表述：
对于任意两个分式\(\frac{a}{b}\)和\(\frac{c}{d}\)（\(b≠0\)，\(c≠0\)，\(d≠0\)），分式的除法法则为：
\(\boxed{\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}×\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}}\)
前提条件：\(b≠0\)，\(c≠0\)，\(d≠0\)（\(c≠0\)保证除数分式不为 0，避免无意义）。
关键解读：
转化核心：将除法转化为乘法，关键是 “变除号为乘号，变除数分式为其倒数”（分子分母互换位置）；
后续运算：转化后按分式乘法法则计算，同样遵循 “约分优先” 原则。
示例验证：
计算\(\frac{a^2}{b}÷\frac{a}{b^2}\)（\(a≠0\)，\(b≠0\)）：
转化：\(\frac{a^2}{b}÷\frac{a}{b^2}=\frac{a^2}{b}×\frac{b^2}{a}\)；
约分：约去\(a\)和\(b\)，得\(\frac{a}{1}×\frac{b}{1}=ab\)；
直接计算验证：\(\frac{a^2×b^2}{b×a}=\frac{a^2b^2}{ab}=ab\)，结果一致，法则正确。
幻灯片 6：分式乘法的应用（含多项式与符号）
运算步骤总结：
因式分解：将分子、分母中的多项式分别因式分解（提公因式、平方差、完全平方）；
约分：约去分子与分母的公因式（包括符号相反的因式，如\(x-y=-(y-x)\)）；
计算：将剩余分子相乘作分子，剩余分母相乘作分母；
化简：确保结果为最简分式（或整式），标注字母取值范围。
例题 1：计算下列分式乘法：
\(\frac{2x}{3y}×\frac{9y^2}{4x^2}\)（\(x≠0\)，\(y≠0\)）；
\(\frac{x^2 - 4}{x+1}×\frac{x+1}{x-2}\)（\(x≠-1\)，\(x≠2\)）；
\(\frac{-a^2}{b}×\frac{b^2}{-a^3}\)（\(a≠0\)，\(b≠0\)）。
解答过程：
\(\frac{2x}{3y}×\frac{9y^2}{4x^2}\)：
约分：约去\(2x\)与\(4x^2\)的公因式\(2x\)，\(3y\)与\(9y^2\)的公因式\(3y\)；
计算：\(\frac{1}{1}×\frac{3y}{2x}=\frac{3y}{2x}\)；
结果：\(\frac{3y}{2x}\)（最简分式）。
\(\frac{x^2 - 4}{x+1}×\frac{x+1}{x-2}\)：
因式分解：\(x^2 - 4=(x+2)(x-2)\)；
约分：约去\((x+1)\)和\((x-2)\)；
计算：\(\frac{(x+2)}{1}×\frac{1}{1}=x+2\)；
结果：\(x+2\)（整式，\(x≠-1\)，\(x≠2\)）。
\(\frac{-a^2}{b}×\frac{b^2}{-a^3}\)：
符号处理：负号相乘得正，\(\frac{a^2}{b}×\frac{b^2}{a^3}\)；
约分：约去\(a^2\)与\(a^3\)的公因式\(a^2\)，\(b\)与\(b^2\)的公因式\(b\)；
计算：\(\frac{1}{1}×\frac{b}{a}=\frac{b}{a}\)；
结果：\(\frac{b}{a}\)（最简分式）。
幻灯片 7：分式除法的应用（含多项式与混合符号）
运算步骤总结：
转化：变除为乘（除号→乘号，除数分式→倒数）；
后续步骤：同分式乘法（因式分解→约分→计算→化简）。
例题 2：计算下列分式除法：
\(\frac{3a}{4b^2}÷\frac{9a^2}{8b}\)（\(a≠0\)，\(b≠0\)）；
\(\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}÷\frac{x-1}{x+1}\)（\(x≠±1\)）；
\(\frac{-2x}{y}÷\frac{4x^2}{-y^2}\)（\(x≠0\)，\(y≠0\)）。
解答过程：
\(\frac{3a}{4b^2}÷\frac{9a^2}{8b}\)：
转化：\(\frac{3a}{4b^2}×\frac{8b}{9a^2}\)；
约分：约去\(3a\)与\(9a^2\)的公因式\(3a\)，\(4b^2\)与\(8b\)的公因式\(4b\)；
计算：\(\frac{1}{b}×\frac{2}{3a}=\frac{2}{3ab}\)；
结果：\(\frac{2}{3ab}\)（最简分式）。
\(\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}÷\frac{x-1}{x+1}\)：
因式分解：\(x^2 - 2x + 1=(x-1)^2\)，\(x^2 - 1=(x+1)(x-1)\)；
转化：\(\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}×\frac{x+1}{x-1}\)；
约分：约去\((x-1)^2\)和\((x+1)\)；
计算：\(\frac{1}{1}×\frac{1}{1}=1\)；
结果：1（\(x≠±1\)）。
\(\frac{-2x}{y}÷\frac{4x^2}{-y^2}\)：
转化：\(\frac{-2x}{y}×\frac{-y^2}{4x^2}\)（负号相乘得正）；
约分：约去\(2x\)与\(4x^2\)的公因式\(2x\)，\(y\)与\(y^2\)的公因式\(y\)；
计算：\(\frac{1}{1}×\frac{y}{2x}=\frac{y}{2x}\)；
结果：\(\frac{y}{2x}\)（最简分式）。
幻灯片 8：分式乘除混合运算
运算顺序：
分式乘除混合运算遵循 “从左到右” 的顺序，若有括号先算括号内的；所有除法均需先转化为乘法，再按乘法法则计算。
例题 3：计算\(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}×\frac{e}{f}\)（\(b、c、d、f≠0\)）和\(\frac{x^2 - 4}{x}÷\frac{x+2}{x-1}×\frac{x}{x-2}\)（\(x≠0\)，\(x≠±2\)，\(x≠1\)）。
解答过程：
\(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}×\frac{e}{f}\)：
分步转化：\(\frac{a}{b}×\frac{d}{c}×\frac{e}{f}\)；
计算：\(\frac{a×d×e}{b×c×f}=\frac{ade}{bcf}\)；
结果：\(\frac{ade}{bcf}\)（最简分式）。
\(\frac{x^2 - 4}{x}÷\frac{x+2}{x-1}×\frac{x}{x-2}\)：
因式分解：\(x^2 - 4=(x+2)(x-2)\)；
转化：\(\frac{(x+2)(x-2)}{x}×\frac{x-1}{x+2}×\frac{x}{x-2}\)；
约分：约去\((x+2)\)、\((x-2)\)和\(x\)；
计算：\(\frac{1}{1}×\frac{x-1}{1}×\frac{1}{1}=x-1\)；
结果：\(x-1\)（\(x≠0\)，\(x≠±2\)，\(x≠1\)）。
解题关键：
混合运算中，避免 “跳步转化”，需将所有除法一次性转化为乘法后再约分，确保符号和因式分解无误；约分后检查是否所有公因式均约去，避免计算冗余。
幻灯片 9：易错点辨析与注意事项
易错点 1：分式除法忘记转化为乘法（直接分子除分子，分母除分母）：
示例：计算\(\frac{x}{y}÷\frac{a}{b}\)时，误写成\(\frac{x÷a}{y÷b}=\frac{x/a}{y/b}\)（错误，正确应为\(\frac{x}{y}×\frac{b}{a}=\frac{xb}{ya}\)）。
提醒：分式除法的核心是 “转化为乘法”，不能直接对分子分母分别相除，需严格遵循 “变除为乘，变倒数” 的步骤。
易错点 2：因式分解不彻底导致约分不充分：
示例：计算\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}×\frac{x+1}{x-1}\)时，误分解为\(\frac{(x+1)(x-1)}{x^2 + 2x + 1}×\frac{x+1}{x-1}\)（未分解分母\(x^2 + 2x + 1=(x+1)^2\)，正确约分后结果为 1）。
纠正：分子分母为多项式时，必须先因式分解（提公因式、公式法），确保分解彻底后再约分，避免遗漏公因式。
易错点 3：符号处理错误（负号位置混淆或漏乘负号）：
示例：计算\(\frac{-x}{y}×\frac{-y^2}{x^2}\)时，误写成\(\frac{-x×(-y^2)}{y×x^2}=\frac{xy^2}{x^2y}=\frac{y}{x}\)（结果正确，但中间步骤若漏负号，如\(\frac{-x}{y}×\frac{y^2}{x^2}=-\frac{y}{x}\)则错误）。
预防：负号可先单独处理（负号个数为偶数得正，奇数得负），再进行分子分母的乘法与约分，避免符号与因式混淆。
易错点 4：忽略 “分母不为 0” 的前提条件：
示例：计算\(\frac{x}{x-2}×\frac{x-2}{x+3}\)时，仅结果写\(x+3\)，未标注\(x≠-3\)，
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.2.1分式的乘除
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则，培养学生类比、归纳的意识以及准确的语言表达能力．
2．让学生在自主探究、合作交流中体会类比、转化的思想，使学生感受探索的乐趣和成功的体验．
3．通过具体的分式乘除计算，进一步巩固掌握分式的乘除法法则，锻炼学生的计算能力．
重点
难点
学习目标
请同学们观察下列运算：
这是我们之前学习的什么？
你能根据上述算式猜测：
？，？
新课导入
1.一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 时，水高多少
解：长方体容器的高为 ，
水高为
知识点
分式的乘除法法则
新课讲解
2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地 b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
解：大拖拉机的工作效率
是 公顷/天，
小拖拉机的工作效率是 公顷/天，
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的( )倍.
新课讲解
和 ，其中涉及到分式的哪些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？
观察上述两个问题中所列出的式子　　　
【思考】
新课讲解
在计算的过程中，运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？
如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？
怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？　　　
3.计算：
新课讲解
分式的乘除法法则
新课讲解
乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
新课讲解
例1 计算：
2
2
利用分式的乘除法法则进行单项式的计算
2
解法一:
解法二:
新课讲解
2
分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.
新课讲解
①若分子分母都是单项式，把分子分母分别相乘，约去公因式，最后化为最简分式或整式；
②分式与分式相除时，按照法则先转化为乘法，再运算.
归纳总结
新课讲解
等于( )
A. B.
C. D.
2
解析：
C
新课讲解
例2 计算：
利用分式的乘除法法则进行多项式的计算
新课讲解
当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行.
新课讲解
一定要注意符号变化呦！
新课讲解
①若分子分母有多项式，先把多项式分解因式，看能约分的先约分，然后相乘；
②分式与分式相除时，一定要先转化为乘法，再按照乘法法则运算.
新课讲解
归纳总结
1
1
1
1
1
解：原式
计算:
(1)
新课讲解
1
1
1
1
(2)
解：原式
新课讲解
例3 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a m的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a–1) m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
分式的乘除法法则的实际应用
新课讲解
∵0＜(a–1)2＜ a2–1，
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
∴
解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2–1)m ，单位
面积产量是 kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是
(a–1)2 m2，单位面积产量是 kg/m2.
新课讲解
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍.
(2)
新课讲解
1. 教材P146例1 计算 的结果是( )
D
A. B. C. D.
2. 化简 的结果是( )
A
A. B. C. D.
3. 若“”可以进行约分化简，则“ ”不可以是( )
B
A. 1 B. 2 C. 4 D.
课堂练习
4. 下面是某同学化简式子
的过程，则横线上依次填入的序号为( )
.
C
；；； .
A. ③②① B. ③①② C. ④②① D. ④①②
课堂练习
5.已知，则式子 的值是___.
6. 八年级的三名同学在一起讨论一个分式乘
法题目：
4
甲：它是一个整式与一个分式相乘.
乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解.
丙：计算结果是 .
请写出一个符合上述条件的题目:________________________
____.
（答案不唯一）
课堂练习
7.请从，， 中选取两个式子相乘并化
简，再从 ，1，2中选择合适的数代入求值.
【解】选取， 两个式子相乘，
.当 时，
.（答案不唯一）
课堂练习
8. ［2025石家庄校级期中］若 为正整数，则化简
的结果可以是( )
B
A. 0 B. C. D. 2
【点拨】原式 .
,,，且且 .又
为正整数，，即且 选项A,C,
D均不符合题意，故选B.
课堂练习
9. 式子的值为，当为整数时，整数 的值有
( )
B
A. 0个 B. 7个 C. 8个 D. 无数个
【点拨】由题意得
. 为整
数，且为整数，或或或， 或1
或4或0或6或或10或.又且 ，
且或1或4或0或6或 或10，共有7个.
课堂练习
10.有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以
它与1的和，多次重复这种运算的过程如下：
则第次的运算结果是_ ________（用含有字母和 的代数式
表示）.
课堂练习
分式的乘除法法则
课堂总结
①若分子分母都是单项式，把分子分母分别相乘，约去公因式，最后化为最简分式或整式；
②若分子分母有多项式，先把多项式分解因式，看能约分的先约分，然后相乘；
③分式与分式相除时，按照法则先转化为乘法，再运算.
注意事项：
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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