资源简介

(共32张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：18.4.1 负整数指数幂
副标题：拓展指数范围，完善指数运算体系
背景图：左侧展示正整数指数幂运算 “\(a^3=a×a×a\)，\(a^2=a×a\)，\(a^1=a\)”，右侧通过箭头自然延伸至负整数指数幂 “\(a^{-1}=\frac{1}{a}\)，\(a^{-2}=\frac{1}{a^2}\)”，下方标注 “\(a≠0\)，\(a\)为整式，指数从正整数拓展到负整数”，直观呈现指数范围的拓展逻辑。
幻灯片 2：学习目标
理解负整数指数幂的定义 “\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)（\(a≠0\)，\(n\)为正整数）”，明确其与正整数指数幂的关系，能准确表述定义的核心内涵。
掌握负整数指数幂的运算性质（同底数幂相乘、相除，幂的乘方，积的乘方），并能与正整数指数幂运算性质统一应用，熟练进行含负整数指数幂的运算。
能运用负整数指数幂化简分式、表示较小的数（科学记数法），解决实际问题中的指数运算问题，提升代数变形能力。
体会 “从正整数到负整数” 的数学拓展思想，感受指数运算体系的完整性，为后续学习零指数幂、分数指数幂奠定基础。
幻灯片 3：导入 —— 从正整数指数幂的除法矛盾切入
复习回顾：
回顾正整数指数幂的除法法则：\(a^m÷a^n=a^{m-n}\)（\(a≠0\)，\(m、n\)为正整数，\(m>n\)），举例：\(a^5÷a^3=a^{5-3}=a^2\)，\(2^4÷2^2=2^2=4\)。
提出矛盾：若\(m幻灯片 4：负整数指数幂的定义与推导
步骤 1：从分式运算推导定义：
对于任意非零整式\(a\)，正整数\(n\)，当计算\(a^m÷a^n\)（\(m按分式运算：\(a^m÷a^n=\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n-m}}\)（分子分母约去\(a^m\)，\(a≠0\)）；
按正整数指数幂除法法则（形式上延伸）：\(a^m÷a^n=a^{m-n}\)，令\(k=n-m\)（\(k\)为正整数），则\(m-n=-k\)，故\(a^{-k}=\frac{1}{a^k}\)。
定义总结：
一般地，当\(a≠0\)，\(n\)为正整数时，规定：\(\boxed{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}\)。
关键词解读：
\(a≠0\)：因为\(a^n\)在分母位置，若\(a=0\)，则\(\frac{1}{a^n}\)无意义，故\(a\)不能为 0；
\(n\)为正整数：负整数指数幂的指数是负的正整数，如\(-1、-2\)等，后续会拓展到更广泛的整数指数；
倒数关系：\(a^{-n}\)是\(a^n\)的倒数，即\(a^{-n}×a^n=1\)（\(a≠0\)）。
示例验证：
\(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\)，验证：\(2^{-3}×2^3=\frac{1}{8}×8=1\)，符合倒数关系；
\(x^{-2}=\frac{1}{x^2}\)（\(x≠0\)），\((ab)^{-1}=\frac{1}{ab}\)（\(a≠0\)，\(b≠0\)）。
幻灯片 5：负整数指数幂的运算性质（与正整数指数幂统一）
核心结论：正整数指数幂的所有运算性质，在负整数指数幂范围内仍然成立，可统一表示为：
同底数幂相乘：\(a^m·a^n=a^{m+n}\)（\(a≠0\)，\(m、n\)为整数）；
同底数幂相除：\(a^m÷a^n=a^{m-n}\)（\(a≠0\)，\(m、n\)为整数）；
幂的乘方：\((a^m)^n=a^{mn}\)（\(a≠0\)，\(m、n\)为整数）；
积的乘方：\((ab)^n=a^n b^n\)（\(a≠0\)，\(b≠0\)，\(n\)为整数）；
商的乘方：\(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\)（\(a≠0\)，\(b≠0\)，\(n\)为整数）。
性质验证（以同底数幂相乘为例）：
计算\(a^{-2}·a^3\)（\(a≠0\)）：
方法 1（用定义转化）：\(a^{-2}·a^3=\frac{1}{a^2}·a^3=a\)；
方法 2（用统一性质）：\(a^{-2}·a^3=a^{-2+3}=a^1=a\)，结果一致，验证性质成立。
计算\((a^{-2})^3\)（\(a≠0\)）：
方法 1（定义转化）：\((a^{-2})^3=(a^{-2})×(a^{-2})×(a^{-2})=\frac{1}{a^2}×\frac{1}{a^2}×\frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^6}=a^{-6}\)；
方法 2（幂的乘方性质）：\((a^{-2})^3=a^{-2×3}=a^{-6}\)，结果一致。
幻灯片 6：负整数指数幂的应用 1—— 分式化简（转化为正指数）
化简原则：利用负整数指数幂的定义，将分式中的负指数转化为正指数，使表达式更简洁，通常结果中不保留负指数（特殊要求除外）。
例题 1：将下列各式化为只含正整数指数幂的形式（\(a≠0\)，\(b≠0\)，\(x≠0\)）：
\(a^{-3}\)；
\(2x^{-2}y^3\)；
\(\frac{a^{-2}b^3}{c^{-1}}\)；
\((a^{-2}b)^3\)。
解答过程：
\(a^{-3}=\frac{1}{a^3}\)（直接用定义转化）；
\(2x^{-2}y^3=2·\frac{1}{x^2}·y^3=\frac{2y^3}{x^2}\)（仅\(x\)含负指数，转化\(x^{-2}\)）；
\(\frac{a^{-2}b^3}{c^{-1}}=a^{-2}b^3·c^1=\frac{b^3 c}{a^2}\)（负指数在分子变分母，分母变分子，符号改变）；
\((a^{-2}b)^3=(a^{-2})^3·b^3=a^{-6}b^3=\frac{b^3}{a^6}\)（先算积的乘方，再转化负指数）。
解题技巧：
负指数的 “移动法则”：对于\(a^{-n}\)（\(a≠0\)），若在分子位置，可移到分母变为\(a^n\)；若在分母位置，可移到分子变为\(a^n\)，即\(\frac{a^{-n}}{1}=\frac{1}{a^n}\)，\(\frac{1}{a^{-n}}=a^n\)。
幻灯片 7：负整数指数幂的应用 2—— 含负指数的混合运算
运算步骤：
统一指数形式：将所有负整数指数幂转化为正整数指数幂（或直接利用整数指数幂运算性质）；
按运算顺序计算：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内；
化简结果：结果中若有负指数，需转化为正指数（分式形式），确保结果简洁。
例题 2：计算下列各式（\(a≠0\)，\(b≠0\)）：
\(a^{-2}·a^5÷a^{-1}\)；
\((2a^{-1}b^2)^3÷(a^2b^{-3})\)；
\(\frac{a^{-3}b^2·(a^2b^{-1})}{a^{-1}b}\)。
解答过程：
\(a^{-2}·a^5÷a^{-1}\)：
方法 1（用整数指数性质）：\(a^{-2+5-(-1)}=a^{4}\)；
方法 2（转化正指数）：\(\frac{1}{a^2}·a^5÷\frac{1}{a}=a^3·a=a^4\)；
结果：\(a^4\)。
\((2a^{-1}b^2)^3÷(a^2b^{-3})\)：
先算乘方：\(2^3·(a^{-1})^3·(b^2)^3=8a^{-3}b^6\)；
再算除法：\(8a^{-3}b^6÷(a^2b^{-3})=8a^{-3-2}b^6-(-3)=8a^{-5}b^9\)；
转化正指数：\(\frac{8b^9}{a^5}\)；
结果：\(\frac{8b^9}{a^5}\)。
\(\frac{a^{-3}b^2·(a^2b^{-1})}{a^{-1}b}\)：
分子计算：\(a^{-3+2}b^2+(-1)=a^{-1}b\)；
整体除法：\(a^{-1}b÷(a^{-1}b)=a^{-1-(-1)}b^{1-1}=a^0b^0=1\)（\(a^0=1\)，\(b^0=1\)）；
结果：1。
幻灯片 8：负整数指数幂的应用 3—— 科学记数法表示较小的数
回顾科学记数法：表示较大的数时，\(N=a×10^n\)（\(1≤a<10\)，\(n\)为正整数），如\(300000=3×10^5\)。
较小数的科学记数法：当表示绝对值小于 1 的正数时，\(N=a×10^{-n}\)（\(1≤a<10\)，\(n\)为正整数，\(n\)等于原数中第一个非零数字前所有零的个数）。
推导与示例：
如\(0.001=\frac{1}{1000}=10^{-3}\)，\(0.00025=2.5×0.0001=2.5×10^{-4}\)；
步骤：① 确定\(a\)（将原数的小数点向右移动，使\(1≤a<10\)）；② 确定\(n\)（小数点移动的位数，移动几位，\(n\)就是几，且为负整数）。
例题 3：用科学记数法表示下列各数：
0.000032；
-0.00105；
0.00000086。
解答过程：
0.000032：小数点右移 5 位得\(3.2\)，故\(3.2×10^{-5}\)；
-0.00105：符号保留，小数点右移 3 位得\(1.05\)，故\(-1.05×10^{-3}\)；
0.00000086：小数点右移 7 位得\(8.6\)，故\(8.6×10^{-7}\)。
幻灯片 9：易错点辨析与注意事项
易错点 1：忽略\(a≠0\)的条件：
示例：误将\(0^{-2}\)计算为\(\frac{1}{0^2}\)（错误，\(0\)的负整数指数幂无意义，因为分母为\(0\)）；或认为\(a^{-n}\)对任意\(a\)都成立（需强调\(a≠0\)）。
提醒：在使用负整数指数幂定义或性质前，务必确认底数\(a≠0\)，避免无意义的运算。
易错点 2：负指数转化时符号或指数错误：
示例：误将\(a^{-2}b^3\)转化为\(\frac{b^3}{a^{-2}}\)（正确应为\(\frac{b^3}{a^2}\)）；或计算\((a^{-1})^{-2}\)时，误得\(a^{-3}\)（正确应为\(a^{(-1)×(-2)}=a^2\)，幂的乘方，指数相乘）。
纠正：负指数转化时，严格遵循 “分子分母互换，指数变号”；幂的乘方运算中，指数相乘（负负得正），避免符号或指数计算错误。
易错点 3：科学记数法中\(n\)的确定错误：
示例：将 0.0005 误表示为\(5×10^{-3}\)（正确应为\(5×10^{-4}\)，第一个非零数字 “5” 前有 4 个零）；或将 - 0.012 误表示为\(-1.2×10^{-1}\)（正确应为\(-1.2×10^{-2}\)）。
预防：确定\(n\)时，数清原数中 “第一个非零数字前的零的个数”（包括小数点前的零），或通过小数点移动位数直接确定（移动\(k\)位，\(n=-k\)）。
易错点 4：混合运算中运算顺序错误：
示例：计算\(a^{-2} + a^3\)时，误按同底数幂相加计算为\(a^{1}\)（错误，加减运算不能用同底数幂性质，需分别转化正指数：\(\frac{1}{a^2} + a^3\)，无法合并则保留原式）。
强调：只有乘除、乘方运算可使用整数指数幂性质，加减运算需先转化为相同形式（如正指数），再判断是否能合并，避免混淆运算类型。
幻灯片 10：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：将下列各式化为正整数指数幂形式（\(a≠0\)，\(b≠0\)）：
\(x^{-5}=\)______（答案：\(\frac{1}{x^5}\)）；
\(3a^{-2}b^{-1}=\)______（答案：\(\frac{3}{a^2b}\)）；
\(\frac{(a^{-1}b)^2}{a^{-3}}=\)______（答案：\(\frac{b^2}{a^{-1}}=a b^2\)）。
提升练习 2：计算下列含负指数的运算：
\(2^{-2}×2^3÷2^{-1}=\)______（答案：\(2^{-2+3+1}=2^2=4\)）；
\((3a^{-2}b)^2÷(a b^{-1})=\)______（答案：\(9a^{-4}b^2÷(a b^{-1})=9a^{-5}b^3=\frac{9b^3}{a^5}\)）。
拓展练习 3：用科学记数法表示并计算：
0.00002×0.0003=______（答案：$
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.4.1负整数指数幂
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过学生自主探究了解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质，发展学生的自学能力．
2．通过类比观察、小组探究，总结得出负整数指数幂的意义，提高学生解决问题的能力．
3．通过具体的练习考查整数指数幂的运算性质，培养学生对性质的应用能力．
4．经历探索用科学记数法表示绝对值小于1的数的过程，发现其中的方法，培养学生自学的能力．
重点
难点
学习目标
1．你还记得下面这些算式的算法吗？比一比，看看谁做得又快又好．
(1)a3×a4；(2)(x4)3；(3)(ab)3；(4)a5÷a3.
2．你还记得a0＝1(a≠0)是怎么得到的吗？
(1)a7 (2)x12 (3)a3b3 (4)a2
am÷am＝am－m＝a0＝1
新课导入
(1) (m，n是正整数)
(2) (m，n是正整数)
(3) (n是正整数)
(4) (a≠0，m，n是正整数，m＞n)
(5) (n是正整数)
正整数指数幂有以下运算性质：
此外，还学过0指数幂，即a0=1(a≠0)
如果指数是负整数该如何计算呢？
新课导入
问题1 将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？
知识点 1
整数指数幂
问题2 am 中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am 表示什么？
新课讲解
问题3 根据分式的约分，当 a≠0 时，如何计算 ？
问题4 如果把正整数指数幂的运算性质 (a≠0，m，n 是正整数，m >n)中的条件m >n 去掉，即假设这个性质对于像 的情形也能使用，如何计算？
a3÷a5= =
a3÷a5=a3-5=a-2
(1)
(2)
新课讲解
数学中规定：当n 是正整数时，
这就是说， 是an 的倒数．　　　
由(1)(2)想到，若规定a-2= (a≠0)，就能使am÷an=am-n 这条性质也适用于像a3÷a5的情形，因此：
新课讲解
填空：
(1) = ____， = ____；
(2) = ____， = ____；
(3) = ____， = ____ (b≠0)．
1
1
1
做一做
新课讲解
问题5 引入负整数指数和0指数后， (m，n 是正整数)，这条性质能否推广到m，n 是任意整数的情形？
例如：a5·a-6=a(5-6)=a-1(a≠0)
新课讲解
问题6 类似地，你可以用负整数指数幂或0 指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？
例如：a0·a-5=a0-5=a-5 ，a-3·a-7=a-3+(-7)=a-10 ，
a-2÷a-5=a-2-(-5)=a3 ，a0÷a-4=a0-(-4)=a4
新课讲解
(1) (m，n 是整数)；
(2) (m，n 是整数)；
(3) (n 是整数)；
(4) (m，n 是整数)；
(5) (n 是整数)．
归纳总结
新课讲解
试说说当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什么意义？
当m是正整数时，am表示m个a相乘.当m是0时，a0表示一个数的n次方除以这个数的n次方，所以特别规定，任何除0以外的实数的0次方都是1.
当m是负整数时， am表示|m|个 相乘.
新课讲解
例　计算：　　　
解：　　
整数指数幂的计算
新课讲解
解：　　
新课讲解
计算：
解：(1)原式=x2y-3·x-3y3
=x2-3·y-3+3
=x-1
=
(2)原式=a-2b-4c6÷a-6b3
=a4b-7c6
新课讲解
能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？
知识点 2
整数指数幂的性质
新课讲解
　　根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，
　　　　　　　， ，因此，
，即同底数幂的除法 可以转化
为同底数幂的乘法 ．特别地，
所以，
即商的乘方 可以转化为积的乘方
新课讲解
这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：
(1) (m，n 是整数)；
(2) (m，n 是整数)；
(3) (n 是整数)．
新课讲解
例 下列等式是否正确？为什么？
(1)am÷an=am·a-n； (2)
整数指数幂的性质的应用
新课讲解
故等式正确.
解：(1)∵am÷an=am-n=am+(-n)=am·a-n，
∴am÷an=am·a-n. 故等式正确.
(2)
新课讲解
1. 下列结果正确的是( )
A
A. B.
C. D.
2. 母题教材P162习题 若 有意义，
则 的取值范围是( )
C
A. B.
C. 且 D. 或
课堂练习
3. 计算 的结果是( )
C
A. B. C. D.
4. 若，则 等于( )
A
A. B. C. D.
课堂练习
5.已知,,，,则,, ,
的大小关系为______________.（用“ ”号连接起来）
【点拨】,,, ,
, .
课堂练习
6.［2025郴州期中］计算：
.
【解】
课堂练习
7. 有下列四个运算结果：； ；
； ，其中正确的结果为( )
C
A. ①② B. ②③
C. ①②③④ D. ①②③
课堂练习
8. 定义一种新的运算：如果 ，则有
,那么 的值是( )
B
A. B. 5 C. D.
【点拨】,
.
课堂练习
9. 在算式“”中的“ ”里填入一个运算符
号，使得它的结果最小，则填入的是( )
D
A. B. - C. × D.
课堂练习
【点拨】若填入的符号为 ，则
；若填入的符
号为 ，则
；
若填入的符号为 ，则
；若填入的符
号为 ，则 .
， 填入的符号为 .
课堂练习
10. 如果成立，则 _____
___.
2或
【点拨】当,即时， ;当
,即时， .综上所述,
或2.
课堂练习
整数指数幂
零指数幂：当a≠0时，a0=1
负整数指数幂：当n是正整数时，a-n= (a≠0)
整数指数幂的性质
(1)am·an=am+n(m，n为整数，a≠0)
(2)(ab)m=ambm(m为整数，a≠0，b≠0)
(3)(am)n=amn(m，n为整数，a≠0)
课堂总结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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