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(共32张PPT)
幻灯片 16：科学记数法在工程问题中的应用
工程问题核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间，当涉及较大或较小的工作量、效率时，需用科学记数法简化计算，确保数据表达简洁、运算便捷。
例题 7：管道输水工程（含较大工作量）
某供水工程中，一条输水管道的输水效率为\(2.5 \times 10^3\)立方米 / 小时，若该管道连续输水\(4.8 \times 10^2\)小时，可输送多少立方米的水？
分析：已知工作效率（输水效率）和工作时间，求工作量（输水量），直接代入公式 “工作量 = 效率 × 时间”。
解答步骤：
代入公式：输水量 = \((2.5 \times 10^3) \times (4.8 \times 10^2)\)；
分离\(a\)与\(10^n\)：\((2.5 \times 4.8) \times (10^3 \times 10^2)\)；
分别计算：\(12 \times 10^5\)（\(2.5×4.8=12\)，\(10^3×10^2=10^{3+2}=10^5\)）；
整理为标准科学记数法：\(12 \times 10^5 = 1.2 \times 10^6\)（立方米）；
结果解读：该管道连续输水可输送\(1.2 \times 10^6\)立方米的水，即 1200000 立方米，用科学记数法避免了书写 6 个零，更易阅读。
例题 8：微型零件加工工程（含较小效率）
某精密机械厂加工微型零件，一台机床的加工效率为\(3.6 \times 10^{-2}\)个 / 秒（即每秒加工\(3.6 \times 10^{-2}\)个零件），若该机床连续工作\(5 \times 10^4\)秒，可加工多少个零件？
分析：效率单位为 “个 / 秒”（较小单位），时间为较大秒数，需用科学记数法计算工作量，避免小数与大数直接相乘的繁琐。
解答步骤：
代入公式：加工零件总数 = \((3.6 \times 10^{-2}) \times (5 \times 10^4)\)；
分离\(a\)与\(10^n\)：\((3.6 \times 5) \times (10^{-2} \times 10^4)\)；
分别计算：\(18 \times 10^2\)（\(3.6×5=18\)，\(10^{-2}×10^4=10^{-2+4}=10^2\)）；
整理标准形式：\(18 \times 10^2 = 1.8 \times 10^3\)（个）；
结果解读：机床连续工作可加工\(1.8 \times 10^3\)个零件，即 1800 个，科学记数法简化了 “小数 × 大数” 的运算，降低计算错误率。
幻灯片 17：科学记数法在行程问题中的应用
行程问题核心公式：路程 = 速度 × 时间，当涉及高速运动（如航天器、声波）或微小距离（如微观粒子运动）时，路程、速度常为特殊数值，需用科学记数法运算。
例题 9：航天器飞行行程（含高速、长距离）
“嫦娥五号” 探测器在太空中的飞行速度约为\(1.12 \times 10^4\)米 / 秒，若探测器以该速度匀速飞行\(3.6 \times 10^5\)秒，飞行的路程约为多少米？
分析：速度为 “万级” 米 / 秒，时间为 “十万级” 秒，路程数值极大，必须用科学记数法计算，避免数值过长导致错误。
解答步骤：
代入公式：路程 = \((1.12 \times 10^4) \times (3.6 \times 10^5)\)；
分离\(a\)与\(10^n\)：\((1.12 \times 3.6) \times (10^4 \times 10^5)\)；
分别计算：\(4.032 \times 10^9\)（\(1.12×3.6=4.032\)，\(10^4×10^5=10^{4+5}=10^9\)）；
检查标准形式：\(4.032\)满足\(1 \leq 4.032 < 10\)，无需整理；
结果解读：探测器飞行路程约为\(4.032 \times 10^9\)米，即 4032000000 米，科学记数法清晰呈现 “十亿级” 距离，便于后续单位换算（如换算为千米：\(4.032 \times 10^6\)千米）。
例题 10：声波传播行程（含较小时间）
声波在空气中的传播速度约为\(3.4 \times 10^2\)米 / 秒，若声波传播一段距离用时\(2.5 \times 10^{-3}\)秒，这段距离约为多少米？
分析：时间为 “毫秒级”（\(2.5 \times 10^{-3}\)秒 = 2.5 毫秒），需用科学记数法计算短距离，避免小数运算误差。
解答步骤：
代入公式：距离 = \((3.4 \times 10^2) \times (2.5 \times 10^{-3})\)；
分离\(a\)与\(10^n\)：\((3.4 \times 2.5) \times (10^2 \times 10^{-3})\)；
分别计算：\(8.5 \times 10^{-1}\)（\(3.4×2.5=8.5\)，\(10^2×10^{-3}=10^{2-3}=10^{-1}\)）；
结果转化（可选）：\(8.5 \times 10^{-1}\)米 = 0.85 米，符合声波短距离传播的实际场景；
结果解读：这段距离约为\(8.5 \times 10^{-1}\)米（或 0.85 米），科学记数法将 “小数距离” 与 “整数速度” 的运算转化为简洁的指数运算，提升准确性。
幻灯片 18：工程、行程问题中的科学记数法运算总结
核心解题步骤
确定公式：根据问题类型（工程 / 行程），明确核心公式（工作量 = 效率 × 时间 / 路程 = 速度 × 时间）；
统一单位：确保效率与时间、速度与时间的单位匹配（如效率 “立方米 / 小时” 对应时间 “小时”，速度 “米 / 秒” 对应时间 “秒”）；
科学记数法运算：将已知数据（含大数、小数）用科学记数法表示，分离\(a\)与\(10^n\)分别计算，再整理为标准形式；
结果解读：根据实际场景，将科学记数法结果转化为易懂的数值（如\(1.2 \times 10^6\)立方米 = 120 万立方米），或进行单位换算。
常见场景与注意事项
问题类型
典型场景
科学记数法应用要点
易错点预防
工程问题
大型输水、零件加工
效率 / 时间含 “万级”“微级” 时，优先用科学记数法
避免单位不匹配（如 “个 / 分” 与 “小时”）
行程问题
航天器飞行、声波传播
速度 / 时间含 “万级”“毫秒级” 时，简化运算
计算后检查\(a\)的取值范围（1≤
幻灯片 19：工程、行程问题专项练习（含科学记数法）
基础练习 7：工程问题
某水电站的发电效率为\(4.5 \times 10^4\)千瓦时 / 小时，连续发电\(2 \times 10^3\)小时，总发电量为______千瓦时（答案：\(9 \times 10^7\)）；
一台微型机床加工零件的效率为\(6 \times 10^{-3}\)个 / 秒，工作\(1.5 \times 10^4\)秒，加工零件总数为______个（答案：\(9 \times 10^1=90\)）。
提升练习 8：行程问题
高铁的行驶速度约为\(3 \times 10^2\)千米 / 小时，行驶\(4.2 \times 10^2\)小时，路程约为______千米（答案：\(1.26 \times 10^5\)）；
光在真空中的速度约为\(3 \times 10^8\)米 / 秒，传播\(1.5 \times 10^{-5}\)秒，路程约为______米（答案：\(4.5 \times 10^3\)）。
拓展练习 9：综合应用
某工程队铺设光缆，光缆铺设速度为\(8 \times 10^2\)米 / 天，铺设一条长\(2.4 \times 10^5\)米的光缆，需要多少天？（提示：时间 = 路程 ÷ 速度，答案：\(3 \times 10^2\)天）
2024人教版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
18.5.2分式方程的应用-购物及其他问题
第十八章 分式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程在工程、行程等领域应用的过程，会根据题意设未知数，合理地列出分式方程，培养学生解决问题的能力．
2．经历探索“实际问题情境——建立分式方程模型”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．
3．通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．
重点
难点
学习目标
1.列分式方程解决实际问题的步骤：
；
2.销售问题中基本量之间的关系有什么？
利润= ；
利润率= ；
总价= ；
打折后的销售价= ；
……
审、设、列、解、验、答
售价-进价
利润÷进价
售价×数量
标价×折扣
新课导入
问题：在某“爱心义卖”活动中，商家购进甲、乙两种文具，甲每个进货价比乙高10元，90元购买乙的数量与150元购买甲的数量相同.求甲、乙的进货价？
如何解决呢？
新课导入
解析：设甲种文具每个的进货价为x元，则乙种文具每个的进货价为(x-10)元，根据“花费90元购进的乙种文具的数量和花费150元购进的甲种文具的数量相同"列方程即可.
问题：在某“爱心义卖”活动中，商家购进甲、乙两种文具，甲每个进货价比乙高10元，90元购买乙的数量与150元购买甲的数量相同.求甲、乙的进货价？
学生活动一 【一起探究】
新课讲解
解:设甲种文具每个的进货价为x元，则乙种文具每个的进货价为(x-10)元，根据题意得 = ，解得：x=25，
经检验，x=25是分式方程的解且符合题意，
∴x-10=25-10=15，
答:甲种文具每个的进货价为25元，则乙种文具每个的进货价为15元.
新课讲解
问题：铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又用11000元购进该品种的苹果,但这次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元,购进苹果的数量是试销时的2倍.
(1)试销时该品种的苹果的进货价是每千克多少元
(2)如果超市将该品种的苹果每次都按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的400千克按定价的七折(“七折”即定价的70%)售完,那么超市两次销售该品种苹果共赢利多少元
学生活动二 【一起探究】
新课讲解
解析：(1)求单价，总价已知，应根据数量来列等量关系。关键描述语是:“苹果数量是试销时的2倍”;
等量关系为:2×试销时的数量=本次数量.
(2)根据盈利=总售价一总进价进行计算.
新课讲解
解:(1)设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元，
根据题意，得 = ，解得：x=5
经检验:x=5是原方程的解，并符合题意.
答:试销时该品种苹果的进货价是每千克5元.
新课讲解
(2)两次购进苹果总重为: ＋ =3 000 (千克)，
共盈利:(3000-400)×7+400×7×0.7-5000-11000=4160(元).
答:共盈利4160元.
新课讲解
问题：某商城销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高25%作为销售价，共获利6000元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高10%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了80件，并且商场第二个月比第一个月多获利400元．此商品的进价是多少元？商场第二个月共销售此商品多少件？
学生活动三 【一起探究】
新课讲解
解析：设此商品进价为x元，则第一个月此商品每一件获利是:25%x元，第二个月此商品每一件获利是:10%x元，
根据等量关系:第二个月的获利总量÷第二个月每件商品的利润-80=第一个月的获利总额÷第一个月每件商品的利润列方程，解方程即可;
新课讲解
解:设此商品进价为x元.根据题意得: = －80
解得:x=500，
经检验:x=500是原方程的根，并且符合题意，
商场第二个月共销售商品件数: = =128 (件).
答：此商品的进价是500元，商场第二个月共销售此商品128件.
新课讲解
问题：为响应绿色出行，低碳减排号召，助力“双碳”目标不断实现，小华家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从地到地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．
学生活动四 【一起探究】
新课讲解
解:设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则燃油汽车所需油费(x+0.54)元,
由题意列方程得: =
解方程得：x=0.18，
经检验，x=0.18是原方程得解，且符合题意，
答:新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元.
新课讲解
1. 某市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有
效抓手，通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小
而美的“口袋公园”.现需要购买，两种绿植，已知 种绿植
单价是种绿植单价的3倍，用6 750元购买的 种绿植比用
3 000元购买的种绿植少50株.设种绿植单价是 元，则可
列方程是( )
C
A. B.
C. D.
课堂练习
2. 节假日前夕，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商
品260个，其中购进甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲
种商品的单价比乙种商品的单价高 ，则乙种商品的单价
是( )
B
A. 2元 B. 2.5元 C. 3元 D. 5元
课堂练习
3.两台续航里程相同的燃油车和新能源车的相关数据如下所
示，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.5元，则续航里
程 的值是多少？
燃油车 邮箱容量：50升 油价：7.5元/升 续航里程： 新能源车
电池电量：75千瓦时
电价：0.5元/千瓦时
续航里程：
课堂练习
【解】由题意，可得 ，
解得 ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意.; 答：续航里
程 的值是675.
课堂练习
4.［2025惠州开学考试］当下电子产品更新换代速度加快，
废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减
少环境污染，还可回收其中的可利用资源，据研究，从每吨
废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多.已知从
废旧智能手机中提炼出的黄金，与从 废旧智能手机中提
炼出的白银克数相等，求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄
金与白银各多少克.
课堂练习
【解】设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金 ，则从每吨
废旧智能手机中能提炼出白银 ，
根据题意，得，解得 ，
经检验， 是原方程的解,且符合题意，
.; 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄
金，白银 .
课堂练习
5. 《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作.
该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买
几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请
人代买一批椽，这批椽的总售价为6 210文.如果每株椽的运
费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一
株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设6 210文购买椽
的数量为 株，则符合题意的方程是( )
课堂练习
A. B.
C. D.
√
课堂练习
6. 第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，其吉
祥物为“弗里热”.某超市同时卖出了两个进价不同的巴黎奥运
会吉祥物和 ，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现
盈利了，而却亏损了 ，则这次超市是( )
C
A. 不赚不赔 B. 赚了
C. 赔了 D. 无法判断
课堂练习
【点拨】设吉祥物的成本为 元，依题意得
，解得.经检验， 是原方程
的根,且符合题意.
设吉祥物的成本为元，依题意得 ,解
得.经检验， 是原方程的解,且符合题意.
（元），故这次超市是赔了.
课堂练习
7. 现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖
，两种糖的质量和单价如下表.商店以糖的平均价格作
为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加
入甲种糖____ .
甲种糖 乙种糖
质量/ 20 30
单价/元 25 15
10
课堂练习
8.［2024重庆］为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一
笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应
的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获
得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的
补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元
的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
课堂练习
【解】设该企业有条甲类生产线， 条乙类生产线，
根据题意，得解得
答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线.
课堂练习
（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1
条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲
类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设
备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入
多少资金更新生产线的设备？
课堂练习
设购买更新1条乙类生产线的设备需投入 万元，则购买更新
1条甲类生产线的设备需投入 万元，
根据题意，得，解得.经检验， 是所
列方程的解，且符合题意，
.
答：还需投入1 330万元资金更新生产线的设备.
课堂练习
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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