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(共37张PPT)
幻灯片 16：科学记数法在工程问题中的应用
工程问题核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间，当涉及较大或较小的工作量、效率时，需用科学记数法简化计算，确保数据表达简洁、运算便捷。
例题 7：管道输水工程（含较大工作量）
某供水工程中，一条输水管道的输水效率为\(2.5 \times 10^3\)立方米 / 小时，若该管道连续输水\(4.8 \times 10^2\)小时，可输送多少立方米的水？
分析：已知工作效率（输水效率）和工作时间，求工作量（输水量），直接代入公式 “工作量 = 效率 × 时间”。
解答步骤：
代入公式：输水量 = \((2.5 \times 10^3) \times (4.8 \times 10^2)\)；
分离\(a\)与\(10^n\)：\((2.5 \times 4.8) \times (10^3 \times 10^2)\)；
分别计算：\(12 \times 10^5\)（\(2.5×4.8=12\)，\(10^3×10^2=10^{3+2}=10^5\)）；
整理为标准科学记数法：\(12 \times 10^5 = 1.2 \times 10^6\)（立方米）；
结果解读：该管道连续输水可输送\(1.2 \times 10^6\)立方米的水，即 1200000 立方米，用科学记数法避免了书写 6 个零，更易阅读。
例题 8：微型零件加工工程（含较小效率）
某精密机械厂加工微型零件，一台机床的加工效率为\(3.6 \times 10^{-2}\)个 / 秒（即每秒加工\(3.6 \times 10^{-2}\)个零件），若该机床连续工作\(5 \times 10^4\)秒，可加工多少个零件？
分析：效率单位为 “个 / 秒”（较小单位），时间为较大秒数，需用科学记数法计算工作量，避免小数与大数直接相乘的繁琐。
解答步骤：
代入公式：加工零件总数 = \((3.6 \times 10^{-2}) \times (5 \times 10^4)\)；
分离\(a\)与\(10^n\)：\((3.6 \times 5) \times (10^{-2} \times 10^4)\)；
分别计算：\(18 \times 10^2\)（\(3.6×5=18\)，\(10^{-2}×10^4=10^{-2+4}=10^2\)）；
整理标准形式：\(18 \times 10^2 = 1.8 \times 10^3\)（个）；
结果解读：机床连续工作可加工\(1.8 \times 10^3\)个零件，即 1800 个，科学记数法简化了 “小数 × 大数” 的运算，降低计算错误率。
幻灯片 17：科学记数法在行程问题中的应用
行程问题核心公式：路程 = 速度 × 时间，当涉及高速运动（如航天器、声波）或微小距离（如微观粒子运动）时，路程、速度常为特殊数值，需用科学记数法运算。
例题 9：航天器飞行行程（含高速、长距离）
“嫦娥五号” 探测器在太空中的飞行速度约为\(1.12 \times 10^4\)米 / 秒，若探测器以该速度匀速飞行\(3.6 \times 10^5\)秒，飞行的路程约为多少米？
分析：速度为 “万级” 米 / 秒，时间为 “十万级” 秒，路程数值极大，必须用科学记数法计算，避免数值过长导致错误。
解答步骤：
代入公式：路程 = \((1.12 \times 10^4) \times (3.6 \times 10^5)\)；
分离\(a\)与\(10^n\)：\((1.12 \times 3.6) \times (10^4 \times 10^5)\)；
分别计算：\(4.032 \times 10^9\)（\(1.12×3.6=4.032\)，\(10^4×10^5=10^{4+5}=10^9\)）；
检查标准形式：\(4.032\)满足\(1 \leq 4.032 < 10\)，无需整理；
结果解读：探测器飞行路程约为\(4.032 \times 10^9\)米，即 4032000000 米，科学记数法清晰呈现 “十亿级” 距离，便于后续单位换算（如换算为千米：\(4.032 \times 10^6\)千米）。
例题 10：声波传播行程（含较小时间）
声波在空气中的传播速度约为\(3.4 \times 10^2\)米 / 秒，若声波传播一段距离用时\(2.5 \times 10^{-3}\)秒，这段距离约为多少米？
分析：时间为 “毫秒级”（\(2.5 \times 10^{-3}\)秒 = 2.5 毫秒），需用科学记数法计算短距离，避免小数运算误差。
解答步骤：
代入公式：距离 = \((3.4 \times 10^2) \times (2.5 \times 10^{-3})\)；
分离\(a\)与\(10^n\)：\((3.4 \times 2.5) \times (10^2 \times 10^{-3})\)；
分别计算：\(8.5 \times 10^{-1}\)（\(3.4×2.5=8.5\)，\(10^2×10^{-3}=10^{2-3}=10^{-1}\)）；
结果转化（可选）：\(8.5 \times 10^{-1}\)米 = 0.85 米，符合声波短距离传播的实际场景；
结果解读：这段距离约为\(8.5 \times 10^{-1}\)米（或 0.85 米），科学记数法将 “小数距离” 与 “整数速度” 的运算转化为简洁的指数运算，提升准确性。
幻灯片 18：工程、行程问题中的科学记数法运算总结
核心解题步骤
确定公式：根据问题类型（工程 / 行程），明确核心公式（工作量 = 效率 × 时间 / 路程 = 速度 × 时间）；
统一单位：确保效率与时间、速度与时间的单位匹配（如效率 “立方米 / 小时” 对应时间 “小时”，速度 “米 / 秒” 对应时间 “秒”）；
科学记数法运算：将已知数据（含大数、小数）用科学记数法表示，分离\(a\)与\(10^n\)分别计算，再整理为标准形式；
结果解读：根据实际场景，将科学记数法结果转化为易懂的数值（如\(1.2 \times 10^6\)立方米 = 120 万立方米），或进行单位换算。
常见场景与注意事项
问题类型
典型场景
科学记数法应用要点
易错点预防
工程问题
大型输水、零件加工
效率 / 时间含 “万级”“微级” 时，优先用科学记数法
避免单位不匹配（如 “个 / 分” 与 “小时”）
行程问题
航天器飞行、声波传播
速度 / 时间含 “万级”“毫秒级” 时，简化运算
计算后检查\(a\)的取值范围（1≤
幻灯片 19：工程、行程问题专项练习（含科学记数法）
基础练习 7：工程问题
某水电站的发电效率为\(4.5 \times 10^4\)千瓦时 / 小时，连续发电\(2 \times 10^3\)小时，总发电量为______千瓦时（答案：\(9 \times 10^7\)）；
一台微型机床加工零件的效率为\(6 \times 10^{-3}\)个 / 秒，工作\(1.5 \times 10^4\)秒，加工零件总数为______个（答案：\(9 \times 10^1=90\)）。
提升练习 8：行程问题
高铁的行驶速度约为\(3 \times 10^2\)千米 / 小时，行驶\(4.2 \times 10^2\)小时，路程约为______千米（答案：\(1.26 \times 10^5\)）；
光在真空中的速度约为\(3 \times 10^8\)米 / 秒，传播\(1.5 \times 10^{-5}\)秒，路程约为______米（答案：\(4.5 \times 10^3\)）。
拓展练习 9：综合应用
某工程队铺设光缆，光缆铺设速度为\(8 \times 10^2\)米 / 天，铺设一条长\(2.4 \times 10^5\)米的光缆，需要多少天？（提示：时间 = 路程 ÷ 速度，答案：\(3 \times 10^2\)天）
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.5.2 分式方程的应用-工程、行程问题
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程在工程、行程等领域应用的过程，会根据题意设未知数，合理地列出分式方程，培养学生解决问题的能力．
2．经历探索“实际问题情境——建立分式方程模型”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．
3．通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．
重点
难点
学习目标
1.解分式方程： ；
解：方程两边都乘以2（x-2)，得
2+2（x-2）=x+1
解得：x=3
检验：当x=3时，2（x-2）=2≠0，
∴x=3是原方程的解.
新课导入
2.列方程解决实际问题的步骤： ；
3.我们所学过的应用题类型：
(1)行程问题：基本公式： ；
(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
(3)工程问题：基本公式： ；
审、设、列、解、答
路程=速度×时间以及它的两个变式
工作量=工时×工效以及它的两个变式
新课导入
(4)顺水逆水问题：顺水速度＝ ，
逆水速度＝ ；
(5)利润问题：基本公式： .
轮船速度+水流速度
轮船速度-水流速度
利润率=利润÷进价
利润=售价-进价，
新课导入
问题：一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流速度为3千米/时，求轮船在静水中的速度.
学生活动一 【一起探究】
新课讲解
分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，则顺水航行的速度为____千米/时，逆水航行的速度为____千米/时，
顺水航行的时间为____时，逆水航行的时间为_______时，根据题意，可得方程_______________.
x+3
x-3
新课讲解
解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意列方程得
解这个方程得：x=21.
检验：当x=21时，（x+3）（x-3）≠0，并且也符合题意.
答：轮船在静水中的速度为21千米/时.
检验是必须的一步骤，
而且是两方面的检验.
新课讲解
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4.解:认真仔细解这个分式方程.
5.验:检验.
6.答:注意单位和语言完整.
新课讲解
问题：两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？
学生活动二 【一起探究】
新课讲解
分析：甲队1个月完成总工程的 ,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 ,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程的_______ .
新课讲解
解：设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 .依题意得
方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x，解得：x=1
检验:当x=1时6x≠0,x=1是原分式方程的解，且符合题意.
答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,
而甲队1个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快.
新课讲解
探究：某列列车平均提速v千米/时．用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？
学生活动三 【一起探究】
新课讲解
分析：这里的字母v,s表示已知数据,设提速前列车的平均速度为x km/h,那么提速前列车行驶s km 所用时间为　 h,提速后列车的平均速度为　 km/h,提速后列车运行(s+50)km所用时间为　　　h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程.
(x+v)
新课讲解
解: 设提速前这次列车的平均速度为x km/h,则提速前它行驶s km所用时间为 h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它行驶(s+50)km 所用时间为 h.根据行驶时间的等量关系,得 .
方程两边乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50).
解得： .
新课讲解
检验:由v,s都是正数,得x= 时x(x+v)≠0.
所以原分式方程的解为x= .
答:提速前列车的平均速度为 km/h.
新课讲解
(1)在实际问题中,有时题目中包含多个相等数量关系,在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系；
(2)在检验过程中,不仅检验所得的根是否为原分式方程的根,还要检验这个根在实际问题中是否具有实际意义,如
时间非负、人数为正整数等.
新课讲解
1.某小区为了排污,需铺设一段全长为720米的排污管道,为减少施工对居民生活的影响,需缩短施工时间,实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计划每天铺设x米,下面所列方程正确的是(　　)
A
课堂练习
2. 农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.
课堂练习
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，
依题意得： － ，
汽车所用的时间＝自行车所用时间－2/3
可解得x=15
经检验，x=15是原方程的解，并符合题意，
由x＝15得3x=45
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
课堂练习
3.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天
课堂练习
解：设规定日期为x天，根据题意，得
解得：x=12.
经检验：x=12是原方程的解且符合题意.
答：规定日期为12天.
课堂练习
1. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后
比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造
前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为
( )
B
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
课堂练习
2. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的
投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有
三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；
②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ，
剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.某同学设规定的
工期为天，根据题意列出了方程： ，则方案③
中被墨水污染的部分应该是( )
课堂练习
A. 甲、乙两队合作了4天
B. 甲队先做了4天
C. 甲队先做了工程的
D. 甲、乙两队合作了工程的
√
课堂练习
3. 教材P169习题 某物流仓储公司用， 两种型号
的机器人搬运物品，已知型机器人比 型机器人每小时多搬
运，型机器人搬运所用时间与 型机器人搬运
所用时间相等，则型机器人每小时搬运物品____ .
80
课堂练习
4.［2024自贡］为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某
校组织了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学平均每小时比
乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包
120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各
包多少个粽子.
课堂练习
【解】设乙组同学平均每小时包 个粽子，则甲组同学平均
每小时包个粽子，根据题意,得 ，解得
.经检验，是原方程的解， .; 答：
甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包
80个粽子.
课堂练习
5. 已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组
单独工作半天后，乙组加人，两组合作2天后，甲组又单独
工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的
天数比甲组( )
B
A. 少6天 B. 少8天
C. 多3天 D. 多6天
课堂练习
【点拨】设乙组单独完成此项工程需要 天，依题意，得
,解得,经检验， 是原方程的解，且
符合题意， .故选B.
课堂练习
6.［2025沧州月考］为落实“美丽乡村”的工作部署，市政府
计划对乡村道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成.已
知甲队修路与乙队修路 所用时间相等，乙队每
天比甲队多修 .求甲队每天修路的长度.
课堂练习
（1）填表（在表格中横线处填写相应的代数式）：
方法一：设甲队每天修路的长度为 ，完成表格：
工作效率/天 工作总量 工作时间（天）
甲队 400 _____________________
乙队 _______ 600 _ ____
课堂练习
方法二：设甲队修路需要用 天，完成表格：
工作效率/天 工作总量 工作时间（天）
甲队 _ ___ 400
乙队 _ ___ 600 ______________________
课堂练习
（2）请选择一种方法，写出完整的解答过程.
【解】方法一：，解得 .
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意.
故甲队每天修路的长度为 .
课堂练习
方法二：，解得 .
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意.
.
故甲队每天修路的长度为 .
（两种方法任选一种即可）
课堂练习
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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