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2025-2026学年四川省眉山市仁寿县长平中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2.下面关于x的方程中：①；②；③；④为常数；⑤，一元二次方程的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.函数中自变量x的取值范围是( )
A. 且 B. C. D.
4.把一元二次方程化成一般形式，正确的是( )
A. B. C. D.
5.下列根式中与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
6.若，则化简的结果为( )
A. B. 3 C. D.
7.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是( )
A. 且 B. 且 C. 且 D.
8.若，是一元二次方程的两根，则的值是( )
A. B. 1 C. D. 3
9.已知，则的值等于( )
A. B. 0 C. 1 D.
10.关于x的方程的两根的平方和是5，则a的值是( )
A. 或5 B. 1 C. 5 D.
11.小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，，而小华看错常数项，解错两根为，5，那么原方程为( )
A. B. C. D.
12.我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
13.要使代数式有意义，则a的取值范围是______.
14.求方程的解为 .
15.若关于x的一元二次方程有一个根是2，则______.
16.已知，，则的值为 .
17.若关于x的方程是一元二次方程.则m的值为 .
18.已知m，n是方程的两实数根，则______.
19.将变为的形式，则______.
20.关于x的一元次方程有两相等的正实数根，m取范围是______.
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题8分
计算：
22.本小题12分
解方程：
；
23.本小题8分
化简求值：，其中
24.本小题10分
已知，是关于x的一元二次方程的两个根.
若方程有两个不相等的实数根，求m取何范围；
若以，为对角线的菱形边长是，试求m的值？
25.本小题10分
如图，矩形纸片ABCD中，将它沿EF折叠，使C与A重合，若，且，试求：
线段AB、EF的长；
若将折叠后的纸片平放在桌面上，则纸片覆盖桌面的面积是多少？
26.本小题10分
某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同.
求每次下降的百分率；
若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克.
①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元；
②设每天的总利润为W元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
27.本小题12分
如图，在中，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动.
如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于；
如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm；
在问题中，的面积能否等于，若能，求出P、Q运动时间，若面积不能为，说明理由？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：，分母中包含根式，被开发数是整式且不含有能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式，因此选项A符合题意；
B.，被开方数含有能开得尽方的因式，因此选项B不符合题意；
C.，因此选项C不符合题意；
D.，因此选项D 不符合题意；
故选：
根据最简二次根式的意义进行判断即可．
本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的前提，掌握“分母中不含有根式，被开方数是整式且不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”是正确解答的关键．
2.【答案】C
【解析】解：①，当时，不是一元二次方程；
②，整理得，是一元二次方程；
③，不是整式方程，即不是一元二次方程；
④为常数，因为，所以是一元二次方程；
⑤，整理得，是一元二次方程；
所以是一元二次方程的有②④⑤，共3个，
故选：
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且，特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的条件及分式有意义的条件是解题关键．
利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分别求解即可．
【解答】
解：根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件可得：且，
解得：且
故选：
4.【答案】A
【解析】解：，
，
故选：
一元二次方程的一般形式是，将原方程化简即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，属于简单题，注意一元二次方程的二次项系数不能为
5.【答案】D
【解析】解：，下列选项中的被开方数是6的才符合题意．
A、与被开方数不同，故不是同类二次根式；故本选项错误；
B、与被开方数不同，故不是同类二次根式；故本选项错误；
C、与被开方数不同，故不是同类二次根式；故本选项错误；
D、与被开方数相同，故是同类二次根式；故本选项正确；
故选：
化简后，各选项根据同类二次根式的定义判断．
本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
6.【答案】A
【解析】解：，
原式
，
故选：
根据绝对值及二次根式的非负性化简即可求解．
本题主要考查绝对值及二次根式的非负性，根据绝对值及二次根式的非负性化简是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且
故选：
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：，是一元二次方程的两根，
，，
，
故选：
由，是一元二次方程的两根，根据根与系数的关系，即可求得答案．
此题考查了根与系数的关系，注意，是方程的两根时，，
9.【答案】C
【解析】解：由，得
，
则，，
故选：
把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到m，n的值，代入求值即可．
本题考查分式的化简求值，非负数的性质，把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：2个完全平方式的和为0，这2个完全平方式的底数为
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，设方程的两根为，根据根与系数的关系得到，，再由得，解得，，然后根据判别式确定满足条件的a的值.
【解答】
设方程的两根为，
由题意，得，所以
由一元二次方程的根与系数的关系知，，
所以，解得，
当时，，此时方程无实数根，所以舍去;
当时，，此时方程有两个实数根.故a的值为
故选
11.【答案】B
【解析】解：小明看错一次项系数，解得两根为2，，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为，5，两根之和正确，
故设这个一元二次方程的两根是、，可得：，，
那么以、为两根的一元二次方程就是，
故选：
利用根与系数的关系求解即可．
此题主要考查了根与系数的关系，若、是方程的两根，则有，
12.【答案】C
【解析】解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
，
解得：，舍去
答：平均每次下调的百分率为
故选：
设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
13.【答案】且
【解析】解：代数式有意义，
，
解得：且
故答案为：且
根据二次根式及分式有意义的条件，进行判断即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为零；二次根式有意义：被开方数为非负数．
14.【答案】，
【解析】解：由题知，
，
，
，
则或，
所以，
故答案为：，
利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：是关于x的一元二次方程的一个根，
，
，
故答案为：
根据一元二次方程的解的定义把代入得到得
本题考查了一元二次方程的解根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
16.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
故答案为：
根据a、b的值可以计算出ab和的值，然后将所求式子变形，再将ab和的值代入计算即可．
本题考查有理数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：关于x的方程是一元二次方程，
且，
解得：，
的值为
故答案为：
利用一元二次方程的定义，可列出关于m的方程，解之即可得出m的值．
本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
18.【答案】4
【解析】解：是方程的实数根，
，
，
，
，n是方程的两实数根，
，，
故答案为
先根据一元二次方程根的定义得到，则可变形为，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
19.【答案】33
【解析】解：由，得
，
，；
故答案是：
利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；然后求得m、n的值；最后将其代入所求的代数式求值．
本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：
一般式：、b、c为常数；
顶点式：；
交点式与x轴：
20.【答案】
【解析】解：设一元二次方两个分别x1，x2，
，
由得
故m的范围是：
由得，
答案为：
设二次方程的个根别为x12，根据方程有个不相等的数根可出，，x1x20，由此得出m的取值围．
题考查的是根的判别式，据列于x的不等式组解答此题的关键．
21.【答案】
【解析】解：原式
根据实数的运算法则进行计算即可．
本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
22.【答案】；
，
【解析】，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
通过配方法解题即可．
通过整体思想利用配方法解题即可．
本题主要考查配方法解二次方程，能够运用整体思想并熟练配方是解题关键．
23.【答案】解：原式
；
当时，原式
【解析】首先把除法运算转化成乘法运算，分式的分子、分母能分解因式的先分解因式进行约分，然后进行减法运算，最后代值运算．
本题考查了分式的混合运算，要特别注意运算顺序以及符号的处理．
24.【答案】；
m的值为1
【解析】由题意得，
要使方程有两个不相等的实数根，需要，
即，解得，
即时，方程有两个不相等的实数根．
，是关于x的一元二次方程的两个根，
，
，为菱形的对角线，
，互相垂直并且平分，
，
，，
，
，
，
解得，，
，
不合题意，舍去，
的值为
若方程有两个不相等的实数根，则有，得到关于m的不等式，求解即可；
由根与系数的关系得出，根据菱形的对角线互相垂直平分的性质以及勾股定理得出，那么，由此得出关于m的方程，解方程即可．
此题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
①当时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当时，方程有两个相等的两个实数根；
③当时，方程无实数根．
也考查了菱形的性质，勾股定理以及根与系数的关系．
25.【答案】线段AB、EF的长分别为4cm、
纸片覆盖桌面的面积是
【解析】四边形ABCD是矩形，
，，
将矩形ABCD沿EF折叠，C与A重合，且，
垂直平分AC，
，
，
，
，
解得或不符合题意，舍去，
，
，
，
，
，，
，
四边形AECF是菱形，
，
，
解得，
线段AB、EF的长分别为4cm、
设点D的对应点为点H，连结AH、FH，则，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
纸片覆盖桌面的面积是
由矩形的性质得，，由折叠得EF垂直平分AC，因为，，所以，由勾股定理得，求得，则，所以，可证明四边形AECF是菱形，由，求得
设点D的对应点为点H，连结AH、FH，则，，可根据“HL”证明，由，，求得，由，，求得，则，所以纸片覆盖桌面的面积是
此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明四边形AECF是菱形是解题的关键．
26.【答案】每次下降的百分率为；
①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元；
②当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润是16000元
【解析】设每次下降的百分率为x，
由题意可得：，
解得，舍去，
答：每次下降的百分率为；
①设每千克应涨价a元，
由题意可得：，
解得，，
答：现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元；
②设每千克应涨价m元，
由题意可得，，
当时，W取得最大值，此时，
答：当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润是16000元．
根据题意和题目中的数据，可以计算出每次下降的百分率；
①根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
②根据题意，可以写出利润和涨价的函数关系式，然后利用二次函数的性质，即可求得当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
27.【答案】1；
0或2；
不能
【解析】设t秒后，的面积等于，则，，，
的面积等于，
，
整理得，
解得，舍去，
答：1秒后，的面积等于；
设t秒后，PQ的长度等于5cm，则，，，
的长度等于5cm，
，
整理得，
解得，，
答：0秒或2秒后，PQ的长度为5cm；
不能．
理由如下：
设t秒后，的面积等于；
的面积等于，
，
整理得，
，
方程没有实数的解，
的面积不能等于
设t秒后，的面积等于，根据三角形面积公式得到，然后解一元二次方程即可；
设t秒后，PQ的长度等于5cm，利用勾股定理得到，然后解一元二次方程即可；
设t秒后，的面积等于；利用三角形面积公式得到，整理得，然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数的解，从而可判断的面积不能等于
本题考查了一元二次方程的应用：运用三角形的面积公式和勾股定理列方程．

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