资源简介

(共34张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.3.1 同分母分式相加减
副标题：掌握同分母分式运算，夯实分式运算基础
背景图：展示同分母分式相加减的示例，如 “\(\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{2 + 3}{x}=\frac{5}{x}\)”“\(\frac{5}{y}-\frac{2}{y}=\frac{5 - 2}{y}=\frac{3}{y}\)”，突出分子相加减、分母不变的核心运算规则。
幻灯片 2：学习目标
理解同分母分式相加减的运算法则，能准确表述 “同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减”，并掌握其符号语言：\(\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}\)（\(c≠0\)，\(a、b、c\)为整式）。
熟练运用同分母分式相加减法则进行简单分式运算，包括分子为单项式、多项式的情况，能准确处理分子相加减时的符号问题与合并同类项。
能解决含有括号的同分母分式运算问题，学会去括号法则在分式运算中的应用，提升运算的准确性与严谨性。
通过类比同分母分数相加减，体会从数到式的运算拓展，培养数学思维的迁移能力，为异分母分式相加减及分式混合运算奠定基础。
幻灯片 3：导入 —— 从同分母分数相加减类比分式运算
复习回顾：
回顾同分母分数相加减的运算法则：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。例如：\(\frac{3}{7}+\frac{2}{7}=\frac{3 + 2}{7}=\frac{5}{7}\)，\(\frac{7}{9}-\frac{4}{9}=\frac{7 - 4}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)（结果需化简）。
复习分式的基本概念，强调分式有意义的条件是分母不为零，如分式\(\frac{x}{x - 1}\)，当\(x≠1\)时分式有意义。
提出问题：
若将分数的分子、分母换成整式，变成同分母分式，如 “\(\frac{2}{x}+\frac{3}{x}\)”“\(\frac{a + 1}{a - 2}-\frac{a - 3}{a - 2}\)”，该如何进行运算？同分母分式相加减与同分母分数相加减有何相似之处与不同点？由此引出本节课的核心内容 —— 同分母分式相加减。
幻灯片 4：同分母分式相加减法则的推导与表述
步骤 1：从具体例子推导法则：
计算\(\frac{2}{x}+\frac{3}{x}\)：根据分数加法的意义，\(\frac{2}{x}\)表示把单位 “1” 平均分成\(x\)份，取其中的 2 份；\(\frac{3}{x}\)表示取其中的 3 份。那么它们相加，就是一共取了\((2 + 3)\)份，而分母\(x\)不变，所以\(\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{2 + 3}{x}=\frac{5}{x}\)。
计算\(\frac{a}{b}-\frac{c}{b}\)：同样，\(\frac{a}{b}\)表示把单位 “1” 平均分成\(b\)份，取其中的\(a\)份；\(\frac{c}{b}\)表示取其中的\(c\)份。相减就是从\(a\)份中去掉\(c\)份，剩下\((a - c)\)份，分母\(b\)依旧不变，即\(\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a - c}{b}\)。
法则总结：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
符号语言：\(\boxed{\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}}\)（\(c≠0\)，\(a、b、c\)为整式）。
关键解读：
“分母不变”：这是同分母分式相加减的重要特征，不能把分母也进行加减运算，如\(\frac{2}{x}+\frac{3}{x}≠\frac{2 + 3}{x + x}\)。
分子相加减：当分子是多项式时，要把分子看成一个整体，用括号括起来再进行加减运算，避免出现符号错误。例如计算\(\frac{x + 2}{x - 1}-\frac{x - 3}{x - 1}\)，应先将分子相减为\((x + 2)-(x - 3)\)，再去括号计算。
结果化简：运算结果要化为最简分式或整式，若分子分母有公因式，需进行约分，如\(\frac{x^2 - 1}{x + 1}\)，化简为\(x - 1\)。
幻灯片 5：同分母分式相加减的应用（分子为单项式）
运算步骤总结：
直接运用法则：按照 “分母不变，分子相加减” 的原则进行运算。
计算分子：分子相加减时，注意符号运算，同号相加，异号相减。
化简结果：检查结果是否为最简形式，若分子分母有公因数，进行约分。
例题 1：计算下列同分母分式相加减：
\(\frac{3}{a}+\frac{5}{a}\)（\(a≠0\)）；
\(\frac{7x}{y}-\frac{4x}{y}\)（\(y≠0\)）。
解答过程：
\(\frac{3}{a}+\frac{5}{a}\)：
运用法则：分母\(a\)不变，分子相加\(3 + 5 = 8\)；
结果：\(\frac{8}{a}\)（最简分式）。
\(\frac{7x}{y}-\frac{4x}{y}\)：
运用法则：分母\(y\)不变，分子相减\(7x - 4x = 3x\)；
结果：\(\frac{3x}{y}\)（最简分式）。
幻灯片 6：同分母分式相加减的应用（分子为多项式）
运算步骤总结：
分子加括号：因为分子是多项式，相加减时先给分子加上括号，明确运算顺序。
去括号运算：按照去括号法则，若括号前是 “+” 号，去掉括号后括号内各项不变号；若括号前是 “-” 号，去掉括号后括号内各项都变号。
合并同类项：对去括号后的分子进行合并同类项，化简分子。
检查结果：看最终结果能否约分，化为最简分式或整式。
例题 2：计算下列同分母分式相加减：
\(\frac{x + 1}{x - 2}+\frac{3 - x}{x - 2}\)（\(x≠2\)）；
\(\frac{2a - 3b}{a + b}-\frac{a - 4b}{a + b}\)（\(a≠ - b\)）。
解答过程：
\(\frac{x + 1}{x - 2}+\frac{3 - x}{x - 2}\)：
分子加括号：\([(x + 1)+(3 - x)]\div(x - 2)\)；
去括号：\((x + 1 + 3 - x)\div(x - 2)\)；
合并同类项：\((x - x + 1 + 3)\div(x - 2)=\frac{4}{x - 2}\)（最简分式）。
\(\frac{2a - 3b}{a + b}-\frac{a - 4b}{a + b}\)：
分子加括号：\([(2a - 3b)-(a - 4b)]\div(a + b)\)；
去括号：\((2a - 3b - a + 4b)\div(a + b)\)；
合并同类项：\((2a - a - 3b + 4b)\div(a + b)=\frac{a + b}{a + b}=1\)（化简为整式）。
幻灯片 7：同分母分式相加减的应用（含括号）
解题关键：
当分式中含有括号时，先按照去括号法则正确去括号，再进行同分母分式相加减运算。注意括号前的符号对括号内各项的影响。
例题 3：计算\(\frac{3}{x - 1}-\frac{2 + (x - 3)}{x - 1}\)（\(x≠1\)）。
解答过程：
去括号：
先对括号内进行运算，\(2+(x - 3)=2 + x - 3=x - 1\)；
原式变为\(\frac{3}{x - 1}-\frac{x - 1}{x - 1}\)。
同分母分式相减：
分母不变，分子相减：\(3-(x - 1)=3 - x + 1\)；
结果为\(\frac{3 - x + 1}{x - 1}=\frac{4 - x}{x - 1}\)（最简分式）。
例题 4：计算\(\frac{a + b}{(a - b)^2}-\frac{a - b - (a + b)}{(a - b)^2}\)（\(a≠b\)）。
解答过程：
去括号：
先算括号内，\(a - b-(a + b)=a - b - a - b=-2b\)；
原式变为\(\frac{a + b}{(a - b)^2}-\frac{-2b}{(a - b)^2}\)。
同分母分式相加：
分母不变，分子相加：\((a + b)+(-2b)=a + b - 2b=a - b\)；
结果为\(\frac{a - b}{(a - b)^2}=\frac{1}{a - b}\)（约分得到最简分式）。
幻灯片 8：易错点辨析与注意事项
易错点 1：分母也参与加减运算：
示例：计算\(\frac{2}{x}+\frac{3}{x}\)时，错误计算为\(\frac{2 + 3}{x + x}=\frac{5}{2x}\)（正确应为\(\frac{2 + 3}{x}=\frac{5}{x}\)）。
提醒：牢记同分母分式相加减法则，分母始终保持不变，只对分子进行加减运算。
易错点 2：分子相加减时符号错误：
示例：计算\(\frac{x - 3}{x + 1}-\frac{x + 2}{x + 1}\)时，误算为\(\frac{x - 3 - x + 2}{x + 1}=\frac{-1}{x + 1}\)（正确应为\(\frac{x - 3-(x + 2)}{x + 1}=\frac{x - 3 - x - 2}{x + 1}=-\frac{5}{x + 1}\)）。
强调：当分子是多项式相减时，要给减数的分子整体加上括号，再去括号运算，注意括号前 “-” 号时各项变号。
易错点 3：结果未化简：
示例：计算\(\frac{x^2 - 4}{x + 2}+\frac{2x + 4}{x + 2}\)，得到\(\frac{x^2 - 4 + 2x + 4}{x + 2}=\frac{x^2 + 2x}{x + 2}\)后未继续化简（正确应化简为\(\frac{x(x + 2)}{x + 2}=x\)，\(x≠ - 2\)）。
纠正：运算完成后，务必检查分子分母是否有公因式，若有则进行约分，将结果化为最简分式或整式。
易错点 4：忽视分母不能为零的条件：
示例：在计算\(\frac{1}{x - 1}+\frac{2}{1 - x}\)时，未考虑\(x - 1≠0\)，即\(x≠1\)的条件，直接运算（任何分式运算都要保证分母不为零，本题中\(x≠1\)时分式才有意义）。
预防：在进行分式运算前，先明确分式有意义的条件，在后续运算过程中确保分母始终不为零。
幻灯片 9：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：计算下列同分母分式相加减：
\(\frac{4}{m}+\frac{5}{m}=\)______（答案：\(\frac{9}{m}\)）；
\(\frac{8y}{z}-\frac{3y}{z}=\)______（答案：\(\frac{5y}{z}\)）。
提升练习 2：计算下列同分母分式相加减（分子为多项式）：
\(\frac{2x + 1}{x - 3}+\frac{3 - 2x}{x - 3}=\)______（答案：\(\frac{4}{x - 3}\)）；
\(\frac{3a - 2b}{2a + b}-\frac{a - 4b}{2a + b}=\)______（答案：\(1\)）。
拓展练习 3：计算下列含括号的同分母分式相加减：
\(\frac{5}{x + 2}-\frac{3 + (x - 1)}{x + 2}=\)______（答案：\(\frac{3 - x}{x + 2}\)）；
\(\frac{a - b}{(a + b)^2}-\frac{a + b - (a - b)}{(a + b)^2}=\)______（答案：\(\frac{a - 3b}{(a + b)^2}\)）。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.3.1同分母分式相加减
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过类比分数的加减法法则得出分式的加减法法则，能用文字语言和符号语言表示分式的加减法法则，锻炼学生用数学式子表示数量关系的能力，培养学生的符号感．
2．通过学生独立思考、互相交流，引导学生归纳概括出分式的加减法法则，提高学生的归纳及概括能力．
3．通过订正习题、交流不同解法，明确异分母分式必须化为同分母分式才能进行加减运算，提高学生的观察及分析能力．
重点
难点
学习目标
1．如何进行分式的通分？
2．将下列分式通分：
先求各分式的最简公分母，再用这个最简公分母除以各分式的分母，最后用所得的商去乘原各分式的分子、分母
新课导入
同学们，你们上学用什么交通工具呢？
问题：小明从家到学校依次需要经过：1 km的上坡路，2 km的下坡路.已知小明骑车在上坡路上的速度为v km/h，在下坡路上的速度为3v km/h，则：
从小明家到学校总共需要多长时间？
小明上坡和下坡所用时间哪个更短？（只列式不计算）
请同学们观察列出的式子，是什么运算？
新课导入
同学们，你们认识这个人吗？
这是希腊数学家丢番图，他曾经研究过一个问题：如何把42写成两个数的平方和的形式，即42=x2+y2，演算过程中出现了.
由于42=16，于是他求得了一组解：
x=，y=.上述式子用到了什么法则呢？
新课导入
1.甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
知识点 1
同分母分式的加减法法则
新课讲解
解：甲工程队一天完成这项工程的____，
乙工程队一天完成这项工程的_______ ，
两队共同工作一天完成这项工程的 ____________.
新课讲解
2. 2009年，2010年，2011年某地的森林面积(单位：公顷)分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
解：2011年的森林面积增长率是___________，
2010年的森林面积增长率是__________，
2011年与2010年相比，森林面积增长率提高____________.
新课讲解
1.同分母分数加减法的法则如何叙述？
2.你认为
请计算：
新课讲解
分母不变，把分子相加减.
【同分母的分数加减法的法则】
同分母的分数相加减，
【同分母的分式加减法的法则】
同分母分式相加减，
分母不变，把分子相加减.
同分母的分式加减法的法则
新课讲解
例 计算：
同分母分式的加减的计算
新课讲解
解：原式
归纳总结：
同分母分式的加减，分母不变，分子相加减，当分子是多项式时，先加括号，然后进行计算，结果要化为最简分式或整式.
新课讲解
–1
直接说出运算结果.
.
.
.
.
（1）
（2）
（3）
（4）
新课讲解
计算：
解：原式
解：原式
（1）
（2）
新课讲解
异分母的分数如何加减？
通分，将异分母的分数化为同分母的分数.
知识点 2
异分母分式的加减法的法则
想一想
新课讲解
异分母分式的加减应该如何进行？
【异分母的分数加减法的法则】
先通分，变为同分母的分数，再加减.
【异分母的分式加减法的法则】
先通分，变为同分母的分式，再加减.
比如：
想一想
新课讲解
符号表示：
新课讲解
例 (1)
异分母分式的加减的计算
新课讲解
归纳总结：
异分母分式的加减分为两步：第一步通分，化为同分母分式；第二步运用同分母分式的加减法则计算.
解：原式
新课讲解
(2)
a2 –4 能分解：
a2 –4 =(a+2)(a–2)，
其中 (a–2)恰好为第二个分式的分母，所以 (a+2)(a–2)即为最简公分母.
分子相减时，“减式”要添括号！
解：原式
新课讲解
计算：
=x+y
解：原式
=
解：原式
（1）
（2）
新课讲解
计算：
（1）
（2）
解:原式
解:原式
新课讲解
1. 计算 的结果等于( )
A
A. 3 B. C. D.
2. 如图，一个正确的运算过程被盖住了一
部分，则被盖住的是( )
D
A. B. C. 2 D. 1
课堂练习
3. 下列计算正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
课堂练习
4. 小明在化简分式 的过程中，
因为其中一个步骤的错误，导致化简结果是错误的，小明开
始出现错误的那一步是( )
原式 ………………①
………………②
………………③
.………………④
D
A. ① B. ② C. ③ D. ④
课堂练习
5.［2024内江］已知实数，满足，则
___.
1
【点拨】， 原式
.
6. 若，互为倒数，且 ，则分式
的值为___.
1
课堂练习
7.母题教材P152例1 计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） .
原式 .
课堂练习
8. 若，则 的值为( )
B
A. 0 B. C. 1 D. 0.5
【点拨】，, ,
.
课堂练习
9. 若是非负整数，则表示 的
值的对应点落在如图所示的数轴上的范围是( )
B
A. ① B. ② C. ③ D. ①或②
课堂练习
【点拨】原式
，
则表示 的值的对应点落在数轴上的范围是②.
课堂练习
10. 计算：;; ;
.所得的结果中，是整式的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
课堂练习
分式的加减法法则
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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