资源简介

(共28张PPT)
幻灯片 10：分式的混合运算 —— 法则与顺序
运算种类回顾：
我们已经学习了分式的加、减、乘、除以及乘方运算。分式的乘法法则是用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即\(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)；除法法则是把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，如\(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\)；乘方法则为把分子、分母分别乘方，\(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\)（\(n\)为正整数），同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，\(\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}\)（\(c≠0\)），异分母分式相加减，先通分变为同分母分式再进行运算。
混合运算顺序：
分式的混合运算顺序与有理数混合运算顺序相同。
先算乘方：例如在式子\(\left(\frac{x}{y}\right)^2\cdot\frac{y}{x + 1}\)中，要先计算\(\left(\frac{x}{y}\right)^2=\frac{x^2}{y^2}\)。
再算乘除：接着对乘除运算从左到右依次进行。对于上式，在得到\(\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y}{x + 1}\)后，计算乘法得\(\frac{x^2y}{y^2(x + 1)}=\frac{x^2}{y(x + 1)}\)。
最后算加减：若式子变为\(\left(\frac{x}{y}\right)^2\cdot\frac{y}{x + 1}+\frac{1}{x + 1}\)，在完成前面乘方和乘除运算得到\(\frac{x^2}{y(x + 1)}\)后，再与\(\frac{1}{x + 1}\)进行加法运算，先通分，将\(\frac{1}{x + 1}\)化为\(\frac{y}{y(x + 1)}\)，然后相加得\(\frac{x^2 + y}{y(x + 1)}\)。
有括号的先算括号里面的：比如计算\(\left(\frac{x}{x + 1}-\frac{1}{x + 1}\right)\div\frac{x - 1}{x + 1}\)，先算括号内的减法，\(\frac{x}{x + 1}-\frac{1}{x + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}\)，再算除法，\(\frac{x - 1}{x + 1}\div\frac{x - 1}{x + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}\cdot\frac{x + 1}{x - 1}=1\)。
关键要点：
在运算过程中，要时刻注意分式有意义的条件，即分母不能为零。如在\(\frac{1}{x - 2}\div\frac{x + 3}{x - 2}\)中，\(x≠2\)且\(x≠ - 3\)。
计算结果必须化为最简分式或整式。例如\(\frac{x^2 - 1}{x + 1}\)化简为\(x - 1\)。
幻灯片 11：分式混合运算的应用 —— 例题解析（一）
例题 5：计算\(\frac{a^2 - 1}{a^2 + 2a + 1}\div\frac{a - 1}{a + 1}-\frac{a}{a + 1}\)。
解答过程：
先处理乘除运算中的分子分母因式分解：
对分子\(a^2 - 1\)，根据平方差公式分解为\((a + 1)(a - 1)\)；分母\(a^2 + 2a + 1\)，根据完全平方公式分解为\((a + 1)^2\)。
原式变为\(\frac{(a + 1)(a - 1)}{(a + 1)^2}\div\frac{a - 1}{a + 1}-\frac{a}{a + 1}\)。
进行乘除运算：
除法变乘法，即\(\frac{(a + 1)(a - 1)}{(a + 1)^2}\cdot\frac{a + 1}{a - 1}-\frac{a}{a + 1}\)。
约分可得\(1-\frac{a}{a + 1}\)。
进行加减运算：
把\(1\)化为\(\frac{a + 1}{a + 1}\)，则式子为\(\frac{a + 1}{a + 1}-\frac{a}{a + 1}\)。
计算结果为\(\frac{a + 1 - a}{a + 1}=\frac{1}{a + 1}\)。
思路总结：
遇到多项式的分子分母，先进行因式分解，便于后续约分。
严格按照先乘除后加减的顺序进行运算，将除法转化为乘法统一计算。
幻灯片 12：分式混合运算的应用 —— 例题解析（二）
例题 6：先化简，再求值：\(\left(\frac{x + 2}{x^2 - 2x}-\frac{x - 1}{x^2 - 4x + 4}\right)\div\frac{x - 4}{x}\)，其中\(x = 3\)。
解答过程：
对括号内的分式进行通分：
对于\(\frac{x + 2}{x^2 - 2x}\)，分母提取公因式\(x\)，变为\(\frac{x + 2}{x(x - 2)}\)；对于\(\frac{x - 1}{x^2 - 4x + 4}\)，分母根据完全平方公式变为\(\frac{x - 1}{(x - 2)^2}\)。
通分，最简公分母为\(x(x - 2)^2\)。
\(\frac{x + 2}{x(x - 2)}=\frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x - 2)^2}=\frac{x^2 - 4}{x(x - 2)^2}\)，\(\frac{x - 1}{(x - 2)^2}=\frac{x(x - 1)}{x(x - 2)^2}=\frac{x^2 - x}{x(x - 2)^2}\)。
括号内变为\(\frac{x^2 - 4-(x^2 - x)}{x(x - 2)^2}=\frac{x^2 - 4 - x^2 + x}{x(x - 2)^2}=\frac{x - 4}{x(x - 2)^2}\)。
进行除法运算：
原式变为\(\frac{x - 4}{x(x - 2)^2}\div\frac{x - 4}{x}\)。
除法变乘法，即\(\frac{x - 4}{x(x - 2)^2}\cdot\frac{x}{x - 4}\)。
约分得到\(\frac{1}{(x - 2)^2}\)。
代入求值：
当\(x = 3\)时，代入\(\frac{1}{(x - 2)^2}\)，得\(\frac{1}{(3 - 2)^2}=1\)。
注意事项：
通分过程中要准确找到最简公分母。
代入求值时，要确保原式中分母不为零，本题\(x = 3\)时，原式分母均不为零。
幻灯片 13：分式混合运算的易错点剖析
易错点 1：运算顺序错误：
示例：计算\(\frac{x}{x + 1}\cdot\frac{x + 1}{x}\div\frac{x - 1}{x + 1}\)时，错误地先计算乘法得到\(1\div\frac{x - 1}{x + 1}=\frac{x + 1}{x - 1}\)（正确应从左到右依次计算，先算乘法得\(\frac{x}{x}\div\frac{x - 1}{x + 1}=1\div\frac{x - 1}{x + 1}=\frac{x + 1}{x - 1}\)，但如果式子变为\(\frac{x}{x + 1}\div\frac{x + 1}{x}\cdot\frac{x - 1}{x + 1}\)，错误算法结果就不同了）。
强调：必须严格遵循先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的运算顺序。
易错点 2：符号处理不当：
示例：计算\(\frac{1}{x - 1}-\frac{x}{1 - x}\)，错误地得到\(\frac{1 - x}{x - 1}=-1\)（正确应为\(\frac{1}{x - 1}+\frac{x}{x - 1}=\frac{1 + x}{x - 1}\)，因为\(1 - x = -(x - 1)\)，减号后面分式变形时要注意符号）。
提醒：在分式变形、去括号等过程中，特别关注符号变化，负负得正，正负得负。
易错点 3：化简不彻底：
示例：计算\(\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}\div\frac{x + 1}{x - 1}\)，得到\(\frac{(x + 1)^2}{(x + 1)(x - 1)}\cdot\frac{x - 1}{x + 1}=1\)后，没有意识到原式可先约分再计算，更简便，且最终结果虽然正确，但过程中没有将\(\frac{(x + 1)^2}{(x + 1)(x - 1)}\)化简为\(\frac{x + 1}{x - 1}\)再计算。
纠正：运算过程中，每一步都要观察分子分母是否可约分，将分式化为最简形式。
幻灯片 14：课堂练习 —— 分式混合运算巩固
基础练习 4：计算下列分式混合运算：
\(\frac{a^2}{a - 1}-a - 1\)（答案：\(\frac{1}{a - 1}\)）；
\(\left(\frac{1}{x - 1}-\frac{1}{x + 1}\right)\cdot\frac{x^2 - 1}{2}\)（答案：\(1\)）。
提升练习 5：先化简，再求值：\(\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}\div\frac{x - 2}{x^2 + 2x}+3\)，其中\(x = - 3\)（答案：\(0\)）。
拓展练习 6：已知\(x + \frac{1}{x}=3\)，求\(\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}\)的值（答案：\(\frac{1}{8}\)，提示：先求\(\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2}=x^2 + 1+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 1\)，再求原式倒数的值，进而得到原式的值）。
幻灯片 15：课堂总结
知识要点回顾：
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，\(\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}\)（\(c≠0\)）。
分式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的。
运算过程中要注意分子分母因式分解、约分，结果化为最简分式或整式，同时保证分母不为零。
方法技巧归纳：
遇到分式运算，先观察式子特点，能因式分解的先因式分解。
合理运用运算律可简化运算，如乘法分配律在\(\frac{a}{b}\cdot(c + d)=\frac{a}{b}\cdot c+\frac{a}{b}\cdot d\)形式的式子中可应用。
对于较复杂的分式混合运算，可逐步分析，先确定每一步运算顺序和方法。
学习建议：
多做练习，通过不同类型题目巩固分式运算知识，提高运算能力。
整理错题，分析错误原因，加深对易错点的理解，避免重复犯错。
思考分式运算与之前学过的整式运算、分数运算的联系与区别，构建知识体系。
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.3.2分式的混合运算
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过运用分式的运算法则进行加、减、乘、除以及乘方的混合运算，提高学生的计算能力和分式的应用能力．
2．通过分式的混合运算过程，培养学生的代数化归的能力，培养学生自主探究、合作交流的习惯．
重点
难点
学习目标
同学们，目前我们已经学完了分式的加、减、乘、除、乘方法则，我们先来复习一下：
乘法：.
除法：.
乘方：.
加减法：，.
新课导入
数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？
分式的混合运算顺序：
“从高到低、从左到右、括号从小到大”．　　
知识点
分式的混合运算
新课讲解
例1 计算：　
这道题的运算顺序是怎样的？ 　　　
较简单的分式的混合运算
新课讲解
解：
　　对于不带括号的分式混合运算：
(1)运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；
(2)计算结果要化为最简分式．
新课讲解
化简 的结果是( )
A.a–b B.a+b C. D.
B
计算： =( )
A. B. C. D.
A
新课讲解
例2 计算：　　
较复杂的分式的混合运算
新课讲解
解:原式
新课讲解
解:原式
新课讲解
　　对于带括号的分式混合运算：
(1)将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算；
(2)先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号内的；
(3)计算结果要化为最简分式或整式．
归纳总结
新课讲解
用两种方法计算：
新课讲解
=
解：(按运算顺序) 原式
=
(利用乘法分配律)
原式
新课讲解
例3 根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长
1120m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m，从而缩短了工期，假设原计划每天修建盲道x m，那么，
(2)实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？
(1)原计划修建这条盲道需多少天？实际修建这条盲道用了多少天？
利用分式的混合运算解决问题
新课讲解
解析：(1)原计划修建需 天，
实际修建需
天.
(2)实际修建比原计划缩短了 (天).
新课讲解
1. 母题教材P155练习 化简 的结果为( )
B
A. B. C. D.
课堂练习
2. 下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题20
分，他能得的分数是( )
; ;
； ;
.
A
A. 40分 B. 60分
C. 80分 D. 100分
课堂练习
【点拨】 ,故①正确；
,故②错误;
,故③错误； ,故④正确；
⑤
,
故⑤错误.故正确的是 ,涂涂的得分为40分.故选A.
课堂练习
3. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填
空题破了一个洞（如图所示）， 表示破损的部分，则破
损部分的式子可能是( )
A
A. B.
C. D.
课堂练习
4.我们常用一个大写字母来表示一个代数式，已知
，，则化简 的结果为 ______.
5. 小明在化简式子 时，发现最
终结果是整式，则 表示的式子可以是___________________
（答案不唯一）
课堂练习
6.计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） .
原式
.
课堂练习
7. 先化简： ，再
从的整数中选一个合适的 值代入求值.
【解】
.
且为整数，，， 易得 且
， 当时，原式 .
当时，原式 .
课堂练习
8. ［2025菏泽期中］若，则 的值是
( )
B
A. 1 B. C. D.
【点拨】，， ，
，，即 .
课堂练习
9. 已知为整数，且 为正整数，则所有符
合条件的 的值的和是( )
C
A. 0 B. 12 C. 10 D. 8
【点拨】.为整数，且分式的值为正整数， 或
或 所有符合条件的的值的和是 .
课堂练习
10. ［2025湖州模拟］新定义：若两个分式与的差为
为正整数,则称是的“差分式”.例如：,则称分式是分式 的“1差分式”.根据以上定义，下列选项中说法错误的是
( )
C
A. 是 的“3差分式”
B. 若的值为,则是 的“2差分式”
C. 若是的“1差分式”，则
D. 若与互为倒数，则是 的“5差分式”
课堂练习
运算顺序：
(1)先乘方，再乘除，然后加减.如果有括号，先算括号里面的.
(2)分式的加减、乘除都是分式的同级运算，同级运算是按从左往右的顺序运算.
进行分式混合运算时注意：
(1)正确运用运算法则；
(2)灵活运用运算律；
(3)运算结果要化简，且注意符号的处理，使结果为最简分式或整式.
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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