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2025-2026学年天津五十五中九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程一定是关于x的一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.已知是一元二次方程的一个根，则m的值为( )
A. 1 B. 或2 C. D. 0
3.关于x的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则m的值为
A. B. C. D. 0
4.已知是二次函数，则m的值为( )
A. 0 B. 1 C. D. 1或
5.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6.点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
8.若函数，则当函数值时，自变量x的值是( )
A. B. 4 C. 或4 D. 4或
9.二次函数的x、y的部分对应值如下表所示，则下列判断不正确的是( )
x 0 1 2
y 0 2
A. 当时，y随x的增大而增大
B. 当时，
C. 顶点坐标为
D. 是方程的一个根
10.下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值：
x … 1 …
y … …
那么关于x的方程的一个根的近似值可能是( )
A. B. C. D.
11.抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根．其中正确结论的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
12.如图，将抛物线 的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到新的图象实线部分，若直线与新图象只有四个交点，求m的取值范围．( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．
14.如图，抛物线的顶点为，与y轴交于点若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点，
点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域阴影部分的面积为 .
15.如图，壮壮同学投掷实心球，出手点P处的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是若实心球落地点为M，则
16.已知二次函数，当，y有最大值为，则a的值为 .
17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点A，直线AB与抛物线在第一象限交于点，若以A，O，B，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标是 .
18.如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动点C在点D下方，且当的值最小时，点C的坐标为 .
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
用适当的方法解下列方程：
；
20.本小题8分
关于x的一元二次方程有实数根.
求k的取值范围；
如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值.
21.本小题10分
根据以下素材，完成探索任务.
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中米，米.准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果.已知道路的路面造价是50元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米.
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用.
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. 请直接写出纵向道路宽度x的取值范围.
若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求.
任务2 解决果园种植的预期利润问题净利润=草莓销售的总利润-路面造价费用-果园承包费用-新苗购置费用-其余费用 经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由.
22.本小题10分
春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为5000元，该影院每天售出的电影票数量张与售价元/张之间满足一次函数关系且x是整数，部分数据如表：
电影票的售价元/张 30 40
每天售出的电影票数量张 1640 1240
请求出y与x之间的函数表达式；
设该影院每天的利润为w元，求w与x之间的函数表达式；
该影院将电影票的售价定为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
23.本小题10分
在平面直角坐标系中，已知抛物线G：为常数
若抛物线G经过点，求k的值；
若抛物线G经过点，，且求出k的取值范围；
若将抛物线G向右平移1个单位长度，所得图象的顶点为，当时，求的最大值.
24.本小题10分
如图，抛物线与x轴正半轴的交点为A，与y轴交于点为第四象限内抛物线上一点，轴于点H，交线段AB于点
求抛物线及直线AB的解析式；
若，求点P的坐标；
若，求点P的横坐标.
25.本小题10分
已知抛物线为常数，，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，x轴上的点M的横坐标为m，且，O为坐标原点.
Ⅰ若，，且
①求抛物线的解析式；
②过点M作轴与抛物线相交于点D，连接AD，DC，CM，的面积记为，的面积记为，当时，求点M的坐标；
Ⅱ若点，射线CB上一点N，，当取得最小值为时，求a的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、选项方程是分式方程，不合题意；
B、选项方程含有2个未知数，不合题意；
C、选项方程没有说明a的取值，不合题意；
D、选项方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程，符合题意，
故选：
找到只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程即可．
考查一元二次方程的定义的运用；掌握一元二次方程的准确定义是解决本题的关键；注意一定是一个正数．
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的解和定义以及一元二次方程的解法，关键是注意方程二次项的系数不等于
首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得m的值．
【解答】
解：把代入得：
，
，
解得：，，
是一元二次方程，
，
，
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式计算即可．
【解答】
解：，
，
，
把代入得：，
解得：，此时，符合题意，
故选：
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是二次函数的概念的有关知识，直接利用二次函数的概念进行求解即可.
【解答】
解：是二次函数，
且，
解得
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】
解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：，
整理得：，
解得：不合题意，舍去，
故选
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，可判断
【解答】
解：，
对称轴为，
，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
，
，
根据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，
故，
故选
7.【答案】D
【解析】解：当时，由二次函数可知；当时，由二次函数可知
故A、B、C错误，D正确；
故选：
根据二次函数的图象点的坐标特征即可判断．
本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，熟记一次函数与二次函数的有关性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数值，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值，函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个，熟练掌握函数值的定义是解答本题关键.
把直接代入函数即可求出自变量的值．
【解答】
解：把代入函数，
先代入上边的方程得：，
，不合题意舍去，故；
再代入下边的方程得：，
，故，
综上，x的值为4或
故选：
9.【答案】B
【解析】解：由题意得：，
解得：，
二次函数的解析式为，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为，选项C不合题意；
时，y随x的增大而增大，
时，y随x的增大而增大，正确，选项A不符合题意；
当时，，错误，选项B符合题意；
时，，
是方程的一个根，正确，选项D不符合题意；
故选：
求出二次函数的解析式为，得出抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为，选项C不符合题意；得出时，y随x的增大而增大，选项A不符合题意；当时，，选项B符合题意；由抛物线的对称性得出时，，选项D不符合题意．
本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点等知识．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：时，；
时，；
抛物线与x轴的一个交点在和点之间，且更靠近点，
方程有一个根约为
故选：
观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数中a，b，c与函数图象的关系．
①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号．
②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．
③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大．
④由抛物线顶点纵坐标为m可得，从而可判断无实数根．
【解答】
解：①抛物线图象开口向上，
，
对称轴在直线y轴左侧，
，b同号，，
抛物线与y轴交点在x轴下方，
，
，故①正确．
②由题可知抛物线与x轴另一个交点坐标为，
，
当时，，由图象可得，
当时，，由图象可得，
，即，
故②正确．
③，，
，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，
故③错误．
④抛物线的顶点坐标为，
，
，
无实数根．
故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④共3个.
故选：
12.【答案】A
【解析】解：令，则，
解得或，
，
平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于时，此时过点，
，即
②当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点，
方程，
即有两个相等实根，
，
即
由①②知若直线与新图象只有四个交点，m的取值范围为；
故选
根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：
①直线经过点即左边的对折点，可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；
②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定m的取值．
此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．
13.【答案】12
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得
，舍去
答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．
故答案为：
根据增长率问题：增长率=增长数量/原数量如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为；第二次增长后为，即原数增长百分率后来数．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题：增长率=增长数量/原数量如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为；第二次增长后为，即原数增长百分率后来数．
14.【答案】12
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出AD，是解题关键．
根据平移的性质得出四边形是平行四边形，进而得出AD，的长，求出面积即可．
【解答】
解：连接AP，，过点A作于点D，

由题意可得出：，，
四边形是平行四边形，
抛物线的顶点为，与y轴交于点，
平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点，
，，
又，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
抛物线上PA段扫过的区域阴影部分的面积为：
故答案为：
15.【答案】
【解析】解：以点O为坐标原点，射线OM方向为x轴正半轴，射线OP方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，
根据题意可设抛物线解析式为：，
把点代入得：，
解得：，
抛物线解析式为：；
当时，，
解得，舍去，，
故答案为：
设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离
本题考查的是二次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键．
16.【答案】或
【解析】解：对称轴：，
分三种情况：
①当时，即，如图1，
当，y随x的增大而减小，
当时，，
代入中，得：，
解得：，舍；
②当时，即，如图2，
当时，，
代入中，得：，
解得：舍，
③当时，即，如图3，
当，y随x的增大而增大，
当时，，
代入中，得：，
解得：，舍；
故答案为：或
先计算二次函数的对称轴，再分三种情况进行讨论：
①当时，即，如图1，确定当，y随x的增大而减小，得当时，，代入可得a的值；
②当时，即，如图2，同理可得a的值；
③当时，即，如图3，同理可得a的值．
本题主要考查了抛物线的性质、二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的对称轴及增减性是关键，有难度，并注意利用数形结合的思想．
17.【答案】或或
【解析】解：在中，令，得，
解得：，，
，
点A、O、B、N为顶点的四边形是平行四边形时，设，分三种情况：
①以AN、BO为对角线，此时AN中点与BO中点重合，如图2，
、，，
的中点为，BO中点为，
，
解得，
，
②以AB、NO为对角线，此时AB中点与NO中点重合，如图3，
同理可得，
解得，
，
③以AO、BN为对角线，此时AO中点与BN中点重合，如图4，
同理可得，
解得，
，
综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，
点N的坐标为：或或
故答案为：或或
令，得，可得，设，利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形性质等，解题的关键是运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想解题．
18.【答案】
【解析】解：作A点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点C，此时的值最小，，
在中，令，则，
点，
令，则，
解得或，
点，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
设直线的解析式为，
代入、B的坐标得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
故答案为：
作A点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点C，此时，的值最小，利用解析式求得A、B点的坐标，根据抛物线的对称性求得的坐标，进一步求得的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求得点C的坐标．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
19.【答案】；

【解析】，
，
，
则，
所以；
，
，
，
则或，
所以
利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可；
利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法及解一元二次方程-配方法，熟知配方法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
20.【答案】解：根据题意得，
解得；
是符合条件的最大整数，
当时的最大整数值是2，
则关于x的方程是，
解得：，，
一元二次方程与方程有一个相同的根，
当时，，
解得；
而，所以舍去，
当时，，
解得，
的值为
【解析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
先求出k的值，再代入方程，求出或，把或代入方程求出m的值即可．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解等知识，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
21.【答案】解：道路宽度x不超过12米，且不小于5米，
纵向道路宽度x的取值范围为；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
符合题意，
路面设置的宽度符合要求；
经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下：
假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又，
符合题意，
假设成立，
即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．
【解析】由“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，可得出x的取值范围；
根据中间种植的面积是，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求；
经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，根据“经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元”，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合的结论，可得出符合题意，假设成立，即即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】且x为整数；
；
该影院将电影票的售价定为35元或36元时，每天的利润最大，最大利润是45410元
【解析】设y与x之间的函数表达式为，
把，代入得：
，
解得，
且x为整数；
每天的利润
，
即；
，
该函数的抛物线对称轴为，
为整数，
当售价为x定为35或36时，有最大利润，
元．
答：该影院将电影票的售价定为35元或36元时，每天的利润最大，最大利润是45410元．
直接运用待定系数法求解即可；
根据每天的销售额-成本=每天的利润即可求解；
先列出每天的利润，然后根据二次函数的性质以及实际意义求解即可．
本题主要考查了求一次函数解析式、二次函数的应用等知识点，灵活运用二次函数解决实际问题成为解题的关键．
23.【答案】解：的图象经过，
，
；
由题意，，
整理得，，
；
的顶点坐标，
将抛物线G向右平移1个单位长度，所得图象的顶点为，
，
，
有最大值，当时，最大值为
【解析】利用待定系数法求解即可；
根据不等式求解即可；
构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24.【答案】，；
；

【解析】抛物线与x轴正半轴的交点为A，与y轴交于点，将点B的坐标代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，得：，
解得：，，
设直线AB的解析式为，将点，点分别代入得：
，
解得：，
直线AB的解析式为；
设，则，，，
，
，
解得：，不合题意，舍去，
；
设，则，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
如图，，，作交OB于I，
四边形IOHM是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
又，
，
解得：，，
，
，
点P的横坐标为
将点代入求出，即，令，求出，设直线AB的解析式为，将、代入求解即可；
设，则，，，根据列方程求解即可；
设，则，，，证明是等腰直角三角形，得到，作交OB于I，可知四边形IOHM是矩形，进而可知是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，根据列方程求解即可．
本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
25.【答案】Ⅰ①；②；
Ⅱ
【解析】①，
点A的坐标为，抛物线解析式为，
，
抛物线与x轴相交于点A，
，
解得
抛物线解析式为；
②抛物线与y轴相交于点C，
当时，
点C的坐标为
如图，过点C作，与DM相交于点
，
，
点H为DM的中点．
设直线AC的解析式为，
，
解得，
直线AC的解析式为
点M的横坐标为m，轴与抛物线相交于点D，
点，，，
可得方程，
解得或舍，
点M的坐标为
Ⅱ如图，在AC右侧作等边，CQ与x轴相交于点T，连接MQ，
，，
点，点，点，
，，，
在中，，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
当点C，M，Q在同一条直线上时，取得最小值，即，
，
在中，，
，
解得
，，
设抛物线解析式为，
把代入，解得
的值为
Ⅰ①由题易得，将A点代入即可得解；②过点C作，与DM相交于点G，由进而推出，即点H为DM的中点，所以直线AC的解析式为由点，，，可得方程，求解即可；
Ⅱ在AC右侧作等边，CQ与x轴相交于点T，连接MQ，易证≌，所以进而可得，据此求解即可．
本题主要考查了二次函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．

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