资源简介

(共38张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.1.2.2 分式的基本性质（进阶应用）
副标题：深化性质应用，破解复杂分式变形
背景图：左侧展示复杂分式变形示例 “\(\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{y + x}{y - x}\)”，右侧标注 “利用分式基本性质：分子分母同乘\(xy\)（\(x≠0,y≠0\)）”，下方用箭头串联变形步骤，直观呈现分式基本性质在复杂场景中的应用逻辑。
幻灯片 2：学习目标
进一步熟练掌握分式的基本性质，能运用性质解决含分母为多项式、分子分母含分数系数的复杂分式变形问题。
学会结合因式分解（提公因式、平方差、完全平方）进行深度约分，能将多层分式或分式与整式的混合式化为最简形式。
能运用分式基本性质解决实际问题中的分式化简与求值问题，体会性质在实际场景中的工具性作用。
培养分式变形的灵活性与严谨性，提升分析复杂代数式的能力，为后续分式运算（乘除、加减）奠定基础。
幻灯片 3：导入 —— 从基础应用到复杂场景的过渡
复习回顾：
回顾分式基本性质核心：\(\frac{A}{B} = \frac{A×C}{B×C}\)，\(\frac{A}{B} = \frac{A÷C}{B÷C}\)（\(C≠0\)，\(A、B、C\)为整式）；
基础应用回顾：约分\(\frac{2x(x-1)}{4(x-1)^2} = \frac{x}{2(x-1)}\)（\(x≠1\)），填空\(\frac{a}{a+b} = \frac{ab}{b(a+b)}\)（\(b≠0\)）。
提出问题：
若遇到分子分母含分数系数的分式（如\(\frac{\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y}{\frac{1}{4}x - \frac{1}{6}y}\)），或多层分式（如\(\frac{\frac{x}{y}}{1 - \frac{x}{y}}\)），该如何运用分式基本性质化简？引出本节课核心 —— 分式基本性质的进阶应用。
幻灯片 4：应用 1—— 分子分母含分数系数的分式变形（去分母化整）
问题特征：分式的分子或分母含分数系数（如\(\frac{\frac{1}{2}a + \frac{3}{4}b}{\frac{2}{3}a - \frac{1}{6}b}\)），直接变形或约分较繁琐，需先利用性质化为整数系数。
变形方法：
找出分子、分母中所有分数系数的最简公分母；
分子、分母同乘最简公分母（最简公分母≠0），消去分数系数，化为整数系数分式；
若需进一步化简，再结合因式分解与约分操作。
例题 1：化简分式\(\frac{\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y}{\frac{1}{4}x - \frac{1}{6}y}\)（\(x≠0,y≠0\)，且\(\frac{1}{4}x - \frac{1}{6}y≠0\)）。
解答过程：
找最简公分母：分子系数\(\frac{1}{2}、\frac{1}{3}\)，分母系数\(\frac{1}{4}、\frac{1}{6}\)，最简公分母为 12；
分子分母同乘 12（12≠0）：
分子：\(12×(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y)=6x + 4y\)；
分母：\(12×(\frac{1}{4}x - \frac{1}{6}y)=3x - 2y\)；
化简后分式：\(\frac{6x + 4y}{3x - 2y}\)（分子可提公因式 2，得\(\frac{2(3x + 2y)}{3x - 2y}\)，分子分母无公因式，为最简分式）。
解题关键：最简公分母的确定是核心，需覆盖所有分数系数的分母，确保同乘后能消去所有分母，化为整数系数。
幻灯片 5：应用 2—— 多层分式的化简（去分母降层）
多层分式定义：分式的分子或分母中仍含有分式（如\(\frac{\frac{x}{y}}{1 + \frac{x}{y}}\)、\(\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\)），也叫 “繁分式”。
化简方法：
方法一（分步去分母）：先确定最内层分式的分母，逐步同乘相应整式，降低分式层数；
方法二（整体去分母）：找出所有分母的最简公分母，分子分母同乘最简公分母，一次性去分母。
例题 2：化简繁分式\(\frac{\frac{x}{y}}{1 - \frac{x}{y}}\)（\(x≠0,y≠0\)，且\(1 - \frac{x}{y}≠0\)）。
解答过程：
方法一（分步）：
分母\(1 - \frac{x}{y} = \frac{y - x}{y}\)（先将分母化为单层分式）；
原繁分式变为\(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{y - x}{y}}\)，根据分式除法（后续学习，此处用性质），分子分母同乘\(y\)：\(\frac{x}{y - x}\)；
方法二（整体）：
所有分母为\(y\)（分子分母中的分式分母均为\(y\)），最简公分母为\(y\)；
分子分母同乘\(y\)：\(\frac{x}{y - x}\)；
结果：\(\frac{x}{y - x}\)（最简分式）。
例题 3：化简\(\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\)（\(a≠0,b≠0\)，且\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}≠0\)）。
解答过程：
找最简公分母：分母为\(a、b\)，最简公分母为\(ab\)；
分子分母同乘\(ab\)：\(\frac{ab}{ab×\frac{1}{a} + ab×\frac{1}{b}} = \frac{ab}{b + a}\)；
结果：\(\frac{ab}{a + b}\)（最简分式）。
幻灯片 6：应用 3—— 结合因式分解的深度约分（复杂多项式约分）
问题特征：分子或分母为复杂多项式（如二次三项式、含多个因式的多项式），需先因式分解，再找公因式约分。
核心步骤：
因式分解：对分子、分母分别进行因式分解（提公因式、平方差、完全平方、十字相乘法）；
找公因式：识别分解后分子分母的公共因式（包括符号相反的因式，如\(x - y = -(y - x)\)）；
约分：分子分母同除以公因式，化为最简分式，注意标注字母取值范围（排除使分母为 0 的情况）。
例题 4：化简分式\(\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}×\frac{x + 2}{x - 2}\)（\(x≠±2\)）。
解答过程：
因式分解：
分子\(x^2 - 4x + 4=(x - 2)^2\)（完全平方公式）；
分母\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)（平方差公式）；
代入原式：\(\frac{(x - 2)^2}{(x + 2)(x - 2)}×\frac{x + 2}{x - 2}\)；
找公因式：\((x - 2)\)和\((x + 2)\)；
约分：\(\frac{(x - 2)×(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}×\frac{x + 2}{x - 2}=1\)；
结果：1（最简形式，整式可看作分母为 1 的分式）。
例题 5：化简\(\frac{(x - y)^2 - z^2}{(x + y)^2 - z^2}\)（\(x + y + z≠0\)，\(x + y - z≠0\)，\(x - y + z≠0\)）。
解答过程：
因式分解（平方差公式）：
分子\((x - y)^2 - z^2=(x - y + z)(x - y - z)\)；
分母\((x + y)^2 - z^2=(x + y + z)(x + y - z)\)；
找公因式：分子分母无公共因式（\((x - y + z)\)、\((x - y - z)\)与\((x + y + z)\)、\((x + y - z)\)均不同）；
结果：\(\frac{(x - y + z)(x - y - z)}{(x + y + z)(x + y - z)}\)（最简分式）。
幻灯片 7：应用 4—— 实际问题中的分式化简与求值
例题 6：某工程队承接一项工程，原计划每天完成的工作量为\(a\)，实际每天完成的工作量比原计划多\(b\)（\(a>0,b>0\)）。
原计划完成工程所需时间为\(t_1\)，实际所需时间为\(t_2\)，用含\(a、b\)的分式表示\(\frac{t_1}{t_2}\)；
若\(a=2b\)，求\(\frac{t_1}{t_2}\)的值。
解答过程：
设工程总量为\(S\)（\(S>0\)），则\(t_1=\frac{S}{a}\)，\(t_2=\frac{S}{a + b}\)；
\(\frac{t_1}{t_2}=\frac{\frac{S}{a}}{\frac{S}{a + b}}\)（繁分式）；
分子分母同乘\(a(a + b)\)（\(a>0,b>0\)，故\(a(a + b)≠0\)）：
\(\frac{S(a + b)}{Sa}=\frac{a + b}{a}\)；
当\(a=2b\)时，\(\frac{t_1}{t_2}=\frac{2b + b}{2b}=\frac{3b}{2b}=\frac{3}{2}\)（约分，\(b≠0\)）；
结果：\(\frac{t_1}{t_2}=\frac{a + b}{a}\)，当\(a=2b\)时，值为\(\frac{3}{2}\)。
例题 7：已知甲、乙两人分别从\(A、B\)两地同时出发，相向而行，甲的速度为\(v_1\)，乙的速度为\(v_2\)，\(A、B\)两地距离为\(d\)（\(v_1>0,v_2>0,d>0\)）。化简\(\frac{d}{\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}}\)，并说明该式的实际意义。
解答过程：
化简繁分式：
分子分母同乘\(v_1v_2\)（\(v_1>0,v_2>0\)）：
\(\frac{d×v_1v_2}{d v_2 + d v_1}=\frac{d v_1v_2}{d(v_1 + v_2)}=\frac{v_1v_2}{v_1 + v_2}\)（约分，\(d≠0\)）；
实际意义：该式表示甲、乙两人的 “平均速度”（或 “合速度的某种均值”，具体为两人速度的调和平均数），即两人相向而行时，若共同完成一段路程，平均每单位速度对应的路程效率。
幻灯片 8：进阶易错点辨析与注意事项
易错点 1：复杂分式去分母时漏乘项：
示例：化简\(\frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x} - 1}\)时，误同乘\(x\)得\(\frac{1 + 1}{1 - 1}=\frac{2}{0}\)（错误，分子漏乘\(x×1=x\)，正确应为\(\frac{1 + x}{1 - x}\)）。
提醒：分子或分母为多项式时，同乘整式需 “每一项都乘”，用括号将多项式括起，避免漏乘常数项或一次项。
易错点 2：因式分解不彻底导致约分不充分：
示例：化简\(\frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}\)时，误分解为\(\frac{(x^2 + 1)(x^2 - 1)}{x^2 - 1}=x^2 + 1\)（虽结果正确，但未明确\(x≠±1\)；若分子为\(x^4 - 4\)，误分解为\((x^2 + 2)(x^2 - 2)\)，未进一步分解\(x^2 - 2\)（初中阶段可保留），但需确保已分解到不能再分为止）。
纠正：因式分解需遵循 “先提公因式，再用公式”，确保分解彻底，约分后需标注所有使分母为 0 的字母取值范围。
易错点 3：多层分式化简时混淆分子分母层级：
示例：化简\(\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}\)时，误同乘\(abc\)得\(\frac{abc}{bc + ac + 1}\)（错误，分母\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)同乘\(abc\)应为\(bc + ac + ab\)，正确结果为\(\frac{abc}{ab + bc + ac}\)）。
预防：化简前用 “分数线长短” 区分分式层级（如最长分数线为整体分式的分子分母分界线），明确每一步的变形对象，避免层级混淆。
幻灯片 9：课堂练习 —— 分层巩固（进阶版）
基础进阶练习 1：化简含分数系数的分式：
\(\frac{\frac{2}{3}m - \frac{1}{2}n}{\frac{1}{6}m + \frac{3}{4}n}\)（答案：同乘 12，得\(\frac{8m - 6n}{2m + 9n}\)）。
提升练习 2：化简繁分式：
\(\frac{\frac{x}{x - 1} - 1}{\frac{x}{x - 1} + 1}\)（答案：分子分母同乘\(x - 1\)，得\(\frac{x - (x - 1)}{x + (x - 1)}=\frac{1}{2x - 1}\)，\(x≠1且x≠\frac{1}{2}\)）。
拓展练习 3：结合因式分解与求值：
已知\(x^2 - 5x + 6 = 0\)，化简\(\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}×\frac{x + 3}{x - 2}\)并求值（答案：分解得\(\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 3)(x - 3)}×\frac{x + 3}{x - 2}=\frac{x + 2}{x - 3}\)；由\(x^2 - 5x + 6 = 0\)得\(x=2\)或\(x=3\)，排除\(x=2、3\)，故需说明\(x\)无有效取值或题目隐含\(x≠2、3\)，若修正方程为\(x^2 - 5x + 7 = 0\)，可代入任意合理\(x\)求值）。
幻灯片 10：课堂小结
核心知识梳理：
分式基本性质的进阶应用场景：分数系数分式去分母、繁分式降层、复杂多项式约分、实际问题化简求值；
关键方法：找最简公分母去分母化整、分步 / 整体处理繁分式、因式分解 + 约分结合、实际问题建模→化简→求值；
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.1.2.2 分式的基本性质
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过类比分数的约分与通分，理解分式的约分、最简分式、分式的通分、最简公分母的概念，掌握分式的约分与通分的方法和步骤，体会用类比转化的思想研究数学问题．
2．通过探究解决问题的过程，培养学生合作交流的意识与探究精神，体会逆向思维的数学思想．
3．通过具体的题目练习，能依据分式的基本性质进行约分和通分，锻炼学生的计算能力．
重点
难点
学习目标
分式的基本性质是什么？
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变
新课导入
请同学们计算下列式子：
（1）；（2）.
提出问题：在运算中运用了什么方法？
新课导入
同学们，分数的约分和通分在分数中起着非常重要的作用，你还记得分数的约分和通分法则吗？
把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个苹果？
同学们，我们来看这个式子：，这是利用了什么？
如果把式子左右两边交换位置：，这又是利用的什么？
新课导入
请同学们观看一段视频
新课导入
填空：
知识点 2
约分
新课讲解
观察上例中(1)中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？
分式的分子、分母约去公因式，值不变.
问题5：
学生活动二 【一起探究】
新课讲解
　　像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式如上例 ，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．　
新课讲解
约分的应用
例 约分:
新课讲解
解：
新课讲解
约分的方法：
①如果分式的分子、分母都是单项式，直接约去分子、分母的公因式；
②如果分子或分母是多项式，就要先对多项式进行因式分解，以便找出分母、分子的公因式，最后约分.
③约分结果为最简分式或整式.
归纳总结
新课讲解
下列分式中，是最简分式的是:　　　 (填序号).
(2)
(4)
新课讲解
解：
约分：
新课讲解
通分
知识点 3
填空：
分母乘以2ac，根据分式的基本性质，分子也乘以2ac.
分母乘以3b，根据分式的基本性质，分子也乘以3b，整理得6ab-3b2
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
新课讲解
1. 通分的依据是什么？
2. 通分的关键是什么？
分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.
确定各分式的最简公分母.
想一想
新课讲解
3. 如何确定n个分式的公分母？
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母.
新课讲解
例 通分：
通分的应用
新课讲解
解:(1)最简公分母是2a2b2c.
(2)最简公分母是(x + 5)(x－5).
新课讲解
1. 通分的步骤
①确定最简公分母，②化异分母分式为同分母分式.
2.确定最简公分母的方法
(1)分母为单项式：①取各分母系数的最小公倍数，②相同字母取次数最高的，③单独出现的字母连同它的指数一起作为最简公分母的一个因式.
(2)分母为多项式：①把各分母分解因式，②把每一个因式看做一个整体，按系数、相同因式、不同因式这三方面依分母是单项式的方法确定最简公分母.
归纳总结
新课讲解
通分：
新课讲解
解：(3)最简公分母是
(3) ， ，
新课讲解
1.化简 的结果是( )
A. B.
C. D.
D
新课讲解
D
2.下列说法中，错误的是( )
A. 与 通分后为
B. 与 通分后为
与 的最简公分母为m2-n2
的最简公分母为ab(x-y)(y-x)
新课讲解
3. 已知 则 的值是( )
A. B. – C.2 D. –2
D
4.化简： = ．
x+3
5.化简：
x-y+1
新课讲解
1. ［2025上海嘉定区月考］下列分式， ，
， 中，最简分式有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列分式与分式 相等的是( )
B
A. B. C. D.
课堂练习
3. 化简 的结果是( )
D
A. B. 1 C. D.
4. 分式，， 的最简公分母是( )
D
A. B.
C. D.
课堂练习
找最简公分母的方法:
（1）找系数:如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最
小公倍数.
（2）找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式
子都要选取.
（3）找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子
中指数的最大值.
. .
. .
. .
课堂练习
5. 小明化简分式时， 部分不小心滴上了墨水，请
推测*部分的式子应该是( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】， 部分的式子
应该是 .故选B.
课堂练习
6. 已知三张卡片上面分别写有6， ，
，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为_________
__________.（写出一个分式即可）
（答案不唯一）
课堂练习
7.母题教材P144练习 约分：
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
课堂练习
（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母整体进行的，也就是分子的整体
和分母的整体都除以同一个因式.
. .
课堂练习
8.母题教材P144练习 通分：
（1），， ；
【解】， ，
.
（2），， .
， ，
.
课堂练习
9. 下列各式的变形不正确的有( )
; ;
; .
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点拨】①原式 ，不符合题意；②原式
，符合题意；③原式 ，符合题意；
④原式为最简分式，不能再化简，符合题意.
课堂练习
10. 已知， 两数在数轴上的位置如图所
示，则化简 的结果是( )
C
A. B.
C. D.
11. 若，则 ( )
A
A. B. C. D.
课堂练习
分式的基本性质
约分
一般地，对于任意一个分式 ，有
其中A， B， C 是整式．
通分
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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