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2025学年八年级自主学习能力挑战赛数学卷
一．选择题（每题4分，共40分）
1．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，点F是AB的中点，连接DF，EF，设∠ACB＝x°，∠DFE＝y°，则（　　）
A． B．y＝x﹣30 C．y＝90﹣x D．y＝180﹣2x
2．如图，已知AB∥CD，∠ACD＝70，CE平分∠ACD交AB于点E，点P为线段CE上一点，∠CAP与∠EAP度数之比为k、若△ACP为直角三角形，且AP＞PE，则k的值为（　　）
A．1 B． C．或1 D．1或
3下列等式成立的是（　 ）
（A） （B）
（C） （D）
4、用配方法解方程x2＋2x－3＝0，下列配方结果正确的是（　 ）
（A）(x－1)2＝2 （B）(x－1)2＝4 （C）(x＋1)2＝2 （D）(x＋1)2＝4
5、一组数据，有4个数的平均数为20，另外16个数的平均数为15，则这20个数的平均
数是（　　）
（A）16 （B）17.5 （C）18 （D）20
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以Rt△ABC的三边为边在AB的同侧作三个正方形，顶点H恰为DE的中点，若阴影部分（四边形KNCM）的面积为9，则正方形ABHK的面积为（　　）
（第8题图）
A．50 B．49 C．48 D．45
7．如图，在等腰直角△ABC中，点E，F将斜边AC三等分，且AC＝12，点P在△ABC的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（　　）
A．0个 B．2个 C．4个 D．6个
8．如图，在△ABC中CA＝CB＝8，AB＝6∠C＜90°点D、E、F分别在边BC，AC，AB上，连接DF，DE已知点B和点E关于直线DF对称，若ED＝CD，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
9、小海发现一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根表示在数轴上关于点x＝对称．
于x的方程mx2＋2mx＝n（m≠0）的两根在数轴上对应的点的距离为6，则（ 　）
（A）m＝8n （B）n＝8m （C）m＝－8n （D）n＝－8m
10．将长方形纸片ABCD如图折叠，B，C两点恰好重合落在AD边上的同一点P处，折痕分别是MH，NG，若∠MPN＝90°，PN＝4，MN＝5，分别记△PHM，△PNG，△PMN的面积为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的数量关系是（　　 ）
A．S3＝S1+S2 B．3S3＝2S1+2S2
C．2S3＝3S2﹣S1 D．S3＝5S2﹣5S1
二．填空题（每题4分，共24分）
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边的中线．若∠B＝30°，DE＝1，则AC＝　 　．
（第11题图） （第16题图）
12．若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象过点（2，﹣4），经过第二、三、四象限．
（1）b＝　 　．（请用含k的代数式表示）
（2）若m＝k+3b，则m的取值范围是 　 　．
13.在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣3，m+2），点B坐标为（1，m﹣2），若点C（t+1，n1）和点D（t﹣2，n2）均在直线AB上，则n1﹣n2＝　 　．
14．等边△ABC的边长为2，过点C作直线l//AB，P为直线l上一点，且，则点P到BC所在直线的距离是　 　.
15．若关于x的不等式组有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围是　 　.
16．如图，在长方形ABCD中，△AEF为等腰Rt△，且∠AEF＝90°，点E在线段BC上，点F在线段CD上，若3（AB+BE）＝2（AD+DF），则　 　．
三．解答题（4题，共36分）
17．定义：若两个二次根式a，b满足a·b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的美
好二次根式．
（1）若a与是关于4的美好二次根式，则a＝ ▲ ；
（2）若与是关于12的美好二次根式，求m的值．
18．设两个不同的一次函数y1＝kx+b，y2＝bx+k（k，b是常数，且kb≠0）．
（1）若函数y1的图象经过点（2，﹣1），函数y2的图象经过点（1，﹣3），求k，b的值．
(2)若函数的图象经过点，求证：函数的图象经过点；
（3）设y3＝y1﹣y2，y4＝y2﹣y1，当y3＞y4时，求x的取值范围．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上（不与点B，C重合），且BD＞CD，过点D作DP⊥BC，分别交BA的延长线和AC于点P和点Q．
（1）求证：．
（2）若点Q是线段DP的中点，探索AQ与QC的数量关系．
（3）若△ABC的形状和大小都确定，说说DP+DQ的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，它与坐标轴分别交于A、B两点，已知点B的纵坐标为4.
（1）求出A点的坐标.
（2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）点P为y轴上一点，连结AP，若，求点P的坐标.
参考答案：
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B D D A D D B D D
二、填空题
11. 12.(1) b=-2k-4 (2) -1215. 1≤a＜2 16.
三、解答题
17.（2） （2） -2
18 ．
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键.
（1）将点的坐标代入函数解析式，建立二元一次方程组即可解决问题；
（2）将点代入，得出的关系即可解决问题；
（3）先求出和，再用作差法即可解决问题.
【详解】（1）将点( 和 分别代入和 得,
，解得 ，
∴，；
（2）证明：∵函数的图象经过点，
∴ ，
将代入得：，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即，
∴函数的图象经过点 ；
（2），
，
又∵，
则
∴即
∴当 时，
当 时，
当 时，不存在；
故时，时，
19.【分析】（1）由等腰三角形的性质可得出结论；
（2）过点作，交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）方法一：过点作于点，延长至，使，连接，延长交于点，证明，得出，证出，，则可得出结论．
方法二：过作垂线，由等腰三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
．
（2）解：．
理由：过点作，交的延长线于点，
，，
由题意，得，
．
．
点是线段的中点，
，
，
，
，
．
（3）解：的值是定值，这个定值是边上的高的2倍．
方法一：过点作于点，延长至，使，连接，延长交于点，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
即的值是定值，这个定值是边上的高的2倍．
方法二：过作垂线，由等腰三角形的性质可得出结论．
【点评】本题考查了等腰三角形与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20.【答案】解：的纵坐标为直线，与坐标轴分别交于、两点，
点，
将点代入直线的解析式得：，
直线的解析式为：，
令得：，
；
存在，
，，
，
在第一象限的角平分线上，
设，
根据勾股定理：
，
，
解得，
故；
如图：
当点为轴正半轴上一点时，
，，
，
，
设，
，
，
，
；
当点为轴负半轴上一点时，
，
，
，
，
综上所述：点的坐标为或
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